等腰三角形目标认知
学习目标：
通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法
重点：
等腰三角形的性质与判定。
难点：
比较复杂图形、题目的推理证明
1、 知识要点梳理
知识点一：等腰三角形、腰、底边
有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角
如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中
AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
知识点二：等腰三角形的性质
1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2、这两个性质证明如下：
在△ABC中，AB=AC，如图所示．
作底边BC的高AD，则有
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD．
∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．
于是性质1、性质2均得证．
3、说明：
（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．
（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；
或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC．
②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情
况只有一条对称轴．
知识点三：等腰三角形的判定定理
1、定理内容及证明
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．
证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则
所以△ABD≌△ACD（AAS）．
所以，AB=AC．
2、注意：
①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．
②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．
另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．
知识点四：等边三角形
1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形
如图所示．
2、注意：
①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．
知识点五：等边三角形的性质
1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得
∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．
而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°．
注意：这条性质只有等边三角形具有．
知识点六：等边三角形的判定
1、等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
2、证明如下：
(1)如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．
于是判定（1）成立．
(2)如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有
∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．
由判定（1）得△ABC是等边三角形；
若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C． 由判定（1）得△ABC是等边三角形。所以判定（2）成立．
知识点七：直角三角形性质定理
1、定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
2、证明：如图所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延长BC至
使
，则有AC垂直平分
， 故
．又可得∠B=60°．于是△
是等边三角形，故
，所以
．即定理成立．
2、 规律方法指导
1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2．常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
经典例题透析
类型一：探究型题目
1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）
思路点拨:在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。下面提供四种分割方法供大家参考。
解析：
总结升华：对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。
举一反三：
【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。
请你先阅读下面的证明过程。
证明：在△AEB和△AEC中，
所以△ABE≌△AEC（第一步），
所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），
所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。
上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。 【答案】第一步错误。因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等，不能判定它们全等。
正确的证明过程是：
因为EB=EC，
所以∠EBD=∠ECD，
所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，
即：∠ABC=∠ACB，
所以AB=AC。
在△AEB和△AEC中，
所以△ABE≌△AEC，
所以∠3=∠4，
所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。
【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。
（1）请猜一猜：图4中∠BQM等于多少度？
（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，（1）中的结论是否仍
然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。
【答案】（1）题通常猜想、测量或证明等方法不难发现
∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。（2）题的证明过程如下：
因为△ABC为等边三角形，
所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
所以∠ACM=∠BAN。
在△ACM和△BAN中，
所以ΔACM≌ΔBAN，
所以∠M=∠N，
所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60°。
类型二：与度数有关的计算
2．如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。 思路点拨:解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而
∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。
解析：∵AB=AC
∴∠B =∠C
∵AB=BD
∴∠2=∠3
∵∠2=∠1+∠C
∴∠2=∠1+∠B
∵∠2+∠3+∠B=180°
∴∠B=180°－2∠2
∴∠2=∠1+180°－2∠2
∴3∠2=∠1+180°
∵∠1=30°
∴∠2=70°
总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。
举一反三：
【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数。
【答案】∵BE=BA
∴∠2=∠BAE
∵CD=CA
∴∠1=∠CAD
∵∠1+∠CAD+∠C=180°
∴∠1=
∵∠2+∠BAE+∠B=180°
∴∠2=
∴∠1+∠2=
∵∠B+∠C=180°－∠BAC
∴∠1+∠2=
∵∠DAE=180°－（∠1+∠2）
∴∠DAE=90°－
=90°－61°=29°。
【变式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且
AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数。
【答案】∵ AB=AC，AD=AE
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD
∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD
∵∠AED=∠C+∠EDC
∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD
∴∠EDC=
∠BAD=15°。
类型三：等腰三角形中的分类讨论
3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论
（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。
（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。
思路点拨:由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。
解析：（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成
三角形；
当腰长为8时，周长为8+8+10=26；
当腰长为10时，周长为10+10+8=28；
故这个三角形的周长为26cm或28cm。
（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；
当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm。
总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形
举一反三：
【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论
等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数
【答案】（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x， ∴ 4x+4x+x=180°，∴ x=20°，∴ 4x=80°，
于是三角形的各个内角的度数为：20°，80°，80°。 （2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为
4x，
∴ x+x+4x=180°，∴ x=30°，∴ 4x=120°，
于是三角形的各个内角的度数为：30°，30°，120°。
故三角形各个内角的度数为20°，80°，80°或30°，30°，120°。
【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论
等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。
【答案】设AB=AC，BD⊥AC；
（1）高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，
如右图，∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，
∴∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。
图1
（2）当高与另一腰的夹角为250
时，
①如图2，高在△ABC内部
时，
当∠ABD=25°时，∠A=90°-∠ABD=65°，
∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；
②如图3，高在△ABC外部时，
∠ABD=25°， 图2
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，∴
∠BAC=180°-65°=115°，
∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5°
故三角形各内角为：65°，65°，50°或
65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°。
图3
【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论
在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线
相交所得的锐角为40°，求底角B的度数。
分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC
相交有两种情形；
解：（1）如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，
∠ADE=40°，
则∠A=900-∠ADE=50°，
∵AB=AC，∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。
（2）如图，AB边的垂直平分线与直线AC的反向
延长线交于点D，∠ADE=40°，则∠DAE=50°
∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，
故∠B的大小为65°或25°。
【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论
等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。
【答案】如图，∵BD为AC边上的中线，∴AD=CD，
（1）当（AB+AD）-（BC+CD）=3时，则AB-BC=3，
∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；
（2）当（BC+CD）-（AB+AD）=3时，则BC-AB=3，
∵BC=5 ∴AB=BC-3=2；
但是当AB=2时，三边长为2，2，5；
而2+2＜5，不合题意，舍去；
故腰长为8。
类型四：证明题
4．已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
求证：BD＋EC＝DE。
思路点拨:因为DE＝DF＋FE，即结论为BD＋EC＝DF＋FE，分别证明BD＝DF，CE＝FE即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。
解析：∵DE∥BC，
∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）
又∵BF平分∠ABC
∴∠1＝∠2
∴∠1＝∠3
∴DB＝DF（等角对等边）
同理：EF＝CE，
∴BD＋EC＝DF＋EF
即BD＋EC＝DE。
总结升华：在三角形中，利用“等角对等边”证明线段相等，是一种常用的方法。
举一反三：
【变式1】如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。
求证：（1）∠AOB＝120°；
（2）CM＝CN；
（3）MN∥AB。
【答案】（1）∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE
∠BCD＝∠BCE＋∠DCE
且∠ACD＝∠BCE＝60°
∴∠ACE＝∠BCD
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴∠3＝∠2
∵∠1＋∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝60°
∴∠AOB＝∠1＋∠ADC＋∠2＝60°＋60°＝120° （2）∵∠ACD＝∠BCE＝60°
∴∠MCN＝60°
在△CMA和△CND中
∴△CMA≌△CND（ASA）
∴CM＝CN
（3）∵CM＝CN且∠MCN＝60°
∴△CMN是等边三角形
∴∠NMC＝60°
又∵∠DCA＝60°
∴∠NMC＝∠DCA
∴MN∥AB
【变式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。
求证：（1）AB＝2BC；
（2）CE＝AE＝EB。
【答案】（1）∵CE、CD三等分∠ACB
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°
又∵CD⊥AB，∴∠B＝60°，∠A＝30°
在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC
（2）∵∠A＝∠1＝30°
∴CE＝EA
又∵∠B＝∠BCE＝60°
∴△BCE是等边三角形，∴EC＝EB
∴CE＝EA＝EB
学习成果测评
基础达标：
一、填空：
1、等腰三角形的的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为______cm。
2、等腰三角形的的两边长为3cm和5cm，则该等腰三角形的周长为______cm。
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角为
_____。
4、在△ABC中，AC＝BC，且∠B＝∠C，则△ABC是
____________三角形。
5、若直角三角形斜边上的中线垂直于斜边，则它的两个锐角的度数是____________。
6、等腰三角形的一个角是80°，则其他两个角的度数是
____________。
二、选择题
1. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
2. 将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状，
两条长直角边在同一条直线上，则
图中等腰三角形的个数是（）
