【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)
1
→(1s)2
(2s)1
跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ ·mol -1
为单位的能量。
解：81
141
2.99810m s 4.46910s 670.8m c
νλ--??===? 41711 1.49110cm 670.810cm νλ--===??%
34141
23-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N s
ν--==??????=?
【1.3】金属钾的临阈频率为 5.464×10-14s -1
，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？
解：2
01
2hv hv mv =+
()1
2
01
8
1
2
341419
31
2 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J s s m kg υ------??=?
???
???????-??? ??????=???????g g
1
34141
2
31512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s ----??????=?????=?g g
【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：
（a ） 质量为10-10
kg ，运动速度为0.01m ·s -1
的尘埃； （b ） 动能为0.1eV 的中子； （c ） 动能为300eV 的自由电子。
解：根据关系式：
(1)3422
101
6.62610J s 6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ----??===???
34-11 (2) 9.40310m
h p λ-==
=
=?
3411(3) 7.0810m
h p λ--===
=?
【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV ，计算电子加速后运动时的波长。
解：根据de Broglie 关系式：
34122.74210h h p m m
λυ--=
===
=?
【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V ，电子运动速度的不确定度υ?为υ的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为
：
34103.8810h x m m
υ--===
=?V g V
这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约6
10m -）观察不到电子衍射（用100000V 电
压加速电子）。
解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：
9911 1.22610/1.226101.22610x h h x p h m λ---=
==?=?=?V V
这不确定度约为光学光栅周期的10
－5
倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光
学光栅周期的10－5
倍，用光学光栅观察不到电子衍射。
解法二：若电子位置的不确定度为10－6
m ，则由不确定关系决定的动量不确定度为：
3462816.62610106.62610x h J s p x m J s m ----??==
?=?g g g
在104
V 的加速电压下，电子的动量为：
231
5.40210x x p m J s m υ--====?g g
由Δp x 和p x 估算出现第一衍射极小值的偏离角为：
2812315
arcsin arcsin
6.62610arcsin 5.40210arcsin100x
x
o
p p J s m J s m θθ-----?==??
? ?
???
≈g g B g g B
这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射
【1.11】2
ax xe ?-=是算符22224d a x dx ??- ??
?的本征函数，求其本征值。 解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：
2
2222222244ax d d a x a x xe dx dx ψ-????-=- ? ?????
()
2222224ax ax d xe a x xe dx --=-
()
2
222222
2232323242444ax ax ax ax ax ax ax d e ax e a x e dx
axe axe a x e a x e -------=--=--+-
2
66ax axe
a ψ
-=-=-
因此，本征值为6a -。
【1.12】下列函数中，哪几个是算符22
d dx 的本征函数？若是，求出本征值。
3,sin ,2cos ,,sin cos x e x x x x x + 解：2x
2d e d x =，x e 是22
d d x 的本征函数，本征值为1。
22
d sin x 1sin x,d x
=?sin x 是2
2d d x 的本征函数，本征值为1。
2
2d (2cos x )2cos x d x =
【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
(
)n n x
x l π?=
1,2,3n =??? 式中l 是势箱的长度，x 是粒子的坐标
)
x l <，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均
值。
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：
222
n 222h d n πx h d n πx ?H ψ(x )-)-)8πm d x l 8πm d x l ==
(sin )n n n x l l l πππ=?-
22222
222
()
88n h n n x n h x m l l ml ππψπ=-?=
即：
22
28n h E ml =
（2）由于??x ()(),x n n x c x ψψ≠无本征值，只能求粒子坐标的平均值：
()()x l x n sin l x l x n sin l x x ?x x l *
l
n l
*n
d 22d x 000???????
?????? ??==ππψψ
()
x l x n cos x l dx l x n sin x l l l d 22122002??????? ??-=??
? ??=ππ
2000122sin sin d 222l l l x l n x l n x x x l n l n l ππππ????=-+?? ?????? 2l =
（3）由于
()()??p
,p x n n x x c x ψψ≠无本征值。按下式计算p x 的平均值
:
()()1*
?d x n x n p x p
x x ψψ=?
0d 2n x ih d n x x l dx l πππ?=- ??
20sin cos d 0
l nih n x n x x l l l ππ=-=? 1】函数
(
)/)/)x x a x a ?ππ=-是否是一维势箱中粒子的一种可
能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。
解
数是长度为a 的
中粒子的一种可能状态。因为函数
()1/)x x a ψπ=和()2/)x x a ψπ=都是一维势箱中粒子的可能状态
（本征态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。 因为
()()()1223H x H x x ψψψ∧
∧
=-????
()()
1223H x H x ψψ∧
∧
=-
()()
2
2
122242388h h x x ma ma ψψ=?-?
≠
常数
()x ψ?
所以，
()x ψ不是H ∧
的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。
将()x ψ归一化：设
()'x ψ=()c x ψ，即： ()
()()2
2
'
220
a
a
a
x dx c x dx c x dx
ψψψ==???
2
202a
x x c dx a a ππ??=- ? ????
2
131c ==
2113c =
()x ψ所代表的状态的能量平均值为：
()()'
'
0a
E x H x dx
ψψ∧
=?
222202238a
m x x h d a a dx πππ????=-- ? ?
??
????
223x x dx
a a ππ??- ? ??
? 22222222332000
15292sin sin sin sin 2a a a c h x c h x x c h x dx dx dx ma a ma a a ma a ππππ=-+???
222
225513c h h
ma ma =
=
也可先将()1
x ψ和
()
2x ψ归一化，求出相应的能量，再利用式
2i i
E c E =∑求出
()x ψ所
代表的状态的能量平均值：
222222
2
22224049888h h c h E c c ma ma ma =?+?=22
401813h ma =?22513h ma =
【2.3】对于氢原子：
(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些
谱线所属的线系及所处的光谱范围。
(b)上述两谱线产生的光子能否使：（i ）处于基态的另一氢原子电离？（ii ）金属铜中的铜原子电离（铜的功函数为19
7.4410
J -?）？
(c)若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离，请计算出从金属铜晶体表面发射出的光电子的德补罗意波的波长。 解：(a)氢原子的稳态能量由下式给出：
1821
2.1810n E J n -=-??
式中n 是主量子数。
第一激发态(n ＝2)和基态(n ＝1)之间的能量差为：
181818
1212211( 2.1810)( 2.1810) 1.641021E E E J J J ---?=-=-??
--??=?
原子从第一激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：
81341181(2.997910)(6.62610)
1211.6410ch m s J s nm
E J λ---?????===??
第六激发态(n ＝7)和基态(n ＝1)之间的能量差为：
1818186712
211( 2.1810)( 2.1810) 2.141071E E E J J J ---?=-=-??
--??=?
所以原子从第六激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：
8134618
6(2.997910)(6.62610)
92.92.1410ch m s J s nm E J λ---?????===??
这两条谱线皆属Lyman 系，处于紫外光区。
（b ）使处于基态的氢原子电离所得要的最小能量为：
ΔE ∞=E ∞-E 1=-E 1=2.18×10-18
J
而 ΔE 1=1.64×10-18
J<ΔE ∞ ΔE 6=2.14×10-18J<ΔE ∞
所以，两条谱线产生的光子均不能使处于基态的氢原子电离，但是 ΔE 1>ФCu =7.44×10-19
J
ΔE 6>ФCu =7.44×10-19J
所以，两条谱线产生的光子均能使铜晶体电离。
（c ）根据德布罗意关系式和爱因斯坦光子学说，铜晶体发射出的光电子的波长为：
h h p mv λ=
==
式中ΔE 为照射到晶体上的光子的能量和ФCu 之差。应用上式，分别计算出两条原子光谱线照射到铜晶体上后铜晶体所发射出的光电子的波长：
34'
1
1
311819
2
6.62610519(29.109510)(1.6410
7.4410)J s
pm
kg J J λ----??=
=??????-???
