中考数学提高题专题复习勾股定理练习题附解析
一、选择题
1．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ，则该圆柱底面周长为（ ）
A ．20cm
B ．18cm
C ．25cm
D ．40cm
2．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB ＝3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为（ ）
A ．3
B ．6
C ．10
D ．9
3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )
A ．3
B ．
154
C ．5
D ．
152
4．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b=4，c=6 B ．a =1，2，3 C ．a =5，b=6，c=8
D ．a 3b=2，55．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与A
E 重合，则CD 等于（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
6．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ）
A ．6
B ．36
C ．64
D ．8 7．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )
A ．4
B ．16
C ．34
D ．4或34
8．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米
B ．15平方千米
C ．75平方千米
D ．750平方千米
9．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，设正方形ADOF 的边长为x ，则210x x +=（ ）
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
10．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A ．7,24,25
B ．
111,4,5222
C ．3,4,5
D ．114,7
,822
二、填空题
11．如图，在△中，
，∠
90°，是
边的中点，是
边上一动
点，则
的最小值是__________．
12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．
13．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．
14．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是_____．
16．如图，Rt ABC 中，90A ∠=?，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，1
3
CD BC =
，1
3
CE AC =
，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________
17．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.
18．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则
2________BD =．
19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．
20．在Rt ABC 中，90A ∠=?，其中一个锐角为60?，23BC =，点P 在直线AC 上（不与A ，C 两点重合），当30ABP ∠=?时，CP 的长为__________．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．
22．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．
（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC
（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）
23．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°
（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；
②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；
（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．
24．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、
BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．
（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=?，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转
90?）；
（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=?，1AM =，求BM 的长． 25．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．
(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；
②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；
(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．
26．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.
(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代
数式表示).
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0． （1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标； （3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．
28．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离
()
()2
2
121212PP x x y y =
-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂
直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.
已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．
29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且
满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ． （1）如图1，求∠BGD 的度数；
（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；
（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．
30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD
()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；
()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．
①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这
个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关
系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D
【分析】
将容器侧面展开，建立A 关于EG 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为最短路径，由勾股定理求出A ′D 即圆柱底面周长的一半，由此即可解题． 【详解】
解：如图，将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，
作A 关于E 的对称点A '，连接A B '交EG 于F ， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长， 即 25cm AF BF A B '+==， 延长BG ，过A '作A D BG '⊥于D ，
3cm AE A E '==，153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=， Rt A DB '∴△中，由勾股定理得：2222251520cm A D A B BD ''=--=，
∴该圆柱底面周长为：20240cm ?=，
故选D ． 【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
2．C
解析：C 【分析】 做点F 做FH
AD ⊥交AD 于点H ，因此要求出EF 的长，只要求出EH 和HF 即可；由折叠
的性质可得BE=DE=9-AE ，在Rt ABE △中应用勾股定理求得AE 和BE ，同理在
Rt BC F 'Rt ABE △中应用勾股定理求得BF ，在Rt EFH 中应用勾股定理即可求得EF ． 【详解】
过点F 做FH AD ⊥交AD 于点H ．
∵四边形EFC B '是四边形EFCD 沿EF 折叠所得， ∴ED=BE ，CF=C F '，3BC CD '== ∵ED=BE ，DE=AD-AE=9-AE ∴BE=9-AE
∵Rt ABE △，AB=3，BE=9-AE ∴()2
2293AE AE -=+ ∴AE=4 ∴DE=5
∴9C F BC BF BF '=-=- ∴Rt BC F '，3BC '=,9C F BF '=- ∴()2
2293BF BF -+= ∴BF=5，EH=1
∵Rt EFH ，HF=3，EH=1 ∴22223110EF EH HF =+=+故选：C ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
3．C
解析：C 【解析】
将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，
∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=15， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，
∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5， 所以S 2=x+4y=5， 故答案为5．
点睛：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．
4．B
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】
A 、2
2
2
346+≠，C 、2
2
2
568+≠，D 、2
2
2
2+≠
，故错误；
B 、2
2
213+
==
，能构成直角三角形，本选项正确.
故选B ． 【点睛】
本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.
