曾谨言量子力学第二章习题解答

第二章习题解答

p.52

2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令

)]

r ()r ()r ()r ([m

2i ]

e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i )

(m 2i J e )r ( )

t (f )r ()t r (**Et i

Et i

**Et i

Et i

*

*Et

i

ψψψψψψψψψψψ

ψψψψ?-?=

?-?=?-?===-----）（）（，

可见t

J 与

无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：

ikr

ikr

e

r e

r -=

=

1

)2( 1

)1(2

1

ψ

ψ

从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：分量

只有和r J J 21

在球坐标中

?θθ?

θ??+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0 r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr

3

0202201*

1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )

(2 )1(==

+----=??-??=?-?=--ψψψψ

r

J 1 与同向。表示向外传播的球面波。

r mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )

(m 2i J )2(3

020

220ik r ik r ik r ik r *2

*2

22

-=-=---+-=??-??=

?-?=--ψψ

ψ

ψ 可见，

r

J 与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设ikx

e

x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？

∞==??∞

∞

dx dx ψψ*

∴波函数不能按1)(2

=?∞

dx x ψ方式归一化。

其相对位置几率分布函数为

1

2

==ψ

ω表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场

???

??>∞≤≤<∞=a x a

x x x U ，，，0 00)(

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程 )

()()()(22

22

x E x x U x dx

d

m ψψψ=+-

在各区域的具体形式为 Ⅰ：

)()()()(2 01112

22

x E x x U x dx d

m x ψψψ=+-

<

① Ⅱ：

)()(2 0 22222

x E x dx d

m a x ψψ=-

≤≤

② Ⅲ：

)()()()(2 3332

22

x E x x U x dx

d

m a x ψψψ=+-

>

③

由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须

0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为0

)(2)

(22

2

22

=+

x mE dx

x d ψψ

令

2

2

2

mE k

=

，得

)()

(22

2

22

=+x k dx x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④

根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤

)()(3

2a a ψψ=⑥

⑤ 0=?B

⑥ 0sin =?ka A

)

,3 ,2 ,1( 0

sin 0 ==?=∴≠n n ka ka A π

∴x

a n A x πψsin

)(2=

由归一化条件 1

)(2

=?

∞

dx x ψ 得

1

sin

2

2

=?

a

xdx a

n A

π

由

mn

a

b

a xdx a n x a

m δππ?

=

*2

sin

sin

x

a

n a

x a

A πψsin

2)(22=∴=

?

2

2

2

mE k

=

)

,3,2,1( 22

2

22 ==

?n n ma

E n π可见E 是量子化的。

对应于n E 的归一化的定态波函数为

???

??><≤≤=-a x a x a x xe a

n a t x t E i n n , ,0 0 ,sin 2),( π

ψ

#

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是

a A 1=

'

证：

??

?

?

?≥<+'=a x a x a x a n A n

,0 ),(sin πψ

（2.6-14）

由归一化，得

a

A a x a

n n a

A a A dx

a x a n A x

A dx a x a

n A dx

a x a

n A dx a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

2

2

2

2

2

2

2

22)

(sin 2

)(cos 2

2

)](cos 1[2

1)(sin 1'=+?

'-

'=+'-'=+-'=+'=

=

-----∞?

?

?

?

ππ

πππψ

∴归一化常数

a A 1

=

' #

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

解：222

122)(x xe

x ααπ

αψ-?=

2

2

2

22

3

22

2

112 24)

()(x

x

e

x e

x x x ααπ

α

π

α

α

ψω--?=

??

==

2

2

]22[2 )

(3

2

3

1x

e

x x dx

x d ααπ

α

ω--=

令0

)

(1=dx

x d ω，得

±∞

=±

==x x x 1

0α

由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，

时，0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。

2

2

2

2)]251[(4)]22(2)62[(2 )(

4

4

2

2

3

322223

2

12

x

x

e

x x e

x x x x dx

x d ααααπ

α

αααπ

α

ω----=

---=

而

1

42

)

(3

2

12

12

<-=±

=e

dx

x d x πα

ω

可见μωα

±

=±

=1

x 是所求几率最大的位置。 #

2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

)

()()()(22

22

x E x x U x dx

d

ψψψμ=+-

①

将式中的)(x x -以代换，得

)

()()()(22

22

x E x x U x dx

d

-=--+--ψψψμ

②

利用)()(x U x U =-，得

)

()()()(22

22

x E x x U x dx

d

-=-+--ψψψμ

③

比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，

)()( x c x ψψ=-? ④

由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()( x c x -=?ψψ ⑤

④乘 ⑤，得

)x ()x (c )x ()x ( 2

-=-ψψψψ

可见，12

=c 1±=c

当1+=c 时，)x ()x ( ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()( x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称，

当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 #

2.7 一粒子在一维势阱中

????

