等腰三角形
考点一、等腰三角形得特征与识别
⑴等腰三角形得两个_＿_______＿_＿_相等(简写成“＿＿___＿＿_＿___＿＿__"）
⑵等腰三角形得_______＿_＿___＿___、＿___＿＿＿________＿_、＿＿＿___＿_____＿
＿___互相重合(简称为“________________”）
特别得：（１）等腰三角形就是_＿___＿_＿_＿＿图形、
(2)等腰三角形两腰上得中线、角平分线、高线对应____＿__＿＿_、
⑶如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对得＿__＿____也相等（简称为“_＿
__________＿___＿___”)
特别得：
（1)有一边上得角平分线、中线、高线互相重合得三角形就是等腰三角形。
(２)有两边上得角平分线对应相等得三角形就是等腰三角形．
（３)有两边上得中线对应相等得三角形就是等腰三角形.
（4)有两边上得高线对应相等得三角形就是等腰三角形．
典例1、如图,△AＢC 中,AB=AC=8,D 在BC 上，过Ｄ作DE ∥AB 交ＡC 于E,ＤＦ∥AC
交AB 于F,则四边形AF ＤE 得周长为______ .
2、 如图,△ABC 中,ＢD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D
且ＥF ∥B Ｃ，若ＡB = 7，BC ＝ 8，AC = ６，则△AE Ｆ周长为（ )
Ａ、 15 B 、 １4 C 、 13 D 、 1８ 3、 如图,点B 、Ｄ、F 在AN 上，Ｃ、Ｅ在A Ｍ上，且ＡB=ＢC=CD=ED=EF ，∠A=20ｏ，则∠Ｆ4、已知等腰三角形一腰上得高与另一腰得夹角为40°，则它得一个底角得度数就是＿＿＿__＿_5、△ABC 中， D Ｆ就是AB 得垂直平分线，交ＢC 于D ，E Ｇ就是A Ｃ得垂直平分线,交ＢC
于Ｅ,若∠DAE ＝2０°，则∠B ＡC 等于 °
6、从一个等腰三角形纸片得底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三
角形纸片得底角等于
7、已知,在△ABC 中，∠ACB=90°,点D 、E 在直线AB 上,且A Ｄ=ＡC,BE ＝ＢC,则∠ＤC Ｅ ＝ 度、
８、如图：在△ABC 中,ＡB=AC ，A Ｄ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F.试说明DE=DF 。
９、如图,E 在△A ＢC 得AC 边得延长线上,D 点在AB 边上,ＤB Ｄ=ＣE 、求证:△AB Ｃ就是等腰三角形、
1０、已知:如图,△A ＢＣ中，∠ACB 得平分线交AB 于E,ＥF
N M
F E C D B A
D A F ∥BC 交A Ｃ于点Ｆ，交∠AC Ｂ得外角平分线于点G.试判断△
E ＦC 得形状,并说明您得理由.
