数学分析17.4多元函数微分学之泰勒公式与极值问题

第十七章 多元函数微分学 4泰勒公式与极值问题

一、高价偏导数

概念1：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形：

(1)??? ??????x z x =22x z ??=f xx (x,y); (2)??? ??????x z y =y

x z 2???=f xy (x,y); (3)???? ??????y z x =x y z 2???=f yx (x,y); (4)???

? ??????y z y =22y z ??=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形，如：

???? ??????22x z x =33x z ??=3x f (x,y)；???? ??????22x z y =y x z 23???=y x 2f (x,y)；……

例1：求函数z=e

x+2y

的所有二阶偏导数和2

3x

y z

???. 解：∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ; ∴z xx =e x+2y

; z xy =2e

x+2y

; z yx =2e

x+2y

; z yy =4e

x+2y

;23x

y z ???=???? ???????x y z x 2=2e x+2y

.

例2：求函数z=arctan x

y

的所有二阶偏导数.

解：∵z x =22x y 1x y -??

?

??+=-22y x y +; z y =2x y 1x 1?

?? ??+=22y x x

+;

∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=2222

2)y (x x y +-;

z yx =222222)y (x x 2y x +-+=2

222

2)

y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.

注：既有关于x又有关于y的高阶偏导数，称为混合偏导数.

定理17.7：若f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续，则f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0). 证：令F(△x,△y)=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0+△x,y0)-f(x0,y0+△y)+f(x0,y0)，

φ(x)=f(x,y0+△y)-f(x,y0)，则F(△x,△y)=φ(x0+△x)-φ(x0).

∵f存在关于x的偏导数，∴φ可导，应用一元函数的中值定理，有φ(x0+△x)-φ(x0)=φ’(x0+θ1△x)△x

=[f x(x0+θ1△x,y0+△y)-f x(x0+θ1△x,y0)]△x, (0<θ1<1).

又由f x存在关于y的偏导数，∴对以y为自变量的函数f x(x0+θ1△x,y) 应用一元函数的中值定理，又有

φ(x0+△x)-φ(x0)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).

∴F(△x,△y)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).

若令ψ(y)=f(x0+△x,y)-f(x0,y)，则有F(△x,△y)=ψ(y0+△y)-φ(y0).

同理可得F(△x,△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y)△x△y, (0<θ3,θ4<1).

当△x,△y不为零时，就有

f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y), (0<θ1,θ2,θ3,θ4<1).

又f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续，∴当△x→0,△y→0时，

上式两边极限存在且相等，∴f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0).

注：n元函数m阶混合偏导数在某点都连续时，则与顺序无关.

概念2：设z 是通过中间变量x,y 而成为s,t 的函数，即z=f(x,y), 其中x=φ(s,t), y=ψ(x,t). 若函数f,φ,ψ都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数z 对s,t 同样存在二阶连续偏导数，即由一阶偏导数：

s z ??=s x x z ????+s y y z ????，t z ??=t x x z ????+t y y z ????，可得二阶偏导数： 22s z ??=s x x z s ????? ??????+??? ?????????s x s x z +s y y z s ?????? ??????+??

?

?????????s y s y z =s x x z 22?? ????+s x s y y x z 2??????????+22s x x z ?????+s y y z 22?? ????+s y s x x y z 2??????????+2

2s y y z ????? =222s x x z ??

?

??????+2s x s y y x z 2???????+2

22s y y z ??? ??????+22s x x z ?????+22s y y z ?????. 同理可得：

2

2t z ??=2

22t x x z ??

?

??????+2t x t y y x z 2???????+2

22t y y z ??? ??????+22t x x z ?????+22t y y z ?????. t s z 2???=t x s x x z 22??????+t y s x y x z 2?? ???????+???????s y t x +t y s y y z 2

2??????+t s x x z 2??????+t s y y z 2??????=s

t z

2???.

例3：设z=f(x,y x

), 求22x z ??,y

x z 2???.

解：记z=f(u,v), u=x, v=y

x

，由复合函数求导公式有：

x z ??=x u u f ????+x v v f ????=u f ??+v

f

y 1??， ∴22x z ??= ??????u f x +?????v f y 1=x u u f 2

2????+x v v u f 2?????+ ???????x u u v f y 12+???????x v v f 22 =22u

f ??+v u f y 22???+222v f

y 1??.

y x z 2???= ??????u f y +?????v f y 1=y u u f 2

2????+y v v u f 2?????-v f y 12??+ ???????y u u v f y 12+???

?????y v v f 22

=-v u f y x 22???-v f y 12??-223v

f y x ??.

二、中值定理和泰勒公式

概念3：若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸区域，即 若D 为凸区域，则对任意两点P 1(x 1,x 2), P 2(x 2,y 2)∈D 和一切λ(0≤λ≤1), 恒有P(x 1+λ(x 2-x 1),y 1+λ(y 2-y 1))∈D.

定理17.8：(中值定理)设二元函数f 在凸开域D ?R 2上连续，在D 的所有内点都可微，则对任意两点P(a,b),Q(a+h,b+k)∈D ，存在θ(0<θ<1), 使得f(a+h,b+k)-f(a,b)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k. 证：令φ(t)=f(a+th,b+tk)，它是定义在[0,1]上的一元函数； ∵φ(t)在[0,1]上连续，在(0,1)上可微；∴根据一元函数中值定理， 存在θ(0<θ<1), 使得φ(1)-φ(0)=φ’(θ). 由复合函数的求导法则知， φ’(θ)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k. 又由D 为凸区域知， (a+θh,b+θk)∈D, ∴f(a+h,b+k)-f(a,b)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k.

注：对闭凸域D ，任意两点P 1(x 1,x 2), P 2(x 2,y 2)∈D 和一切λ(0<λ<1),都有 P(x 1+λ(x 2-x 1),y 1+λ(y 2-y 1))∈intD ，则对D 上连续，intD 内可微的函数f ， 只要P ,Q ∈intD ，也存在θ∈(0,1)使中值定理成立. 如，

若D 为圆域{(x,y)|(x-ξ)2+(y-ζ)2≤r 2}, f 在D 上连续，在intD 内可微，则中值定理成立；若D 为矩形区域[a,b]×[c,d]，则不能保证对D 上任意两点P ,Q 都有中值定理成立.

推论：若函数f 在区域D 上存在偏导数，且f x ≡f y ≡0，则f 在区域D 上为常量函数.