?≤>>=a x a

x U x U ,0 ,0)(0

运动，求束缚态(0

0U

E <<)的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的S-方程为

)

()()()(22

22

x E x x U x dx d

ψψψμ=+-

按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为

Ⅰ：

)x (E )x (U )x (dx d

211012

22

ψψψμ=+-

a x <<∞- ①

Ⅱ：

)

()(2222

22

x E x dx d

ψψμ=-

a x a ≤≤- ②

Ⅲ：

)

x (E )x (U )x (dx

d

233032

22

ψψψμ=+-

∞<

整理后，得 Ⅰ： 0

)

(212

01=--

''ψμψ

E U ④

Ⅱ：. 0

E 22

2

2

=+''ψ

μψ

⑤

Ⅲ：

)

(232

03

=--''ψμψ E U ⑥

令

2

2

22

02

12 )

(2

E k E U k μμ=

-=

则

Ⅰ：

12

11=-''ψψk ⑦

Ⅱ：. 0

22

22=-''ψψk ⑧

Ⅲ：

012

13

=-''ψψk ⑨

各方程的解为

x

k x

k 3

222x

k x

k 11111Fe

Ee

x k cos D x k sin C Be

Ae -+-+=+=+=ψ

ψ

ψ

由波函数的有限性，有

0 )(0

)(31=?∞=?-∞E A 有限有限ψψ

因此

x

k 3x k 111Fe

Be

-==ψψ

由波函数的连续性，有

)13( Fe k a k sin D k a k cos C k ),a ()a ()

12( Fe

a k cos D a k sin C ),a ()a ()

11( a k sin D k a k cos C k Be k ),a ()a ()10( a k cos D a k sin C Be

),a ()a (a k 1222232a

k 22322222a

k 12

122a

k 211

111-----=-?'='=+?=+=?-'=-'+-=?-=-ψψψψψψψψ

整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得

F e

k aD k sin k aC k cos k 00

F e

aD k cos aC k sin 00

0D a k sin k aC k cos k B e

k 00aD k cos aC k sin B e

a

k 12222a

k 222222a

k 122a

k 1111=+-+=-++=+--=+-+----

解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须

Be

k a

k sin k a

k cos k 0

e

a k cos a k sin 0

a k sin k a k cos k e

k 0a k cos a k sin e

a

k 12222a

k 222222a

k 122a k 1111=--------

]

a k 2cos k k 2a k 2sin )k k [(e

]a k 2sin k a k 2sin k a k 2cos k k 2[e ]

a k sin

e

k a k cos a k sin e k a k cos e

k a k cos a k sin e

k [e

k ]a k cos a k sin e

k a k sin

e k k a k cos a k sin e k a k cos e

k k [e

e

k a

k sin k a

k cos k e a k cos a k sin 0a k cos a

k sin e

k e

k a

k sin k a

k cos k e a k cos a k sin 0a k sin k a

k cos k e

022122

122a

k 222

122

2221a k 222

a

k 222a

k 122

a k 222a

k 1a

k 122a

k 2

222

a k 2122a

k 2

222

a k 21a

k a

k 12222a k 2222a

k 1a

k 12222a k 222222a

k 111111111111111111--=-+-=-++

+--

+++

+-==

-----

----=------------------

∵ 01

2≠-a

k e ∴

02cos 22sin )(22122

12

2=--a k k k a k k k

即

22)(2122

12

2=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程。#

方法二：接（13）式

a

k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21

221

222+

=+-

a

k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21

221

222+-

=+

2cos k 2 2sin )( 0

2cos 2

2sin )

1( 0

cos sin cos

sin cos sin

)cos sin )(

sin cos (

0)cos sin )(

sin cos (

)cos sin )(sin cos (0

)cos sin (sin cos cos sin sin cos 2212212

221

222

1

222222

1

222

1

22221

22221

2221

22212221222122212221

22212221

2

2212=--=-+-=--

+

=-+=-+--+-=--+-+a k k a k k k a k k k a k k k a k a k a k k k a k k k a k a k k

k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a

k a k k k a k a k k k

#

另一解法：

(11)-(13)

)

(sin 21122F B e

k a k D k a

k +=?-

(10)+(12)

)

F B (e

a k cos D 2a

k 21+=?-

)

a ( k a tgk k )

12()10()13()11(122=?+-

(11)+(13)a

ik e

B F k a k

C k 1)(cos 2122---=?

(12)-(10)a

ik 21e

)B F (a k sin C 2--=?

令 ，，a k a k 22==ηξ 则

)d ( ctg )c ( tg ηξξηξξ-==或

)

f ( a U 2)k k (2

2

022

2

12

2

μη

ξ

=

+=+

合并)

b ()a (、：

2

1

2

221222k k k k a k tg -=

利用a

k tg 1a tgk 2a k 2tg 22

22-=

#

（b ） k a ctgk k ) 10 ( ) 12 ( )

13 ( ) 11 ( 1

2 2 - = ? - +

2-7一粒子在一维势阱

??

?≤>>=a

x a

x U x U ,0,0)(0

中运动，求束缚态)0(0U E <<的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法）

Ⅰ：

1101

2

2ψψψμE U =+''-

（χ≤0）

Ⅱ：

2

2

2

2ψψμE =''-

（0＜χ＜2a ）

Ⅲ：

3

3

03

2

2ψ

ψψμ

E U =+''-

（χ≥2a ）

???

??

?

???