34'6
1311819
2
6.62610415(29.109510)(2.1410
7.4410)J s
pm
kg J J λ----??=
=??????-???
【2.6】计算氢原子的1s 电子出现在100r pm =的球形界面内的概率。
1n ax n ax n ax
x e n x e dx x e dx c a a -??=-+ ?????
解：根据波函数、概率密度和电子的概率分布等概念的物理意义，氢原子的1s 电子出现在r=100pm 的球形界面内的概率为：
10022
10
00
pm s
P d ππ
τ
ψ
=
???
00
221001002222
3
3
000
00
11
sin sin r
r pm pm
a a e r drd d r e
dr d d a a ππ
ππ
θθφθθφ
ππ--
=
=?
???
??
01002210022320000
00
44224pm
r r
pm
a a a r a r a r e
dr e a a -
-????==---??
????????
100222000
221pm
r a r r e a a -??
=--- ?
??
0.728≈
那么，氢原子的1s 电子出现在r=100pm 的球形界面之外的概率为1-0.728=0.272。
【2.8】已知氢原子的归一化基态波函数为
()
[]
1/2
3
100exp /s a r a ?π-=-
(a)利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量； (b)利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。
解：（a ）根据量子力学关于“本征函数、本征值和本征方程”的假设，当用Hamilton 算符作用于ψ1s 时，若所得结果等于一常数乘以此ψ1s ,则该常数即氢原子的基态能量E 1s 。氢原子的Hamiltton 算符为：
22220?84h e H m r ππε=-?-
由于ψ1s 的角度部分是常数，因而?H
与θ，ф无关：
22222
01?84h e H r m r r r r ππε????=-- ????? 将?H
作用于ψ1s ，有：
22
21122
01?84s s h e H r m r r r r ψψππε??????=--?? ??????? 22
211220184s s h e r m r r r r ψψππε????=-- ?????
22
22111222
01284s s s
h e r r m r r r r ψψψππε????=-+- ????? (
)
5711222222
20122
01284r r a a
s
h e r a e r a e m r r ππψππε------=--+-
()220122
00284s h r a e mra r ψππε??-=--????
22122200084s
h e ma a ψππε??=-???? （r=a 0）
所以
22
1222
00084h e E ma a ππε=- =…
=-2.18×10-18
J 也可用
*11?s s
E H d ψψτ=?进行计算，所得结果与上法结果相同。
注意：此式中2
4d r dr τπ=。
将角动量平方算符作用于氢原子的ψ1s ，有：
()120
2223102211?sin 2sin sin r
a s h M a e ψθππθθθθφ--?????????=-+ ? ????????????
=0ψ1s
所以
M 2
=0 |M|=0
此结果是显而易见的：2
?M
不含r 项，而ψ1s 不含θ和ф，角动量平方当然为0，角动量也就为0。
通常，在计算原子轨道能等物理量时，不必一定按上述作法、只需将量子数等参数代人简单计算公式，如：
*
18
22.1810n Z E J n -=-??
M =
即可。
（b ）对氢原子，1
V r
-∝，故：
12=-
111
22s E T V V =+=-
+=
122(13.6)27.2s V E eV eV
==?-=-
11
()(27.2)13.622T V eV eV =-
=-?-=
此即氢原子的零点能。
【2.9
】已知氢原子的200exp z
p r r a a ?????
=
-??????cos θ，试回答下列问题：
(a)原子轨道能E=?
(b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ|=? (c)轨道角动量M 和z 轴的夹角是多少度？
(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。 (e)节面的个数、位置和形状怎么样？ (f)概率密度极大值的位置在何处？ (g)画出径向分布示意图。 解：（a ）原子的轨道能：
181921
2.1810J 5.4510J 2E --=-??
=-? （b ）轨道角动量：
M ==
轨道磁矩：
e
μ=
（c ）轨道角动量和z 轴的夹角：
02cos 02z h
M h M πθπ?
==
=， 90θ=o
（d ）电子离核的平均距离的表达式为：
*
22?z z p p r r d ψψτ
=?
22220
sin z
p r r drd d ππ
ψθθφ
∞
=??
??
（e ）令
20
z
p ψ=，得：
r=0，r=∞，θ=900
节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故
2z
p
ψ的节面只有一个，即xy 平面（当然，坐标原点
也包含在
xy 平面内）。亦可直接令函数的角度部分0Y θ==，求得θ=900
。
（f ）几率密度为：
2
2
2
23001
cos 32r
a z
p
r e a a ρψθπ-??== ???
由式可见，若r 相同，则当θ=00或θ=1800时ρ最大（亦可令sin 0
ψ
θθ?=-=?，θ=00
或θ
=1800
），以0ρ表示，即：
2
03001(,0,180)32r a r r e a a ρρθπ-??=== ???o o
将
0ρ对r 微分并使之为0，有：
023000132r
a d d r e dr dr a a ρπ-??
????= ??????? 05
0012032r a r re a a π-??=-= ??
?
解之得：r=2a 0（r=0和r=∞舍去）
又因：
2022|0r a d dr ρ=<
所以，当θ=00
或θ=1800
，r=2a 0时，2
2z
p ψ有极大值。此极大值为：
00
22
2
033
00021
328a a m a e e a a a ρππ--??== ???
3
36.4nm -=
（g
）
00
2
5
2222242500
11
24z
r r
a a p D r R r re r e a a --?????===?????
根据此式列出D-r 数据表： 0D/0
0 0.015 0.090 0.169 0.195 0.175 0.134 r/a 0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 D/
1
0a
-
0.091
0.057
0.034
0.019
1.02×10-2
5.3×10-3
按表中数据作出D-r 图如下：
D (r )/a -1
r/a
图2.9 H 原子
2z
p
ψ的D-r 图
由图可见,氢原子
2z
p ψ的径向分布图有n-l ＝1个极大(峰)和n-l-1＝0个极小(节面)，这符
合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在r ＝4a 0处。这与最大几率密度对应的r 值不同，因为二者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与n 和l 有关而与m 无关，
2p x 、2p y 和2p z 的径向分布图相同。 【2.10】对氢原子，121022113311c c c ????=++，所有波函数都已归一化。请对?所描述的
状态计算：
(a)能量平均值及能量 3.4eV -出现的概率； (b)
/2π出现的概率；
(c)角动量在z 轴上的分量的平均值及角动量z 轴分量/h π出现的概率。 解：根据量子力学基本假设Ⅳ-态叠加原理，对氢原子ψ所描述的状态： (a)能量平均值
2222
112233
i i i
E c E c E c E c E ==++∑
222123222
11113.613.613.6223c eV c eV c eV ??????=-?+-?+-? ? ? ??????? ()22212313.613.649c c eV c eV =-+-
()222
1233.4 3.4 1.5c c c eV
=-++
能量 3.4eV -出现的概率为
22
22
1212
222
123c c c c c c c +=+++
(b)角动量平均值为
2222112233
i i
M c M c M c M c M ==++∑
123c c c =
1c c c =++
)222123c c c =++ 角动量2
π出现的概率为
2231231c c c ++= (c)角动量在z 轴上的分量的平均值为
2221
11
2233222z i zi i
h h h M c M c m c m c m πππ==++∑
()()222221232301122h h c c c c c ππ??=?+?+?-=-?? 角动量z 轴分量h/π出现的概率为0。
【1.14】写出Li 2+
离子的Schr?dinger 方程，说明该方程中各符号及各项的意义，写出Li 2+
离子1s 态的波函数并计算或回答：
(a)1s 电子径向分布最大值离核的距离； (b)1s 电子离核的平均距离；
(c)1s 电子几率密度最大处离核的距离； (d)比较Li 2+
离子的2s 和2p 态能量的高低；
(e)Li 原子的第一电高能(按Slater 屏蔽常数算有效核电荷)。 解：Li 2+
离子的Schr?dinger 方程为：
22220384h e E r ψψπμπε??-?-=????