5．B
解析：B 【分析】
根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △DEB 中利用勾股定理解决． 【详解】
解：在Rt △ABC 中， ∵AC ＝6，BC ＝8，
∴AB ＝10，
△ADE 是由△ACD 翻折，
∴AC ＝AE ＝6，EB ＝AB?AE ＝10?6＝4， 设CD ＝DE ＝x ， 在Rt △DEB 中， ∵222DE EB DB +=， ∴()2
2248x x +=-， ∴x ＝3， ∴CD ＝3． 故答案为：B ． 【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
6．B
【分析】
根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．【详解】
解：A的面积等于100-64=36；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的证明：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
7．D
解析：D
【解析】
试题解析：当3和5
当5．
故选D．
8．A
解析：A
【解析】
分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：1
2
×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选A．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，整理方程即可．
【详解】
解：设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，
在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，
即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，
整理得，x2＋10x﹣24＝0，
∴x 2＋10x ＝24， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10．B
解析：B 【分析】
根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案． 【详解】
A 、22272425+=，能组成直角三角形，故正确；
B 、222
11145222??????+≠ ? ? ???????
，不能组成直角三角形，故错误； C 、222345+=，能组成直角三角形，故正确；
D 、22
21147822????+= ? ?????
，能组成直角三角形，故正确； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形．
二、填空题
11．
【解析】如图，过点作⊥
于点，延长
到点
，使
，连接
，交
于点
，连接
，此时
的值最小．连接，由对称性可知∠
45°，
，∴ ∠
90°.根据勾股定理可得
．
12．21021332【分析】
在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算
,,DF DE CE ''，可得CD ．
【详解】
∵90ACB ?∠=，4,2AC BC ==， ∴25AB =，
情况一：当25AD AB ==时，作AE CE ⊥于E ∴
1122BC AC AB AE ?=?，即455AE =，1455
DE = ∴2285
5
CE AC AE =
-=
∴22213CD CE DE =+=
情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ， ∴
1122BC AC AB BE ?=?，即455BE =，1455
DE = ∴2225
CE BC BE =
-=
∴22210CD CE DE =+=
情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E ∴
11
22
BC AC AB BE ?=?，
∴45BE =
35
5
CE ∴=
∵ABD △为等腰直角三角形 ∴1
52
BF DF AB ==
= ∴95
5
DE DF E F DF BE ''=+=+=
2535
5CE EE CE BF CE ''=-=-=-
=
∴2232CD CE E D ''=+=
故答案为：1021332【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 13．48 【分析】
用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．
【详解】
解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，
则()221S AB a b ==+，222
2S HE a b ==+，()2
23S TM a b ==-，
∵123144S S S ++=，
∴()()2
2
22144a b a b a b ++++-=
22222222144a b ab a b a b ab ++++++-= 2233144a b += 2248a b +=，
∴
248
S ．
故答案是：48．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．
14．310或10
【详解】
分两种情况：
（1）顶角是钝角时，如图1所示：
在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，
∴AO=4，
OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，
∴BC=310；
（2）顶角是锐角时，如图2所示：
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，
∴AD=4，
DB=AB-AD=5-4=1．
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，
∴10；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010．
【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．15．（0，21009）
【解析】
【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系．
【详解】∵∠OAA1=90°，OA=AA1=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，再以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…，
∴OA 1=2，OA 2=（2）2，…，OA 2018=（2）2018， ∵A 1、A 2、…，每8个一循环， ∵2018=252×8+2
∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=()
2018
2
=21009，
故答案为（0，21009）.
【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．
16．
53或203 【分析】
根据折叠后点C 的对应点H 与AC 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论． 【详解】
解：①当折叠后点C 的对应点H 在AC 的下方时，如下图所示
∵Rt ABC 中，90A ∠=?，8AC =，6AB =， 根据勾股定理可得2210AB AC +=
∵1
3CD BC =，13
CE AC =， ∴13CD BC =
=103，13
CE AC ==83
∵DE AC ⊥
根据勾股定理可得222CD CE -= 由折叠的性质可得：DH=CD=10
3
，CP=PH ∴EH=DH －DE=
43
设CP=PH=x ，则EP=CE －CP=83
－x 在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2
即（8
3
－x）2＋（
4
3
）2=x2
解得：x=5 3
即此时CP=5
3
；
②当折叠后点C的对应点H在AC的上方时，如下图所示
根据折叠的性质可得DH=CD=10
3
，CP=PH
∴EH=DH＋DE=16 3
设CP=PH=y，则EP= CP－CE =y－8 3
在Rt△PEH中，EP2＋EH2=PH2
即（y－8
3
）2＋（
16
3
）2=y2
解得：y=20 3
即此时CP=20
3
．
综上所述：CP=5
3
或
20
3
．
故答案为：5
3
或
20
3
．
【点睛】
此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
1715
【分析】
根据题意点B与点C关于AD对称，所以过点C作AB的垂线，与AD的交点即点P，求出CE即可得到答案
【详解】
∵8,AB AC AD BC ==⊥ ∴点B 与点C 关于AD 对称
过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小 ∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥ ∴BD=2
在Rt △A BC 中， 222282215AD AB BD =-=-=
∵S △ABC=
11
22
BC AD AB CE ??=?? ∴42158CE ?= 得15CE = 故此题填15
【点睛】
此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 18．41 【解析】
作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD ′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD ′中，
;BA CA BAD CAD AD AD ＝＝＝??
