人教版勾股定理单元 期末复习提高题检测试卷
一、选择题
1.在ABC ?中,D 是直线BC 上一点,已知15AB =,12AD =,13AC =,5CD =,
则BC 的长为( ) A .4或14
B .10或14
C .14
D .10
2.如图,长方体的长为15cm ,宽为10cm ,高为20cm ,点B 离点C5cm ,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖,需要爬行的最短距离是( )cm .
A .25
B .20
C .24
D .105 3.如图所示,在中,
,
,
.分别以
,
,
为直径作
半圆(以
为直径的半圆恰好经过点,则图中阴影部分的面积是( )
A .4
B .5
C .7
D .6
4.如图,已知圆柱的底面直径6
BC π
=
,高3AB =,小虫在圆柱侧面爬行,从C 点爬到
A 点,然后再沿另一面爬回C 点,则小虫爬行的最短路程的平方为( )
A .18
B .48
C .120
D .72
5.如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从A 点绕到正上方B 点共四圈,已知易拉罐底面周长是12 cm ,高是20 cm ,那么所需彩带最短的是( )
A .13 cm
B .4cm
C .4cm
D .52 cm
6.若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ,且a 、b 都是正整数,则三角形其中一
边的长可能为() A .22
B .32
C .62
D .82
7.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中,即:今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远(如图),则折断后的竹子高度为多少尺?(1丈=10尺)( )
A .3
B .5
C .4.2
D .4 8.在△ABC 中,AB =10,BC =12,BC 边上的中线AD =8,则△ABC 边AB 上的高为( ) A .8
B .9.6
C .10
D .12
9.如图,在矩形ABCD 中,BC=6,CD=3,将△BCD 沿对角线BD 翻折,点C 落在点C '处,B C '交AD 于点E ,则线段DE 的长为( )
A .3
B .
154
C .5
D .
152
10.如图,点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2,分别以点A 和点B 为圆心,线段
AB 的长度为半径画弧,在数轴的上方交于点C .再以原点O 为圆心,OC 为半径画弧,与数轴的正半轴交于点M ,则点M 对应的数为( )
A .3.5
B .3
C 13
D 36
二、填空题
11.如图,在四边形ABCD 中,22AD =,3CD =,
45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=?,则BD 的长为__________.
12.如图,△ABC 是一个边长为1的等边三角形,BB 1是△ABC 的高,B 1B 2是△ABB 1的高,B 2B 3是△AB 1B 2的高,……B n-1B n 是△AB n-2B n-1的高,则B 4B 5的长是________,猜想B n-1B n 的长是________.
13.在△ABC 中,AB =6,AC =5,BC 边上的高AD =4,则△ABC 的周长为__________. 14.如图,在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ,点P 是线段AD 上一个动点,过点P 作PE AB ⊥于点E ,连接PB ,则PB PE +的最小值为________.
15.如图,在△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,AD 是角平分线,P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点,则BP +PQ 的最小值为_______.
16.如图,Rt△ABC 中,∠BCA =90°,AB 5AC =2,D 为斜边AB 上一动点(不与点
A ,
B 重合),DE ⊥A
C ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,连接EF ,则EF 的最小值是_____.
17.如图,在Rt ABC ?中,90ACB ∠=,2AC BC ==,D 为BC 边上一动点,作如图所示的AED ?使得AE AD =,且45EAD ∠=,连接EC ,则EC 的最小值为__________.
18.在△ABC 中,∠A=30°,∠B=90°,AC=8,点 D 在边 AB , 且 BD=3,点 P 是△ABC 边上的一个动点,若 AP=2PD 时,则 PD 的长是____________.
19.已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______
20.已知:如图,等腰Rt OAB ?的直角边OA 的长为1,以AB 边上的高1OA 为直角边,按逆时针方向作等腰11Rt OA B ?,11A B 与OB 相交于点2A ,若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ?,22A B 与1OB 相交于点3A ,按此作法进行下去,得到33OA B ?,
44OA B ?,…,则66OA B ?的周长是______.