11、如图，△ABC 中，AB ∥DC,AD=ＤＣ＝CB,AD 、ＢC 得延长线相交于G ，CE ⊥AG 于E,CF ⊥AB 于F 、
（1）请写出图中4组相等得线段（已知得相等线段除外)；
（2）选择（1)中您所写出得一组相等线段,说明它们相等得理由、
考点二、等边三角形得特征与识别
⑴等边三角形得各____相等，各____相等并且每一个角都等于__＿
_____
⑵三个角相等得三角形就是____＿_____三角形
⑶有一个角就是60°得_＿____＿_＿___三角形就是等边三角形
特别得：等边三角形得中线、高线、角平分线_＿__＿____＿＿________＿＿__＿_____＿_____＿＿＿___
典例1、下列推理中，错误得就是 （ )
A 。∵∠A ＝∠
B ＝∠
C ，∴△AB Ｃ就是等边三角形
B.∵AB ＝A Ｃ,且∠B ＝∠Ｃ，∴△A ＢＣ就是等边三角形
C 。∵∠A ＝60°，∠B ＝60°,∴△ABC 就是等边三角形
D.∵AB ＝AC ，∠B ＝60°，∴△A ＢＣ就是等边三角形
２、如图，等边三角形A ＢC 中,Ｄ就是ＡC 得中点，Ｅ为BC 延长线上一点，且CE ＝CD,ＤM
⊥B Ｃ，垂足为M 。
求证：M 就是BE 得中点。
3、已知△A ＢC 就是等边三角形,分别在ＡC 、ＢC 上取点Ｅ、F ，且AE=CF
，BE 、AF 交于点D,则∠BDF= ___＿＿＿__＿度
4、如图，点Ｐ就是等边△ＡBC 内一点，点P 到三边得距离分别为PE 、PF 、PG ，等边△A ＢＣ得高为A Ｄ， 求证:ＰE+PF+P Ｇ=AD
如图，Ｄ、E 、F 分别就是等边△A ＢC 各边上得点,且AD=ＢE=ＣF,则△ＤEF?得形状就是（ ） A.等边三角形 Ｂ．腰与底边不相等得等腰三角形C 。直角三角形 D ．不等边三角形 变式题：如图,D 、Ｅ、F 分别就是等边△ＡＢＣ各边上得点，FE ⊥BC,DF ⊥AC ，
E Ｄ⊥AB ，垂足分别为点E,
F ，D,求证：△D ＥF 为等边三角形.
如图,B 、C 、D 在一直线上，ΔABC 、ΔADE 就是等边三角形,若CE=１5cm ，
CD ＝6ｃm ， 则ＡC=_＿__＿，∠ECD=_＿__＿. A
B C D E M G F E D A B P C
5、如图，C 为线段A Ｅ上一动点(不与点Ａ、E 重合），在ＡE 同侧分别作等边三角形ABC 与等边三角形ＣD Ｅ,AD 与B Ｅ交于点O ，AD 与BC 交于点P,B Ｅ与CD 交于点Ｑ,连接PQ ．以下六个结论：①AD=BE ；②P Ｑ∥AE;③ＡＰ=BQ ；④DE ＝DP; ⑤∠AOB=60°；⑥ＣＯ平分∠ＡＯE 、其中不正确得有（ )个 A ．0 B ．1 C.2 Ｄ。３
考点三、3０°所对得直角边就是斜边得一半
典例 1、如图，就是屋架设计图得一部分，点Ｄ就是斜梁AB 得中点，立柱BC 、DE 垂直 于横梁AC ，A Ｂ＝８m,∠A=30°，则DE 等于（ ) A 。1m B 。2ｍ C 。３m D 。4m
2、如图:△A ＤC 中，∠A = 15°，∠D=9０°,B 在AC 得垂直平分线上,AB ＝３4，则CD =
（ ）
A 、 1５
B 、 １7
C 、 16
D 、 以上全不对
3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知ＡO=BO=4０ｃm,C0＝D0＝３0 ｃm ，现将桌子放平，两条桌腿叉开得角度∠AOB 刚好为1２０°，求桌面到地面得距离就是多少？
4、如图，AB ＝AC ，D Ｅ⊥A Ｂ于E ，DF⊥AC 于Ｆ,∠BAC=１２0o ,BC=６，则ＤE+DF ＝
5、在中，,得垂直平分线交于点，交于点．如果,求得长
如图,已知:在△ＡB Ｃ中，ＡＢ=ＡC ，∠B ＡC=120°,A Ｂ得垂直平分线交AB 于E , 交ＢＣ于F 、 求证:ＣF ＝2ＢF 、
已知：如图，△ＡCD 就是等边三角形，AE⊥CD 于E,AB ⊥AC ，AC=ＡB ，AE 、ＢＤ相交于Ｏ、 求证：BC=2OD 、
F E C
B 第4题图 甲 O
E D C
B
A 第10题
O Q P D
B
A
教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一． 2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明． 重点、难点 1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一. 2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。 考点及考试要求 1、等腰三角形的性质 2、等腰三角形的证明 教 学 内 容 第一课时 等腰三角形知识梳理 1、 已知线段a ，h （如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC ，使底边BC ＝a ，BC 边上的高线为h 。 2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm ，5cm ，这个三角形的周长是 cm 。 3、 请写出周长为8cm ，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。 4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。 5、已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D 。求证：∠DBC=21∠A 。 课前检测 A B C D
图2-5 A B C D （1）等腰三角形的定义 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC ），相等的两边叫做腰（AB 和AC ），另一边叫底边（BC ），两腰的夹角叫做顶角（A ∠），腰和底边的夹角叫做底角（C ∠∠和B ） （2）等腰三角形的性质 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。 注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理 （3）等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。 第二课时 等腰三角形典型例题 题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度 例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为 【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是 底角：顶角=1:2还是 顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。 变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为 度。 知识梳理 典型例题
第11讲等腰三角形 知识点梳理： （一）等腰三角形的性质 等腰三角形的定义：腰、底边、顶角、底角。 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； （二）等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形(有两个角是60°的三角形是等边三角形)。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （三）方法点拨：等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 经典例题： 例1.等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想 1．已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是 2．已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是 3．等腰三角形的两边长是6和7，则三角形的周长为： *4．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是
