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习题行列式的性质

1、用行列式的性质计算下列行列式：

()

134215352152809229092

；

【分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行列式，于是，【解法一】

3421535215280922909221

c c -34215100028092100012

r r -61230

280921000

下三角6123000。

【解法二】

34215352152809229092

r r -6123

6123

2809229092

c c -6123

280921000

下三角6123000。

()

2ab ac ae bd cd de bf

---；

【分析】各行、列都有公因，抽出后再行计算。【

解

】

ab ac ae bd cd de bf

---123

a r d r f r ←←←

c e

adf b

c e b

e ---12

c c c e c ←←←1111

111

adfbce ---

1123

r r r r ++111

020

adfbce -23

r r ?111

200

abcdef --

上三角2(1)2abcdef -?-?4abcdef =。

()

31111111111

1111

------；【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，

【解】

1111111111

1111

------213141

r r r r r r +++1111022200220002

上三角3

?8=。

2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：

()1

2240 4135 3123 2051

；

【解法一】

2240

4135

3123

2051

--21

c c

2240

1435

1323

0251

--21

r r

1435

2240

1323

0251

r r

1435

06210

0712

0251

r r-

1435

0118

0712

0251

r r

1435

0118

00858

00717

-34

r r-

1435

0118

00141

00717

r r

1435

0118

00141

000270

上三角2

(1)1(270)

-??-270

=-。

【解法二】

2240

4135

3123

2051

--1

←

1120

4135

3123

2051

--21

c c

1120

1435

1323

0251

r r

1120

0315

0403

0251

-23

r r

1120

0118

0403

0251

r r

1120

0118

00429

00717

r r

1120

0118

00429

00141

r r

1120

0118

000135

00141

r r

1120

0118

00141

000135

上三角2

21(1)(135)

??-?-270

=-。

()

21234

234134124123

。

【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2，3，4列加到第1列：

【解】

1234

234134124123

1234 ()

c c c c +++10234

103411041210123213141

r r r r r r ---10

234011

111

------

3242 2

r r r r -+102

340113004

--- 上三角2

101(4)

??-160=。

3、设行列式ij a m =(,1,2,,5)i j =L ，依下列次序对ij a 进行变换后，求其结果：交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。

【解】()1交换第一行与第五行，行列式变号，结果为m -；

()2再转置，行列式的值不变，m -；

()3用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2，这等于用52乘以行列式，结果为

52m -?32m =-；

()4再用(-3)乘以第二列加到第四列，这是倍加，行列式的值不变，结果仍为32m -；

()5最后用4除第二行各元素，即第二行有公因

14，这等于用1

乘以行列式，结果为1

324

m -?

8m =-。 4、用行列式的性质证明下列等式：

()

111

1112222233

a k

b b

c c a kb b c c a kb b c c ++++++1112

223

a b c a b c a b c =；

【证法一】左边=

11111

22222

33333

a k

b b

c c

a k

b b

c c

a k

b b

c c

1111

2222

3333

a k

b b c

a k

b b c

a k

b b c

c kc

111

222

333

a b c

=右边，证毕。

【证法二】右边=

111

222

333

a b c

c kc

1111

2222

3333

a k

b b c

a k

b b c

a k

b b c

c c

11111

22222

33333

a k

b b

c c

a k

b b

c c

a k

b b

c c

=左边，证毕。

【证法三】左边=

11111

22222

33333

a k

b b

c c

a k

b b

c c

a k

b b

c c

分拆

1111

2222

3333

a b c c

1111

2222

3333

kb b c c

+ 2

都分拆

111

222

333

a b c

111

222

333

a c c

111

222

333

kb b c

111

222

333

kb c c

:=:1

c c

c c k

第2，4行列式第3行列式

111

222

333

a b c

+0+0+0=

111

222

333

a b c

=右边，证毕。

()2y z z x x y

x y y z z x

z x x y y z

+++

x y z

z x y

y z x

=。

【证法一】左边=y z z x x y

x y y z z x

z x x y y z

+++

123

()

c c c

2()

x y z z x x y

x y z y z z x

x y z x y y z

++++

r r

2()

x y z z x x y

y x z y

y z z x

++++

2()

x y z c

++←

2()0

z x x y

x y z y x z y

y z z x

++--

2131 () ()

c z x c c x y c ++--1

002()0

0x y z y x z y y z

z x

++---- 右边=2x

y z z

x y y

123 ()

c c c ++2x y z y z x y z x y x y z

x ++++++ 1 ()