∠∠'???
∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），
∴BD=CD′， ∠DAD′=90°， 由勾股定理得
，
∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得
BD 2=41． 故答案是：41．
19．
78 【解析】
试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可． 试题解析：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°， ∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ， ∴∠DAC=∠D′AC， ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB， ∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC， 设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ， 在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2， ∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78
， 即BE 的长为
78
． 20
．2或4 【分析】
根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答． 【详解】 解：如图1：
【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是多少呢？ 【知识梳理】 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 2、勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数， 那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是 直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5、勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段 【经典例题】【例1】（2016山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角
勾股定理练习(根据对称求最小值) 基本模型：已知点A、B为直线m 同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM 有最小值。 1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到 直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（） A． 6 B．8 C．10 D．12
4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5． （1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长； （2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值 5、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 2， M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为． 6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边 上一点，则EM+BM的最小值为．
7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求 △PQR周长的最小值． 8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（） A．2 B．2 6C．3 D．6 9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm 10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.
勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ！ 3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 三、解答题 @ 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米
为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，· 如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形 《 的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用 关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方>
一、 选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab
类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一） 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习 一、填空题(共5道，每道4分) 1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______. 2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______． 3题图5题图 3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是_____. 4.教材5题：将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是_____. 5.教材10题：矩形ABCD中，BC=4，DC=3，将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，求EF的长_____. 二、解答题(共5道，每道10分) 1.教材9题：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=8cm，BC=6cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上的点C′处，求CD的长以及折痕BD的平方 1题图2题图 2.教材8题：如图，已知DE=m，BC=n，∠EBC与∠DCB互余，求+的值. 3.教材12题：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，求CN和AM的长. 3题图4题图5题图 4.教材14题：如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？ 5.教材16题：如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD=90km（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）？ 三、证明题(共3道，每道10分) 1.教材2题：如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，F为BC上的一点且BC=4CF，试说明△AEF是直角三角形.
18.2 勾股定理的逆定理 达标训练 一、基础·巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）. 图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6 3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. 4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF= 4 1AD ，试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 图18－2－7 6.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.
二、综合·应用 7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？ 8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形. 图18－2－8 9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图18－2－9 10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC 的形状. 解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC 是直角三角形. 问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________ ； ③本题的正确结论是_________ _.
17.1勾股定理练习题 一、选择题 1、直角三角形的斜边比一直角边长2cm ，另一直角边长为6cm ，则它的斜边长（ ） A 、4 cm B 、8 cm C 、10 cm D 、12 cm 2、如图①小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A 、 25 B 、 12.5 C 、 9 D 、 8.5 3、△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. A 、50a 元 B 、600a 元 C 、1200a 元 D 、1500a 元 4、如图②是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、 5、2、3，则最大正方形E 、94 5、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 6、等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、64 7、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2 =0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、15 8、△ABC 中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC 的周长是( ) A.42 B.32 C.42或32 D.37或33 9、如图③，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( ) A 、、25 C 、、35 10、如图④，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）. A 、12 B 、7 C 、5 D 、13 二、填空题 1、在Rt ?ABC 中，∠C=900 ，∠A,∠B,∠C 所对应的边分别是a,b,c. (1)若a=3cm,b=4cm,则c= ；(2)若a=8cm,c=17cm,则b= ； (3)若b=24cm,c=25cm,则a= ；(4)若a:b=3:4,c=10cm,则a= ,b= . 2、在Rt ?ABC 中，∠A=900 ，a=13cm,b=5cm,则第三边c= . 3、已知直角三角形的两边长为5,12，则第三边的长为 . 4、在RtABC 中，斜边AB=2，则AB 2+AC 2+BC 2 =______. 5、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 . 6、直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为 cm. 7、如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑的高度是 m. 8、在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC ∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________. 9、在Rt ?ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边的比为13:5，则这个三角形的斜边长是 . 10、已知?ABC 中，AB=AC=10，BD 是AC 边上的高，DC=2，则BD= . 11、在?ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边BC 的长为 . C C 图① 图② 图③
《勾股定理》练习题一、选择题（12×3′=36′） 1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A、25 B、14 C、7 D、7或25 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（） A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5 3．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（） A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（） A、121 B、120 C、132 D、不能确定 5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（） A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169 6．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（） A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（） A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 8．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A、56 B、48 C、40 D、32 9．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角
形. 10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 11．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（） A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ①已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15) 4、最短距离问题：主要 5、运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．
2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 5、(难）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为 ． S 3 S 2 S 1
勾股定理专题复习 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，.求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P.求证：. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 （二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 【变式】在数轴上表示的点。
6、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
勾股定理练习题 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ） A 、2k B 、k+1 C 、k 2－1 D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ） （A 2d （B d （C ）2d （D ）d 8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 9．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ） A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ） A ：底与边不相等的等腰三角形 B ：等边三角形 C ：钝角三角形 D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ． 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.