方程中，μ和r 分别代表Li 2+的约化质量和电子到核的距离；▽2
，ψ和E 分别是Laplace 算符、状态函数及该状态的能量，h 和ε0分别是Planck 常数和真空电容率。方括号内为总能量算符，其中第一项为动能算符。第二项为势能算符（即势能函数)。 Li 2+
子1s 态的波函数为：
1
2
313027r
a s e a ψπ-??=
?
??
（a ）0
662
22
2113300
2710844r r
a a s s
D r r e r e
a a πψππ--==?=
621300108620r
a s d D r r e dr a a -??=-= ???
20
6
20
r r r a ≠∞∴-=Q
又
03a
r r ≠∴=Q 1s 电子径向分布最大值在距核0
3a 处。
（b ）
*11?s s r r
d ψψτ=?
622
130
27sin r a s
r d r e r drd d a ψτθθφ
π-==??
62330
00027sin r
a r e dr d d a ππθθφ
π∞-=???
4
030274216a a π
π=??
12a =
（c ）0
62130
27r
a
s e a ψπ-=
因为2
1s ψ随着r 的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为0的方法求其最大值离核的距离。分析21s ψ的表达式可见，r ＝0时0
6r
a e -
最大，因而21s ψ也最大。但实际上r 不能为0(电
子不可能落到原于核上)，因此更确切的说法是r 趋近于0时1s 电子的几率密度最大。
（d ）Li 2+
为单电子“原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以2s 和2p 态简并，即E 2s =E 2p 。
（e ）Li 原子的基组态为(1s)2
(2s)1
。对2s 电子来说，1s 电子为其相邻内一组电子，σ=0.85。因而：
2
22
(320.85)13.6 5.752s E eV eV -?=-?=-
根据Koopmann 定理，Li 原子的第一电离能为：
I 1=-E 2s =5.75eV
【2.16】已知He 原子的第一电离能I1=24.59eV,试计算: (a)第二电离能; (b)基态能量;
(c)在1s 轨道中两个电子的互斥能; (d)屏蔽常数;
(e)根据(d)所得结果求H -
的基态能量. 解：
（a ）He 原子的第二电离能
2I 是下一电离过程所需要的最低能量，即：
He +
（g ）→He 2+
（g ）＋c
22He He I E E E ++
=?--
0He He E E ++
=-=-
He +
是单电子“原子”，
He E +
可按单电子原子能级公式计算，因而：
222213.59554.381He I E eV eV
+
??
=-=--?= ???
（b ）从原子的电离能的定义出发，按下述步骤推求He 原子基态的能量：
He （g ）→He +
（g ）＋e
1He
He I E E +=- （1） He +
（g ）→He 2+
（g ）＋e
22He He I E E ++
=- （2）
由（1）式得：
1
He He E E I +=-
将（2）式代入，得：
2121
He He He E E I E I I ++=-=--
()()
12120I I I I =-+=-+
()24.5954.3878.97eV eV eV
=-+=-
推而广之，含有n 个电子的多电子原子A ，其基态能量等于各级电离能之和的负值，即：
1n
A i
i E I ==-∑
（c ）用J （s ，s ）表示He 原子中两个1s 电子的互斥能，则：
()
2,He He E E J s s +=+
(),2He He J s s E E +
=-
()
78.97254.3829.79eV eV eV =--?-=
也可直接由
2I 1I 减求算J （s ，s ）
，两法本质相同。 （d ）
()2
2
213.59521He
E eV σ??-=-????????
()()1
122
78.972213.595213.5952He
E eV eV eV σ?
???-=-=-?
???
-?-?????
2 1.7040.3=-≈ （e ）H －是核电荷为1的两电子“原子”，其基组态为（1s ）2
，因而基态能量为：
()2
13.59512
H E eV σ-??=-?-???
()2
13.59510.3213.32eV eV ??=-?-???=-
【2.19】写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：(a)Si; (b)Mn; (c)Br; (d)Nb; (e)Ni
解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，电子的自旋互相抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互抵消，不必考虑），根据 Hund 规则推出原子最低能态的自旋量子数S ，角量子数L 和总量子数J ，进而写出最稳定的光谱支项。
（a ）
Si ：[]2233Ne s p 1
1↑↑
-
3
01,1;1,1;0;S
L m S m L L S P ====-= （b ）
Mn ：[]2543Ar s d
21
1
2↑
↑
↑↑↑--
65/2
555
,;0,0;;222S L m S m L L S S ====-=
（c ）
Br ：
[]2105434Ar s d p 10
1↑↑↓↑↓
-
23/2
113
,;1,1;;222S L m S m L L S P ====+=
（d ）
Nb ：
[]1454Kr s d 2101
2↑
↑↑↑--
61/2
551
,;2,2;;222S L m S m L L S D ====-=
（e ）
Ni ：[]2843Ar s d
2101
2↑↓
↑↓↑↓↑↑--
341,1;3,3;4,S L m S m L L S F ====+=
【2.20】写出Na 原子的基组态、F 原子的基组态和碳原子的激发态（1s 2
2s 2
2p 1
3p 1
）存在的光谱支项符号。
解：Na 原子的基组态为2261(1)(2)(2)(3)s s p s 。其中1s ，2s 和2p 三个电子层皆充满电
子，它们对对整个原子的轨道角动量和自旋角动量均无贡献。Na 原子的轨道角动量和自旋
角动量仅由3s 电子决定：120,L S ==，故光谱项为2S ；J 只能为1
2，故光谱支项为21/2S 。
F 原子的基组态为(1s)2(2s)2(2p)5
。与上述理由相同，该组态的光谱项和光谱支项只决定于(2p)5
组态。根据等价电子组态的“电子----空位”关系，(2p)5
组态与(2p)1
组态具有相同的项谱。因此，本问题转化为推求(2p)1
组态的光谱项和光谱支项。这里只有一个电子，
12,1S L ==，故光谱项为2P 。又31221J =+=或11221J =-=，因此有两个光谱支项：23/2
P 和21/2P 。
对C 原子激发态（1s 22s 22p 13p 1），只考虑组态(2p)1 (3p)1
即可。2p 和3p 的电子是不等价电子，因而(2p)1
(3p)1
组态不受Pauli 原理限制，可按下述步骤推求其项谱：由
121,1l l ==得
2,1,0L =；由111222,s s ==得1,0S =。因此可得6个光谱项：333111,,,,,D P S D P S 。根
据自旋----轨道相互作用，每一光谱项又分裂为数目不等的光谱支项，如3
D ，它分裂为
3
332,D D 和31D 等三个支项。6个光谱项共分裂为10个光谱支项：
3
3333331113212101210
,,,,,,,,,D D D P P P S D P S
【2.21】基态Ni 原子的可能的电子组态为：（a ）[Ar]3d 8
4s 2
; (b)[Ar]3d 9
4s 1
，由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为3
F 4。试判断它是哪种组态。
解：分别求出a ，b 两种电子组态能量最低的光谱支项，与实验结果对照，即可确定正确的电子组态。
组态a ：1,1;3,3;4S L m S m L L S ====+=。因此，能量最低的光谱支项为3
4F ，与
光谱实验结果相同。
组态b ：1,1;2,2;3S L m S m L L S ====+=。因此，能量最低的光谱支项为33D ，
与光谱实验结果不同。
所以，基态Ni 原子的电子组态为
[]8234Ar d s
【2.23】原子吸收光谱分析较原子发射光谱分析有那些优缺点，为什么？
解：原子从某一激发态跃迁回基态，发射出具有一定波长的一条光线，而从其他可能的激发态跃迁回基态以及在某些激发态之间的跃迁都可发射出具有不同波长的光线，这些光线形成了原子发射光谱。
原子吸收光谱是由已分散成蒸气状态的基态原子吸收光源所发出的特征辐射后在光源光谱中产生的暗线形成的。
基于上述机理，原子吸收光谱分析同原子发射光谱分析相比具有下列优点：
①灵敏度高。这是因为，在一般火焰温度下(2000～3000K)，原子蒸气中激发态原于数目只占基态原子数目的10-13
～10-3
左右。因此，在通常条件下，原子蒸气中参与产生吸收光谱的基态原子数远远大于可能产生发射光谱的激发态原子数。
②准确度较好。如上所述，处于热平衡状态时，原子蒸气中激发态原子的数目极小，外界条件的变化所引起的原子数目的波动，对于发射光谱会有较大的影响，而对于吸收光谱影响较小。例如，假设蒸气中激发态原子占0.1%，则基态原子为99.9%。若外界条件的变化引起0.1%原子的波动，则相对发射光谱会有1%的波动影响，而对吸收光谱．波动影响只近于0.1%。
③谱线简单，受试样组成影响小。空心阴极灯光源发射出的特征光，只与待测元素的原子从其基态跃迁到激发态所需要的能量相当，只有试样中的待测元素的原子吸收、其他元素的原子不吸收此光。因而不干扰待测元素的测定。这使谱线简单，也避免了测定前大量而繁杂的分离工作。
④仪器、设备简单，操作方便、快速。
【2.24】什么是X 射线荧光分析?X 射线怎样分光?
