1、用行列式的性质计算下列行列式:
()
134215352152809229092
;
【分析】可见行列式中1,2两列元素大部分数字是相等的,列差同为1000,易于化为下三角行列式,于是, 【解法一】
3421535215280922909221
c c -34215100028092100012
r r -61230
280921000
下三角6123000。
【解法二】
34215352152809229092
12
r r -6123
6123
280922909221
c c -6123
280921000
下三角6123000。
()
2ab ac ae bd cd de bf
cf
ef
---;
【分析】各行、列都有公因,抽出后再行计算。 【
解
】
a b a b d
c b
f c
--
-
1
23
a r d r f r ←←←
b c
a
d b
c
---1
2
3
b c c c e c ←←←1
1
1
a
d --
-
1123
r r r r ++111
020
20
adfbce -23
r r ?111
200
02
abcdef --
上三角2(1)2abcdef -?-?4abcdef =。
()
31111111111
1
1
1111
------; 【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式,
【解】
1111111111
1
1
1111
------213141
r r r r r r +++1111022200220002
上三角3
12
?8=。
2、把下列行列式化为上三角形行列式,并计算其值:
()1
2240 4135 3123 2051
--
-
--
;
【解法一】
2240
4135
3123
2051
--
-
--21
c c
?
2240
1435
1323
0251
--
-
-
--21
r r
?
1435
2240
1323
0251
-
--
--
21
31
2
r r
r r
+
+
1435
06210
0712
0251
-
23
r r-
1435
0118
0712
0251
-
-
32
42
7
2
r r
r r
+
+
1435
0118
00858
00717
-
-34
r r-
1435
0118
00141
00717
-
-
43
7
r r
-
1435
0118
00141
000270
-
-
-
上三角2
(1)1(270)
-??-270
=-。
【解法二】
2240
4135
3123
2051
--
-
--1
2r
←
1120
4135
2
3123
2051
--
-
--21
c c
?
1120
1435
2
1323
0251
--
-
-
--
21
31
r r
r r
+
-
1120
0315
2
0403
0251
--
-
-23
r r
-
1120
0118
2
0403
0251
--
-
-
-
32
42
4
2
r r
r r
+
+
1120
0118
2
00429
00717
--
-
-
43
2
r r
-
1120
0118
2
00429
00141
--
-
-
--
34
4
r r
+
1120
0118
2
000135
00141
--
-
-
-
--
34
r r
?
1120
0118
2
00141
000135
--
-
--
-
上三角2
21(1)(135)
??-?-270
=-。
()
21234
234134124123
。
【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型,应将2,3,4列加到第1列:
【解】
1234
234134124123
1234 ()
c c c c +++10234
103411041210123213141
r r r r r r ---10
234011
3
02
22
111
------
3242 2
r r r r -+102
340113004
40
4
--- 上三角2
101(4)
??-160=。
3、设行列式ij a m =(,1,2,,5)i j =,依下列次序对ij a 进行变换后,求其结果:
交换第一行与第五行,再转置,用2乘所有元素,再用(-3)乘以第二列加到第四列,最后用4除第二行各元素。
【解】()1交换第一行与第五行,行列式变号,结果为m -;
()2再转置,行列式的值不变,m -;
()3用2乘所有元素,即5行里每行都有公因2,这等于用52乘以行列式,结果为
52m -?32m =-;
()4再用(-3)乘以第二列加到第四列,这是倍加,行列式的值不变,结果仍为32m -;
()5最后用4除第二行各元素,即第二行有公因
14,这等于用1
4
乘以行列式,结果为1
324
m -?