证：设P 和P ’是区域D 上任意两点，由于D 为区域，

可用一条完全在D 内的折线连接PP ’. 设x 1为折线上第一个折点， 直线段Px 1上每一点P 0(x 0,y 0), 存在邻域U(P 0)?D, 由中值定理知， 在U(P 0)内任一点M(x m ,y m )有f(M)-f(P 0)=f x (θ1)(x m -x 0)+f y (θ1)(y m -y 0), ∵f x ≡f y ≡0，∴f(M)-f(P 0)=0, 即f(M)=f(P 0)，∴在U(P 0)内f 是常数函数. 由Px 1上每一点都有这样的邻域U(P 0)，使得f(x,y)=常数. 由有限覆盖定理知，存在有限个邻域U(P 1),…,U(P N )覆盖Px 1, ∴f(P)=f(x 1), 以x 1,…,x n 表示折线上的所有折点，同理有 f(P)=f(x 1)=…=f(x n )=f(P ’). 又由P ,P ’在区域D 内的任意性，知 在D 内,f(x,y)=常数.

例4：对f(x,y)=

1

xy 2x 12

+-应用微分中值定理，证明存在θ(0<θ<1),

使得1-2=2(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2.

解：f 定义在E={(x,y)|x 2-2xy+1>0}上，凸区域D={(x,y)|x 2+y 2≤1}?E. 又f x =-()

3

2

1

xy 2x

y

-x +-; f y =

()

3

2

1

xy 2x

x

+-，且f,f x ,f y 都在D 上连续，

取(1,0),(0,1)∈D ，根据微分中值定理，存在θ(0<θ<1), 使得 f(1,0)-f(0,1)=f x (θ,1-θ)-f y (θ,1-θ), 即

2

1-1=-

[]

3

2

1

θ)-θ(12θ

θ)

-(1-θ+--

[]

3

2

1

θ)-θ(12θ

θ

+-=(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2，

∴1-2=2(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2.

定理17.9：(泰勒定理)若函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有直到n+1阶的连续偏导数，则对U(P 0)内任一点(x 0+h,y 0+k), 存在相应的 θ∈(0,1)，使得有二元函数f 在点P 0的n 阶泰勒公式：

f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0) + ????x h +????

??y k f(x 0,y 0)+ ????x h !21+2

y k ???

???f(x 0,y 0)+… + ????x h !n 1+n y k ??????f(x 0,y 0)+ ????+x h !1)(n 1+1

n y k +???

?

??f(x 0+θh,y 0+θk).

证：令φ(t)=f(x 0+th,y 0+tk),其定义域为[0,1],且满足一元函数泰勒条件； ∴φ(1)=φ(0)+φ’(0)+

!21φ”(0)+…+!

n 1φ(n)(0)+!)1(n 1

+φ(n+1)(θ), (0<θ<1).

应用复合函数求导法则，可求得φ(t)的各阶导数：

φ(m)(t)= ?

???x h +m

y k ????

??f(x 0+th,y 0+tk), (m=1,2,…,n+1). 当t=0时，则有 φ

(m)

(0)= ????x h +m

y k ???

?

??f(x 0,y 0), (m=1,2,…,n) 及φ(n+1)(θ)= ????x h

+1

n y k +???

???f(x 0+θh,y 0+θk)，将φ(m)(0), φ(n+1)(θ)代入φ(1)，

得f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0)+ ????x h +????

??y k f(x 0,y 0)+ ????x h !21+2

y k ??????f(x 0,y 0)+… + ????x h !n 1+n

y k ??????f(x 0,y 0)+ ????+x h !1)(n 1+1

n y k +???

?

??f(x 0+θh,y 0+θk), (0<θ<1).

注：1、中值公式为泰勒公式在n=0时的特列情形；

2、若只要求余项R n=o(ρn) (ρ=2

2k

h+)，则

仅需f在U(P0)内存在直到n阶连续偏导数，便有

f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+∑

=

?

?

?

?

n

1 p

x

h

!p

1+p

y

k??

?

?

?

?f(x

,y0)+o(ρn).

例5：求f(x,y)=x y在点(1,4)的泰勒公式(到二阶)，并用它计算(1.08)3.96. 解：∵f(1,4)=1; f x(1,4)=yx y-1|(1,4)=4; f y(1,4)=x y lnx|(1,4)=0;

f xx(1,4)=y(y-1)x y-2|(1,4)=12; f yy(1,4)= x y(lnx) 2|(1,4)=0;

f xy(1,4)=f yx(1,4)=x y-1+yx y-1lnx|(1,4)=1.

∴x y=1+4(x-1)+6(x-1)2+(x-1)(y-4)+o(ρ2). 当x=1.08, y=3.96时，有

(1.08)3.96≈1+4×0.08+6×0.082-0.08×0.04=1.3552.

三、极值问题

定义：设函数f在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，若对于任何点P(x,y)∈U(P0)，有f(P)≤f(P0)或f(P)≥f(P0)，则称f在点P0取得极大(或极小)值，统称为极值. 极大值点、极小值点统称极值点.

注：1、极值点只限于定义域的内点;

2、若f在点(x0,y0)取得极值，则当固定y=y0时，一元函数f(x,y0)必定在x=x0取相同的极值；同理，一元函数f(x0,y)在y=y0也取相同的极值.

例6：设f(x,y)=2x2+y2, g(x,y)=2

2y-

x-1，h(x,y)=xy，讨论原点(0,0)是不是它们的极值点.

解：∵f(x,y)=2x 2+y 2≥f(0,0)=0，∴原点(0,0)是f 的极小值点； 又对任何(x,y)∈{(x,y)|x 2+y 2≤1}，有

g(x,y)=22y -x -1≤g(0,0)=1，∴原点(0,0)是g 的极大值点； 但在原点的任意邻域内，对I,III 象限的任意点有h(x,y)>h(0,0)=0; 对II, IV 象限中的任意点有h(x,y)

定理17.10：(极值必要条件)若函数在点P 0(x 0,y 0)存在偏导数，且在P 0取得极值，则有f x (x 0,y 0)=0, f y (x 0,y 0)=0. 反之，若函数在点P 0满足上式，则称点P 0为f 的稳定点.

注：1、极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点. 如例6中的函数h ，原点为其稳定点，但不是其极值点.