解：利用能量足够高的X 射线照射试样，可产生频率低于原生X 射线的次生X 荧光射线。产生X 荧光的机理与产生原生特征X 射线的机理相似，即由高能的原生X 射线的光子轰击原于内层电子，再由其他内层电子补位而产生X 荧光。这些具有一定特征的次生X 光形成了X 荧光光谱。利用分光计分析X 射线荧光光谱(即测定特征谱线的波长和强度)，鉴定样品的化学成分及其含量，称为X 射线荧光分析。
X 射线一般用晶体光栅进行分光。
【2.25】什么是电子探针?有何优点?
解：电子探针全名为电子探针X 射线显微分析仪，又叫微区X 射线谱分析仪。它是利用经过加速和聚焦的极细的电子束作为探针，激发试样中某一微小区域，使其发出特征X 射线，测定该X 射线的波长和强度，即可对该微区所含的元素作定性和定量分析。
电子探针已成为人们研究物质亚微观结构的有力工具。它具有以下优点： (1)能进行微区分析。可分析体积为数个(μm)3
内元素的成分。
(2)能进行现场分析。无需把分析对象从样品中取出，可直接对大块试样中的微小区域进行分析。把电子显微境和电子探针结合，可把在显微镜下观察到的显微组织与元素成分联系起来。
(3)分析范围广。除H ，He ，Li ，Be 等少数轻元素外，其他元素都可用它进行定性和定量分析
【3.2】写出2O ，2O +，22O -
的键级，键长长短次序和磁性。
解：
分子（或离子） 2O + 2O 2O - 22O -
键 级 2.5
2 1.5
1
键长次序 22
22
2
O O O O +--<<<
磁 性
顺磁 顺磁 顺磁 抗磁
【3.3】2H 分子基态的电子组态为()2
1s σ，其激发态有
()a 1s s σσ*↑↓ ,()*11s s b σσ↑↑,()*
11s s c σσ↑↓
试比较
()a ，()b ，()c 三者能级的高低次序，说明理由，能量最低的激发态是顺磁性还是
反磁性？
解：c a b E E E >?。因为（c ）中两个电子都在反键轨道上，与H 原子的基态能量相
比，
c E 约高出2β-。而（a ）和（b ）中的2个电子分别处在成键轨道和反键轨道上，a E 和
b E 都与H 原子的基态能量相近，但（a ）中2个电子的自旋相反，
（b ）中的2个电子的自旋
相同，因而
a E 稍高于
b E 。
能级最低的激发态（b ）是顺磁性的。
【3.6】据分子轨道理论，指出2Cl 的键比2Cl +
的键是强还是弱，为什么？
解：2Cl 的键比2Cl +
的键弱。
原因是：2Cl 的基态价电子组态为2*224*433333()()()()()x s s p p p σσσππ，键级为1。2Cl +
比2
Cl 少1个反键电子，键级为1.5
【3.11】CF 和CF +的键能分别为548和7531
KJ mol -?，试用分子轨道理论探讨其键级（按
2F 能级次序）
。
解：CF 的基态价电子组态为：
()()()()()2224112312σσσππ
因而其键级为()1
83 2.52-=。而CF +比CF 少一个反键电子，因而，其键级为3。所以CF
+的键能比CF 的键能大。
【3.15】79
H Br 在远红外区有一系列间隔为1
16.94cm -的谱线，计算HBr 分子的转动惯量和平衡核间距。
解：双原子分子的转动可用刚性转子模型来模拟。据此模型，可建立起双原子分子的Schr?dinger 方程。解之，便得到转动波函数
R ψ、转动能级E R 和转动量子数J 。由E R
的表
达式可推演出分子在相邻两能级间跃迁所产生的吸收光的波数为：
2(1)B J ν
=+% 而相邻两条谱线的波数之差(亦即第一条谱线的波数)为：
2B ν?=%
B 为转动常数：
28h B Ic π=
由题意知，H 79
Br 分子的转动常数为 B ＝16.94cm -1
/2＝8.470 cm -1
所以，其转动惯量为：
3422
2181
6.62621088(8.47010)(2.997910)h J s I Bc m m s ππ---??==????? 472
3.30810kg m -=??
H 79
Br 的约化质量为：
271.64310H Br
H Br
m m kg
m m μ-=
=?+
所以，其平衡核间距为：
12
47227
3.30810141.91.64310e I kg m r pm kg μ--??????=== ? ??????
【3.16】1216
C O 的核间距为112.83pm ，计算其纯转动光谱前4条谱线所应具有的波数。
解： 12C 16
O 的折合质量为：
()326121610 1.1385101216A
kg N μ--?=?=?+
因而其转动常数为：
22/8B h r c πμ=
()
234226128-16.626210J s /8 1.138510kg 112.8310m 2.997910m s π---??=???????????g g 11.932cm -=
第一条谱线的波数以及相邻两条谱线的波数差都是2B ，所以前4条谱线的波数分别为：
11
122 1.932 3.864v B cm cm --==?=
11244 1.9327.728v B cm cm --==?= 11366 1.93211.592v B cm cm --==?= 11488 1.93215.456v B cm cm --==?=
亦可用式：
()
21v B J =+
进行计算，式中的J 分别为0，1，2，和3。
【3.20】在CO 的振动光谱中观察到1
2169.8cm -强吸收峰，若将CO 的简正振动看做谐振子，计算CO 的简正振动频率、力常数和零点能。 解：
81212.998102169.810v cv m s m --==???g 1316.50510s -=? ()313126
31231
12.011016.0010 1.1391012.0116.0010 6.02210kg mol kg mol kg kg mol mol
μ--------???==?+???g g g
2224k c v πμ=
()()
2
2
2
8
12
1261
4 2.998102169.810 1.139101901m s m kg
N m
π
----=?????=g g
348121011
6.62610 2.998102169.81022E hcv J s m s m ---=
=??????g g
20
2.15510J -=?