x y z c ++←12()11y

z x y z x

y z

++ 2131

r r r r --1

2()0

y z x y z x y y z z y x z ++---- 2131

c yc c zc --1

002()0

0x y z x y y z z y x z ++---- 23

r r --1

002()0

x y z y x z y y z

z x

++----，对比即得左边=右边，证毕。

【证法二】左边=y z

z x x y x y

y z z x z x

x y y z +++++++++1

c 分拆y z x x y x y z z x z x y

y z +++++++z z x x y y y z z x x x y y z ++++++ 3121

c c c c 前-后-y

z x x

x y z z z x y y ++++z

x x y y z z x x y y z +++2332

c c c c 前-后-y

z x

x y z z x y +z

x y y z x x y z 2131

r r r r ??前后x

y z

y z x z x

y -－x

y z y z x z

r r ?都x

y z

z x y y z

x +x

y z z

x y y

2x y z

x y y

==右边，证毕。 5、计算下列行列式：

()1x a a a x a a a x

L L L L L L L ；【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2列以后各列加到第1列：

【解】设

x a a a x

a a

L L L L L L L 为n 阶行列式，则每行中有1个x ，n-1个a ，于是 x a a a x a a a

L L L L L L L

x a a a a a x a a a a a x a a

a a a x a a a a a x

L L L L L L L L L L L

123 ()

n c c c c +++L (1)(1)(1)(1)(1)x n a a a

a a x n a x a a a x n a

a x a a x n a a a x a x n a a a

a x

+-+-+-+-+-L

L L L L L L L L L L

211

n c c c c --L L (1)0000000000000

0x n a

a a a a x a x a x a x a

+-----L

L L L L L L L L L L

上三角1

[(1)]()

n x n a x a -+--。

()

21231103112011230123(1)

n n n n n n n n --------------L L L L

L L L L

；

【分析】该行列式主对角线以下元素与首行元素对应为相反数，因此，将首行加到以下各行，将化为上三角行列式。

【解】1231

1031

1201

1230

123(1)0

n n

---

-----

L L L L L L

c c

L L

1231

0262(1)2

0032(1)2

00012

0000

n n

L L L L L L

上三角123(1)

n n

????-

L!n=。

()3

112

122

n n

a a a

a b a a

a a

b a

a a a b

L L L L L

；

【分析】这是为n+1阶行列式。该行列式主对角线以下元素与首行元素对应相等，因此，将首行的-1倍加到以下各行，将化为上三角行列式。

【解】

112

122

n n

a a a

a b a a

a a

b a

a a a b

L L L L L

c c

L L

000

a a a

L L L L L

上三角12n

b b b

L。

()4

111

100

L L L L L

，其中0

a≠。

【分析】为化成上三角行列式，须将

a下方元素全化为0，这样就需要次第地（以一定顺序，一个接一个地），将0a化为-1后加到第1列，将1a化为-1后加到第2列，......，将n a化为-1后加到第1列。

【解】

111

100

L L L L L

c c

111

000

100

-L

L L L L L

132

c c a -012121111100000010

a a a a a a -

-L L L

L L L L L L

(111)

n n

c c a +-01212111 (11)

000000

a a a a a a a -

---L

L L L L L L L L

12111100

00000

i i

a a a a a =-∑

L L

L L L L L L L

上三角12011

()n

n i i

a a a a a =-∑L

上述的n 次列倍加运算也可以叠加进行：

0121111001001

a a a a L L L

L L L L L L

121

111

n n

c c a c c a +--L L 01

12111100

00000

i i

a a a a a =-∑

L L

L L L L L L L

上三角12011

()n

n i i

a a a a a =-∑L

6、解下列方程：

()122

11231223023

19x x -=-；

【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，注意到1，2两行及3，4两行有较多的相同元素，得：

左边=

2211231223

23152

19x x --2143

r r r r --22

11230100

231500

04x x --

1323 2 3

c c c c --22

3523010

00150

04x x ----

上三角223(1)(4)x x -?--，

原方程为2

(1)(4)0x x --=，即得4个根为1x =±，2x =±。

()

21111111111112110111(2)11

(1)x x n x

n x

--=----L L L L L L L L L L L

；

【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，将第一行的-1倍加到以下各行即成为上三角行列式。

左边=

111111111111211111(2)11

1(1)x x n x

n x

------L L L L L L L L L L L

211

n r r r r --L L 1

11000000100000(3)00

(2)x x n x

n x

------L

L L L L L L L L L L

上三角(1)(2)[(3)][(2)]x x x n x n x -------L ，

原方程为(1)(2)[(3)][(2)]0x x x n x n x ------=L ，即得n-1个根为x k =，(0,1,2,,1,2k n n =--L 。)