2、函数在偏导数不存在的点也有可能取得极值，如f(x,y)=22y x +在原点没有偏导数，但f(0,0)=0是f 的极小值.

概念4：假定f 具有二阶连续偏导数，并记

H f (P 0)=???? ??)(P f )(P f )(P f )(P f 0y y 0

y x 0xy 0xx =0

P y y y x

xy xx

f f f f ????

??，称之为P 0的黑赛矩阵.

定理17.11：(极值充分条件)设二元函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上具有二阶连续偏导数，且P 0是f 的稳定点，则当H f (P 0)是正定矩阵时，f 在点P 0取得极小值；当H f (P 0)是负定矩阵时，f 在点P 0取得极大值；当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值.

证：由f 在点P 0的二阶泰勒公式，及f x (P 0)= f y (P 0)=0，得 f(x,y)-f(x 0,y 0)=2

1

(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T +o (△x 2+△y 2). 当H f (P 0)正定时，对任何(△x,△y)≠(0,0)，恒有 二次型Q(△x,△y)=(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T >0，

∴存在一个与△x,△y 无关的正数q, 使得Q(△x,△y)≥2q(△x 2+△y 2). 从而对充分小的U(P 0), 只要(x,y)∈U(P 0), 就有

f(x,y)-f(x 0,y 0)≥q(△x 2+△y 2)+o (△x 2+△y 2)=(△x 2+△y 2)(q+o (1))≥0, 即f 在点P 0取得极小值；同理, 当H f (P 0)负定时，f 在点P 0取得极大值； 当H f (P 0)不定时，若f 取极值，不妨设取极大值，则

沿任何过P 0的直线x=x 0+t △x, y=y 0+t △y, f(x,y)=f(x 0+t △x,y 0+t △y)=φ(t) 在t=0亦取得极大值. 由一元函数取极大值的充分条件知 φ”(0)≤0. 而φ’(t)=f x △x+f y △y, φ”(t)=f xx △x 2+2f xy △x △y+f yy △y 2,

又φ”(0)=(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T , 即H f (P 0)必须为负半定，矛盾！ 同理，若f 取极小值，则H f (P 0)必须为正半定，亦矛盾！ ∴当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值.

注：根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理17.11又可写成为：若函数f 如定理所设，P 0是f 的稳定点，则有： (1)当f xx (P 0)>0, (f xx f yy -f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0 取得极小值； (2)当f xx (P 0)<0, (f xx f yy -f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0取得极大值； (3)当(f xx f yy -f xy 2)(P 0)<0时，f 在点P 0不能取得极值； (4)当(f xx f yy -f xy 2)(P 0)=0时，不能肯定f 在点P 0是否取得极值.

例7：设f(x,y)=x2+5y2-6x+10y+6的极值.

解：当f x=2x-6=0, f y=10y+10=0时, x=3, y=-1，即点(3,-1)是f的稳定点. ∵f xx=2>0, f yy=10, f xy=0, 即有(f xx f yy-f xy2)(3,-1)=20>0，

∴f在点(3,-1)取得极小值f(3,-1)=9+5-18-10+6=-8.

又f在R2上处处存在偏导数，∴(3,-1)是f唯一的极值点.

例8：讨论f(x,y)=x2+xy是否存在极值.

解：当f x=2x+y=0, f y=x=0时, x=0, y=0，即点(0,0)是f的稳定点.

∵f xx=2, f yy=0, f xy=1, 即有(f xx f yy-f xy2)(0,0)=-1<0，∴(0,0)不是f的极值点. 又f在R2上处处存可微，∴f不存在极值.

例9：设f(x,y)=(y-x2)(y-2x2)，试用定理17.11能否判定f在原点是否取得极值？如果不能，请试用其它方法判定？

解：∵f x(0,0)=8x3-6xy|(0,0)=0, f y(0,0)=2y-3x2|(0,0)=0, ∴原点是f的稳定点. 又f xx=24x2-6y, f yy=2, f xy=-6x, 即有(f xx f yy-f xy2)(0,0)=0，

∴由定理17.11无法判定f在原点是否取得极值.

但当x22x2或yf(0,0)，∴f不可能在原点取得极值.

例10：证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小. 证：记圆的半径为1，任一外切三角形切点间弧长分别为α,β,γ，

其中γ=2π-(α+β)，则外切三角形的面积可以表示为：

S=tan 2α+tan 2β+tan 2γ= tan 2α+tan 2β-tan

2β

+α, 0<α,β<π.

当S α=21(sec 22α-sec 22β+α)=0, S β=21(sec 22β-sec 22β+α)=0时，α=β=3

2

π,

即S 有稳定点(32π,32π). ∵S αα(32π,32π)=43>0, S ββ(32π,3

2

π)=23,

S αβ(32π,32π)=43, 即有(S ααS ββ-S αβ2)(32π,3

2

π)=36>0,

∴S 在(32π,32

π)取得极小值. 又S 在定义域内处处存在偏导数，

∴(32π,32π)是S 唯一的极小值点，∴当α=β=32π, γ=2π-(α+β)=3

2π,

即外切三角形为正三角形时,面积最小.

例11：(最小二乘法问题)设通过观测或实验得到一列点(x i ,y i ),i=1,2,…,n.它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x 与y 之间的对应关系. 现要确定一直线使得与这n 个点的偏差平方和最小(最小二乘方).

解：设所求直线方程为y=ax+b ，则这n 个点的偏差平方和可表示为： f(a,b)=∑=+n 1

i 2

i i )y -b (ax .当f a =2∑=+n 1

i i i i )y -b (ax x =0, f b =2∑=+n

1

i i i )y -b (ax =0时,

整理得???????=+=+∑∑∑∑∑=====n

1i i n 1

i i n

1

i i i n 1i i n 1i 2

i y bn x a y x x b x a , 解方程组，得f(a,b)的稳定点： a 0=∑∑∑∑∑=====??? ??-??? ????? ??-n 1i 2n 1i i 2i n 1i i n 1i i n

1i i i x x n y x y x n , b 0=2n

1i i n 1i 2i n 1i i n 1i i i n 1i i n 1i 2i x x n x y x y x ??

?

??-?

?? ????? ??-??? ????? ??∑∑∑∑∑∑======. 又A=f aa =2∑=n 1i 2

i

x >0, B=f ab =2∑=n

1i i x , C=f bb =2n, D=AC-B 2

=4n ∑=n

1i 2

i

x -4(∑=n

1

i i x )2>0,

从而f(a,b)在点(a 0,b 0)取得极小值，根据实际可知该极小值就是最小值.