第一章 量子理论 1. 说明??????-=) (2cos ),(0t x a t x a νλπ及??? ???-=) (2sin ),(0t x a t x a νλπ都是波动方程 2 22 22) ,(1),(t t x a c x t x a ??=??的解。 提示：将),(t x a 代入方程式两端，经过运算后，视其是否相同。 解：利用三角函数的微分公式 )cos()sin(ax a ax x =??和)sin()cos(ax a ax x -=?? ，将 ?? ????-=) (2c o s ),(0t x a t x a νλπ代入方程： ? ?? ???-??? ??-=??? ? ????????--??=??? ?????????-????=??????-??=) (2cos 2 ) (2sin 2 ) (2cos ) (2cos 2 00 0022t x a t x x a t x x x a t x a x νλπλπνλπλπνλπνλπ左边 ()??????--=???? ????????-??= ?? ? ?????????-????=??????-??=) (2cos 2 ) (2sin 2 ) (2cos ) (2cos 122020200222t x c a t x x c a t x t t c a t x a t c νλππννλππννλπνλπ右边 对于电磁波νλ=c ，所以?? ? ???-=) (2cos ),(0t x a t x a νλπ是波动方程的一个解。 对于?? ? ???-=) (2sin ),(0t x a t x a νλπ，可以通过类似的计算而加以证明： ?? ? ???-??? ??-=??????-??=) (2sin 2) (2sin 2 0022t x a t x a x νλπλπνλπ左边 ()?? ? ???--=??????-??=) (2sin 2) (2sin 12200222t x c a t x a t c νλππννλπ右边 2. 试根据Planck 黑体辐射公式，推证Stefan 定律：4 T I σ=，给出σ的表示式，并计算它的数值。 提示：?∞ =0)(ννd E E , I =cE /4 解：将ννπνννd e c h d E kT h ? ?? ???-= 118)(3 3 代入上式，?∞? ?? ???-=033118ννπνd e c h E kT h 作变量代换kT h x /ν=后，上式变为，
02 原子的结构和性质 【2.1】氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为656.47、486.27、434.17和410.29nm ，试通过数学处理将谱线的波数归纳成为下式表示，并求出常数R 及整数n 1、n 2的数值。 2212 11 ( )R n n ν=-% 解：将各波长换算成波数： 1656.47nm λ= 1115233v cm - -= 2486.27nm λ= 1220565v cm - -= 3434.17nm λ= 1323032v cm - -= 4410.29nm λ= 1424373v cm - -= 由于这些谱线相邻，可令1n m =，21,2,n m m =++……。列出下列4式： ()2 2152331R R m m = - + ()22205652R R m m =- + ()2 2230323R R m m = - + ()2 2243734R R m m =- + (1)÷(2)得： ()()()2 3212152330.7407252056541m m m ++==+ 用尝试法得m=2（任意两式计算，结果皆同）。将m=2带入上列4式中任意一式，得： 1109678R cm -= 因而，氢原子可见光谱（Balmer 线系）各谱线的波数可归纳为下式： 221211v R n n - ??=- ? ?? 式中， 1 12109678,2,3,4,5,6R cm n n -===。 【2.2】按Bohr 模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径（分别用原子的折合质量和电子的质量计算并精确到5位有效数字）和线速度。 解：根据Bohr 提出的氢原子结构模型，当电子稳定地绕核做圆周运动时，其向心力与核和电子间的库仑引力大小相等，即：
02 原子的结构和性质 【】氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为、、和，试通过数学处理将谱线的波数归纳成为下式表示，并求出常数R 及整数n 1、n 2的数值。 2 21211 ( )R n n ν=- 解：将各波长换算成波数： 1656.47nm λ= 1115233v cm - -= 2486.27nm λ= 1220565v cm - -= 3434.17nm λ= 1323032v cm - -= 4410.29nm λ= 1424373v cm - -= 由于这些谱线相邻，可令1n m =，21,2,n m m =++……。列出下列4式： ()2 2152331R R m m = - + ()22205652R R m m =- + ()2 2230323R R m m = - + ()2 2243734R R m m =- + (1)÷(2)得： ()()()2 3212152330.7407252056541m m m ++==+ 用尝试法得m=2（任意两式计算，结果皆同）。将m=2带入上列4式中任意一式，得： 1109678R cm -= 因而，氢原子可见光谱（Balmer 线系）各谱线的波数可归纳为下式： 221211v R n n - ??=- ? ?? 式中， 1 12109678,2,3,4,5,6R cm n n -===。 【】按Bohr 模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径（分别用原子的折合质量和电子的质量计算并精确到5位有效数字）和线速度。 解：根据Bohr 提出的氢原子结构模型，当电子稳定地绕核做圆周运动时，其向心力与核和电子间的库仑引力大小相等，即：
第一章习题 一、选择题 1. 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式---------------( ) (A) λc h E = (B) 22 2λm h E = (C) 2) 25.12 (λe E = (D) A ，B ，C 都可以 2. 下列哪些算符是线性算符---------------------------------------------------------------- ( ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 一个在一维势箱中运动的粒子， (1) 其能量随着量子数n 的增大：------------------------ ( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 (2) 其能级差 E n +1-E n 随着势箱长度的增大：-------------------( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 4. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ---------------------------------（ ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 5. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：-------------------------（ ） (A)电子自旋(保里原理) (B)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (C)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (D)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理 6. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：--------------------------------------（ ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得 (C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设 二、填空题 1. 光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 2. 在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 3. 质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动， (1) 体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2) 体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3) 体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ； (4) 势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________； 三、问答题 1. 写出一个合格的波函数所应具有的条件。 2. 指出下列论述是哪个科学家的功绩： (1)证明了光具有波粒二象性； (2)提出了实物微粒具有波粒二象性； (3)提出了微观粒子受测不准关系的限制； (4)提出了实物微粒的运动规律-Schr?dinger 方程； (5)提出实物微粒波是物质波、概率波。 四、计算题 1. 一子弹运动速率为300 m·s -1，假设其位置的不确定度为 4.4×10-31 m ，速率不确定度为 0.01%×300 m·s -1 ，根据测不准关系式，求该子弹的质量。 2. 计算德布罗意波长为70.8 pm 的电子所具有的动量。