三、解答题
21.如图,,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ?
?∠===是边上的两点,点P 从点A 开始沿A B →方向运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 沿B C A →→运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发,设出发的时间为t 秒. (1)出发2秒后,求线段PQ 的长;
(2)求点Q 在BC 上运动时,出发几秒后,PQB 是等腰三角形; (3)点Q 在边CA 上运动时,求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间.
22.(1)计算:1
3122
48233??-+÷ ? ???
; (2)已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=.判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,说明此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.
23.如图,在两个等腰直角ABC 和CDE △中,∠ACB = ∠DCE=90°.
(1)观察猜想:如图1,点E 在BC 上,线段AE 与BD 的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置,(1)中的结论还成立吗?说明理由;
(3)拓展延伸:把CDE △绕点C 在平面内自由旋转,若AC = BC=10,DE=12,当A 、E 、D 三点在直线上时,请直接写出 AD 的长.
24.Rt ABC ?中,90CAB ∠=,4AC =,8AB =,M N 、分别是边AB 和CB 上的动点,在图中画出AN MN +值最小时的图形,并直接写出AN MN +的最小值为 .
25.如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍,则称这个三角形是“优三角形”,这两条边的比称为“优比”(若这两边不等,则优比为较大边与较小边的比),记为k . (1)命题:“等边三角形为优三角形,其优比为1”,是真命题还是假命题? (2)已知ABC 为优三角形,AB c =,AC b =,BC a =,
①如图1,若90ACB ∠=?,b a ≥,6b =,求a 的值. ②如图2,若c b a ≥≥,求优比k 的取值范围.
(3)已知ABC 是优三角形,且120ABC ∠=?,4BC =,求ABC 的面积. 26.已知:如图,在ABC ?中,90ACB ∠=,以点B 为圆心,BC 的长为半径画弧,交线段AB 于点D ,以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,交线段AC 与点E . (1)根据题意用尺规作图补全图形(保留作图痕迹); (2)设,BC m AC n ==
①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗?并说明理由. ②若线段2AD EC =,求
m
n
的值.
27.如图,在△ABC 中,∠C =90°,把△ABC 沿直线DE 折叠,使△ADE 与△BDE 重合.
(1)若∠A =35°,则∠CBD 的度数为________; (2)若AC =8,BC =6,求AD 的长;
(3)当AB =m(m>0),△ABC 的面积为m +1时,求△BCD 的周长.(用含m 的代数式表示) 28.如图,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,ABC ?,ADE ?,AFO ?均为等边三角形,A 在y 轴正半轴上,点0()6,B -,点(6,0)C ,点D 在ABC ?内部,点E 在
ABC ?的外部,32=AD 30DOE ∠=?,OF 与AB 交于点G ,连接DF ,DG ,DO ,OE .
(1)求点A 的坐标;
(2)判断DF 与OE 的数量关系,并说明理由; (3)直接写出ADG ?的周长.
29.如图,在边长为2正方形ABCD 中,点O 是对角线AC 的中点,E 是线段OA 上一动点(不包括两个端点),连接BE .
(1)如图1,过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ,连接BF 交AC 于点G . ①求证:BE EF =;
②设AE x =,CG y =,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围. (2)在如图2中,请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
30.在平面直角坐标系中,点A (0,4),B (m ,0)在坐标轴上,点C ,O 关于直线AB 对称,点D 在线段AB 上.