=--''=+''=--''?0)

(2020)(232

0322

212

01ψμψψμψψμψ

E U E E U ?????=-''==+''-==-''(3) 0k E 2k (2) 0k )E U (2k (1) 0k 32

132

2222222

0211211ψψμψψμψψ 束缚态0＜E ＜0U

x

k x

k x

k x

k Fe

Ee

x k D x k C Be

Ae

11113

2221cos sin -+-++=+=+=ψ

ψψ

)(0

)(31=?∞=?-∞E B 有限有限ψψ

因此

x

k x k Fe

Ae

113

1 -==∴ψ

ψ

由波函数的连续性，有

)

7( Fe

a k 2cos D a k 2sin C ),a 2()a 2()6( Fe k a k 2sin D k a k 2cos C k ),a 2()a 2()5( C k A k ),0()0()

4( D A ),0()0(a

k 22232a k 21222232

212

12111

--=+?=-=-?'='=?'='=?=ψψψψψψψψ

(7)代入(6)

a

k D k k a k C k k a k D a k C 21

221

2222sin 2cos 2cos 2sin +-=+

利用(4)、(5)，得

a k 2cos k k 2a k 2sin )k k ()k k (0

a k 2cos 2a k 2sin )k k k k (

0A 0

]a k 2cos 2a k 2sin )k k k k [(

A a

k 2sin D k k a k 2cos A a k 2cos A a k 2sin A k k 22122

12221221

22

122122121

222221=---=+-

∴≠=+-+-=+即得

两边乘上

#

2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为

???

??

?

?<≤≤-<≤<∞=，，，

， ,0 ,0 , 0 ,)(10x b b x a U a x U x x U 求束缚态的能级所满足的方程。

解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 )

()()()(22

22

x E x x U x dx

d

ψψψμ=+-

对各区域的具体形式为

Ⅰ：

)

0( )(21112

<=+''-x E x U ψψψμ

Ⅱ：

)0( 22202

2

a x E U <≤=+''-

ψψψμ

Ⅲ：

)( 23313

2

b x a E U ≤≤=-''-

ψψψμ

Ⅳ：

)( 0244

2

x b E <=+''-

ψψμ

对于区域Ⅰ，∞=)(x U ，粒子不可能到达此区域，故 0)(1=x ψ 而 .

)

( 222

02

=--''ψμψ

E U ① 0

)

( 232

13

=++''ψμψ

E U ②

24

2

4

=+''ψ

μψ

E ③

对于束缚态来说，有0<<-E U

∴ 0

22

1

2=-''ψψk

2

02

1)

( 2 E U k -=

μ ④

032

3

3

=+''ψψk

2

12

3)

( 2

E U k +=

μ ⑤

4

244=+''ψψk 2

2

4/2

E k μ-=

⑥

各方程的解分别为

x

k x

k x

k x

k Fe

Ee

x

k D x k C Be

Ae

33114

2232

cos sin -+-+=+=+=ψ

ψψ

由波函数的有限性，得

)(4=?∞E 有限，ψ

∴ x

k Fe

34-=ψ

由波函数及其一阶导数的连续，得 A B -=?= )0()0(21ψψ ∴ )

(332x

k x

k e

e

A --=ψ

a k D a k C e e

A a a x

k x

k 2232cos sin )()()(33+=-?=-ψψ ⑦

a

k Dk a k Ck

e

e Ak a a a

k a k 2222

133

sin cos )()()(33-=+?'='-ψψ ⑧

b

k Fe

b k D b k C b b 32243cos sin )()(-=+?=ψψ ⑨

b

k e Fk b k Dk b k Ck b b 33222243

cos sin )()(--=-?'='ψψ ⑩

由⑦、⑧，得

a

k D a k C a k D a k C e

e

e e

k k a

k a

k a k a k 222221cos sin cos cos 1111+-=

-+-- (11)

由 ⑨、⑩得D b k k C b k k D b k k C b k k )cos ()sin ()sin ()cos (23232222--=-

)sin cos ()sin cos (

223

2223

2=+-

=+D b k b k k k C b k b k k k (12)

令

2

11111k k e

e

e e a

k a

k a k a k ?

-+=

--β，则①式变为

0)sin cos ()cos sin (2222=++-D a k a k C a k a k ββ 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须

0)sin cos ()

cos sin ()

cos sin ()

sin cos (2222223

2

223

2

=+-+-

+a k a k a k a k b k b k k k b k b k k k ββ

)

(

)1()( 0

)1)(((cos ))((sin 0cos cos sin cos )cos sin sin sin sin sin cos sin sin sin cos cos 0

)cos sin ( )cos sin ()sin cos )(sin cos ( 3

23

223

223222222223

2223222222232223

2223

222223

222βββ

βββ

ββ

ββ-+

=-=+-+--=+--

-

+++++=+-??

--++k k k k a b tgk k k a b k k k a b k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k b k b k k k a k a k b k b k k k a k a k 即

把β代入即得

)

()

1()( 11111111213

2322a

k a

k a k a k a

k a

k a k a k e

e

e

e k k k k e e

e

e k k a b tgk -----+--++

=-

此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 #

附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。

））

（）

（b k a k e

k b k a k e

k b k a

k e

k b k a k e k k e

e

k b k a k e

k b k a k e k k b k a

k e

k b k a k e

k k e

e e

k b

k k b

k k e b k b k a k a

k e

e

k e

k b

k k b

k k e b k b k a k k a

k k e

e

e k b k k b k k e b k b k a k k a k k k e e

a k a k e

e b

k b

k b

k b

k b

k b

k a

k a

k a

k a

k a

k a

k a

k a k a

k a

k a k a k a

k a

k a

k a k a

k a

k a

k a

k 22222322222321222

22232222

22232322222222132222222222322222222222

22sin sin sin cos cos cos cos sin )( sin cos sin sin cos sin cos cos )( sin cos cos sin 0cos sin )( sin cos cos sin 0sin cos )