习题

1、求下列函数的高阶偏导数.

(1)z=x 4+y 4-4x 2y 2, 二阶偏导数；(2)z=e x (cosy+xsiny), 二阶偏导数；

(3)z=xln(xy), y x z 23???,2

3y x z ???；(4)u=xyze x+y+z , r q p r q p z

y x z ????++； (5)z=f(xy 2,x 2y), 二阶偏导数；(6)u=f(x 2+y 2+z 2), 二阶偏导数； (7)z=f(x+y,xy,y

x

), z x ,z xx ,z xy .

解：(1)z x =4x 3-8xy 2, z y =4y 3-8x 2y, z xx =12x 2-8y 2, z yy =12y 2-8x 2, z xy =z yx =-16xy. (2)z x =e x (cosy+xsiny)+e x siny=e x (cosy+siny+xsiny), z y =e x (xcosy-siny), z xx =e x (cosy+siny+xsiny)+e x siny=e x (cosy+2siny+xsiny), z yy =-e x (xsiny+cosy), z xy =z yx =e x (cosy-siny+xcosy).

(3)∵x z ??=ln(xy)+1, 22x z ??=x 1, y x z 2???=y 1, ∴y x z 23???=0; 2

3y

x z

???=-2y 1. (4)方法一：∵x u ??=(yz+xyz)e x+y+z

, ∴p p x

u ??=(pyz+xyz)e x+y+z ；

∵y x u p 1p ??+=(pz+pyz+xz+xyz)e x+y+z

, ∴q p q p y x u ??+=(qpz+pyz+qxz+xyz)e x+y+z ,

∵z

y x u

q p q p ??+=(qp+qpz+py+pyz+qx+qxz+xy+xyz)e x+y+z , ∴r q p r q p z

y x z

????++=(rqp+qpz+rpy+pyz+rqx+qxz+rxy+xyz)e x+y+z . 方法二：u=xyze x+y+z =xe x ·ye y ·ze z . 由归纳法知： (xe x )(p)=(x+p)e x , (ye y )(q)=(y+q)e y , (ze z )(r)=(z+r)e x ,

∴r q p r q p z

y x z

????++=(xe x )(p)(ye y )(q)(ze z )(r)=(x+p)(y+q)(z+r)e x+y+z . (5)∵z x =y 2f 1+2xyf 2, z y =2xyf 1+x 2f 2,

∴z xx =y 4f 11+4xy 3f 12+4x 2y 2f 22+2yf 2, z yy =2xf 1+4x 2y 2f 11+4x 3yf 21+x 4f 22, z xy =z yx =2yf 1+y 2(2xyf 11+x 2f 12)+2xf 2+2xy(x 2f 22+2xyf 21) =2yf 1+2xf 2+2xy(x 2f 22+y 2f 11)+5x 2y 2f 21.

(6)设w=x 2+y 2+z 2, 则u=f(w). ∵u x =2xf ’(w), u y =2yf ’(w), u z =2zf ’(w), ∴u xx =2f ’(w)+4x 2f ”(w), u yy =2f ’(w)+4y 2f ”(w), u zz =2f ’(w)+4z 2f ”(w), u xy =u yx =4xyf ”(w); u yz =u zy =4yzf ”(w); u zz =u zx =4xzf ”(w). (7)z x =f 1+yf 2+y

1f 3,

z xx =f 11+yf 12+y 1f 13+y(f 21+yf 22+y 1f 23)+y 1(f 31+yf 32+y

1f 33) =f 11+f 23+f 32+y(f 12+f 21)+y 2f 22+y 1(f 13+f 31)+2

y 1f 33 = f 11+2yf 12+y

2f 13+y 2f 22+2f 23+2y

1f 33. z xy =f 11+xf 12-2y x f 13+f 2+y(f 21+xf 22-2y x f 23)-2y 1f 3+y 1(f 31+xf 32

-2

y x f 33) =f 11+(x+y)f 12+ ??y 1-???

?2y x f 13+xyf 22 -3y x f 33+f 2-2y 1

f 3.

2、设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ, 证明：22r

u ??+r u r 1??+222θu r 1??=22x u ??+22y u

??.

证：∵

r u ??=r x x u ????+r y y u ????=cos θx

u ??+sin θy u

??,

θu ??=θx x u ????+θy y u ????=rcos θy u ??-rsin θx

u ??;

∴22r u ??=cos 2θ22x u ??+2sin θcos θy x u 2???+sin 2θ22

y

u

??,

2

2θu ??=r 2cos 2θy

u 22

??-rsin θy u ??+r 2sin 2θ22x u ??-rcos θx u ??-2r 2

sin θcos θy x u 2???; 又

r u r 1??=r 1cos θx u ??+r

1sin θy u

??,

222θu r 1??= cos 2θy u 22

??-r

1sin θy u ??+sin 2θx u ??-r 1

cos θx u ??-2sin θcos θy x u 2???;

∴22r u ??+r u r 1??+222θu r 1??=22x u ??+22y

u

??.

3、设u=f(r), r

2

=x 12+x 22+…+x n 2,

证明：212x u ??+222x u ??+…+2n 2x u ??=22dr

u d +dr du

r 1-n .

证：记∵k x u ??=k x r dr du ??=dr du r x k , ∴2k 2x u ??=dr du r

x r 13

2k

???

? ??-+r d u d r x 22

22

k , k=1,2,…,n ∴∑=??n

1k 2k

2x u =212x u ??+222x u ??+…+2n 2x u ??=22dr u d +dr du r 1r n ??? ??-=22dr u d +dr du

r 1-n .

4、设v=r 1g ??

? ?

?-c r t , c 为常数，r=2

22z y x ++. 证明：v xx +v yy +v zz =2c

1v tt .

证：∵v x =-

r x r 12g+r 1???