结构化学第一章习题
《结构化学》第一章习题 1001 首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck 1002 光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1003 德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。 1004 在电子衍射实验中，│ψ│2 对一个电子来说，代表___________________。 1005 求德布罗意波长为0.1 nm 的电子的动量和动能。 1006 波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知铯的临阈波长为600 nm 。 1007 光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射的电子最大速率是多 少？ (1 eV=1.602×10-19J ， 电子质量m e =9.109×10-31 kg) 1008 计算电子在10 kV 电压加速下运动的波长。 1009 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式---------------( ) (A) λc h E = (B) 2 2 2λm h E = (C) 2) 25.12 (λ e E = (D) A ，B ，C 都可以 1010 对一个运动速率v< 《结构化学》第一章习题 1001 首先提出能量量子化假定得科学家就是:---------------------------( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck 1002 光波粒二象性得关系式为_______________________________________。 1003 德布罗意关系式为____________________;宏观物体得λ值比微观物体得λ值_______________。 1004 在电子衍射实验中,││2对一个电子来说,代表___________________。 1005 求德布罗意波长为0、1 nm得电子得动量与动能。 1006 波长λ=400 nm得光照射到金属铯上,计算金属铯所放出得光电子得速率。已知铯得临阈波长为600 nm。1007 光电池阴极钾表面得功函数就是2、26 eV。当波长为350 nm得光照到电池时,发射得电子最大速率就是多少？ (1 eV=1、602×10-19J, 电子质量m e=9、109×10-31 kg) 1008 计算电子在10 kV电压加速下运动得波长。 1009 任一自由得实物粒子,其波长为λ,今欲求其能量,须用下列哪个公式---------------( ) (A) (B) (C) (D) A,B,C都可以 1010 对一个运动速率v< 一、填空题 1. 已知:类氢离子He +的某一状态Ψ=0202/30)22()2(241a r e a r a -?-?π此状态的n ，l ，m 值分别为_____________________.其能量为_____________________,角动量平方为_________________.角动量在Z 轴方向分量为_________. 2. He +的3p z 轨道有_____个径向节面， 有_____个角度节面。 3. 如一原子轨道的磁量子数m=0，主量子数n ≤2，则可能的轨道为__________。 二、选择题 1. 在外磁场下，多电子原子的能量与下列哪些量子数有关（ ） A. n,l B. n,l,m C. n D. n,m 2. 用来表示核外某电子运动状况的下列各组量子数（n ，l ，m ，ms ）中，哪一组是合理的（） A. （2，1，-1，-1/2） B. （0，0，0，1/2） C. （3，1，2，1/2） D.（2，1，0，0） 3. 如果一个原子的主量子数是4，则它（ ） A. 只有s 、p 电子 B. 只有s 、p 、d 电子 C. 只有s 、p 、d 和f 电子 D. 有s 、p 电子 4. 对氢原子Φ方程求解,下列叙述有错的是( ). A. 可得复函数解Φ=ΦΦim m Ae )(. B. 由Φ方程复函数解进行线性组合,可得到实函数解. C. 根据Φm (Φ)函数的单值性,可确定|m|=0.1.2…………I D. 根据归一化条件1)(220=ΦΦΦ?d m π求得π21 =A 5. He +的一个电子处于总节面数为3的d 态问电子的能量应为 ( ). A.1 B.1/9 C.1/4 D.1/16 6. 电子在核附近有非零几率密度的原子轨道是( ). A.Ψ3P B. Ψ3d C.Ψ2P D.Ψ2S 7. 氢原子处于下列各状态 (1)ψ2px (2) ψ3dxz (3) ψ3pz (4) ψ3dz 2 (5)ψ322 ，问哪些状态既是M 2算符的本征函数，又是M z 算符的本征函数? A. (1) (3) B. (2) (4) C. (3) (4) (5) D. (1) (2) (5) 结构化学复习题 一、选择填空题 第一章量子力学基础知识 1.实物微粒和光一样，既有性，又有性，这种性质称为性。 2.光的微粒性由实验证实，电子波动性由实验证实。 3.电子具有波动性，其波长与下列哪种电磁波同数量级？ （ A）X 射线（B）紫外线（C）可见光（D）红外线 4.电子自旋的假设是被下列何人的实验证明的？ （ A） Zeeman （ B） Gouy（C）Stark（D）Stern-Gerlach 5. 如果 f 和 g 是算符，则(f+g)(f-g)等于下列的哪一个？ (A)f 2-g 2；(B)f2-g2-fg+gf；(C)f2+g2；(D)(f-g)(f+g) 6.在能量的本征态下，下列哪种说法是正确的？ （ A）只有能量有确定值；（B）所有力学量都有确定值； （ C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值； 7. 试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式------ 8.微观粒子的任何一个状态都可以用 概率密度。 9.Planck常数h的值为下列的哪一个？ （ A） 1.38 × 10-30 J/s（B）1.38× 10-16J/s 10.一维势箱中粒子的零点能是 答案 : 1.略. 2.略. 3.A 4.D 5.B 6.D 7. 来描述；表示粒子出现的（C） 6.02 × 10-27J· s（D）6.62×10-34J· s 略8.略9.D10.略 第二章原子的结构性质 1. 用来表示核外某电子的运动状态的下列各组量子数（n, 1, m, m s）中，哪一组是合理的？ (A)2 ，1， -1,-1/2；(B)0 ， 0，0， 1/2 ；(C)3 ，1， 2， 1/2 ；(D)2 ， 1， 0， 0。 2.若氢原子中的电子处于主量子数n=100 的能级上，其能量是下列的哪一个： (A)13.6Ev ；(B)13.6/10000eV；(C)-13.6/100eV；(D)-13.6/10000eV； 3.氢原子的 p x状态，其磁量子数为下列的哪一个？ (A)m=+1；(B)m=-1；(C)|m|=1；(D)m=0； 4.若将 N 原子的基电子组态写成 1s 22s22p x22p y1违背了下列哪一条？ (A)Pauli 原理；（ B） Hund 规则；（C）对称性一致的原则；（ D）Bohr 理论 5.B 原子的基态为1s22s2p1, 其光谱项为下列的哪一个？ (A) 2 P；（B）1S；(C)2D；(D)3P； 6.p 2组态的光谱基项是下列的哪一个？ （ A）3F；（B）1D；（C）3P；（D）1S； 7.p 电子的角动量大小为下列的哪一个？ （ A） h/2 π；（ B） 31/2 h/4 π；（ C） 21/2 h/2 π；（ D） 2h/2 π； 《结构化学》第六章习题 6001 试述正八面体场中，中心离子 d 轨道的分裂方式。 6002 试用分子轨道理论阐明 X -，NH 3 和 CN -的配体场强弱的次序。 6003 按配位场理论，在 O h 场中没有高低自旋络合物之分的组态是：---------------- ( ) (A) d 3 (B) d 4 (C) d 5 (D) d 6 (E) d 7 6004 凡是中心离子电子组态为d 6的八面体络合物，其 LFSE 都是相等的，这一说法是否正确？ 6005 络合物的中心离子的 d 轨道在正方形场中，将分裂成几个能级：---------------- ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 6006 Fe(CN)63-的 LFSE=________________。 6007 凡是在弱场配位体作用下，中心离子 d 电子一定取高自旋态；凡是在强场配位体作用下，中心离子 d 电子一定取低自旋态。这一结论是否正确？ 6008 Fe(CN)64-中，CN -是强场配位体，Fe 2+的电子排布为6g 2t ，故 LFSE 为_____________。 