8m =-。 4、用行列式的性质证明下列等式:
()
111
1112222233
33
3
a k
b b
c c a kb b c c a kb b c c ++++++1112
223
3
3
a b c a b c a b c =;
【证法一】左边=
11111
22222
33333
a k
b b
c c
a k
b b
c c
a k
b b
c c
++
++
++
23
c c
-
1111
2222
3333
a k
b b c
a k
b b c
a k
b b c
+
+
+
12
c kc
-
111
222
333
a b c
a b c
a b c
=右边,证毕。
【证法二】右边=
111
222
333
a b c
a b c
a b c
12
c kc
+
1111
2222
3333
a k
b b c
a k
b b c
a k
b b c
+
+
+
23
c c
+
11111
22222
33333
a k
b b
c c
a k
b b
c c
a k
b b
c c
++
++
++
=左边,证毕。
【证法三】左边=
11111
22222
33333
a k
b b
c c
a k
b b
c c
a k
b b
c c
++
++
++
1
c
分拆
1111
2222
3333
a b c c
a b c c
a b c c
+
+
+
+
1111
2222
3333
kb b c c
kb b c c
kb b c c
+
+
+ 2
c
都分拆
111
222
333
a b c
a b c
a b c
+
111
222
333
a c c
a c c
a c c
+
111
222
333
kb b c
kb b c
kb b c
+
111
222
333
kb c c
kb c c
kb c c
23
12
:=:1
c c
c c k
=
第2,4行列式第3行列式
111
222
333
a b c
a b c
a b c
+0+0+0=
111
222
333
a b c
a b c
a b c
=右边,证毕。
()2y z z x x y
x y y z z x
z x x y y z
+++
+++
+++
2
x y z
z x y
y z x
=。
【证法一】左边=y z z x x y
x y y z z x
z x x y y z
+++
+++
+++
123
()
c c c
++
2()
2()
2()
x y z z x x y
x y z y z z x
x y z x y y z
++++
++++
++++
21
31
r r
r r
-
-
2()
x y z z x x y
y x z y
y z z x
++++
--
--
1
2()
x y z c
++←
1
2()0
z x x y
x y z y x z y
y z z x
++
++--
--
2131 () ()
c z x c c x y c ++--1
002()0
0x y z y x z y y z
z x
++---- 右边=2x
y z z
x y y
z
x
123 ()
c c c ++2x y z y z x y z x y x y z
z
x ++++++ 1 ()
x y z c ++←12()11y
z x y z x
y z
x
++ 2131
r r r r --1
2()0
y z x y z x y y z z y x z ++---- 2131
c yc c zc --1
002()0
0x y z x y y z z y x z ++---- 23
r r --1
002()0
x y z y x z y y z
z x
++----, 对比即得 左边=右边,证毕。
【证法二】左边=y z
z x x y x y
y z z x z x
x y y z +++++++++1
c 分拆y z x x y x y z z x z x y
y z +++++++z z x x y y y z z x x x y y z ++++++ 3121
c c c c 前-后-y
z x x
x y z z z x y y ++++z
x x y y z z x x y y z +++2332
c c c c 前-后-y
z x
x y z z x y +z
x y y z x x y z 2131
r r r r ??前后x
y z
y z x z x
y --x
y z y z x z
x
y
32
r r ?都x
y z
z x y y z
x +x
y z z
x y y
z
x
2x y z
z
x y y
z
x
==右边,证毕。 5、计算下列行列式:
()1x a a
a x a
a a x
;
【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型,应将2列以后各列加到第1列:
【解】设x a a
a x a
a a x
为n阶行列式,则每行中有1个x,n-1个a,于是
x a a
a x a a a x =
x
a a a a
a x a a a
a a x a a
a a a x a
a a a a x
123
()
n
c c c c
+++
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
x n a a a a a
x n a x a a a
x n a a x a
a
x n a a a x a
x n a a a a x
+-
+-
+
-
+-
+-
21
1
n
c c
c c
-
-
(1)
0000
0000
00
00
x n a a a a a
x a
x a
x a
x a +-
-
-
-
-上三角1
[(1)]()n
x n a x a-
+--。
()21231
1031
1201
1230
123
(1)0
n n
n n
n n
n
n
-
--
---
---
-----
;
【分析】该行列式主对角线以下元素与首行元素对应为相反数,因此,将首行加到以下各行,将化为上三角行列式。
【解】1231
1031
1201
1230
123(1)0
n n
n n
n n
n
n
-
--
---
---
----
-
21
1
n
c c
c c
+
+
1231
0262(1)2
0032(1)2
00012
0000
n n
n n
n n
n n
n
-
-
-
-
上三角123(1)
n n
????