??-cr x g ’=-3r x g-2cr x g ’, v y =-3r y g-2cr y g ’, v z =-3r z g-2cr

z g ’; ∴v xx =522r r -3x g+42cr x g ’+422cr r -2x g ’+322r c x g ” =5

2

2r r -3x g+422cr r -3x g ’+322r c x g ”, v yy =522r r -3y g+422cr r -3y g ’+322r c y g ”, v zz =52

2r

r -3z g+4

22cr r -3z g ’+322r c z g ”,

∵5

22r r -3x +522r r -3y +52

2r r -3z =0, 422cr r -3x +422cr r -3y +422cr r -3z =0, 322r c x +322r c y +322r c z =r c 12, ∴v xx +v yy +v zz =r

c 1

2

g ”; 又v t =r 1

g ’, v tt =r 1g ”, ∴v xx +v yy +v zz =2

c 1

v tt .

5、证明定理17.8的推论. 证：证明过程见17.8推论.

6、通过对F(x,y)=sinxcosy 施用中值定理，证明对某θ∈(0,1)，有

43=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6

πθ. 证：F x =cosxcosy, F y =-sinxsiny. 对点(3π,6

π

)和(0,0)运用中值定理知，

存在某θ∈(0,1)，有F(3π,6π)-F(0,0)=3πF x (3πθ,6πθ)+6πF y (3πθ,6

πθ

)，即

sin 3πcos 6π-sin0cos0=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ

， 又sin 3πcos 6π-sin0cos0=43，∴43=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6

πθ.

7、求下列函数在指定点处的泰勒公式：

(1)f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0) (至二阶)；(2)f(x,y)=y

x

在点(1,1) (至三阶)； (3)f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0)；(4)f(x,y)=2x 2-xy-y 2-6x-3y+5在点(1,-2). 解：(1)∵f(0,0)=sin0=0, f x (0,0)=2xcos(x 2+y 2)|(0,0)=0, f y (0,0)=0, f xx (0,0)=[2cos(x 2+y 2)-4x 2sin(x 2+y 2)]|(0,0)=2, f yy (0,0)=2, f xy (0,0)=f yx (0,0)=-4xysin(x 2+y 2)|(0,0)=0, f xxx (θx,θy)=[-12xsin(x 2+y 2)-8x 3cos(x 2+y 2)]|(θx,θy)

=-4θxsin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3x 3cos(θ2x 2+θ2y 2), f xxy (θx,θy)=[-4ysin(x 2+y 2)-8x 2ycos(x 2+y 2)]|(θx,θy) =-4θysin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3x 2ycos(θ2x 2+θ2y 2), f yyx (θx,θy)=-4θxsin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3xy 2cos(θ2x 2+θ2y 2), f yyy (θx,θy)=-12θysin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3y 3cos(θ2x 2+θ2y 2), ∴sin(x 2+y 2)=x 2+y 2+R 2(x,y)，其中

R 2(x,y)=6

1[x 3f xxx (θx,θy)+3x 2yf xxy (θx,θy)+3xy 2f yyx (θx,θy) +y 3f yyy (θx,θy)] =-3

2[3θ(x 2+y 2)2sin(θ2x 2+θ2y 2) +2θ3(x 2+y 2)3cos(θ2x 2+θ2y 2)]. (2)∵f(1,1)=1, f x (1,1)=y

1|(1,1)=1, f y (1,1)=-2

y x

|(1,1)=-1, f xx =0, f yy (1,1)=

3y 2x |(1,1)=2, f xy (1,1)=f yx (1,1)=-2y

1|(1,1)=-1, f xxx =f xxy =0, f yyx (1,1)=3y 2|(1,1)=2, f yyy (1,1)=-4

y 6x

|(1,1)=-6, f xxxx =f xxxy =f xxxy =f xxyy =0, f yyyx (1+θx,1+θy)=-4θy)(16+, f yyyy (1+θx,1+θy)=5

θy)

(1θx )

24(1++. ∴y

x

=1+(x-1)-(y-1)-(x-1)(y-1)+(y-1)2+(x-1)(y-1)2-(y-1)3+R 3(x,y)，其中 R 3(x,y)=

24

1

[4(x-1)(y-1)3f yyyx (1+θx,1+θy)+(y-1)4f yyyy (1+θx,1+θy)] =-4

31)]-θ(y [11)-1)(y -(x ++51)]

-θ(y [11)-θ(x 1++(y-1)4

. (3)∵k k x f ??=k 1-k y)x (11)!-(k (-1)++=k k y

f ??, ∴k k x f(0,0)??=k

k y f(0,0)??=(-1)k-1

(k-1)!; ∵p -n p n y x f ???=n 1-n y)x (11)!-(n (-1)++, ∴p

-n p n y x f(0,0)???=(-1)n-1

(n-1)!;

∴ ????x x p!1+p

y y ???

???f(0,0)=∑=p 0i p i

C p!1(-1)p-1(p-1)!x i y p-i =p (-1)1

-p (x+y)p

. ????+x x 1)!(n 1+p

y y ??????f(θx,θy)=1

n n 1-n 0p p 1n θy)

θx (1n!)1(C 1)!(n 1+=+++-+∑x p y n-p

=1n n θy)

θx 1)(1(n )1(++++- (x+y)n+1. ∴ln(1+x+y)=p y)(x )

1(p n

1

p 1

-p +-∑=+(-1)n

1

n 1n θy)

θx 1)(1(n )y x (++++++, (0<θ<1). (4)∵f(1,-2)=5, f x (1,-2)=(4x-y-6)|(1,-2)=0, f y (1,-2)=(-x-2y-3)|(1,-2)=0, f xx =4, f yy =-2, f xy =f yx =-1, ∴f 的三阶偏导数都为0, ∴2x 2-xy-y 2-6x-3y+5=5+2(x-1)2-(x-1)(y+2)-(y+2)2.

8、求下列函数的极值点：

(1)z=3axy-x 3-y 3 (a>0)；(2)z=x 2-xy+y 2-2x+y ；(3)z=e 2x (x+y 2+2y). 解：(1)当z x =3ay-3x 2=0, z y =3ax-3y 2=0时,x=y=0或x=y=a, ∴函数z 有稳定点(0,0)和(a,a).

又z xx (a,a)=-6a<0, z yy (a,a)=-6a, z xx (0,0)=0, z yy (0,0)=0, z xy =z yx =3a, 即有 (z xx z yy -z xy 2)(a,a)=27a 2>0; (z xx z yy -z xy 2)(a,a)=-9a 2<0, ∴(a,a)是极大值点, (0,0)不是极值点.