6009 尖晶石的一般表示式为 AB 2O 4， 其中氧离子为密堆积，当金属离子A 占据正四面体T d 空隙时，称为正常尖晶石，而当A 占据O h 空隙时，称为反尖晶石， 试从晶体 场稳定化能计算说明 NiAl 2O 4 晶体是什么型尖晶石结构( Ni 2+为d 8结构)。 6010 在 Fe(CN)64-中的 Fe 2+离子半径比 Fe(H 2O)62+中的 Fe 2+离子半径大还是小？为什么？ 6011 作图证明 CO 是个强配位体。 6012 CoF 63-的成对能为 21？000 cm -1，分裂能为 13？000 cm -1，试写出： (1) d 电子排布 (2) LFSE 值 (3) 电子自旋角动量 (4) 磁矩 6013 已知 ML 6络合物中(M 3+为d 6)，f =1，g = 20？000 cm -1，P = 25？000 cm -1，它的LFSE 绝对值等于多少？------------------------------------ ( ) (A) 0 (B) 25？000 cm -1 (C) 54？000 cm -1 (D) 8000 cm -1 6014 四角方锥可认为是正八面体从z 方向拉长，且下端没有配体 L 的情况。试从正八 面体场的 d 轨道能级图出发，作出四角方锥体场中的能级分裂图，并简述理由。 6015 某 AB 6n -型络合物属于O h 群，若中心原子 A 的d 电子数为6，试计算配位场稳定化能，并简单说明你的计算方案的理由。 6016 下列络合物哪些是高自旋的？------------------------------------ ( ) (A) [Co(NH 3)6]3+ (B) [Co(NH 3)6]2+ (C) [Co(CN)6]4- (D) [Co(H 2O)6]3+ 6017 凡是低自旋络合物一定是反磁性物质。这一说法是否正确？ 6018 Fe 的原子序数为26，化合物K 3[FeF 6]的磁矩为5.9玻尔磁子，而K 3[Fe(CN)6]的磁矩为1.7玻尔磁子，这种差别的原因是：------------------------------------ ( ) (A) 铁在这两种化合物中有不同的氧化数 (B) CN -离子比 F -离子引起的配位场分裂能更大 (C) 氟比碳或氮具有更大的电负性 (D) K 3[FeF 6]不是络合物 6019 已知[Fe(CN)6]3-，[FeF 6]3-络离子的磁矩分别为1.7B μ，5.9B μ (B μ为玻尔磁子)( Fe 原子序数26)， (1)请分别计算两种络合物中心离子未成对电子数； 《结构化学》第一章习题 1、设原子中电子的速度为1×106 m·s -1，试计算电子波的波长。若设子弹的质量为0.02g，速度为500 m·s-1，子弹波的波长为多少？从上述计算中，可得出何种结论？ 2、设子弹的m =50g，v =300m/s, Δv =0.01%, 求子弹位置的测不准值Δx为多少？如电子的m =9.1x10-28g，v =300m/s, Δv =0.01%, 试求电子的Δx。从上述计算中，可得出何种结论？ 3、原子中运动的电子，其速度约为106m/s，设Δv =0.1%，试计算Δx值，并可得出何种结论？ 4、若氢原子基态到第一激发态跃迁时，吸收光的波数为8.22×104 cm-1，求跃迁时所需能量。 5、一质量为m的粒子，在长为l的一维势箱中运动，根据其几率密度分布图，当粒子处于Ψ4时（），出现在l/8≤x≤3l/8内的概率是多少？ 7、对于一个在特定的一维势箱中的电子，观察到的最低跃迁频率为4.0×1014s-1， 求箱子的长度。 8、一维势箱中电子两运动状态分别为：和，证明它们为薛定谔方程的独立解。 9、质量为m的粒子在边长为a的立方势箱中运动，当分别等于12、14、27时，试写出其对应的简并轨道、简并态和简并度。 10、质量为m的粒子在边长为l的立方势箱中运动，计算其第四个能级和第六个能级的能量和简并度。 11、如图所示的直链共轭多烯中，π电子可 视为在一维势箱中运动的粒子，实际测得π电子由最高填充能级向最低空能级跃迁时吸收光谱波长为30.16×104 pm，试求该一维势箱的长度。 12、维生素A的结构如图所示，已知它在332nm处有一强吸收峰，这也是长波方向的第一个峰，试估计一维势箱的长度l。 13、2、下列函数中(A) cos kx (B) e -bx (C) e-ikx (D) ，问(1)哪些是的本征函数；(2)哪些是的本征函数；(3) 哪些是和的共同本征函数。 14、下列函数中：⑴sinx cosx ；⑵cos2x；⑶sin2x-cos2x，哪些是d/dx的本征函数，本征值是多少，哪些是d2/dx2的本征函数，本征值是多少？ 15、请写出“定核近似”条件下单电子原子的薛定谔方程，需说明算符化过程并需注明方程中各项含义。 16、试写出角动量的算符表示式。 17、证明是方程（）的解[l = 1，m =±1，k =l(l+1)]。 18、证明是算符的本征函数，并求其本征值。 19、证明在三维空间中运动的粒子，当处于本征态时，角动量大小具有确定值，并求角动量。已知角动量平方算符为： 。 20、为什么只有5个d轨道？试写出5个d轨道实数解的角度部分？以n=3为例写出5个d 轨道实数解与复数解间的关系。 21、氢原子中电子的一个状态函数为： Ψ2Pz = 1/4(z3/2πa03)1/2(zr/ a0)exp(-zr /2 a0)cosθ 求：（1）它的能量是多少（ev）？（2）角动量是多少？ （3）角动量在Z方向的分量是多少？（4）电子云的节面数？ 结构化学第二章原子的结构和性质习题及答案 https://www.doczj.com/doc/f513869547.html,work Information Technology Company.2020YEAR 一、填空题 1. 已知:类氢离子He +的某一状态Ψ=0202/30)22()2(241a r e a r a -?-?π此状态的n ，l ，m 值分别为_____________________.其能量为_____________________,角动量平方为_________________.角动量在Z 轴方向分量为_________. 2. He +的3p z 轨道有_____个径向节面， 有_____个角度节面。 3. 如一原子轨道的磁量子数m=0，主量子数n ≤2，则可能的轨道为 __________。 二、选择题 1. 在外磁场下，多电子原子的能量与下列哪些量子数有关（ ） A. n,l B. n,l,m C. n D. n,m 2. 用来表示核外某电子运动状况的下列各组量子数（n ，l ，m ，ms ）中，哪一组是合理的（） A. （2，1，-1，-1/2） B. （0，0，0，1/2） C. （3，1，2，1/2） D.（2，1，0，0） 3. 如果一个原子的主量子数是4，则它（ ） A. 只有s 、p 电子 B. 只有s 、p 、d 电子 C. 只有s 、p 、d 和f 电子 D. 有s 、p 电子 4. 对氢原子Φ方程求解,下列叙述有错的是( ). A. 可得复函数解Φ=ΦΦim m Ae )(. B. 由Φ方程复函数解进行线性组合,可得到实函数解. C. 根据Φm (Φ)函数的单值性,可确定|m|=0.1.2…………I D. 根据归一化条件1)(220=ΦΦΦ?d m π求得π21 =A 5. He +的一个电子处于总节面数为3的d 态问电子的能量应为 ( ). A.1 B.1/9 C.1/4 D.1/16 一、填空题 1.量子力学用Ψ(r,t)来描述 ，它在数学上要满足三个条件，分别是 ，∣Ψ∣2表示 。 2. 测不准关系是 ，它说明 3. 汤姆逊实验证明了 。 4. 一维势箱中的粒子的活动范围扩大时, 相应的能量值会 。 5. 导致“量子”概念引入的三个著名试验分别为 、 和 。 6. 方程?φ=a φ中，a 称为力学量算符?的 。 7. 如果某一个微观体系有多种可能状态，则由他们线性组合所得的状态也是体系的可能状态，这叫做 。 二、选择题 1. 几率密度不随时间改变的状态被称为（ B ） A. 物质波 B. 定态 C. 本征态 D. 基态 2. 函数()x e x f =(0x -≤≤∞) 的归一化常数是（ B ） A. 1/2 B. 1 C. 0 D. 2 3. 对于任意实物粒子，物质波波长为λ，欲求其动能可用（ A ） A. hc/λ B. h 2/2m λ2 C. eV D. mc 2 4. 公式0*=? τψψd n m (n m ≠) 称为波函数的（ D ） A. 单值性 B. 连续性 C. 归一性 D. 正交性 5. 下列算符为线性算符的是 （ D ） A. log B. d/dx C. D. ln 6. 下列算符为线性算符的是（ B ） A. sinex B. d 2/dx 2 C. D. cos2x 7. 下列算符中，哪些不是线性算符( C ) A. ?2 B. d dx C. 3 D. xy 8. 下列函数中不是22 dx d 的本征函数的是（ B ） A. x e B.2x C.x cos 3 D.x x cos sin + 9. 算符22 dx d 作用于函数x cos 5上，则本征值为（ C ） A. –5 B. 5 C. – 1 D. 1 01.量子力学基础知识 1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li 原子由电子组态(1s)2(2p)1 →(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以 1 4 1 7 1.491 104cm 1 670.8 10 7cm h N A6.626 10 34 J s 4.469 1014s 1 6.6023 1023mol-1 178.4kJ mol 波长λ /nm312.5365.0404.7546.1 光电子最大动能E k/10-19J 3.41 2.56 1.950.75 作“动能-频率” ，从图的斜率和截距计算出Plank 常数(h) 值、 钠的脱出功(W) 和临阈频率(ν 0)。 