(00

sin cos 0

cos sin 00sin cos )(0cos sin )

(33331133331133113311331111--------------------++-+------=----=

+--

----==---+---

)](sin )()(cos )[( )](sin )()(cos )([)](cos )(sin )[( )](sin )(cos )[(31313113112312

222312312

2223122123122

2

232=-++----+-+-=-+----+---=-------b

k a

k b

k a

k b k a

k a

k b

k a k a

k e

a b k k k k a b k k k k e

e

a b k k k k a b k k k k e

e

a b k k k a b k k k e

e e

a b k k a b k k k e

e

0)( )()()]()[( 0

)]()()[( )]()()([ 23122312312

22312

22312

223123122

2311133=--+--+--=-++----++-?--k k k e

k k k a b tgk k k k e

k k k e a b tgk k k k k k k e

a b tgk k k k

k k k a

k a

k b

k b

k

此即为所求方程。 #

补充1：设 )()(222

1为常数αψαx Ae

x -=，求A = ？ 解：由归一化条件，有

?

?

∞

∞

--∞

∞

--==)

x (d e

1

A

)x (d e

A

12

22

2x

2

x

2

αα

αα

π

α

α

1

A

dy e 1

A

2

y

2

2

==?

∞

∞

--

∴

πα

=

A #

补充2：求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。 解：基态能量为ω

210=

E

设基态的经典界限的位置为a ，则有

ω

μω 2

12

12

20=

=

a E

∴

a 1

a ==

=

αμω

在界限外发现振子的几率为

)

t 2

1y ]dt e 212

2[2

]

dy e

dy e

[2

dy

e

2

)

x (d e 2

)

( dx e 22

2

/t 1

y

y

1

y

a )

x (a x

2

2

2

2

02

02

2=

-

=

-====?

?

?

?

??∞

--∞

--∞

∞

--∞

-∞

-∞

-（令偶函数性质π

πππππαππα

αα

式中?

∞

--2

2

/2

21

dt

e

t π为正态分布函数

?

∞

--=

x

t dt

e

x 2

/2

21)(π

ψ

当)

2(2ψ时的值=

x 。查表得92

.0)2(= ψ

∴]

92.0[?-?

=πππω

16.0)92.01(2=-=

∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 #

) ( 2

2 0

2

2 0

2

2 0

x a x a x

e dx e dx e

α α α π

α ψ π

α

π

α ω - ∞

- - ∞

- - = +

=

? ?

补充3：试证明

)

x 3x 2(e

3)x (3

3x 2

122ααπα

ψα-=

-是线性谐振子的波函数，并

求此波函数对应的能量。

证：线性谐振子的S-方程为

)

()(2

1)(22

22

2

x E x x x dx

d

ψψμωψμ=+

-

①

把)(x ψ代入上式，有

)

3x 9x 2(e 3e

)]3x 6()x 3x 2(x [3)]

x 3x 2(e 3[dx

d )x (dx d 2

345x 2

1x 2

12

333

2

3

3x 2

1222222αααπ

ααααααπ

αααπ

αψααα-+-=

-+--=

-=---

??

????-+-=-)3x 9x 2(e 3dx d dx

)x (d 2345x 2

1

22

2

2αααπαψα

?

?

????+-+-+--=

--)x 18x 8(e )3x 9x 2(xe 3335x 2

12345x 21

2222

2ααααααπα

αα

)x ()7x ()

x 3x 2(e

3)

7x (2

2

4

3

3x

2

1

2

242

2ψααααπ

αααα-=--=-

把)

(2

2x dx

d

ψ代入①式左边，得

)

()

(2

7 )

(2

1)(2

1)(27 )

(2

1)(2)(27 )

(2

1)(2)(27 )(21)(22

2

2

2

2

22

4

22

2

22

4

2

2

2

2

22

2

2

x E x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx

x d ψωψψμωψμωωψψμωψμωμ

ψμ

μωψμωψαμ

ψμ

α

ψμωψμ

==

+-=+-?

?=+-=+

-

=右边）（

左边

当

ω

2

7=

E 时，左边 = 右边。 n = 3

)

32(3)(3

32

122x x e

dx

d x x ααπα

ψα-=-，是线性谐振子的波函数，其对应的

能量为ω

2

7

。

周世勋 第二章 小结

1．波函数的统计解释

微观体系的状态由波函数所完全描写。归一化的波函数模的平方2

)

,,,(t z y x ψ，给出了t 时刻在),,(z y x 点附近找到粒子的几率密度。

波函数的标准条件：单值、连续、有限。

波函数的归一化是在全空间必然找到粒子的体现。

2．态叠加原理 如果

21、、、、i ψψψ是微观粒子的可能状态，那么它们的线性叠加

∑=

i

i

c ψ

ψ也是微观粒子的可能状态。

3．薛定谔方程

微观粒子状态的变化遵从薛定谔方程

)

,()],(2[2

2

t r t r U t i

ψμψ+?

-

=??