-!n=。
()3
12
112
122
12
1
1
1
1
n
n
n
n n
a a a
a b a a
a a
b a
a a a b
+
+
+
;
【分析】这是为n+1阶行列式。该行列式主对角线以下元素与首行元素对应相等,因此,将首行的-1倍加到以下各行,将化为上三角行列式。
【解】
12
112
122
1
2
1
1
1
1
n
n
n
n n
a a a
a b a a
a a
b a
a a a b
+
+
+
21
1
n
c c
c c
-
-
12
1
2
1
000
000
000
n
n
a a a
b
b
b
上三角12n
b b b。()4
1
2
111
100
100
100
n
a
a
a
a
,其中0
i
a≠。
【分析】为化成上三角行列式,须将
a下方元素全化为0,这样就需要次第地(以一定顺序,一个接一个地
),将
a化为-1后加到第1列,将
1
a化为-1后加到第2列,......,将
n
a化为-1后加到第1列。
【解】
1
2
111
100
100
100
n
a
a
a
a
12
1
1
c c
a
-
1
1
2
1
111
000
100
100
n
a
a
a
a
a
-
132
1
c c a -012121111100
00
010
n
a a a a a a -
- (111)
n n
c c a +-01212111 (1110)
00
00
00
n
n
a a a a a a a -
---
=
01
121
1110
000
00
n
i i
n
a a a a a =-∑
上三角12
011
()n
n i i
a a a a a =-∑
上述的n 次列倍加运算也可以叠加进行:
0121111001001
n
a a a a 121
111
1
n n
c c a c c a +--01
121111
00
000
00
n
i i
n
a a a a a =-∑
上三角12
011
()n
n i i
a a a a a =-∑
6、解下列方程:
()122
11231223023
1
5
2
3
19x x -=-;
【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式,注意到1,2两行及3,4两行有较多的相同元素,得:
左边=
2211231223
23152
3
19x x --2143
r r r r --22
11230100
231500
04x x --
1323 2 3
c c c c --22
3523010
00150
04x x ----
上三角223(1)(4)x x -?--,
原方程为2
2
(1)(4)0x x --=,即得4个根为1x =±,2x =±。
()
2111111
1111112110111(2)11
1
1
1
(1)x x n x
n x
--=----;
【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式,将第一行的-1倍加到以下各行即成为上三角行列式。
左边=
111111
11111121111
1(2)11
11
1(1)x x n x
n x
------
211
n r r
r r --111110
00000100000(3)00
(2)x x n x
n x
------
上三角(1)(2)[(3)][(2)]x x x n x n x -------, 原方程为(1)(2)
[(3)][(2)]0x x x n x n x ------=,
即得n-1个根为x k =,(0,1,2,
,1,2k n n =--。)
7、设n 阶行列式det()ij D a =,把D 上下翻转,或逆时针旋转90o ,或依副对角线翻转,依次得
1
111
1n nn
n a a D a a =
,1211
1n nn
n a a D a a =
,131
11
nn n
n a a D a a =
,
证明(1)/2
12(1)
n n D D D -==-,3D D =。 【证明】()1(1)/2
1(1)
n n D D -=-, 这就是将D 变换成1D :
11
11111
1n
n nn
n nn
n
a a a a a a a a →,由于把D 上下翻
转得到1D ,翻转变换中,元素ij a 的列码仍为列码,顺序没变,行码则由顺序123n 变成
了逆序321n
。
由于排列123
n 变成321n 要经过(1)(2)21n n -+-+++
(1)
2
n n -=
次对换, 可知把D 上下翻转得到1D ,须经过
(1)
2
n n -次行对换,从而(1)/21(1)n n D D -=-。证毕。
()2(1)/22(1)n n D D -=-,
这就是将D 变换成2D :
11
111
1
11
n
nn n
n nn
n a a a a a a a a →,由于把D 逆时针
旋转90o 得到2D :
11121,11121,n 21222,121,12,11,1,1
1,11,21,11,n
12221,2
212,111
21
1,11
n n n n n nn n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------→
旋转变换中,元素ij a 的第一码i 变成了第二码j ,都作为行码看待时,由顺序
123
n 变成为逆序321n ;而第二码j 变成了第一码i ,都作为列码看待时,顺序不变,
由于排列123n 变成321n 要经过(1)(2)21n n -+-+++
(1)
2
n n -=
次对换, 可知把D 旋转90o 得到2D ,须经过(1)2
n n -次对换,从而(1)/2
2(1)n n D D -=-。
证毕。
()33D D =。
这就是将D 变换成3D :
11
111
11
1n
n nn
n nn
n
a a a a a a a a →,由于把D 依副对
角线翻转得到3D :
11
121,111,2,n 121222,12,11,12,11,1
1,11,21,11,n
21,222
1212,11
1,1
2111
n n nn n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------→
翻转变换中,元素ij a 的第一码i 变成了第二码j ,都作为行码看待时,由顺序123n
变成为逆序321n ;第二码j 变成了第一码i ,都作为列码看待时,由顺序123n 变成
为逆序321n
,
从而,把D 依副对角线翻转得到2D ,须经过
(1)(1)
(1)22
n n n n n n --+=-次偶数对换,从而(1)
3(1)
n n D D D -=-=。证毕。 8、已知255,459,527都能被17整除,不求行列式的值,证明行列式245
5
52597
能被17
整除。
【分析】若行列式的任一项含有255,459,527这三个数之一,则行列式必能被17整除,
而这样只须行列式中有一行以255,459,527这三个数之一为元素即可, 经观察,行列式第一列恰有2,5,5,作行倍加312(10010)r r r ++即可得到255,
行列式第二列恰有4,5,9,同作行倍加312(10010)r r r ++即可得到459,
行列式第三列恰有5,2,7,同作行倍加312(10010)r r r ++即可得到527。
【解】245
5
525973132 100 10
r r r r ++2
455
5
22554595272455
5
2
171517271731=
???
317
r ←2
45
175
5
2152731,即知245
552597
能被17整除。
行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ,求x 。 解:由行列式的加法性质,原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算:(化三角形法) 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =
行列式的计算 (四)升级法(加边法) 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解:1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 (二)箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解:把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列,得: 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑
行列式的性质 基本性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第j 列的元素都是两数之和 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。 一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐,下面我们将推导出行列式的一些性质,为行列式的计算做准备. 设 111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = , 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称行列式T D 为D 的转置行列式.T D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180所得,亦可看成是将D 的所有行(列)按序写成所有列(行)所得(即所谓行列互换). 性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等,即 111212122212 n n n n nn a a a a a a a a a 112111222212n n n n nn a a a a a a a a a = . 证明 将等式两端的行列式分别记作D 和T D ,对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时,可以直接计算出T D D =成立,假设结论对小于n 阶的行列式都成立,下面考虑n 阶的情况. 根据定义 1111121211n n D a A a A a A =++ +,
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i -j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =-L L ,故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解: 方法1 递推法 按第1列展开,有 D n = x D 1-n +(-1) 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1,221 1x D a x a -=+,于是D n = x D 1-n + a n =x (x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2倍,K ,第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中,是一个函数,其定义域为的矩阵,取值为一个标量,写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式,这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法,有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示(如: ),且可以使用下标。此外,矩阵的绝对值是没有定义的。因此,行 列式经常使用垂直线记法(例如:克莱姆法则和子式)。例如,一个矩阵: A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a , 行列式也写作,或明确的写作: A= i h g f e d c b a , 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪,最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出,时间大致相同。
行列式的定义及性质 (张俊敏) ● 教学目标与要求 通过学习,使学生理解n 阶行列式的定义,熟练掌握二、三阶行列式性质,能运用性质求行列式的值。 ● 教学重点与难点 教学重点:n 阶行列式的定义及性质。 教学难点:n 阶行列式定义的理解。 ● 教学方法与建议 通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式,了解行列式及其应用,在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出:行列式是一种运算,其结果是一个数;其意义在于在由数组成的形式(方阵)与数域之间建立了一种联系,使得我们可以通过数来研究形式的东西,同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 求解二、三元线性方程组 (二元线性方程组???=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a ,当021122211≠-a a a a 时,可用消元法求得解为: 22 21 1211 222121********* 122211a a a a a b a b a a a a b a a b x = --= 二阶、三阶行列式
22 212 1122 211112112221121 12112a b a a a a b a a a a a a b b a x = --= )二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式:(回顾高中时的二阶与三阶行列式) 1112 112212212122 det()a a A a a a a a a = =-,其中A 为方程组的系数矩阵。 2. 三阶行列式: 32 3122 21133331232112333223221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注:(1)这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。 (2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。 2. n 阶行列式的定义: 1112122 23 221 23 22122211 12 23 1 3 1 2 21 22 2,1 111 2 ,1 (1)n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-= =-+ +- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后,得到的 1n -阶行列式叫做ij a 的余子式,记作ij M ,即11 1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1 ,1 ,1 j j n i i j i j n n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+= 并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为 111111********* det (1)(1)k n n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+ +-=-∑ (2.5)