(1)如图1,若m =8,求AB 的长;
(2)如图2,若m =4,连接OD ,在y 轴上取一点E ,使OD =DE ,求证:CE =2DE ; (3)如图3,若m =43,在射线AO 上裁取AF ,使AF =BD ,当CD +CF 的值最小时,请在图中画出点D 的位置,并直接写出这个最小值.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题 1.A 解析:A 【分析】
根据AC =13,AD =12,CD =5,可判断出△ADC 是直角三角形,在Rt △ADB 中求出BD ,继而可得出BC 的长度. 【详解】
∵AC =13,AD =12,CD =5, ∴222AD CD AC +=, ∴△ABD 是直角三角形,AD ⊥BC , 由于点D 在直线BC 上,分两种情况讨论: 当点D 在线段BC 上时,如图所示,
在Rt △ADB 中,229BD AB AD =-=,
则14BC BD CD =+=;
②当点D 在BC 延长线上时,如图所示,
在Rt △ADB 中,229BD AB AD =-=,
则4BC BD CD =-=.
故答案为:A. 【点睛】
本题考查勾股定理和逆定理,需要分类讨论,掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键.
2.A
解析:A 【分析】
分三种情况讨论:把左侧面展开到水平面上,连结AB ;把右侧面展开到正面上,连结AB ,;把向上的面展开到正面上,连结AB ;然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB ,再进行大小比较.
把左侧面展开到水平面上,连结AB ,如图1
()
2
210205925537AB =
++==
把右侧面展开到正面上,连结AB ,如图2
()
()2
2
2010562525AB =
++==
把向上的面展开到正面上,连结AB ,如图3
()
()2
2
10205725529AB =
++==925725625>>∴53752925>> ∴需要爬行的最短距离为25cm 故选:A . 【点睛】
本题考查了平面展开及其最短路径问题:先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.
解析:D 【解析】 【分析】
先利用勾股定理计算BC 的长度,然后阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积.
【详解】 解:在中 ∵,
,
∴,
∴BC=3,
∴阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直
径的半圆面积=6.故选D.
【点睛】
本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积.
4.D
解析:D 【分析】
要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解. 【详解】
解:把圆柱侧面展开,展开图如图所示,
点A ,C 的最短距离为线段AC 的长. ∵已知圆柱的底面直径6
BC π
=,
∴6
23AD ππ
=?
÷=,
在Rt ADC ?中,90ADC ∠=? ,3CD AB ==,
∴22218AC AD CD =+=,
∴从C 点爬到A 点,然后再沿另一面爬回C 点,则小虫爬行的最短路程的平方为
()
2
22472AC AC ==.
故选D.
本题考查了平面展开-最短路径问题,解题的关键是会将圆柱的侧面展开,并利用勾股定理解答.
5.D
解析:D
【解析】
【分析】
本题就是把圆柱的侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决..要求彩带的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理.
【详解】
如图,
由图可知,彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处,将易拉罐表面切开展开呈长方形,则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长,设彩带最短长度为xcm,
∵∵易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,
∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202,
所以彩带最短是52cm.
故选D.
【点睛】
本题考查了平面展开??最短路径问题,圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱底面周长,高等于圆柱的高,
6.B
解析:B
【解析】
由题可知(a-b)2+a2=(a+b)2,解得a=4b,所以直角三角形三边分别为3b,4b,5b,当b=8时,4b=32,故选B.
7.C
解析:C
【分析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可.
【详解】
解:设折断处离地面的高度OA是x尺,根据题意可得:
x 2+42=(10-x )2, 解得:x=4.2,
答:折断处离地面的高度OA 是4.2尺. 故选C . 【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用,根据题意正确应用勾股定理是解题关键.
8.B
解析:B 【分析】
如图,作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可. 【详解】
如图,作CE AB ⊥与E.
AD 是ABC ?的中线,BC =12, ∴BD=6,
10,8,6,AB AD BD ===
∴ 222AB AD BD =+,
90,ADB ∴∠= ,AD BC ∴⊥
11
,22
ABC S BC AD AB CE ?=
= 128
9.6.10
CE ?∴=
= 故选B.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.
9.B
解析:B
【分析】
首先根据题意得到BE=DE,然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程,解方程即可解决问题.