当t t r U 与),( 无关时，)(),(r U t r U →这时粒子的状态变化遵从定态薛定谔方程，这时的波函数称为定态波函数，它具有如下的形式：

Et

i

e r t r -=)(),(ψψ 其中波函数的空间部分)r (

ψ满足下面的定态薛定谔方程。

)

()()](2[2

2

r E r r U

ψψμ=+?

-

上面这个方程即是能量的本征值方程。

4．几率流密度和几率守恒定律

几率流密度)

**(2ψψψψ?-?=m i J 与几率密度ψψω*=满足下列连续性 0

=??+??J t ω

5．定态薛定谔方程的应用实例 ①一维无限深势阱

????

?<≥∞=)( 0)( )(a x a x x U ，，

能量本征值

)

,2 ,1n (a

8n

E 2

2

22n ==

μπ

能量本征函数

???

??≥<+=)( 0 )( a)(x 2sin 1a x a x a n a n

πψ

②一维线性谐振子 2

22

1)(x

x U μω=

能量本征值

ω

)21(+

=n E n ),2,1,0( =n

能量本征函数

）

（π

ααψα!2 ) (2

22

1n N x H e

N n

n n x n n =

=-

③势垒贯穿

方形势垒 ??

?><≤≤=),0( 0)0( )(0a x x a x U x U ，，

能量本征值 任意正值

当能量很小，势垒宽度a 不太小，即满足1

3>>a k 时，贯穿系数为

a

)E U (2200e

D D --

=μ

2

03)

E U (2k

-=

μ

对于任意势垒)(x U ，贯穿系数为 ）

（E )b (U )a (U e

D D dx

)E )x (U 220b

a

==?=--μ

量子力学习题汇集

第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场

???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-=η 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。

苏汝铿量子力学习题答案第二章2.16-2.18

14QM-2.16设氢原子处在基态，求： （1） 它在动量表象中的表达式； （2） x p 和2 x p 的平均值； （3） x 和2x 的平均值； 解：氢原子基态波函数为 120121 (,,)r a r e a φθ?π-= 22h a e μ= 而动量p 本征函数为 2./3/2 1()(2)p r p r e φπ=v v h v v h 所以它在动量表象中的表达式为 2cos //223/200011()()1/21/20 1/23/222 3222 1()sin (2)[]2()111[]11(2)()()2(/)ipr a r a ip ip r r a a p e e r d d dr a e e rdr a ip ip ip i p a a a a p a πφθθ?ππππ∞-----+∞==-=--+=+????h h h h h h h g g h h h h h 于是 |()|0 x x x y z p p p dp d p dp φ∞-∞==? 由于被积函数对x p 是奇函数 22222542250004 2 2 2|()|1|()|3 8sin 3()3x x x y z x y z p p p dp d p dp p p dp d p dp p dp d d a p a a ππφφθ?π∞-∞∞-∞∞== =+=?????h h h

而223223243532 113434()4!32 r a r a r a x e x dxdydz a e r dxdydz a e r dr a a a a ππ ---====?=???g 2==>h 14QM-2.17利用氢原子的能谱公式，写出： （1）电子偶素，即e e +--形成的束缚态的能级； （2）以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级； （3）μ+和e - 形成的束缚态能级。 解：氢原子束缚态的能级公式为： 42 22 (2)(1,2,3,)2n me E n h n π=-= （1） 对于电子偶素来说，束缚态的能级为： 42422222(2)(2)(1,2,3,)24e n m e e E n h n h n πμπ=-=-= 其中μ为系统折合质量，e m 为电子质量。 （2）对于μ原子来说，束缚态的能级为： 42422222(2)207(2)(1,2,3,)22e n m e m e E n h n h n μππ=- =-= 其中m μ为μ原子质量，e m 为电子质量。 （3）μ+和e - 形成的束缚态能级为： 4222(2)(1,2,3,)2e n m e E n h n π=-= 其中e m 为电子质量。 14QM-2.1８ 设势场为2()(,0)a A U r a A r r =-+>，求粒子的能量本征值。

量子力学习题解答-第2章

第二章 定态薛定谔方程 本章主要内容概要： 1. 定态薛定谔方程与定态的性质： 在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程） 222.2d V E m dx ψ ψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱） *()()m n mn x x dx ψψδ∞ -∞ =? 或δ函数正交归一性（连续谱） ' *'()()()q q x x dx q q ψψδ∞ -∞ =-? 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数 /(,)()n iE t n n x t x e ψ-ψ= 定态波函数满足含时薛定谔方程。 对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可 归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。 含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为 (,)(,)n n n x t c x t ψ=ψ∑ 系数n c 由初始波函数确定 (,0)()n n n x c x ψψ=∑ ， * ()( ,0)n n c x x dx ψ∞ -∞ =ψ? 由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性 2 1n n c =∑ 对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2 n c ，能量的期待值可由 2 n n n H c E =∑ 求出。这种方法与用