行列式的定义及其性质证明 摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义,利用此定义和引理导出定理,进一步导出行列式的性质,给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明,形成了有关行列式的新的知识体系,通过定理性质的证明过程,重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。 关键词:行列式;定义;性质;代数余子式;逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和,若行标排列与列标排列同时作相应的对换,则t的奇偶性不变。 证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换,则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变,因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。 定理1 n阶行列式也可定义为 证明由定义1和引理即可证得。 性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。 性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等,则此行列式等于零。 证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等,由性质2可知 又A is=(-1)i+s(s=1,2,…,n),根据性质2,M i+s又可以展开成n-1项的和,每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积,以此类推,M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和,即 (mi为实数,Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式),这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素,由于这
教案头 教学详案 一、回顾导入(20分钟) ——复习行列式的概念,按照定义计算一个四阶行列式,一般需要计算四个三阶行列式,如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦,为简化行列式的计算,我们需要研究行列式的主要性质。 二、主要教学过程(60分钟,其中学生练习20分钟) 一、行列式的性质 定义 将行列式D 的行换为同序数的列就得到D 的转置行列式,记为T D 。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和。 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。二、行列式按行(列)展开 定义 在n 阶行列式中,把元素 ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij A 。记ij j i ij M A +-=)1(,叫做元素ij a 的代数余子式。引理 一个n 阶行列式,如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零,那末这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积,即 ij ij A a D =。定理 行 列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 ),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。 推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。 行列式的代数余子式的重要性质: ???≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ???≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ
行列式习题答案
2 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一.选择题 1.若行列式x 5 22 31521- = 0,则 = x [ C ] (A )2 (B )2- (C )3 (D )3- 2.线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ,则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] (A )(13,5) (B )(13-,5) (C )(13, 5 -) (D )(5,13--) 3 . 方 程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] (A )0 (B )1 (C )2 (D )3
3 4.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 [ A ] (A )665144322315 a a a a a a (B )6553443226 11a a a a a a (C ) 34 6542165321a a a a a a (D ) 26 654413 3251a a a a a a 5.若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的 值及该项的符号为[ B ] (A )3,2==l k ,符号为正; (B )3,2==l k ,符号为负; (C )2,3==l k ,符号为正; (D )2,3==l k ,符号为负 6.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1.行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2.排列36715284的逆序数是 13 3.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = 2,8,5 s
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列,得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.(T D D =) 事实上,若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?),行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行(列)完全相同,则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行(列)的所有元素都乘以数k ,等于数k 乘以此行列式,即 111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论:(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面;
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是零. n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解,充分应用了行列式的各种性质. 方法1 利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理,将行列式化成对角行列式. n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B . 将最后一行逐行换到第2行,共换了2n -次;将最后一列逐列换到第2列,也共换了2n -次.