图1
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
3. 在以①30°，120°；②25°，75°；③38°，52°；④55°，70°；
⑤42°，96°；⑥28°，
62°；⑦56°，68°；⑧45°，45°；⑨60°，60°为两内角可以构成的三角形中，有等腰三角
形（）
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
4. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）
A. 顶角、一腰对应相等
B. 底边、一腰对应相等
C. 两腰对应相等
D. 一底角、底边对应相等
三、解答题
1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。
2、（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。
（2）等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。
3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm和10cm 的两部分，求该等腰三角形的各边长。
4、如图2所示，△ABC和△BDE都是等边三角形。
图2
求证：AE＝CD。
5、如图3所示，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F，且BF＝CE。判断△ABC的形状并证明。
图3
6、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否，甲、乙、丙三位同学给出了如下论断：
甲：正确。因为若两边都是直角边，则用（SAS）全等识别法就可以证它们全等。
乙：正确。因为若其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用（HL）定理证全等。
丙：不正确。若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等，较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等，则显而易见两个三角形不全等。
请你就这三个同学的见解发表自己的意见。
7、如图所示，是城市部分街道示意图，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点，“甲公共汽车”从A 站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“乙公共汽车”从B站出发，沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。如果甲、乙分别同时从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问
哪一辆公共汽车先到达指定站？为什么？
答案与解析：
一、填空题
1。12 （2cm不能为腰长，只能为底边长（2+2＜5），所以周长为2+5+5=12（cm）。）
2。13或11 （3cm既能为腰长，又能为底边长(5+5＞3、3+3＞5)， ∴周长为3+5+5=13（cm）或3+3+5=11（cm）。）
3。50°或130°（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形内，也可能在三角形外，因此要分类讨论。）
4。等边
5。45°；45°
点拨：等腰三角形三线合一。
6。80°，20°或50°，50°
点拨：80°是锐角，即可以是顶角，也可以是底角。
二、选择题
1. D
点拨：三个外角度数分别为
360°×
＝90°，360°×
＝135°，135°，
∴三角形为等腰直角三角形。
2. B
3. D
教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一． 2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明． 重点、难点 1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一. 2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。 考点及考试要求 1、等腰三角形的性质 2、等腰三角形的证明 教 学 内 容 第一课时 等腰三角形知识梳理 1、 已知线段a ，h （如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC ，使底边BC ＝a ，BC 边上的高线为h 。 2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm ，5cm ，这个三角形的周长是 cm 。 3、 请写出周长为8cm ，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。 4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。 5、已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D 。求证：∠DBC=21∠A 。 课前检测 A B C D
图2-5 A B C D （1）等腰三角形的定义 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC ），相等的两边叫做腰（AB 和AC ），另一边叫底边（BC ），两腰的夹角叫做顶角（A ∠），腰和底边的夹角叫做底角（C ∠∠和B ） （2）等腰三角形的性质 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。 注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理 （3）等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。 第二课时 等腰三角形典型例题 题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度 例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为 【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是 底角：顶角=1:2还是 顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。 变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为 度。 知识梳理 典型例题
等腰三角形与等边三角形的性质与判定
等腰三角形与等边三角形的性质与判定
课首沟通 上讲回顾（错题管理）；作业检查；询问学生学习进度等。 知识导图 等腰三角形的槪念 等腰三角形等髏三角也的性质制判定 V等腰三角形的“三线合一” 等边三角形的性质和判定 含30度的直角三角形 课首小测 1、（2014萝岗区期末）如果等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为（） A.9 B.7 C.12 D.9 或12 2、（2014番禺区期末）下列说法正确的是（） A.等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 B.等腰三角形的两个底角相等 C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D.顶角相等的两个等腰三角形全等 3、（2014白云区期末）在/△ABC中，/ A=42° / B=96°，则它是（）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4、如图，MBC中，AB=AD=DC/ BAD=40，则 / C=. 5、（2014天河区期末）如图，在AABC中，/ B=30°, ED垂直平分EC,垂足为D,ED=3则 CE的长为。 知识梳理 一、等腰三角形 1.定义 的叫做等腰三角形?相等的两条边叫做，另一条边叫做。两腰所夹 的角叫做，腰与底边的夹角叫做。 2?性质 性质1等腰三角形的两个底角。（简写成“”, 性质2:等腰三角形的、、相互重合（简称“”）性
质3:等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，即为。 3?判定 （1）有两条边的三角形是等腰三角形。 （2）如果三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“）” 二、等边三角形 1.定义 都相等的三角形是等边三角形. 2?性质 性质1:等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于； 性质2:等边三角形是，并且有对称轴，分别为三边的垂直平分线。 3?判定 （1）三个角都的三角形是等边三角形； （2）都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是600的是等边三角形。 、含300 的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它对的等于的一半.