【详解】
解:设ED=x,则AE=6-x,
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EDB=∠DBC;
由题意得:∠EBD=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,
∴EB=ED=x;
由勾股定理得:
BE2=AB2+AE2,
即x2=9+(6-x)2,
解得:x=15
4
,
∴ED=15
4
.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题;解题的关键是根据翻折变换的性质,结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识,灵活进行判断、分析、推理或解答.
10.B
解析:B
【分析】
如图,作CD⊥AB于点D,由题意可得△ABC是等边三角形,从而可得BD、OD的长,然后根据勾股定理即可求出CD与OC的长,进而可得OM的长,于是可得答案.
【详解】
解:∵点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2,
∴OB=2,OA=4,
如图,作CD⊥AB于点D,则由题意得:CA=CB=AB=2,
∴△ABC是等边三角形,
∴BD=AD=1
1 2
AB=,
∴OD=OB+BD=3,CD==
∴OC===
∴OM=OC=
∴点M 对应的数为
23. 故选:B .
【点睛】
本题考查了实数与数轴、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识,属于常见题型,正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键.
二、填空题
11.5 【分析】
作AD′⊥AD ,AD′=AD 构建等腰直角三角形,根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′,证得BD=CD′,∠DAD′=90°,然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解. 【详解】
作AD′⊥
AD ,AD′=AD ,连接CD′,DD′,如图:
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD , ∴∠BAD=∠CAD′, 在△BAD 与△CAD′中,
{BA CA
BAD CAD AD AD =∠=∠=''
, ∴△BAD ≌△CAD′(SAS ), ∴BD=CD′,∠DAD′=90°, 由勾股定理得22()4AD AD +=',
∵∠D′DA+∠ADC=90°,
∴由勾股定理得5=, ∴BD=CD′=5 故答案为5. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形,正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键.
12 【分析】
根据等边三角形性质得出AB 1=CB 1=
1
2
,∠AB 1B =∠BB 1C =90°,由勾股定理求出BB 1=
ABC 1
1
3
ABB BCB S S
==
B 1B 2,由勾股定理求出BB 2,根据1
12
21
ABB BB B AB B S S
S
=+代入求出B 2B 3=,
B 3B 4=B 4B 5=,推出B n ﹣1B n =2
n . 【详解】
解:∵△ABC 是等边三角形, ∴BA =AC , ∵BB 1是△ABC 的高, ∴AB 1=CB 1=
1
2
,∠AB 1B =∠BB 1C =90°,
由勾股定理得:BB 1=;
∴△ABC 的面积是12×1=;
∴11
12ABB BCB S S
==?,
1
2
=×1×B 1B 2,
B 1B 2,
由勾股定理得:BB 234
=, ∵1
12
21
ABB BB B AB B S S
S
=+,
231311
2422
B B =???,
B 2B 3=38
, B 3B 4=3, B 4B 5=3, …,
B n ﹣1B n =3.