n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B . 例2.2 计算n 阶行列式: 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ,可在保持 原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素. 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来. 例2.3 计算n 阶行列式: 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +
第62课矩阵、行列式的运算及性质 【教学目标】 1. 理解矩阵的概念,掌握矩阵的算法,会利用矩阵解线性方程组。 2. 理解行列式的概念,掌握行列式的算法,会利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况,了解三阶行列式的性质并能运用于计算。 【教学难点】 1. 会利用矩阵解线性方程组 2. 利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况。 【教学重点】 1.用矩阵表示实际问题中的相关量,运用矩阵的运算解决实际问题。 2.二阶(三阶)行列式的算法, 利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情 况。 【知识整理】 1.矩阵是一个数表,可以用来表示块状数据; 2.矩阵的运算,如:加法、减法、数乘、乘法等; 3.矩阵的基本变换。 4.行列式是表示特定算式的记号,其结果是一个数; 5.对于给定的方程组,能正确找出D 、x D 、y D ,并根据它们的值判断方程组解的情况,或写出方程组的解。 【例题解析】 【属性】高三,矩阵,矩阵,解答题,中,运算 【题目】已知矩阵2 793 1 5A ??= ?--?? ,3 14 026B -?? ?= ? ?-? ?,641 1103C -?? ? = ? ?-? ? ,计算: (1)()A B C +; (2)()B C A +; (3)B A C A +; (4)从上述计算结果中你能得到什么结论? 【解答】(1)11 110()24 13A B C ?? += ?-?? ;(2)15 1842()23 46101311 33B C A ---?? ?+=-- ? ?---? ? ;(3)15 184223 46101311 33BA CA ---?? ?+=-- ? ?---? ? ; (4)矩阵运算不满足交换率,但满足分配率。 【属性】高三,矩阵,矩阵,解答题,中,运算 【题目】一家水果店出售5种水果,它们的单价和利润如表1所示。该家水果店的经理要在计算 每笔生意营业额的同时,计算该笔生意的利润额。假设现有3位顾客购买水果,他们的购买量如表2所示。试计算每笔生意的营业额和利润额。 表1: 表2:
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多,除非零元素较少时可利用定义计算(①按照某一列或某一行展开②完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意观察所求题目的特点,灵活选用方法,值得注意的是,同一个行列式,有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法,并举例说明。 1.利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100 200 100 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n n n a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t (n -1 n -2…1n )等于(1)(2) 2 n n --, 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2.利用行列式的性质计算 例: 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式, 证明:奇数阶反对称行列式为零. 证明:由ij ji a a =-知ii ii a a =-,即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----,由行列式的性质T A A =,1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时,得D n =-D n ,因而得D n = 0.
行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0,则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵,B 是m ×n 矩阵,如果AC T B 有意义,则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵,下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵,下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)
矩阵的基本性质 矩阵的第?第列的元素为。我们?或()表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法 (1),对应元素相加减 (2)矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律: b.结合律: c. d. 2.矩阵的数乘 (1),各元素均乘以常数 (2)矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律: b.矩阵对数的分配律: c.结合律: d. 3.矩阵的乘法 (1),左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素(2)矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律,只有两个方正满足且有 b.分配律: c.结合律: d.数乘结合律: 4.矩阵的转置, (1)矩阵的幂:,,…,
(2)矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵:即;反对称矩阵:即 (1)设为(反)对称矩阵,则仍是(反)对称矩阵。 (2)设为对称矩阵,则或仍是对称矩阵的充要条件=。 (3)设为(反)对称矩阵,则,也是(反)对称矩阵。 (4)对任意矩阵,则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. (5) 6. Hermite矩阵:即;反Hermite矩阵,即 a. b. c. d. e. f.(当矩阵可逆时) 7.正交矩阵:若,则是正交矩阵 (1) (2)
8.酉矩阵:若,则是酉矩阵 (1) (2) (3), (4) 9.正规矩阵:若,则是正规矩阵;若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 (1)为矩阵的迹;或为行列式 (2);注:矩阵乘法不满足交换律 (3) (4),为酉矩阵,则 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12),,则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 (1)设由行列式的代数余子式所构成的矩阵
1、用行列式的性质计算下列行列式: () 134215352152809229092 ; 【分析】可见行列式中1,2两列元素大部分数字是相等的,列差同为1000,易于化为下三角行列式,于是, 【解法一】 3421535215280922909221 c c -34215100028092100012 r r -61230 280921000 下三角6123000。 【解法二】 34215352152809229092 12 r r -6123 6123 2809229092 21 c c -6123 280921000 下三角6123000。 () 2ab ac ae bd cd de bf cf ef ---; 【分析】各行、列都有公因,抽出后再行计算。 【 解 】 ab ac ae bd cd de bf cf ef ---123 a r d r f r ←←← b c e adf b c e b c e ---12 3 b c c c e c ←←←1111 111 1 1 adfbce --- 上三角2(1)2abcdef -?-?4abcdef =。 () 31111111111 1 1 1111 ------; 【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式, 【解】 1111111111 1 1 1111 ------213141 r r r r r r +++1111022200220002 上三角3 12 ?8=。 2、把下列行列式化为上三角形行列式,并计算其值:
() 12240 4135 31232 051-----; 【解法一】 224 4 1353 1232 5 1 -----21 c c ?2240 143513230 2 5 1 ------21 r r ?1435 2240 13230 2 5 1 ----- 270=-。 【解法二】 2 240 4 1353 1232 5 1 -----1 2 r ←1120 41352 31232 5 1 -----21 c c ?1120 1435 213230 2 5 1 ------ 上三角221(1)(135)??-?-270=-。 () 21234 234134124123 。 【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型,应将2,3,4列加到第1列: 【解】 1234 234134124123 1234 () c c c c +++10234 103411041210123213141 r r r r r r ---10 234011 3 02 22 111 ------ 3242 2 r r r r -+102 340113004 40 4 --- 上三角2 101(4) ??-160=。 3、设行列式 ij a m =(,1,2,,5)i j =L ,依下列次序对ij a 进行变换后,求其结果: 交换第一行与第五行,再转置,用2乘所有元素,再用(-3)乘以第二列加到第四列,最后用4除第二行各元素。 【解】 ()1交换第一行与第五行,行列式变号,结果为m -; ()2再转置,行列式的值不变,m -;
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是零. n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解,充分应用了行列式的各种性质. 方法1 利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理,将行列式化成对角行列式. n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B . 将最后一行逐行换到第2行,共换了2n -次;将最后一列逐列换到第2列,也共换了2n -次.