第11讲等腰三角形 知识点梳理： （一）等腰三角形的性质 等腰三角形的定义：腰、底边、顶角、底角。 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； （二）等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形(有两个角是60°的三角形是等边三角形)。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （三）方法点拨：等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 经典例题： 例1.等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想 1．已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是 2．已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是 3．等腰三角形的两边长是6和7，则三角形的周长为： *4．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是
等腰三角形 考点一、等腰三角形的特征和识别 ⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”） ⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”） 特别的：（1）等腰三角形是___________图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________. ⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”） 特别的： （1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． （4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形． 典例1、如图，△ABC 中，AB=AC=8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，DF∥AC 交AB 于F ，则四边形AFDE 的周长为______ 。 2、 如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D 且EF ∥BC ，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则△AEF 周长为( ) A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上，且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o ,则∠FEB=____度． 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_____________ 5、△ABC 中， DF 是AB 的垂直平分线，交BC 于D ，EG 是AC 的垂直平分线，交BC 于E ，若∠DAE=20°，则∠BAC 等于 ° N M F E C D B A F E D A B C
1、了解正多边形的概念，探究正多边形与圆的关系； 2、经历探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的性质； 第一课时正多边形与圆知识点梳理 课前检测 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 4.中心角是45°的正多边形的边数是__________. 5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 知识梳理 正多边形的定义： 各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念： ⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距 正多边形的性质：
⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形的有关计算 ⑴正n 边形的每个内角都等于 ()2180n n -??； ⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于 360n ? ； ⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ， 则222180180111 2sin cos 422 n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ??===+==??=?，，，， 正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 第二课时 正多边形与圆典型例题 题型一、正多边形的概念 例1.填写下列表中的空格 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 23 4 1 6 2 变1.（1）若正n 边形的一个外角是一个内角的 3 2 时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 典型例题
全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线
教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线 合一． 2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明． 重点、难点1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一. 2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。 考点及考试要求1、等腰三角形的性质 2、等腰三角形的证明 教学内容 第一课时等腰三角形知识梳理 1、已知线段a，h（如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高线为h。 2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm，5cm，这个三角形的周长是 cm。 3、请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。 4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。 5、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。求证：∠DBC= 2 1∠A。 课前检测 A B C D
图2-5 A B C D （1）等腰三角形的定义 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC），相 等的两边叫做腰（AB和AC），另一边叫底边（BC），两腰的夹角叫做顶角（A ∠）， 腰和底边的夹角叫做底角（C ∠ ∠和 B） （2）等腰三角形的性质 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。 注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理 （3）等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。 第二课时等腰三角形典型例题 题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度 例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为 【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是底角：顶角=1:2还是顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。 变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为度。 知识梳理 典型例题