等腰三角形 考点一、等腰三角形的特征和识别 ⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”） ⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”） 特别的：（1）等腰三角形是___________图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________. ⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”） 特别的： （1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． （4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形． 典例1、如图，△ABC 中，AB=AC=8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，DF∥AC 交AB 于F ，则四边形AFDE 的周长为______ 。 2、 如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D 且EF ∥BC ，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则△AEF 周长为( ) A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上，且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o ,则∠FEB=____度． 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_____________ 5、△ABC 中， DF 是AB 的垂直平分线，交BC 于D ，EG 是AC 的垂直平分线，交BC 于E ，若∠DAE=20°，则∠BAC 等于 ° N M F E C D B A F E D A B C
全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线
初二数学讲义 等腰三角形的性质及应用 等腰三角形的性质： 性质1▲等腰三角形的两个底角相等。 （简写成: 等边对等角. ） 性质2▲等腰三角形的 、底边上的 、底边上的 互相重合。 （简写成:等腰三角形的“三线合一”） 性质3▲ 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 用几何符号语言表达： 性质1 性质2 注意：△ABC 中，如果AB ＝AC ，D 在BC 上，那么由条件①∠1＝∠2，②AD ⊥AC ，③BD ＝CD 中的任意一个都可以推出另外两个.（为了方便记忆可以说成“知一求二” ） 等腰三角形的三边的关系，三个内角的关系 1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( ) A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm 2.已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm 3.若等腰三角形中有一个角等于50?，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A ．50? Ｂ．80? Ｃ．65?或50? Ｄ．50?或80? ∵AB ＝AC ∴∠B ＝∠C （等边对等角） ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠1＝∠____，BD ＝_____；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，∠1＝∠2， ∴AD ⊥_____，BD ＝______；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴∠1＝∠___，AD ⊥_____.（等腰三角形的“三线合一”）
【例1】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC 于D，求∠CBD的度数． 【例2】在ABC ?中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠的度数． 【例3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60?，求三角形三个内角的度数． 【例4】如图所示，已知ABC ?中，D、E为BC边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =． A B C D E 例题精讲
课题等腰三角形 教学目的 1、熟练掌握等腰三角形的性质和判定 2、熟练等腰三角形“三线合一”的性质 3、会运用性质和判定解决实际问题 重点、难点 重点：等腰三角形的性质 难点：“三线合一”的应用 教学内容 基础知识巩固： 1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 2．等腰三角形的性质： 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 3．等腰三角形的判定： A B C
1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【知识点简单运用】 例1、 如图，在△ABC 中，AC AB =，D 在AC 上，且,BD BC AD ==求△ABC 各角的度数。 练习：1、如图△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B ，∠C ，∠BAD ， ∠DAC 的度数，图中有哪些相等的线段？ 2、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°.求∠B 和∠C 的度数。
1. 等腰三角形的一个角是94°，则腰与底边上的高的夹角为（ ） A. 43° B. 53° C. 47° D. 90° 2. 等腰三角形周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形底边长（ ） A. 7cm B. 3cm C. 7cm 或3cm D. 5cm 3. 等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形或直角三角形 D. 以上结论都不对 4. 已知等腰三角形的一个外角等于70°，则底角的度数为（ ） A. 110° B. 55° C. 35° D. 不能确定 5. 等腰三角形一腰上的高与底边所成角为36°，这个等腰三角形的顶角为（ ） A. 36° B. 72° C. 36°或72° D. 54° 6．下列图形:①角②两相交直线③圆④正方形，其中轴对称图形有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 7．圆、正方形、长方形、等腰梯形中有唯一条对称轴的是（ ） （A ）圆 （B ）正方形 （C ）长方形 （D ）等腰梯形 8．点（3，-2）关于x 轴的对称点是（ ） （A ）（-3，-2） （B ）（3，2） （C ）（-3，2） （D ）（3，-2） 9．下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（ ） （A ） 1，1，2 （B ） 2，2，5 （C ） 3，3，5 （D ） 3，4，5 10．如图，已知AC ∥BD ，OA ＝OC ，则下列结论不一定成立的是（ ） （A ）∠B ＝∠D （B ）∠A ＝∠B （C ）OA ＝OB （D ）AD ＝BC 11．如图，△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数（ ） （A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 12．如图:△ABC 和△ADE 是等边三角形．证明：BD ＝CE ． A B C D O 第15题 A E B C D 第16题 A B C D E