*? (,)(,) H x t H x t dx ∞ -∞ =ψψ ? 方法等价。 2. 一维典型例子： （a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态） 0,0 () , x a V x << ? =? ∞ ?其它地方 能量本征函数和能量本征值为 222 2 (), 0;1,2,3,... 2 n n n x x x a n a n E ma π ψ π ?? =<<= ? ?? = 若 0, () , a x a V x -<< ? =? ∞ ?其它地方 则能量本征函数和能量本征值为 222 2 ()s i n(),;1,2,3,... 2 2(2) n n n x x a a x a n a n E m a π ψ π ?? =+-<<= ? ?? = 1 n=是基态（能量最低），2 n=是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替 的： 1 ψ是偶函数， 2 ψ是奇函数， 3 ψ是偶函数，依次类推。 （b）一维简谐振子（分立谱，束缚态）： 22 1 (), 2 V x m x x ω =-∞<<∞ 能量本征函数和能量本征值为 2 1/4 /2 ()(), ; 1 , 1,2,3,... 2 n n n m x H e E n n ξ ω ψξξ π ω - ?? =≡ ? ?? ?? =+= ? ?? 其中() n Hξ厄米多项式，可由母函数 2 eξ-生成 22 ()(1) n n n d H e e d ξξ ξ ξ - ?? =- ? ??

周世勋量子力学第二章知识题

第二章 波函数和薛定谔方程 2.1. 证明在定态中,几率流密度与时间无关. 解: 几率流密度公式为 ()**2J i ψψψψμ = ?-? 而定态波函数的一般形式为 ()(),i Et t e ψψ-=r r 将上式代入前式中得: ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ??= ?-?? ? 显然是这个J 与时间无关. 2.2. 由下列两定态波函数计算几率流密度; (1) ,e r ikr 11= ψ (2) ikr e r -=1 2ψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点)传播的球面波. 解: 在球坐标中,梯度算符为 1ψ和2ψ只是r 的函数,与?θ,无关,所以 , ()* *1 1211e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ-???? ??==-+=-+ ? ????? ? ()*222111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψψ-???? ??==-+=-+=? ? ????? ? ()()**2 21111ikr r r r e r ik ik r r r r r ψψψψ???? ??==-=-=? ? ????? ?e e e 将以上四式代入 ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ ??=?-??? (1) 对于ikr e r 11=ψ 12222 111122r r r i k p ik r r r r μμμμ??=-===????p J e e e (2) 对于ikr e r -=12ψ

212222 1111 22r r r i k p ik r r r r μμμμ??= =-=-=-=-???? p J e e e J 计算的结果已经很清楚ikr e r 11=ψ这样的球面波,是沿r e 方向传播的波, 121p J e r r μ=.而球面 波ikr e r -= 12ψ传播方向与1ψ相反,即21J J =- 2.3. 一粒子在一维势场 ()?? ? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U 00 中运动,求粒子的能级和对应的波函数. 解: 从定态薛定谔方程 02222=+ψμψ E dx d 即 02 =+''ψψk ()2 0k E = > 可知,其解为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 在0≤x 和a x ≥处，波函数为 0)(=x ψ， 在a x ≤≤0处， 波函数为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 从()00=ψ得 0=+B A 即 B A -= 因此有 () 2sin sin ikx ikx A e e iA kx C kx ψ-=-== 从()0=a ψ得 sin 0ka = 即要求 321,,n n ka ==π 所以 sin 1,2,3n n C x n a π ψ== 2 2 222a n E n μπ = 归一化条件 1*=?dx ψψ可得 a C 2 = ()()2222 11sin 1cos 2,cos 1cos 222αααα ??=-=+???? 所以 1,2,30n n x n x a a πψ= =≤≤ 综合得: 000n n x x a a x x a πψ≤≤=<>? 或 2.4. 证明()sin 20n n A x a x a a x a π ψ?'+

周世勋量子力学习题及解答

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对

高等量子力学习题汇总

第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2

量子力学习题解答-第2章

第二章 定态薛定谔方程 本章主要内容概要： １、 定态薛定谔方程与定态得性质: 在势能不显含时间得情况下,含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程(能量本征值方程) 求解时需考虑波函数得标准条件(连续、有限、单值等)。能量本征函数具有正交归一性(分立谱) 或函数正交归一性(连续谱) 由能量本征函数可以得到定态波函数 定态波函数满足含时薛定谔方程。 对分立谱,定态就是物理上可实现得态，粒子处在定态时,能量具有确定值,其它力学量（不显含时间)得期待值不随时间变化。对连续谱，定态不就是物理上可实现得态(不可归一化)，但就是它们可以叠加成物理上可实现得态。 含时薛定谔方程得一般解可由定态解叠加而成,在分离谱情况下为 系数由初始波函数确定 ， 由波函数得归一性,可以得到系数得归一性 对态测量能量只能得到能量本征值,得到得几率就是,能量得期待值可由 求出。这种方法与用 方法等价。 2、 一维典型例子： (a)一维无限深势阱（分立谱,束缚态） 能量本征函数与能量本征值为 222 2 (), 0;1,2,3,... 2n n n x x x a n a n E ma πψπ?? =<<= ???= 若 则能量本征函数与能量本征值为