初二数学讲义 等腰三角形的性质及应用 等腰三角形的性质： 性质1▲等腰三角形的两个底角相等。 （简写成: 等边对等角. ） 性质2▲等腰三角形的 、底边上的 、底边上的 互相重合。 （简写成:等腰三角形的“三线合一”） 性质3▲ 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 用几何符号语言表达： 性质1 性质2 注意：△ABC 中，如果AB ＝AC ，D 在BC 上，那么由条件①∠1＝∠2，②AD ⊥AC ，③BD ＝CD 中的任意一个都可以推出另外两个.（为了方便记忆可以说成“知一求二” ） 等腰三角形的三边的关系，三个内角的关系 1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( ) A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm 2.已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm 3.若等腰三角形中有一个角等于50?，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A ．50? Ｂ．80? Ｃ．65?或50? Ｄ．50?或80? ∵AB ＝AC ∴∠B ＝∠C （等边对等角） ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠1＝∠____，BD ＝_____；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，∠1＝∠2， ∴AD ⊥_____，BD ＝______；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴∠1＝∠___，AD ⊥_____.（等腰三角形的“三线合一”）
【例1】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC 于D，求∠CBD的度数． 【例2】在ABC ?中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠的度数． 【例3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60?，求三角形三个内角的度数． 【例4】如图所示，已知ABC ?中，D、E为BC边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =． A B C D E 例题精讲
课题等腰三角形 教学目的 1、熟练掌握等腰三角形的性质和判定 2、熟练等腰三角形“三线合一”的性质 3、会运用性质和判定解决实际问题 重点、难点 重点：等腰三角形的性质 难点：“三线合一”的应用 教学内容 基础知识巩固： 1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 2．等腰三角形的性质： 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 3．等腰三角形的判定： A B C
1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【知识点简单运用】 例1、 如图，在△ABC 中，AC AB =，D 在AC 上，且,BD BC AD ==求△ABC 各角的度数。 练习：1、如图△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B ，∠C ，∠BAD ， ∠DAC 的度数，图中有哪些相等的线段？ 2、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°.求∠B 和∠C 的度数。
培优教育学生个性化辅导方案 、有一定的数学基础 、对学习数学有兴趣 、做事认真、有耐性 、对人有礼貌，尊敬师长 2、数学知识不能活学活用，没有吃透所学的知识 3、性格有些内敛，不能很好地通过他人提高自己 4、粗心马虎、审题不够认真仔细 5、对学好数学缺少一个行之有效的学习方法 非智力因素培养措施 、端正孩子的学习动机，树立合理的学习目标 、培养孩子的学习兴趣，激发孩子的学习欲望 、调动学生的情感，尊重学生，关怀学生，了解学生的学习心理，使学生感到教师的温暖，培养学生与教师 、培养学生的毅志力和自信心 、培养良好的学习习惯 学生知识掌握情况调查 知识考点学生掌握情况备注 解一元一次不等式和一元一次不等式组不扎实1、计算能力有待提升 2、粗心马虎 3、没有检查验证的习惯 一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的综合应用对知识不能灵活应用1、对知识 不够透彻 2、没有熟 各种题型对应的解题方法 有关分式的化简求值掌握得比较好因为没有验证的习惯，有时会出现错误 图形的相似掌握得不是很好这一章知识是比较难的，在整个初中学习中占据重要地位 认识概率掌握得还可以较灵活的题较吃力
第一个阶段 期末考试前的一个半月（28~30小时） 这一段之间主要是为迎接本学期的期末考试做准备，以复习巩固本学期的知识为主，希望通过本阶段的辅导，让孩子在期末考试中取得理想的成绩，把期末考试当做一个转折点。具体课时安排如下： 认识概率第一讲与复习一元一次不等 1次2小时 式（1） 认识概率第二讲与复习一元一次不等 1次2小时 式（2） 图形的相似第一讲1次2小时 图形的形似第二讲1次2小时 认识概率，一元一次不等式，相似图 1次2小时 形总复习 分式第一讲1次2小时 分式第二讲与巩固新知1次2小时 反比例函数第一讲与巩固新知1次2小时 反比例函数第二讲与巩固新知1次2小时 反比例函数第三讲与巩固新知1次2小时 专题复习一与综合练习1次2小时 专题复习二与综合练习1次2小时 专题复习三与综合练习1次2小时 专题复习四与综合练习1次2小时 假期阶段 不论孩子期末成绩如何，2012年的这个假期，孩子必须好好利用起来。暑假前的这一段时间，我们的重心都在初二下学期的知识，对于孩子未来的学习，我们要在假期完成。我们要用假期来巩固本学期的知识，在此同时，学习下学期的知识。我不得不说，几乎百分之80的孩子假期都在补习，我们不能让孩子输在起跑线上。而且，一帆需要好好利用这个假期，跑在别人前头，只有这样孩子下学期开学，才能学得轻松，快乐！ 假期学习分为两个阶段，安排如下： 假期复习第一阶段
1. 等腰三角形的一个角是94°，则腰与底边上的高的夹角为（ ） A. 43° B. 53° C. 47° D. 90° 2. 等腰三角形周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形底边长（ ） A. 7cm B. 3cm C. 7cm 或3cm D. 5cm 3. 等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形或直角三角形 D. 以上结论都不对 4. 已知等腰三角形的一个外角等于70°，则底角的度数为（ ） A. 110° B. 55° C. 35° D. 不能确定 5. 等腰三角形一腰上的高与底边所成角为36°，这个等腰三角形的顶角为（ ） A. 36° B. 72° C. 36°或72° D. 54° 6．下列图形:①角②两相交直线③圆④正方形，其中轴对称图形有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 7．圆、正方形、长方形、等腰梯形中有唯一条对称轴的是（ ） （A ）圆 （B ）正方形 （C ）长方形 （D ）等腰梯形 8．点（3，-2）关于x 轴的对称点是（ ） （A ）（-3，-2） （B ）（3，2） （C ）（-3，2） （D ）（3，-2） 9．下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（ ） （A ） 1，1，2 （B ） 2，2，5 （C ） 3，3，5 （D ） 3，4，5 10．如图，已知AC ∥BD ，OA ＝OC ，则下列结论不一定成立的是（ ） （A ）∠B ＝∠D （B ）∠A ＝∠B （C ）OA ＝OB （D ）AD ＝BC 11．如图，△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数（ ） （A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 12．如图:△ABC 和△ADE 是等边三角形．证明：BD ＝CE ． A B C D O 第15题 A E B C D 第16题 A B C D E
教学目标
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索 2、掌握正弦定理的内容及其证明方法； 3、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
重点、难点 考点及考试要求
1、正弦定理的探索和证明及其基本应用。 2、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 1、正弦定理 2、余弦定理 3、正弦定理、余弦定理的应用
教
学
内
容
第一课时 正弦定理与余弦定理知识点梳理
课前检测
1、 ?ABC 中， A ? 45 , B ? 60 , a ? 10, 则 b 等于（ A
） D
5 2
B
10 2
C
10 6 3
5 6
2、在△ABC 中，已知 a ? 8 ，B= 600 ，C= 750 ，则 b 等于 A. 4 6 B. 4 5 C. 4 3 D.
