高中数学圆锥曲线范围、最值问题专题复习
1、已知椭圆C ：12222=+b
y a x (a >b >0)的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22
，
点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x =2上的点P (2,
3)满足|PF 2|=|F 1F 2|，直线l ：
y =kx +m 与椭圆C 交于不同的两点A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若在椭圆C 上存在点Q ，满足OQ OB OA λ=+（O 为坐标原点），求实数 的取值范围.
解：依题意有??
???+-==.3)2()2(,2222c c a c 得???==.
2,1a c 1b ∴=．∴方程1222=+y x
． (5)
分
（Ⅱ）由???=++=,
22,2
2y x m kx y 得0224)21(2
22=-+++m kmx x k ． 设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则???
????
+-=+-=+.2122,21422
21221k m x x k
km x x …………7分,
2
21212122)(k m
m x x k y y +=
++=+．
（1）当0=m 时，点A 、B 关于原点对称，则0=λ． （2）当0≠m 时，点A 、B 不关于原点对称，则0≠λ，
由OQ OB OA λ=+，得??????
?+=+=).(1),(12121y y y x x x Q Q λλ
即???????+=+-=.)21(2,)21(422k m y k km x Q Q λλ 点Q 在椭圆上，∴有2])
21(2[2])21(4[
22
22=+++-k m
k km λλ， 化简，得
2
2222)21()21(4k k m +=+λ．
212≠+k ，
∴
有
)21(4222k m +=λ…①…10分
)
21(8)22)(21(416222222m k m k m k -+=-+-=? ∴
由
>?，得
2221m k >+②
由①、②两式得2224m m λ>．0≠m ，42<∴λ，则
22<<-λ且0≠λ．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是
22<<-λ． …………………14分
2、如图，已知椭圆C :22
22x y 1(a b 0)a b +=>>的一个焦点是()1,0，两个焦点与短轴的一
个
端点构成等边三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点()Q 4,0且不与坐标轴垂直的直线
交椭圆C 于A 、B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为1A . （ⅰ）求证：直线1A B 过x 轴上一定点，并求出此定点坐标； （ⅱ）求△1OA B 面积的取值范围.
解：（Ⅰ）因为椭圆C 的一个焦点是()1,0，所以半焦距c 1=. 椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以
c 1
a 2
=，解得a 2,b 3.== 所以椭圆的标准方程为22
x y 143
+
=. ………… 4分
（Ⅱ）（i ）设直线l ：x my 4=+与22
x y 143
+
=联立并消去x 得： ()2
23m
4y 24my 360+++=.记()11A x ,y ，()22B x ,y ，
12224m y y 3m 4-+=
+，12
236
y y 3m 4
=+. ……………… 5分 由A 关于x 轴的对称点为1A ，得()111A x ,y -，根据题设条件设定点为()T t ,0，
得1TB TA k k =，即2121
y y
x t t x =--. 所
以
()()2112
212112124my y 4my y x y y x t y y y y ++++=
=
++12
122my y 4431y y =+=-=+
即定点()T 1,0
8分
（ii ）由（i ）中判别式0?>，解得m 2>. 可知直线1A B 过定点()T 1,0 所以()1OA B 212111
S OT y y y y 22
?=?--=+ …………………………… 10分
得
1OA B 2
124m
4
S 4243m m 3m
?=
=
++，令t m =,记()4t t 3t ?=+，得()24
t 13t
'?=-，当t 2>时，()t 0'?>.()4
t t 3t
?=+
在()2,+∞上为增函数，
所以4m 3m +
28233>+= ，得1OA B 33
0S 482
?<
2?
?
??
?
. ………………………………… 13分 3、如图，在椭圆)0(182
22>=+a y a
x 中，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，B 、D 分别
为椭圆的左、右顶点，A 为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF 1交椭圆于另一点C ，交y 轴于点E ，且点F 1、F 2三等分线段BD 。（I ）求a 的值；
（II ）若四边形EBCF 2为平行四边形，求点C 的坐标。 （III ）设μλμλ+=
=????求,,11CEO
O CF AEO
O AF S S S S 的取值范围。
解：（I ）∵F 1，F 2三等份BD ，
c a a c BD F F 3,23
1
2|,|31||21=?==∴即 …………1分
.3,0,9,8,22222=∴>=∴=+=a a a b c b a ……3分
（II ）由（I ）知11),0,1(),0,3(,3F F B a ∴--=为BF 2的中点，
21000000EBCF ,C,E F (1,0),C(x ,y ),E(2x ,y ),E y ,2x 0,x 2,
5∴---∴--==-若四边形为平行四边形关于对称设则在轴上分