2 2 2 2 ()(), ;1,2,3,... 22(2)n n n x x a a x a n a n E m a πψπ ?? =+-<<= ???= 就是基态(能量最低）,就是第一激发态。波函数相对于势阱得中心就是奇偶交替得:就是偶函数,就是奇函数,就是偶函数,依次类推。 (b)一维简谐振子(分立谱，束缚态): 能量本征函数与能量本征值为 21/4 /2 ()(), ; 2! 1 , 1,2,3,... 2n n n n m m x H e x n E n n ξωω ψξξπω-?? =≡ ? ??? ?=+= ?? ? 其中厄米多项式,可由母函数生成 厄米多项式多项式满足递推关系 定义产生算符与湮灭算符 则有 ( ) ()?????? , 2 m x a a p i a a ω +-+-=+=- 当处于能量本征态时 222 0, 0 111122222n x p p T V m x E n m ωω ==??=====+ ??? (ｃ)一维自由粒子(连续谱,散射态): 定态薛定谔方程为 能量本征函数与本征值为 221(), ; 2ikx k k x k k k E m ψ=≡-∞<<∞ = 能量本征函数满足函数正交归一性 定态波函数为

量子力学第四版卷一曾谨言著习题答案

第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω= 中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω= ==。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 得ω ωπm n m nh a 22== （3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4） 积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-?arcsin 222222 2 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, 粒子能量 1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用,,2,1,20 ==?n nh d p π ?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2?=。 解：平面转子的转角（角位移）记为?。 它的角动量. ??I p =（广义动量），?p 是运动惯量。按量子化条件

量子力学曾谨言习题解答第二章

目次 第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书 1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。1979 3．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。1982 4．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。1972 7．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics (有中译本：陈洪生译。科学) 1951 9. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics （英译本） Springer V erlag 1973 11. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 https://www.doczj.com/doc/f44490062.html,ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ?? -- = 1 1 )0(>n (2) )cos sin (sin 2 2 bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+= ? (3) = ?axdx e ax cos )sin cos (2 2 bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2 -=? (5) = ?axdx x sin 2 ax a x a ax a x cos )2( sin 22 2 2 - + (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2 +=? (7ax a a x ax a x axdx x sin )2( cos 2cos 3 2 2 2 - += ?)

清华大学《大学物理》习题库试题及答案 10 量子力学习题

1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) (B) (C) (D) ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) (D) ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 0λhc λhc m e R B 2) (2 + λhc m e R B + 0λhc e R B 2+)2/(eRB h )/(eRB h )2/(1eRBh )/(1eRBh a x a x 23c o s 1)(π?=ψa 2/1a /1

量子力学(周世勋)课后答案-第一二章

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 λ h P =。 所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0?=<<），满足 e k m p E 22 =， 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1， eV c m e 621051.0?=。 最后，对 E m h e 2= λ 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 自然单位制： 在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c ，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k ）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV ）。例：1nm=5.07/keV ，1fm=5.07/GeV ， 电子质量m=0.51MeV . 核子（氢原子）质量M=938MeV ，温度5 18.610K eV -=?.

量子力学第二章习题解答

第二章习题解答 p.52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 )] r ()r ()r ()r ([m 2i ] e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i ) (m 2i J e )r ( ) t (f )r ()t r (**Et i Et i **Et i Et i **Et i ψψψψψψψψψψψψψψψ?-?=?-?=?-?===-----）（）（， 可见t J 与 无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： i k r i k r e r e r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：分量只有和r J J 21 在球坐标中 ? θθ?θ?? +??+??=?s i n r 1e r 1e r r 0 r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr 3 020 220 1* 1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 ) (2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1 与同向。表示向外传播的球面波。

r mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i ) (m 2i J )2(3020 220 ik r ik r ik r ik r * 2*222 -=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ 可见，r J 与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ∞==? ? ∞ ∞ dx dx ψψ* ∴波函数不能按1) (2 =? dx x ψ方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 12 ==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 ??? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，， ，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为 Ⅰ： )()()()(2 011122 2x E x x U x dx d m x ψψψ=+- < ① Ⅱ： )()(2 0 222 2 2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332 2 2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+- > ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 0)(1=x ψ

量 子 力 学 习 题 钱

量 子 力 学 习 题 第一章 绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反比，即 λm T=b (常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 1.3 氦原子的动能是E=3kT/2（k 为玻耳兹曼常数），求T =1K 时，氦原子的德布罗意波长。 1.4 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁子M B =9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔?E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相比较。 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 第二章 波函数和薛定谔方程 2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r . 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内（即向原点）传播的球面波。 2.2 一粒子在一维势场 a x a x x x U >≤≤?? ?>=, 0, 0)(0 中运动，求束缚态(0

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

结构化学练习之量子力学 基础习题附参考答案 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案） 1101、光波粒二象性的关系式为 _______________________________________。 1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。 1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表 ___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了 _____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。 1106、│ψ (x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2代表______________________。1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为 ____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱中运动，则其本征函数集为 ____________，本征值谱为 _______________________________。