22 3
3、已知 ?ABC 中， a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边， a ? 2, b ? 3, B ? 60? ，则 A = A. 135 ? B. 45 ? C. 135? 或 45 ? D. 90
4、在△ABC 中， a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边, A ? 75?, C ? 45? , b = 2 ,则此三角形的最小边 长为（ A．
6 4
） B．
2 2 3
C．
2 6 3
D． ） D．
2 4
5、在 ?ABC 中，B= 30 ? ，C= 45? ，c=1，则最短边长为（ A．
6 3
B．
2 2
C．
1 2
3 2
知识梳理
等腰三角形（讲义） ? 知识点睛 1. 等腰三角形 D C B A 2α α α α αD C B A 延长CB 到点D ，使BD =BA 作∠ABC 的平分线 E α2αA B C D 2ααα D C B A 作AC 的垂直平分线 作∠DCB =∠ABC 2. 等边三角形 （1）定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．
（2）性质： ①边：等边三角形三边都相等； ②角：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于_____； ③线：等边三角形三线合一． （3）判定： ①_____________的等腰三角形是等边三角形； ②_____________的三角形是等边三角形． 3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 ________等于_______的一半． 4. 在证明时，先假设_____________不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定 理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明的方法称为反证法． ? 精讲精练 1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =32°，以点C 为圆心，BC 长为半径作弧，交 AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠ABE 的度数为______． A D E B C C D B A 第1题图 第2题图 2. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______． 3. 如图，AD =BC ，AC =BD ，求证：△ABE 是等腰三角形． E D C B 4. 如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，∠ADE =∠AED ． 求证：BD =CE ．
等腰三角形与等边三角形的性质与判定 课首沟通 上讲回顾(错题管理)；作业检查；询问学生学习进度等。 知识导图 课首小测 1、（2014萝岗区期末）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（） A.9 B.7 C.12 D.9或12
2、（2014番禺区期末）下列说法正确的是（） A.等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 B.等腰三角形的两个底角相等 C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D.顶角相等的两个等腰三角形全等 3、（2014白云区期末）在△ABC中，∠A=42°，∠B=96°，则它是（） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4、如图，△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=40°，则∠C= . 5、(2014天河区期末)如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分EC,垂足为D,ED=3，则CE 的长为。 知识梳理 一、等腰三角形 1. 定义 的叫做等腰三角形．相等的两条边叫做，另一条边叫做。两腰所夹 的角叫做，腰与底边的夹角叫做。 2. 性质 性质1：等腰三角形的两个底角。（简写成“”）。 性质2：等腰三角形的、、相互重合（简称“”）性质3：等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，即为。 3.判定 （1）有两条边的三角形是等腰三角形。 （2）如果三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“ ”）
二、等边三角形 1. 定义 都相等的三角形是等边三角形． 2. 性质 性质1：等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于； 性质2：等边三角形是，并且有对称轴，分别为三边的垂直平分线。 3.判定 （1）三个角都的三角形是等边三角形； （2）都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是600的是等边三角形。 三、含300的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半. 导学一：等腰三角形的性质 知识点讲解1：“等边对等角” 例题 1、（2014华美英语实验期中）等腰三角形的其中一个角为50°，则它的顶角是___________ 度. 2、（2014四川南充）如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD， 则∠B的度数为（） A. 30°B．36°C．40°D．45° 3、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF。 （1）求证：△EBD≌△PCE （2）若∠A=40°，求∠DEF的度数。