故答案为:3,3. 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质,勾股定理,三角形的面积等知识点的应用,关键是能根据计算结果得出规律. 13.1425+或825+ 【分析】
分两种情况考虑:如图1所示,此时△ABC 为锐角三角形,在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中,利用勾股定理求出BD 与DC 的长,由BD+DC 求出BC 的长,即可求出周长;如
图2所示,此时△ABC 为钝角三角形,同理由BD -CD 求出BC 的长,即可求出周长. 【详解】
解:分两种情况考虑:
如图1所示,此时△ABC 为锐角三角形,
在Rt △ABD 中,根据勾股定理得:22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中,根据勾股定理得:2222543AC AD --=,
∴BC=253+,
∴△ABC 的周长为:652531425++=+; 如图2所示,此时△ABC 为钝角三角形,
在Rt △ABD 中,根据勾股定理得:22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中,根据勾股定理得:2222543AC AD --=,
∴BC=253-,
∴△ABC 的周长为:65253825++=+ 综合上述,△ABC 的周长为:145+85+ 故答案为:145+825+ 【点睛】
此题考查了勾股定理,利用了分类讨论的思想,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
1415【分析】
根据题意点B 与点C 关于AD 对称,所以过点C 作AB 的垂线,与AD 的交点即点P ,求出CE 即可得到答案 【详解】
∵8,AB AC AD BC ==⊥ ∴点B 与点C 关于AD 对称
过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ,此时PB PE +最小 ∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥ ∴BD=2
在Rt △A BC 中, 222282215AD AB BD -=-=∵S △ABC=
11
22
BC AD AB CE ??=?? ∴42158CE ?= 得15CE =15
【点睛】
此题考察最短路径,根据题意找到对称点,作直角三角形,利用勾股定理解决问题15.6
【解析】
∵AB=AC,AD是角平分线,
∴AD⊥BC,BD=CD,
∴B点,C点关于AD对称,
如图,过C作CQ⊥AB于Q,交AD于P,
则CQ=BP+PQ的最小值,
根据勾股定理得,AD=8,
利用等面积法得:AB?CQ=BC?AD,
∴CQ=BC AD
AB
?
=
128
10
?
=9.6
故答案为:9.6.
点睛:此题是轴对称-最短路径问题,主要考查了角平分线的性质,对称的性质,勾股定理,等面积法,用等面积法求出CQ是解本题的关键.
1625
【解析】
试题分析:根据勾股定理可求出BC=1,然后根据∠BCA=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,证得四
边形CEDF是矩形,连接CD,则CD=EF,当CD⊥AB时,CD最短,即25
.
故答案为25 5
.
点睛:本题考查了勾股定理的运用,矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质,同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力.
17.22
-
根据已知条件,添加辅助线可得△EAC ≌△DAM (SAS ),进而得出当MD ⊥BC 时,CE 的值最小,转化成求DM 的最小值,通过已知值计算即可. 【详解】
解:如图所示,在AB 上取AM=AC=2, ∵90ACB ∠=,2AC BC ==, ∴∠CAB=45°, 又∵45EAD ∠=,
∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°, ∴∠EAC =∠DAB , ∴在△EAC 与△DAB 中
AE=AD ,∠EAF =∠DAB ,AC =AM , ∴△EAC ≌△DAM (SAS ) ∴CE=MD ,
∴当MD ⊥BC 时,CE 的值最小, ∵AC=BC=2, 由勾股定理可得2222AB AC BC =+=,
∴222=-BM , ∵∠B=45°,
∴△BDM 为等腰直角三角形, ∴DM=BD ,
由勾股定理可得222+BD DM =BM ∴DM=BD=22- ∴CE=DM=22- 故答案为:22-
【点睛】
本题考查了动点问题及全等三角形的构造,解题的关键是作出辅助线,得出全等三角形,找到CE 最小时的状态,化动为静. 18.3315【分析】
根据直角三角形的性质求出BC ,勾股定理求出AB ,根据直角三角形的性质列式计算即可.
解:如图
∵∠B=90°,∠A=30°, ∴BC=
12AC=1
2
×8=4, 由勾股定理得,22228443AC BC -=-=
43333AD ∴==
当点P 在AC 上时,∠A=30°,AP=2PD , ∴∠ADP=90°,
则AD 2+PD 2=AP 2,即(32=(2PD )2-PD 2, 解得,PD=3,
当点P 在AB 上时,AP=2PD ,3 ∴3
当点P 在BC 上时,AP=2PD , 设PD=x ,则AP=2x ,
由勾股定理得,BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3,
()(2
2
223
3x x ∴-=-
解得,15
故答案为:3315 【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质,如果直角三角形的两条直角边长分别是a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.
19.522,32++
【分析】
过B 作BF ⊥CA 于F ,构造直角三角形,分两种情况讨论,利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质,即可得到AC 的长. 【详解】 分两种情况:
①当∠C 为锐角时,如图所示,过B 作BF ⊥AC 于F ,