(2)当z x =2x-y-2=0, z y =-x+2y +1=0时,x=1, y=0,∴函数z 有稳定点(1,0). 又z xx =2>0, z yy =2, z xy =z yx =-1, 即有z xx z yy -z xy 2=3>0;∴(1,0)是极小值点. (3)当z x =e 2x (2x+2y 2+4y+1)=0, z y =e 2x (2y+2)=0时,x=2

1, y=-1,

∴函数z 有稳定点(2

1,-1). 又z xx =e 2x (4x+4y 2+8y+4), z xx (21,-1)=2e>0; z yy =2e 2x , z yy (2

1

,-1)=2e; z xy =z yx =e 2x (4y+4), z xy (2

1,-1)=z yx (2

1,-1)=0, 即有

(z xx z yy -z xy 2)(21,-1)=4e 2>0; ∴(2

1,-1)是极小值点.

9、求下列函数在指定范围内的最大值与最小值：

(1)z=x 2-y 2, {(x,y)|x 2+y 2≤4}；(2)z=x 2-xy+y 2, {(x,y)||x|+|y|≤1}； (3)z=sinx+siny-sin(x+y), {(x,y)|x ≥0,y ≥0,x+y ≤2π}.

解：(1)当z x =2x=0, z y =-2y=0时,x=0, y=0,∴函数z 有稳定点(0,0). 又z xx =2>0, z yy =-2, z xy =z yx =0, 即有z xx z yy -z xy 2=-4<0;∴(0,0)不是极值点. 当x 2+y 2=4时，y 2=4-x 2，∴z=2x 2-4. 由z ’=4x=0，得稳定点x=0, y=±2, z(0,2)=z(0,-2)=-4. 又x 2=4-y 2,∴z=4-2y 2.由z ’=-4y=0,得稳定点y=0, x=±2, z(2,0)=z(-2,0)=4. ∴在(2,0),(-2,0)取最大值4, 在(2,0),(-2,0)取最小值-4. (2)当z x =2x-y=0, z y =2y-x=0时,x=0, y=0,∴函数z 有稳定点(0,0). 又z xx =2>0, z yy =2, z xy =z yx =-1, 即有z xx z yy -z xy 2=3>0;∴z(0,0)=0是极小值. 当x+y=1, 即y=1-x 时, z=x 2-x(1-x)+(1-x)2=3x 2-3x+1, 由z ’=6x-3=0, 得稳定点x=2

1, y=2

1, z(21,2

1)=4

1;

当x-y=1, 即y=x-1时, z=x 2-x(x-1)+(x-1)2=x 2-x+1, 由z ’=2x-1=0, 得 稳定点x=2

1,y=-2

1, z(2

1,-2

1)=4

3;

当-x-y=1, 即y=-x-1时, z=x 2-x(-x-1)+(-x-1)2=3x 2+3x+1, 由z ’=6x+3=0, 得 稳定点x=-2

1,y=-2

1, z(-2

1,-2

1)=4

3; 又z(1,0)=z(0,1)=z(-1,0)=z(0,-1)=1, ∴函数在(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)取最大值1, 在(0,0)取最小值0. (3)当z x =cosx-cos(x+y)=0, z y =cosy-cos(x+y)=0时,cosx=cosy, ∴函数的稳定点在x=y 或x+y=2π上.

当x=y 时cosx-cos2x=-2cos 2x+cosx+1=0, ∴cosx=cosy=-2

1或1,

∴x=y=

32π或x=y=0, z(32π,3

2π)=233, z(0,0)=0. 又

在边界{(x,y)|x=0, 0≤y ≤2π}∪{(x,y)|y=0, 0≤x ≤2π}∪{(x,y)|x+y=2π}上, z=0, ∴函数在(32π,3

2π

)取最大值233, 在边界上取最小值0.

10、在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 解：设三边分别为x,y,y. 则面积S=z)-y)(p -x)(p -p(p , x+y+z=2p. ∴S=p)-y y)(x -x)(p -p(p , (x,y)∈D={(x,y)|0≤x ≤p, 0≤y ≤p, x+y ≥p }. 根据S 偏导数的特点，可知S 与f=(p-x)(p-y)(x+y-p)有相同的稳定点. 又当f x =(p-y)(2p-2x-y)=0, f y =(p-x)(2p-2y-x)=0时, x=y=32p , z=2p-x-y=3

2p

, 且S 在D 的边界上有S ≡0, ∴S 在(32p ,3

2p

)处取得最大值，即 边长为32p 的等边三角形面积最大为S(32p ,3

2p

)=9p 3.

11、在xy 平面上求一点，使它到三直线x=0, y=0及x+2y-16=0的距离平方和最小.

解：所求点(x,y)到三直线的距离平方和为：s=x 2

+y 2

+5

16)-2y +(x 2

.

当s x =2x+516)-2y +2(x =0, s y =2y+516)-2y +4(x =0时，x=58, y=5

16

. ∴(58,5

16

)是s 的稳定点. 又s 在R 2内处处存在连续的偏导数, ∴(58,

5

16

)是s 唯一的稳定点，也是s 的最小值点.

12、已知平面上n 个点的坐标分别为A 1(x 1,x 1), A 2(x 2,y 2), …,A n (x n ,y n )，试求一点，使它与这n 个点距离的平方和最小.

解： 设点(x,y)为所求，它与各点距离平方和为：S=∑=+n

1i 2i 2i ])y -(y )x -[(x .

当S x =2nx-2∑=n 1i i x =0, S y =2ny-2∑=n

1

i i y =0时，x=∑=n 1i i x n 1, y=∑=n

1i i y n 1.

又S 在R 2内处处存在连续的偏导数，

∴(∑=n 1i i x n 1,∑=n

1

i i y n 1)是S 唯一的稳定点，也是S 的最小值点.

13、证明：函数u=t

a 4b)-(x 2

2e

πt

a 21-

(a,b 为常数)满足热传导方程：t u ??=a 222x

u

??.

证：

t u

??=-t

a 4b)-(x 322e πt

a 41-+

t

a 4b)-(x 2

22

22e t

a 4b)

-(x πt a 21

-. x u ??=-t

a 4b)-(x 2

22e t

a 4b)-2(x πt a 21-

, 22

x u

??=-t

a 4b)-(x 3322e πt

a 41+

t

a 4b)-(x 2

42

22e t a 4b)

-(x πt 2a 1

-,

∴a 222

x u

??=-t

a 4b)-(x 322e πt

a 41-

+

t

a 4b)-(x 2

22

22e t a 4b)

-(x πt

a 21

-

=

t

u

??.