等边三角形 重难点 ???? ???????????????????的等腰三角形、一个角为、两个角是、三边都相等判定仍与原图形重合旋转、旋转不变性，绕中心、轴对称，三条对称轴、三边相等，三角都是性质等边三角形603602112032601 例题分析 例1、如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为 _________ 方法：平移的性质、等边三角形的性质 举一反三： 1、如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都是120°且AB=1，DE=2，BC=CD=8，求此六边形的周长。 例2、如图，△ABC 为正三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作正三角形CDE ，连接AE ，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由。 方法：与等边三角形有关的，一般都会涉及旋转变形。 举一反三： 2、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边△CDE ，使点E 、A 在直线
DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ． 例3、如图，扇形ODE 的圆心角为120°，正三角形ABC 的中心恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形ODE 内。 （1）请连接OA 、OB ，并证明△AOF ≌△BOG ； （2）求证：△ABC 与扇形ODE 重叠部分的面积等于△ABC 面积的3 1 方法：（1）掌握正多边形的中心与中心角的性质； （2）对于动点问题或条件不确定的问题都需分类讨论， 本题△A0F 是否存在（圆心角与中心角是否重合）需要讨论。 举一反三： 3、如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ． （1）求∠OAD 的度数； （2）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？ 例4、如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°- 21∠BDC ． 求证：AC=BD+CD ．
精锐教育学科教师辅导 学员编号：年级：初二课时数：3课时学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题等腰三角形 教学目的 1、熟练掌握等腰三角形的性质和判定 2、熟练等腰三角形“三线合一”的性质 3、会运用性质和判定解决实际问题 重点、难点 重点：等腰三角形的性质 难点：“三线合一”的应用 教学内容 基础知识巩固： 1．等腰三角形定义： 2．等腰三角形的性质： 3．等腰三角形的判定： A B C
【知识点简单运用】 例1、 如图，在△ABC 中，AC AB =，D 在AC 上，且,BD BC AD ==求△ABC 各角的度数。 练习：1、如图△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B ，∠C ，∠BAD ，∠DAC 的度数，图中有哪些相等的线段？ 2、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°.求∠B 和∠C 的度数。 例2：求证：如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 （写出已知和求证，画出图形）
随堂练习： 1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____° （1）（2） 2．如图2，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度． 3.等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动， 当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P?运动的时间应为________． 动手操作： 拿出一张类似于如图（1）的矩形纸张，按照虚线对折如图（2），按（3）中的线段剪开，得到图形（4），DE、DF分别是边AC、BC上的高线，观察DF与DE的关系，并给予证明。 （1）（2）（3）（4）（5）
课题等腰三角形、等腰梯形的轴对称性 学习目标与考点分析①了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件； ②了解等边三角形的概念并探索其性质。 学习重点1.等腰三角形的性质 2.等腰三角形的判定 3.等腰梯形的定义 4.等腰梯形的性质 5.等腰梯形的识别 学习方法引导、分析、探究 学习内容与过程 知识点一等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 （2）等腰三角形的两个底角相等 （3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 例1 填写下表 文字语言图形语言符号语言 在△ABC中，因为AB=AC 所以 在△ABC中，AB=AC 若，那么AD⊥BC，BD=CD 若，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC 若，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD 知识点二等腰三角形的判定 （1）两边相等的三角形是等腰三角形 （2）若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等 例2 在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，试判断△ABC是什么三角形？ 知识点三直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，那么CD= ，理由是 知识点四等边三角形 定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形 性质：（1）等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 （2）等边三角形每个角等于60° 判定：（1）三个角相等的三角形是等边三角形 （2）两个角等于60°的三角形是等边三角形 （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 例4 如图，△ABC为等边三角形 （1）AB= = ，∠B= = = ； （2）试画出它的对称轴 典型例题 一图形的识别 例1 如图，△ABC中，AB=AC，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB.过点O作DE∥BC分别交AB、AC于点E、D.试写出图中所有的等腰三角形，并任选一个说明理由 二运用性质解题 例2 如图，△ABC中，AB=AC，DE为AB的垂直平分线，交AB于点E， 交AC于点D，若∠A=40°，求∠DBC的度数