等腰三角形（讲义） ? 知识点睛 1. 等腰三角形 D C B A 2α α α α αD C B A 延长CB 到点D ，使BD =BA 作∠ABC 的平分线 E α2αA B C D 2ααα D C B A 作AC 的垂直平分线 作∠DCB =∠ABC 2. 等边三角形 （1）定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．
（2）性质： ①边：等边三角形三边都相等； ②角：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于_____； ③线：等边三角形三线合一． （3）判定： ①_____________的等腰三角形是等边三角形； ②_____________的三角形是等边三角形． 3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 ________等于_______的一半． 4. 在证明时，先假设_____________不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定 理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明的方法称为反证法． ? 精讲精练 1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =32°，以点C 为圆心，BC 长为半径作弧，交 AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠ABE 的度数为______． A D E B C C D B A 第1题图 第2题图 2. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______． 3. 如图，AD =BC ，AC =BD ，求证：△ABE 是等腰三角形． E D C B 4. 如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，∠ADE =∠AED ． 求证：BD =CE ．
精锐教育学科教师辅导 学员编号：年级：初二课时数：3课时学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题等腰三角形 教学目的 1、熟练掌握等腰三角形的性质和判定 2、熟练等腰三角形“三线合一”的性质 3、会运用性质和判定解决实际问题 重点、难点 重点：等腰三角形的性质 难点：“三线合一”的应用 教学内容 基础知识巩固： 1．等腰三角形定义： 2．等腰三角形的性质： 3．等腰三角形的判定： A B C
【知识点简单运用】 例1、 如图，在△ABC 中，AC AB =，D 在AC 上，且,BD BC AD ==求△ABC 各角的度数。 练习：1、如图△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B ，∠C ，∠BAD ，∠DAC 的度数，图中有哪些相等的线段？ 2、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°.求∠B 和∠C 的度数。 例2：求证：如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 （写出已知和求证，画出图形）
随堂练习： 1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____° （1）（2） 2．如图2，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度． 3.等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动， 当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P?运动的时间应为________． 动手操作： 拿出一张类似于如图（1）的矩形纸张，按照虚线对折如图（2），按（3）中的线段剪开，得到图形（4），DE、DF分别是边AC、BC上的高线，观察DF与DE的关系，并给予证明。 （1）（2）（3）（4）（5）
等腰三角形应用（讲义） ? 课前预习 1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________． 2. 线段垂直平分线上的点到_____________________________． 3. 角平分线上的点到___________________________________． 4. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直），请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点． l A ? 知识点睛 1. 垂直平分线相关定理： ①________________________________________________； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 已知：如图，P A =PB ． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明： 2. 角平分线相关定理： ①________________________________________________； ②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． P B
已知：如图，点P 在∠AOB 内部，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，且PC =PD ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上． 证明： 3. 在等腰三角形中，_________________，________________，______________ 重合（也称“__________”），这是等腰三角形的重要性质．若在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，则尝试构造___________． ? 精讲精练 1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ． 求证：直线AO 垂直平分线段BC ． 2. 如图，已知PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA =PB ． ∠MON =50°，∠OPC =30°，求∠PCA 的大小． C B O A
第5讲等腰三角形“三线合一”的性质 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。 知识梳理 讲解用时：20分钟 等腰三角形 1、等腰三角形的概念： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条 边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。 2、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”） （2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简 写成“三线合一”） 3、等腰三角形的判定方法： （1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法） （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简 写成“等角对等边”） A B C