14、证明：函数u=ln 22b)-(y a)-(x +(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程：

2

2x u ??+22y

u

??=0. 证：∵

x u

??=2222b)

-(y a)-(x b)-(y a)-(x a -x +?+=22b)-(y a)-(x a -x +, ∴22x u ??=222222]b)-(y a)-[(x a)-(x 2b)-(y a)-(x +-+=2

222

2]

b)-(y a)-[(x a)-(x b)-(y +-; 同理可得

泰勒公式的若干问题研究

泰勒公式的若干问题研究

毕业论文 题目泰勒公式的若干问题研究学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0901 学生吕晗 学号20090921073 指导教师徐美荣

- 22 - 二〇一三年 五 月二十五日 摘 要 本文探讨了泰勒公式的若干问题。首先给出了几种不同形式的泰勒公式并 给出了相应的证明。其次我们讨论了泰勒公式的应用问题，主要分析了泰勒公式在计算行列式，判断级数敛散性，判断函数凹凸性等方面的应用，并辅以具体的例子进行说明，另外我们研究了泰勒公式中间点的渐近性问题，主要分区间长度趋于零和区间长度趋于无穷大两种情况进行了讨论，当区间长度趋于零与无穷时中间点ξ分 别满足的条件0 1 lim m m ξ→-= 与1 (1)lim []!(1)x a n x a n β ξββ→+∞-Γ-+=-Γ-。最后讨论了泰勒公式与泰勒级数之间的关系以及泰勒公式与泰勒级数在计算方面的应用。 关键词：泰勒公式；敛散性；行列式；渐近性

ABSTRACT In this paper，we discuss some problems of Taylor formula。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 0 1 lim m m ξ → - = and 1 (1) lim[] !(1) x a n x a n β ξβ β →+∞ -Γ-+ = -Γ-。 Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in computational applications。 Key words：Taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior - 22 -

数学分析公式

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

常用泰勒公式

简介 在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数 这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。 一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]

Taylor公式和极值问题

§ 4 Taylor 公式和极值问题 (一) 教学目的： 掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件． (二) 教学内容： 二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件． 基本要求： (1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值． (2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的 必要条件充分条件定理的证明． (三) 教学建议： (1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好 学生布置有关习题． ———————————————————— 一． 高阶偏导数: 1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 ,2y x e z += 求二阶偏导数和2 3 x y z ???. 例10 x y arctg z =. 求二阶偏导数. 上面两个例子中，关于y x 和,的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如

?? ???=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2 22 2y x y x y x y x xy y x f ?? ???=≠+-+=)0,0(),(,0)0,0(),(,) (4(),(2 224 224y x y x y x y y x x y y x f x ?? ???=≠+--=) 0,0(),(,0)0,0(),(,) (4(),(2 224 224y x y x y x y y x x x y x f y 1lim ) 0,0(),0(lim )0,0(0 0-=??-=?-?=→?→?y y y f y f f y x x y xy 1lim ) 0,0()0,(lim )0,0(0 =??=?-?=→?→?x x x f x f f y y y x yx 由此可知，),(y x f 关于y x 和,的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。那么在什么条件下两个二阶混合偏导数与求次序无关呢？ 定理17。7 若),(),(y x f y x f yx xy 和都在),(00y x 连续，则 ),(),(0000y x f y x f yx xy = 约定：今后除特别指出外，都假定相应的混合偏导数连续。 例11 ) , (y x x f z =. 求22 x z ??和y x z ???2 . 验证或化简偏微分方程: 例12 2 2 ln y x z +=. 证明 2 2 x z ?? + 2 2 y z ??0=. ( Laplace 方程 ) 例13 将方程0=??-??x u y y u x 变为极坐标形式. 解 x y arctg y x r r y r x =+=?==θθθ , .sin , cos 2 2.

微积分基础知识总结以及泰勒公式

§3.3 泰勒公式 常用近似公式 ，将复杂函数用简单的一 次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当 较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数 ，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望 尽可能多地反映出函数 所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导 数值；我们还关心 的形式如何确定； 近似 所产生的误差 。 【问题一】 设 在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于 的 次多项式 近似 ? e x x x x x ≈+≈1,sin ()充分小 x f x ()p x n ()p x n () f x ()p x n () p x n () f x ()R x f x p x n n ()()() =-f x ()x 0n +1() x x -0n ) ,,1,0()()() 1()()()()(0)(0) (0202010n k x f x p x x a x x a x x a a x p k k n n n n ==-++-+-+=且f x ()

【问题二】 若问题一的解存在，其误差 的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数 。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出： R x f x p x n n ()()() =-a a a n 01,,, p x a a x x a x x a x x n n n ()()()()=+-+-++-0102020 ∴=a p x n 00() '=+-+-++--p x a a x x a x x na x x n n n ()()()()1203020123 ∴ ='a p x n 10() ''=??+???-+???-++?-??--p x a a x x a x x n n a x x n n n ()()()()()213243123040202 ∴ ??=''2120a p x n () '''=???+????-+????-++?-?-??--p x a a x x a x x n n n a x x n n n ()()()()()()3214325431234050203 ∴???='''32130a p x n ()

一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像

其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中， 。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y

数学分析公式定理111章

第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。

常见泰勒公式展开式

泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都

可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。 泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

数学分析17.4多元函数微分学之泰勒公式与极值问题

第十七章 多元函数微分学 4泰勒公式与极值问题 一、高价偏导数 概念1：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形： (1)??? ??????x z x =22x z ??=f xx (x,y); (2)??? ??????x z y =y x z 2???=f xy (x,y); (3)???? ??????y z x =x y z 2???=f yx (x,y); (4)??? ? ??????y z y =22y z ??=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形，如： ???? ??????22x z x =33x z ??=3x f (x,y)；???? ??????22x z y =y x z 23???=y x 2f (x,y)；…… 例1：求函数z=e x+2y 的所有二阶偏导数和2 3x y z ???. 解：∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ; ∴z xx =e x+2y ; z xy =2e x+2y ; z yx =2e x+2y ; z yy =4e x+2y ;23x y z ???=???? ???????x y z x 2=2e x+2y . 例2：求函数z=arctan x y 的所有二阶偏导数. 解：∵z x =22x y 1x y -?? ? ??+=-22y x y +; z y =2x y 1x 1? ?? ??+=22y x x +; ∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=2222 2)y (x x y +-; z yx =222222)y (x x 2y x +-+=2 222 2) y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.