等腰三角形应用（讲义） ? 课前预习 1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________． 2. 线段垂直平分线上的点到_____________________________． 3. 角平分线上的点到___________________________________． 4. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直），请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点． l A ? 知识点睛 1. 垂直平分线相关定理： ①________________________________________________； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 已知：如图，P A =PB ． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明： 2. 角平分线相关定理： ①________________________________________________； ②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． P B
已知：如图，点P 在∠AOB 内部，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，且PC =PD ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上． 证明： 3. 在等腰三角形中，_________________，________________，______________ 重合（也称“__________”），这是等腰三角形的重要性质．若在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，则尝试构造___________． ? 精讲精练 1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ． 求证：直线AO 垂直平分线段BC ． 2. 如图，已知PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA =PB ． ∠MON =50°，∠OPC =30°，求∠PCA 的大小． C B O A
V 教具构成 共有五盒三角形板，即两个长方盒，一个三角形盒一个大六边形盒和一个小六边形盒．第一盒长方形盒 内有2对直角等腰三角形黄2牧、绿2枚 3对直角不等边三角形灰2、绿2、黄2 1对正三角形黄2枚 2个相异三角形红2牧 （直角不等边三角形、钝角三角形） 用途：构成和分解四边形 第二盒长方形盒 内有直角等腰三角形2枚 直角不等边三角形3牧兰色 正三角形2牧 纯角等腰三角形l牧 用途：第一盒的四边形再组合． 第三盒三角形盒 内装：大的正三角形灰1枚 1对直角不等边三角形绿2枚 钝角等腰三角黄3枚 小正三角形红4枚（3枚在底边，另一枚备边有黑线） 用途：三角形的构成分解等位的关系， 第四盒大六边形盒 内装：钝角等腰三角形 用途：六角形的构成与分解．了解用2枚钝角等腰三角形合成的四边形是正六边形的一部分(1/3)． 了解等值．（正三角l枚和3枚等腰三角形或6牧等腰三角形） 第五盒小六边形 内装小正三角形灰6、绿3、红2 正三角形黄l枚 钝角等腰三角形红6枚 用途：用正三角形来组成六边形．以正三角形、等腰三角形构成来分解、六边形和认识等积．
·为便于整理，可在1、3、4、5盒三角形背面各贴上不同的贴纸 适合年龄以完成几何图形嵌板第三层（各种三角形图形）练习的小朋友为对象，约3岁至5岁 基本提示 (1)(P)一组合四边形（第一盒） 1、引导小朋友，介绍构成三角形，并准备地毯． 2、把第一盒拿到地毯上． 3、老师坐在小朋友右侧． 4、让小朋友从箱了里取出所有的三角形，盖上盒盖将盒子放在地毯右上角． 5、老师说：“现在请把同样形状、同样颜色、同样大小的三角形摆在一起（排成一对一对）”小朋友开始进行． 但是红色的钝角不等边三角形和直角不等边三角形都只有一枚无法配对．这时老师说：“形状和大小虽然小同，因为都是红色的，所以把它们放在一起．"若小朋友同意了，就配成一对． 6、老师再确定一次是否相同的三角形都成一对了． 7、老师先拿一对绿色直角等腰三角形对小朋友说：“注意看怎么做．”将有引导线(黑色)的两边相对，同时说："像这样把黑线合在一起，"成为一个正方形． 8、以另外一对三角形让小朋友练习组合成四边形． 9、以同样的方法做成几个四边形，第一盒全部共可做出7个． 10、问小朋友："要不要再做做看呢?” 11、把四边形分解开来，给小朋友有反复构成匠练习机会．? 12、最后把三角形整理放进木盒中．整理方法是一枚一枚整齐地放进去． 13、放回教具架上． ·逐渐熟悉之后，可以马上从许多三角形中找出-对相同的把引导线相合，进行组成四边形的练习．更可以将三角形翻转过来以背面练习．（不借助引导线） (2)(P)一组合成四边形（第二盒） （为第一盒四边形的再构成） l、引导完成第一盒练习的小朋友． 2、取出第2盒中的三角形，散置在地毯上． 3、老师坐在小朋友右侧．
初二数学VIP一对一第一次课 授课教师：时间： 学生姓名：评价： 课前复习 全等三角形的判定及性质的应用 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等 2．下列说法中，正确的是（） A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D．面积相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°， 则∠EAC的度数为（） A．40°B．35°C．30°D．25° 4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM. 5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图5－7），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理． 图5－7
等腰三角形 一、 主要内容： （本次课主要知识、例题、练习） 知识点一 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 （2）等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则 2 b
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