等边三角形 我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！ 1、等边三角形的概念： 在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。 2、等边三角形的性质： （1）等边三角形的三条边都相等；（定义） （2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°； （3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形. 3、等边三角形的判定方法： （1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义） （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 课堂精讲精练 【例题1】 如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
等腰三角形 考点一、等腰三角形得特征与识别 ⑴等腰三角形得两个_＿_______＿_＿_相等(简写成“＿＿___＿＿_＿___＿＿__"） ⑵等腰三角形得_______＿_＿___＿___、＿___＿＿＿________＿_、＿＿＿___＿_____＿ ＿___互相重合(简称为“________________”） 特别得：（１）等腰三角形就是_＿___＿_＿_＿＿图形、 (2)等腰三角形两腰上得中线、角平分线、高线对应____＿__＿＿_、 ⑶如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对得＿__＿____也相等（简称为“_＿ __________＿___＿___”) 特别得： （1)有一边上得角平分线、中线、高线互相重合得三角形就是等腰三角形。 (２)有两边上得角平分线对应相等得三角形就是等腰三角形． （３)有两边上得中线对应相等得三角形就是等腰三角形. （4)有两边上得高线对应相等得三角形就是等腰三角形． 典例1、如图,△AＢC 中,AB=AC=8,D 在BC 上，过Ｄ作DE ∥AB 交ＡC 于E,ＤＦ∥AC 交AB 于F,则四边形AF ＤE 得周长为______ . 2、 如图,△ABC 中,ＢD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D 且ＥF ∥B Ｃ，若ＡB = 7，BC ＝ 8，AC = ６，则△AE Ｆ周长为（ ) Ａ、 15 B 、 １4 C 、 13 D 、 1８ 3、 如图,点B 、Ｄ、F 在AN 上，Ｃ、Ｅ在A Ｍ上，且ＡB=ＢC=CD=ED=EF ，∠A=20ｏ，则∠Ｆ4、已知等腰三角形一腰上得高与另一腰得夹角为40°，则它得一个底角得度数就是＿＿＿__＿_5、△ABC 中， D Ｆ就是AB 得垂直平分线，交ＢC 于D ，E Ｇ就是A Ｃ得垂直平分线,交ＢC 于Ｅ,若∠DAE ＝2０°，则∠B ＡC 等于 ° 6、从一个等腰三角形纸片得底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三 角形纸片得底角等于 7、已知,在△ABC 中，∠ACB=90°,点D 、E 在直线AB 上,且A Ｄ=ＡC,BE ＝ＢC,则∠ＤC Ｅ ＝ 度、 ８、如图：在△ABC 中,ＡB=AC ，A Ｄ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F.试说明DE=DF 。 ９、如图,E 在△A ＢC 得AC 边得延长线上,D 点在AB 边上,ＤB Ｄ=ＣE 、求证:△AB Ｃ就是等腰三角形、 1０、已知:如图,△A ＢＣ中，∠ACB 得平分线交AB 于E,ＥF N M F E C D B A
一次函数与等腰三角形存在性问题 重点内容梳理 一、等腰三角形存在 核心思想：——分类讨论（顶点未知，讨论顶点即可） 1. A为顶点：AP=AB→以A为圆心B为半径画圆（E为共线点） 为顶点：BP=BA→以B为圆心A为半径画圆（F为共线点） 为顶点：PA=PB→AB的中垂线（o为共线点） 求取方法：1.采用两圆一线找到特殊位置点——找交点 2.两点之间距离公式表示等长线段，求取点坐标 ￥ 3.最终结论 注：该类问题相对较综合，点坐标的求取方法较灵活，需综合运用几何与代数相关定理。
引例： 已知，平面内点A（0,2），B（2,0）（1）求，AB所在直线解析式 （2）若坐标轴上存在一点，使△ABC
①— ②A为顶点，AB=AC，A为圆心，AB为半径画圆， ③B为顶点，AB=BC，B为圆心，AB为半径画圆 ④C为圆心，AB中垂线
例题 例题1.——x轴上的点 1.（2019秋?金水区校级月考）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝ 8，OB＝6. （1）求直线AB的解析式． （2）在x轴上是否有在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
| 【解答】解：（1）∵OA＝8，OB＝6， ∴A（8，0）、B（0，6）， 把点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b， ∴b＝6，k＝﹣， ∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6； （2）设点Q（s，0）， 则AB2＝100，AQ2＝（8﹣s）2，BQ2＝s2+36， ①当AB＝AQ时，100＝（8﹣s）2，解得：s＝18或s＝﹣2； ②当AB＝BQ时，100＝s2+36，可得：s＝±8（舍去8）； ③当AQ＝BQ时，（8﹣s）2＝s2+36，可得：s＝， 、 综上，点Q的坐标为：（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或（，0）． 易错：1. 两圆一线找交点，看清点的位置保证不重不漏 2.求取点的坐标，注意舍根
初中数学人教版八年级上册实用资料 等腰三角形（讲义） ? 课前预习 1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ． （1）若∠1=∠2，则BD ____DC （填“>”，“<”或“=”）； （2）若BD =CD ，则AD ____BC （填“⊥”或“∥”）； （3）若AD ⊥BC ，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）． D C B A 2 1 2. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________． ? 知识点睛
1. ______________的三角形叫做等腰三角形． 2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________． 3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________． 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________． 4. 三边都______的三角形是等边三角形． 等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写： 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：BD =CD ． 证明： ? 精讲精练 1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应 的图上． C B C B C B A A A 108° 60° 2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____． D C B A