解：将各照射光波长换算成频率v,并将各频率与对应的光电子的最大动能E k 列于下表：λ/nm312.5365.0404.7546.1 v /1014s－19.598.217.41 5.49 E k/10 －19J 3.41 2.56 1.950.75 由表中数据作图，示于图中 由式 hv hv0 E k 推知 h E k E k v v0 v 即Planck 常数等于E k v图的斜率。选取两合适点，将E k 和v值带入上式，即可求出h。 2.70 1.05 10 19 J 34 h 14 16.60 1034 Jgs 8.50 600 1014 s 1 kJ· mol-1为单位的能量。 解： 8 2.998 108m s 670.8m 14 1 4.469 1014s 1 图 1.2 金属的E k 图 31 9.109 10 31 kg 1 2 6.626 10 34 Jgs 4.529 1014s 1 2 9.109 10 31kg 8.12 105mgs 1 1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长： -1 a) 质量为 10-10kg ，运动速度为 0.01m · s 的尘埃； b) 动能为 0.1eV 的中子； c) 动能为 300eV 的自由电子。 解：根据关系式： h 6.626 10 34 J s mv 10 10 kg 0.01m s 6.626 10 34 J s 2 1.675 10 27kg 0.1eV 1.602 10 19J eV 9.40 3 10-11m (3) h h p 2meV 6.626 10 34 J s 2 9.109 10 31kg 1.602 10 19C 300V 7.08 10 11m 【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 加速后运动时的波长。 图中直线与横坐标的交点所代表的 v 即金属的临界频率 v 0 ，由图可知， v 0 4.36 因此，金属钠的脱出功为： W hv 0 6.60 10 34Jgs 4.36 1014s 1 19 2.88 10 19 J 14 1 1014s 1 1.3】金属钾的临阈频率为 5.464×10-14 s -1，如用它作为光电极的阴极当用波长为 300nm 的 紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？ hv hv 0 解： 1 2h v v 0 2 m 12 mv 2 34 2 6.626 10 34 Jgs 2.998 108 mgs 300 10 9m 14 1 5.464 1014 s 1 (1) (2) 22 6.626 10 22 m 200kV ，计算电子 现代结构化学 2010.9 第一章 量子力学基础知识 练习题 1.（北师大95）微观粒子体系的定态波函数所描述的状态是（ B ） A. 波函数不随时间变化的状态 B ．几率密度不随时间变化的状态 C. 自旋角动量不随时间变化的状态 D. 粒子势能为零的状态 2.（北大93）ψ是描述微观体系（运动状态）的波函数。 3.（北师大20000）若11i e αψψψ=+，其中α为实常数，且1ψ已归一化，求 ψ的归一化常数。 解：设11()i A e αψψψ=+是归一化的， 2*21 111()()(2)1i i i i d A e e d A e e ααααψψτψψψψτ*-=++=++=?? A = = 4.（东北师大99）已知一束自由电子的能量值为E,写出其德布罗意波长表达式，并说明可用何种实验来验证（10分） h h P mv λ=== E=1/2mv 2 (mv)2=2mE 电子衍射实验 5.（中山97）（北大98）反映实物粒子波粒二象性的关系式为（,h E hv P λ == ） 6．（中山97）一维势箱长度为l ，则基态时粒子在(2 l )处出现的几率密度最大。 （中山2001）一维势箱中的粒子，已 知n x l πψ=，则在( 3(21),,......., 222l l n l n n n -)处出现的几率密度最大。 解法1：ψ的极大和极小在ψ2中都为极大值，所以求ψ的极值（包括极大和极小）位置就是几率密度极大的位置。 n x l πψ= 'cos 0 (21) 0,1,2,3 (2) (21) 0,1,2,3... 2 0 (21)2n n x l l n x m m l m l x m n x l m n ππψππ==+==+==≤≤∴+≤ 解法2： n x l πψ= 几率密度函数 2 22sin n x P l l πψ== 求极值：(sin2α=2Sin α?cos α) 22'2s i n c o s 22sin 022sin 0 = 0,1,2,3,... 22= 0 20,212 1,3,5 (21) 2n x n x n P l l l l n n x l l n x n x m m l l ml x n x m x l m n l n m n m m ml x m n n ππππππππ====== ≤≤∴≤===∴==-为边界，不是极值点为极大值，为极小值... 极大值位置为 7.（北大93）边长为l 的立方势箱中粒子的零点能是(2 2 38h E ml =) 一选择题 1、电子自旋是电子( c ) A 、具有一种类似地球自转的运动 B 、具有一种非轨道的运动 C 、具有一种空间轨道外的顺逆时针的自转 D 、具有一种空间轨道中的顺逆时针的自转 2、下列分子中哪些不存在大π键( a ) A. CH 2=CH-CH 2-CH=CH 2 B. CH 2=C=O C. CO(NH 2)2 D.C 6H 5CH=CHC 6H 5 3、某原子的电子组态为1s 22s 22p 63s 14d 1，其基谱项为( a ) A 3D B 1D C 3S D 1S 4、已知类氢波函数ψ2px 的各种图形，推测ψ3px 图形，下列结论不正确的是 （ b ）： A 、角度部分图形相同 B 、电子云相同 C 、径向分布不同 D 、界面图不同 5、单个电子的自旋角动量在z 轴方向上的分量是：（ d ） 6、 具有的π 键类型为：（ a ） A 、109π B 、108π C 、99π D 、119π 7、 下列光谱项不属于p 1d 1组态的是（ c ）。 A. 1P B . 1D C. 1S D. 3F 8、对氢原子和类氢离子的量子数l ，下列叙述不正确的是（ b ）。 A l 的取值规定m 的取值范围 B 它的取值与体系能量大小有关 C 它的最大可能取值由解方程决定 D 它的取值决定了|M| = )1(+l l 9、通过变分法计算得到的微观体系的能量总是（ c ）。 A 等于真实体系基态能量 B 大于真实体系基态能量 C 不小于真实体系基态能量 D 小于真实体系基态能量 10、已知类氢波函数Ψ2px 的各种图形，推测Ψ3px 图形，下列说法错误的是（ b ） A 角度部分的图形相同 B 电子云图相同 C 径向分布函数图不同 D 界面图不同 11、对氢原子Φ方程求解,下列叙述有错的是( c ). A. 可得复函数解Φ=ΦΦim m Ae )(. B. 由Φ方程复函数解进行线性组合,可得到实函数解. C. 根据Φm (Φ)函数的单值性,可确定|m |=0，1，2，……l 根据归一化条件1)(220=ΦΦΦ?d m π求得π21=A 12、He +的一个电子处于总节面数为3的d 态，问电子的能量应为?R 的 ( c ). A.1 B.1/9 C.1/4 D.1/16 13、电子在核附近有非零几率密度的原子轨道是( d ). 《结构化学》第一章习题 1001 首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck 1002 光波粒二象性的关系式为_______________________________________。 1003 德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值 _______________。 1004 在电子衍射实验中，│ψ│2 对一个电子来说，代表___________________。 1005 求德布罗意波长为0.1 nm 的电子的动量和动能。 1006 波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知铯 的临阈波长为600 nm 。 1007 光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射 的电子最大速率是多少？ (1 eV=1.602×10-19J ， 电子质量m e =9.109×10-31 kg) 1008 计算电子在10 kV 电压加速下运动的波长。 1009 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式 ---------------( ) (A) λc h E = (B) 22 2λm h E = (C) 2) 25 .12 (λ e E = (D) A ，B ，C 都可以 1010 对一个运动速率v< 1001 首先提出能量量子化假定的科学家是：Planck 1002 光波粒二象性的关系式为E =h ν p =h / 1003 德布罗意关系式为,mv h p h ==λ；宏观物体的λ值比微观物体的λ值 小 。 1004 在电子衍射实验中，│ψ│2 对一个电子来说，代表 电子概率密度 。 1009 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式 22 2λ m h E = 1010 对一个运动速率v<结构化学第一章习题
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