勾股定理经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少？ 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32
=16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
勾股定理提高练习题精编
勾股定理练习(根据对称求最小值) 基本模型：已知点A、B为直线m 同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM 有最小值。 1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到 直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（） A． 6 B．8 C．10 D．12 4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5． （1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长； （2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值
几何体展开求最短路径 1、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm？ 2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？ (建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙) 4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。
勾股定理经典例题详解 Last revised by LE LE in 2021
勾股定理经典例题详解 知识点一：勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 （2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中，所以。 方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。 在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。 知识点三：勾股定理的作用 1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系； 3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： ①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
勾股定理常考习题 勾股定理的直接应用： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 2、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 3.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，点Q 的坐标是（7,8），则线段PQ 的长为_____. 4、 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积是_________. > 5、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积是___________. 6、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。 7．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______． 8．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______． 9．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 10、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 11．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． > (A)7 (B)7或41 (C)24 (D)24或7 12．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 13. 等边三角形的边长为2，它的面积是___________ 14、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，则n____________。 15．在数轴上画出表示10 及13的点． 16、如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少 ~ 17．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)102 18.如图18－2－5，以Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别 为S 1、S 2、 S 3，且 S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. { 18题图 19题图 20题图 19．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )． | (A)150cm 2 (B)200cm 2 (C)225cm 2 (D)无法计算 20．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的 边长是______． 21．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3， 水平放置的4个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______． 方程思想的应用： 1、 如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ， 求、、的值。
第十七章勾股定理单元测试题 一、相信你的选择 1、如图,在Rt △AB Ｃ中,∠B ＝9０°,BC ＝1５，AC ＝17,以AB 为直径作半圆,则此半圆的面积为（ )． A.16π B ．１2π Ｃ.1０π D ．８π 2、已知直角三角形两边的长为３和4，则此三角形的周长为（ )． A ．12 B ．7＋7 Ｃ．12或7＋7 D ．以上都不对 3、如图，梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端Ｂ到地面的距 离为7m,现将梯子的底端A 向外移动到A ′,使梯子的底端A ′到墙根Ｏ的距离等于3m.同时 梯子的顶端B 下降至B ′,那么ＢB ′（ ）. A.小于1m B ．大于1m C ．等于1m D ．小于或等于1m 4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm,高８c ｍ的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子 露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是( )． A ．h ≤１７ｃm B ．B.h ≥8ｃm C ．１５cm ≤h ≤1６cm Ｄ.７c ｍ≤ｈ≤16cm 二、试试你的身手 5、在Rt △AB Ｃ中，∠C =90°，且2a =3b ，c ＝２13，则a ＝＿____,b =_____． 6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____(精确到个位). 7、如图，△ABC 中，AC =6，A Ｂ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝__＿_＿＿. 8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元. 三、挑战你的技能 9、如图,设四边形AB ＣD 是边长为１的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ＡCEF ,再以对角线AE 为边作第三个正方形ＡEGH ,如此下去． (1)记正方形ＡB ＣＤ的边长为a １＝1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2,ａ3， a 4,……,a n ,请求出a 2,a 3,a ４的值； （2)根据以上规律写出ａn 的表达式. 150o 20米30米
勾股定理 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2
(C)225cm2(D)无法计算 三、解答题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )． (A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个 二、填空题 11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______． 12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 三、解答题 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC 的长．