等腰三角形（讲义） ?课前预习 1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC． （1）若∠1=∠2，则BD____DC（填“>”，“<”或“=”）； （2）若BD=CD，则AD____BC（填“⊥”或“∥”）； （3）若AD⊥BC，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）． B A 2 1 2.已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．?知识点睛
1. ______________的三角形叫做等腰三角形． 2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上 的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________． 3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________． 4. 三边都______的三角形是等边三角形． 等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写： 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 且交BC 于点D ．求证：BD =CD ． 证明： ? 精讲精练 1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图 上． C B C B C B A A A 108° 60° 2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____． A
D C B A E D C B A 第2题图 第3题图 3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，BD =BE ， ∠A =100°，则∠DEC =________． 4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则 ∠BAC =______． C D B A A B C D E 第4题图 第5题图 5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，AD =AE ，若∠ BAD =50°，则∠CDE =________． 6. 如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交AC 于 点E ．求证：AE =ED ． 7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD E D C B A
等腰三角形性质及判定（提高） 【学习目标】 1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直． 2. 掌握等腰三角形的判定定理． 3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】 类型一、等腰三角形中的分类讨论 【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】
等腰三角形(讲义)
等腰三角形 考点一、等腰三角形的特征和识别 ⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”） ⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”） 特别的：（1）等腰三角形是___________图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________. ⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”） 特别的： （1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． （4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
典例1、如图，△ABC 中，AB=AC=8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，DF∥AC 交AB 于F ，则四边形AFDE 的 周长为______ 。 2、 如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D 且EF ∥BC ，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则△AEF 周长为 ( ) A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上， N M F E C D B A F E D A B C
且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o,则∠FEB=____ 度． 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为40°，则它的一个底角的度数是 _____________ 5、△ABC中， DF是AB的垂直平分线，交BC于 D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠ DAE=20°，则∠BAC等于° 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能 将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形 纸片的底角等于 7、已知，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在 直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE = 度. 8、如图：在△ABC中，AB=AC， ⊥AB于点E, DF⊥AC于点F DE=DF。
等腰三角形与直角三角形讲义 1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=_55°_____ 2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为_30_____度 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为 （ C ） A．30° B．150° C．30°或150° D．120° 【知识梳理】 1、等腰三角形及其性质 （1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． （2）性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 2、等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． 等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°． 4、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC． （1）直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的 关系：或. （2）定理：直角三角形的两个锐角互余． 