n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B . 例2.2 计算n 阶行列式: 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ,可在保持 原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素. 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来. 例2.3 计算n 阶行列式:
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i -j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =-L L ,故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1 ,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解: 方法1 递推法 按第1列展开,有 D n = x D 1-n +(-1) 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1,22 1 1x D a x a -=+,于是D n = x D 1-n + a n =x (x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2倍,K ,第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K
§2.4 矩阵的转置性质和行列式性质 回顾 乘法:记作.C AB = 11221 s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b ==+++=∑ ()1,2,;1,2,,,i m j n == 不是所有矩阵都可以相乘的,必须左边矩阵的列数=右边矩阵的行数。m l l n m n A B C ???=,它们的积为:左边矩阵的各行与右边矩阵的 各列对应元素积的和。 注:①一般地,.AB BA ≠ ②两个非零矩阵的积可能是零矩阵。(实数中不可能有的) (3)若AB=AC ,不一定有B=C 。 说明矩阵相乘,两个矩阵的顺序非常重要。 (4) 乘方()m A m N +∈,A 是n 阶方阵。 0A E =,,m k m k A A A +=().k m mk A A =().k k k AB A B ≠ 新授:矩阵的乘法运算 一、转置运算及性质 1)();T T A A =();T T T A B A B +=+();T T A A λλ=().T T T AB B A = 例6:已知171201,423,132201A B -??-?? ?== ? ??? ??? ().T AB 求 解法一:171201423132201AB -??-?? ?= ? ??? ??? 0143,171310-??= ??? ()0171413.310T AB ?? ?∴= ? ?-?? 解法二:() T T T AB B A =142217*********???? ???= ??? ???--????0171413.310?? ?= ? ?-?? 练习:
教学单元教案设计
教学单元讲稿 一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则 2. n 阶行列式的定义,并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称 第三节 行列式的性质 三、课程导入 复习导入 四、分析思路 首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性,再推导出出行列式的6条性质,最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性 质。 五、讲授内容 第三节 行列式的性质 对换 对换的定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换. 例:b b b a a a l ΛΛ11 ——b b a b a a l ΛΛ11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 : 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立 定理2 :n 阶行列式为: .)1(211 21 2322211312 112 1 n p p p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ -∑= 其中t 为n p p p Λ21的逆序数. (以4阶行列式为例,对证明过程作以说明) (补充)定理3 n 阶行列式也可定义为 .)1(1 2 121 11 21 2322211312 11n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ -∑= 其中n p p p Λ21和 n q q q Λ21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
线性代数行列式经典例题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i -j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知,11a =0,121a =, 1,1, n a n =-,故 0111 02 12 n n n D n n --= --1,1,,2 i i r r i n n --=-= 0111111 1 1 n ----
1,,1 j n c c j n +=-= 1 2 110 2 1 ( 1) 2 (1) 20 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列.
方法2 01110 21 2 n n n D n n --= --11,2,,1 11111 1 12 i i r r i n n n +-=----= -- 12,, 1 00 1 2 0123 1 j c c j n n n n +=---= ---= 1 2 (1) 2 (1) n n n ----
例2.设a, b, c是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式即为y2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 10 010 n n n x x a a a x a -- - - + 解:方法1 递推法按第1列展开,有