量子力学第二章 复习题

第二章练习题 1. 雨点开始自由落下时的质量为M ，在下落过程中，单位时间内凝结在它上面 的水汽质量为λ，略去空气阻力，其质量随时间的变化关系 是 。 2.两个相同的象棋子，原在光滑的水平面上平动，当两棋子互相碰撞后（非对心 碰撞）两个棋子都作顺时针旋转。此两棋子组成的系统在碰撞前后 （ ） A 动量守恒 角动量不守恒 B 动量不守恒 角动量守恒 C 动量和角动量都不守恒 D 动量和角动量都守恒 3．如图1所示，细绳跨过滑轮（不计滑轮和绳的重量），一端系一砝码，一猴沿 绳的另一端从静止开始以匀速率υ向上爬，猴与砝码等重，则砝码的速度 4. 炮弹作抛物线运动，在空中爆炸，弹片四溅，不计空气阻力，则爆炸之后的弹 片构成的质点系的质心，运动情况如何?( ) A.仍沿原抛物线运动，直至所有弹片着地 B.质心将作自由落体运动 C.在未有弹片碰上其他物体之前，质心仍沿原抛物线运动 D.质心在爆炸瞬间即改变其运动轨迹 5.下列不属于质点组内力的特点是（ ） A ．内力和为零B. 内力的矩为零 C. 内力的功为零 D. 内力是 相互作用力 6.在如果把太阳和一个行星的运动看做两体运动，则行星和太阳的质心将作 运动行星相对于质心做 运动。 7.有心力是非保守力。（ ） 8.已知太阳自转周期是T ，当其在万有引力作用下塌缩成白矮星，半径为现在的 210-倍，则白矮星的周期为 。 9．均质直杆直立在光滑的水平地面上，由于受到扰动而倒下，在倒下过程中直 杆质心C 的运动轨迹为 。 10．甩干机甩干衣服的原理是： . 11．在质点系运动过程中，全部内力所做的功一般 ；只有当 系统内 时，内力的总功才等于零。 12.已知平面上有三个质点m m m m m m 5,2,321===，它们的位置坐标分别为 图1 图2

普通物理-量子力学习题解-第三章

第三章：一维定态问题[1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明并证明当时上述结果与经典结论一致。 [解]写出归一化波函数： （1） 先计算坐标平均值： 利用公式： （2） 得（3） 计算均方根值用以知，可计算 利用公式（5） （6）

在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度。 故当时二者相一致。 # [2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。 [解] （甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下： (x<0区)：（1） （0a区）：（3） 但 写出在连接点x=0处连续条件 （4） （5） x=a处连续条件 （6）

（7） （4）（5）二式相除得 （6）（7）二式相除得 从这两式间可消去B，C，得到一个间的关系 解出，得 （8） 最后一式用E表示时，就是能量得量子化条件：（乙法）在0

（11）（12）相除得 (14) 写出（13）（14）的反正切关系式，得到： 或 前述两法的结果形式不同，作为一种检验，可以用下述方法来统一。试将第二法所得的量子化条件，等号左右方取其正切： 左方 此结果与第一法相同。 # ［3］设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动： 求粒子的能级。 （解）本题是在半区中的一维谐振子，它的薛定谔方程式

在ｘ＞０的半区内与普通谐振子的相同，在负半区中。 一般谐振子的函数ψ（x）满足薛氏方程式： （1） 作自变量变换（） 并将波函数变换： 得u的微分方程：（2） 但 （3） 设（2）的解是级数：（4） 将（4）代入（2）知道，指标s的值是s=1或s=0。 此外又得到相同的二个未定系数之间的关系有二种： s=0时，（5） s=1时，（6） 为了使波函数ψ（x）满足标准条件，级数（4）必需中断。此外由于本题情形中应满足边界条件（波函数连续性），x=0时ψ（x）=0，即u（0）=0。因而必需取s=1，它的递推式是（6），因此如果级数（4）中断，而（4）的最高幂是n=2m，在（4）式中取s=1，，，则在（6）式中取n为最高幂时：

量子力学习题3

三.力学量用算符表达 1、下列算符中哪些是线性算符： （1）22 23dx d x ；（2）2；（3）?dx ；（4） ；（5）∑=h i 1 2、下列算符中哪些是厄米算符： （1）dx d ； （2）dx d i ； （3）22dx d ； （4）22dx d i ； （5）)1(r r i +??- ； （6）)??(22x x p x x p i -。 3、如果 F ?和 G ?都是厄米算符，但互不对易，试判断下列算符中哪些是厄米算符？ （1）G F ??； （2）F G ??；（3）G F ??+F G ??； （4）G F ??F G ??-； （5）i （G F ??+F G ??）； （6）i （G F ??F G ??-）； （7）G F ??+； （8）G F ??-； （9）)??(G F i +； （10）)??(G F i -； 4、利用对易关系式 i p x x =]?,[和 )(]?),([x F i p x F x '= 式中 dx x dF x F ) ()(1=，试证明： （1） );(?2)](?,[2x F p i x F p x x x = （2）)];(??)([]?)(?,[x F p p x F i p x F p x x x x x += （3） ;?)(2]?)(,[2x x p x F i p x F x = （4）);(?)](?,?[22x F p i x F p p x x x '-= （5）;?)(?]?)(?,?[x x x x x p x F p i p x F p p '-= （6）22?)(]?)(,?[x x x p x F i p x F p '-= 。 5、如果算符 βα?,?满足条件 1?????=-αββα ，求证： (1)βαββα?2????22=-, (2) 233?3????βαββα=- (3) 1?????-=-n n n n βαββα 6、求 ?]?,[=x L x ； ?]?,[=y L x ； ?]?,[=z L x ，由此推出 z y ,分别与 z y x L L L ?,?,?的 对易关系式。 7、求 ?]?,?[=x x L p ； ?]?,?[=y x L p ； ?]?,?[=z x L p ，由此推出 z y p p ?,?分别与 z y x L L L ?,?,?的对易关系式。