推理过程：在△ABC中，∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°（或∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A）． 说明：这一定理应用的前提是Rt△，已知一个锐角，求另一个角． 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法． （3）定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB． (4）定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°．推理格式： ∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB， ∴∠A＝30°． 【典型例题】 知识点一：等腰三角形 考点一：等腰三角形的判断与证明 例1、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠ODC；③BE=CD；④OB=OC． （1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）． （2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
数学辅导讲义 ——等腰三角形 1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形； 2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题； 3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30o 的直角三角形的性质 建议2分钟 将一张长方形的纸片对折后，用剪刀剪出一个三角形，再把它展开，得到的ABC ?有什么特点？折痕AD 是ABC ?的什么线？
1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2、等腰三角形是轴对称图形吗？它的内角有何性质？它的高线、中线、内角平分线有何性质 专题一、等腰三角形的有关概念 (★)如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。
(★★)已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________； 【答案】 1．(★)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 A．16 B．18 C．20 D．16或20 2. (★)下列说法正确的是（） A. 等腰三角形的底角一定是锐角 B. 等腰三角形的底角可以是直角，但不能是钝角 C. 等腰三角形一内角平分线与此角所对边上的高一定重合 D. 等腰三角形的一个内角等于40o，那么其余的两个内角一定都等于70o 专题二：等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 符号语言： 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 符号语言： 中， 在ABC 等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。
13．3 等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 基础题 知识点1等边对等角 1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( ) A．30°B．75°C．150°D．125° 2．已知一个等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角等于( ) A．30°B．40°C．75°D．120° 3．如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是________． # 4．等腰直角三角形的底角的度数为________． 5．一个等腰三角形中有一个内角为80°，则另外的两个内角的度数为________________． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD. 知识点2三线合一 7．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是() A．过顶点的直线 B．底边的垂线 : C．顶角的角平分线所在的直线
D．腰上的高所在的直线 8．(苏州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( ) A．35°B．45°C．55°D．60° 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝3 cm.则∠ADB的度数是________，BD的长是________． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________． ： 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数． 中档题 13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()
?知识点睛 1.等腰三角形 等腰三角形（讲义） ∠ABC=2∠ACB=2α 延长CB 到点D，使BD=BA 作∠ABC 的平分线 （1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）性质： ①边：等腰三角形两腰相等； ②角：等腰三角形，简称“”； ③线：等腰三角形、及 互相重合，也称“三线合一”． （3）判定：的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”． 思考方向小结： ①看到等腰三角形，想等腰三角形的性质，要证明一个三角 形是等腰三角形，想等腰三角形的定义、判定． ②要证明两条线段相等，可以放在两个三角形中证全等；也 可以放在一个三角形中证等腰． ③见到“三线”中“两线”重合，或平行线+角平分线，可以 考虑证等腰． ④倍角（或半角）：常转为等角，会出现等腰三角形．
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②的三角形是等边三角形．2. 等边三角形 （1）定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形． （2）性质： ①边：等边三角形三边都相等； ②角：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于； ③线：等边三角形三线合一． （3）判定： ①的等腰三角形是等边三角形； 3. 等于的一半． 4.在证明时，先假设不成立，然后推导出与定义、 基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命 题的结论一定成立，这种证明的方法称为反证法． ?精讲精练 1.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=32°，以点C 为圆心，BC 长为半径作弧，交AB 于点D，交AC 于点E，连接BE，则 ∠ABE 的度数为． 第1 题图第2 题图 2.如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，D 为边BC 上一点， CD=AC，AD=BD，则∠BAC= ． 3.如图，AD=BC，AC=BD，求证：△ABE 是等腰三角形．