数学分析复习资料及公式大全.docx

导数公式: = scc 2 x / 2 (cfgx)'= -cscr (secx)r = secx ?tgx (esc x\ = - esc x ? etgx (a x \ = a x \na (arccosx)'=——/ yjl-x 2 — 2 I n = Jsin" xdx = jcos M xdx 0 (log. x\ = 1 x\na (arcctgx)f = 1 l + x 2 基本积分表： ygxdx = - ln|cos x +C ^ctgxdx = ln|sin x +C jscc xdx = ln|scc 兀 + fgx + C Jese xdx = ln|csc x - etgx + C 1 x =—arctg — +C a a = ±lnl dx cos 2 x dx sin 2 x |sec 2 xdx = tgx + C jese 2 xdx = -etgx + C dx ~2 2 a +x dx 2 7 x -er dx a 2 -x 2 dx \la 2 -x 2 x-a 2ci \x + a\ 1 , ci + x 厂 =——In ---- + C 2a a-x = = arcsin —+ C a jsec x ? tgxdx = sec x + C |cscx-c/gxJx = -esex + C ia x dx = ———C J Inez jshxdx = chx + C ^chxdx = shx + C J 岛 T 777 " ^x 2 +a 2 dx = — y/x 2 + a 2 + — ln(x + y/x 2 +a 2 ) + C 2 _________ ____________________ 2 JVx 2 -a 2d x = ~ J 兀2 _ — In 兀 + — cz 厶 + C JJ/ x = *罷 三角函数的有理式积分： 2 一 + — arcsin — + C 2 a sinx = 2u l + u 2 cosx = 1 -M 2 1 + w 2 U=tg 2 dx = 2du l + w 2 (arctgx)f = 1 l + x 2 /r 2 (arcsin x)f

考研高数：泰勒公式求极限

考研高数：泰勒公式求极限

凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方

面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

泰勒公式与极值问题

§4 泰勒公式与极值问题 教学计划：６课时． 教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二元函数取极值的必要和充分条件． 教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件． 教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式． 教学方法：讲授法． 教学步骤： 一 高阶偏导数 由于),(y x f z =的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形： () ,2222 2222y x y x y x y y y x z +--=???? ??+-??=??? () ,22222222y x y x y x x x x y z +--=???? ??+??=??? () .22 2 22222y x xy y x x y y z +-=???? ??+??=?? □ 注意 从上面两个例子看到，这些函数关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（这 种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为混合偏导数），即 .22x y z y x z ???=??? 但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数 ()?? ???=+≠++-=.0,0,0,,2222 2222y x y x y x y x y x y x f 它的一阶偏导数为 ()( )() ?? ???=+≠++-+=, 0,0, 0,4,2222 2 2 24 224y x y x y x y y x x y y x f x ()( )() ?? ???=+≠++--=, 0,0, 0,4,2222 2 2 24224y x y x y x y y x x x y x f y 进而求f 在（0，0）处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得 ()()(),1lim 0,0,0lim 0,000-=??-=?-?=→?→?y y y f y f f y x x y xy ()()()1lim 0,00,lim 0,000=??=?-?=→?→?x x x f x f f x y y x yx ． 由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把()()0000,,y x f y x f yx xy 与表示 成极限形式．由于

一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像

图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y

图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y

图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y

常用十个泰勒展开公式

常用bai泰勒展开公式如下： 1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+…… 2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) 3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞

9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞

数学分析公式

数学分析公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π

最新全国数学微积分-泰勒公式

2010年全国数学微积分-泰勒公式

泰勒公式及其应用 [摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问 题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值, 求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词]泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２预备知识 定义2.1?Skip Record If...?若函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?存在?Skip Record If...?阶导数,则有 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?（1） 这里?Skip Record If...?为佩亚诺型余项,称(1)f在点?Skip Record If...?的泰勒公式. 当?Skip Record If...?=0时,（1）式变成?Skip Record If...?,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

定义2.2?Skip Record If...?若函数 ?Skip Record If...?在?Skip Record If...?某邻域内为存在直至 ?Skip Record If...?阶的连续导数,则?Skip Record If...? , （2）这里?Skip Record If...?为拉格朗日余项?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?在?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间,称（2）为?Skip Record If...?在?Skip Record If...?的泰勒公式. 当?Skip Record If...?=0时,（2）式变成?Skip Record If...? 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?. 定理2.1?Skip Record If...?(介值定理) 设函数?Skip Record If...?在闭区间?Skip Record If...?上连续,且?Skip Record If...?,若?Skip Record If...?为介于?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间的任何实数,则至少存在一点?Sk ip Record If...??Skip Record If...?,使得 ?Skip Record If...?. 3泰勒公式的应用

高数积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -

14 ． 2x ? ＝2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++

泰勒公式与极值问题

第十七章多元函数微分学§４泰勒公式与极值问题 §4 泰勒公式与极值问题 教学计划：６课时． 教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二元函数取极值的必要和充分条件． 教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件． 教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式． 教学方法：讲授法． 教学步骤： 一高阶偏导数 f(x,y),f(x,y)x y)yz?f(x,的函数，如果它们仍然是自变量由于的偏导函数与yx x y f具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下与的偏导数也存在，则说函数关于四种情形： ?? 222??y?zx?y????,????? ?? 222y??x?yy?x22y?x??222??yz?xx????,????? 222x??y?xy?x22y?x??2???2xz?xy?????.□????2222y?y?y?x22y?x??注意从上面两个例子看到，这些函数关于x和y的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（这种既有关于x又有关于y的高阶偏导数称为混合偏导数），即 22zz???.?x?y?y?x但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数 ???yfx,22y?x??22?0y0,x.??它的一阶偏22?yx?22?0,xy,x?y? 导数为??4224?yy4xyx??22?0?yx,,?????2?fyx, ??4224?yyxx??4x22?0?y,,x?????2?fx,y 22?y?x x?22?0y,0x,?? 22?yx?y?22?y0x0,,??进而求f在（0，0）处关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数，得????00?f,f0,?y??y??xx?lim??1f0,0,?lim ????0,0x,0f?f??x??yy?lim,100f?lim?． xy?y?y0?y?y?0? ??yxf,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么由此看到，yx?x?x00x??x?? 这里的????yfx,与,xfy表示条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把