7、设n 阶行列式det()ij D a =，把D 上下翻转，或逆时针旋转90o ，或依副对角线翻转，依次得

11111n nn n a a D a a =L L

L L L

，12111n nn n a a D a a =L L L L L ，13111

nn n n a a D a a =L L L

L L

，证明(1)/2

12(1)

n n D D D -==-，3D D =。【证明】()1(1)/2

1(1)

n n D D -=-，这就是将D 变换成1D ：11111111n n nn

n nn

a a a a a a a a →L

L L L

，由于把D 上下翻

转得到1D ，翻转变换中，元素ij a 的列码仍为列码，顺序没变，行码则由顺序123n L 变成了逆序321n L 。

由于排列123n L 变成321n L 要经过(1)(2)21n n -+-+++L

(1)

n n -=

次对换，可知把D 上下翻转得到1D ，须经过

(1)

n n -次行对换，从而(1)/21(1)n n D D -=-。证毕。

()2(1)/22(1)n n D D -=-，

这就是将D 变换成2D ：11111111

n nn n

n nn

n a a a a a a a a →L

L L L

，由于把D 逆时针旋转90o 得到2D ：

11121,11121,n 21222,121,12,11,1,11,11,21,11,n 12221,2212

,11121

1,11

n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------→L

L L L L L L L L L L L L L L L

旋转变换中，元素ij a 的第一码i 变成了第二码j ，都作为行码看待时，由顺序

123n L 变成为逆序321n L ；而第二码j 变成了第一码i ，都作为列码看待时，顺序不变，

由于排列123n L 变成321n L 要经过(1)(2)21n n -+-+++L

(1)

n n -=

次对换，可知把D 旋转90o 得到2D ，须经过(1)2

n n -次对换，从而(1)/2

2(1)n n D D -=-。

证毕。

()33D D =。

这就是将D 变换成3D ：11111111n n nn

n nn

a a a a a a a a →L

L L L

，由于把D 依副对

角线翻转得到3D ：

11121,111,2,n 121222,12,11,12,11,11,11,21,11,n 21,2221212

,111,1

2111

n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------→L

L L L L L L L L L L L L L L L

翻转变换中，元素ij a 的第一码i 变成了第二码j ，都作为行码看待时，由顺序123n L 变成为逆序321n L ；第二码j 变成了第一码i ，都作为列码看待时，由顺序123n L 变成为逆序321n L ，

从而，把D 依副对角线翻转得到2D ，须经过

(1)(1)

(1)22

n n n n n n --+=-次偶数对换，从而(1)

3(1)

n n D D D -=-=。证毕。 8、已知255，459，527都能被17整除，不求行列式的值，证明行列式245

552597

能被17

整除。

【分析】若行列式的任一项含有255，459，527这三个数之一，则行列式必能被17整除，

而这样只须行列式中有一行以255，459，527这三个数之一为元素即可，经观察，行列式第一列恰有2，5，5，作行倍加312(10010)r r r ++即可得到255，

行列式第二列恰有4，5，9，同作行倍加312(10010)r r r ++即可得到459，

行列式第三列恰有5，2，7，同作行倍加312(10010)r r r ++即可得到527。

【解】245552

597

3132 100 10

r r r r ++2

455

22554595272455

171517271731

???

17 r ←2

175

52152731

，即知245

552597能被17整除。

行列式经典例题及计算方法

行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =

行列式的计算（四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算（二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑

行列式的性质

行列式的性质基本性质性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备. 设 111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称行列式T D 为D 的转置行列式．T D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）．性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即 111212122212 n n n n nn a a a a a a a a a 112111222212n n n n nn a a a a a a a a a = . 证明将等式两端的行列式分别记作D 和T D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义 1111121211n n D a A a A a A =++ +，

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K

线性代数行列式算与性质

线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ，行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。

行列式的定义及其性质证明

行列式的定义及其性质证明摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。定理1 n阶行列式也可定义为证明由定义1和引理即可证得。性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这

行列式的定义及性质

行列式的定义及性质（张俊敏） ● 教学目标与要求通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。 ● 教学重点与难点教学重点：n 阶行列式的定义及性质。教学难点：n 阶行列式定义的理解。 ● 教学方法与建议通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 ● 教学过程设计 1.问题的提出求解二、三元线性方程组（二元线性方程组???=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为： 22 21 1211 222121********* 122211a a a a a b a b a a a a b a a b x = --= 二阶、三阶行列式

22 212 1122 211112112221121 12112a b a a a a b a a a a a a b b a x = --= ）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式） 1112 112212212122 det()a a A a a a a a a = =-，其中A 为方程组的系数矩阵。 2. 三阶行列式： 32 3122 21133331232112333223221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。 (2)三阶行列式也是方形矩阵上定义的一种运算。 2. n 阶行列式的定义： 1112122 23 221 23 22122211 12 23 1 3 1 2 21 22 2,1 111 2 ,1 (1)n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-= =-+ +- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的 1n -阶行列式叫做ij a 的余子式，记作ij M ，即11 1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1 ,1 ,1 j j n i i j i j n n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+= 并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为 111111********* det (1)(1)k n n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+ +-=-∑ （2.5）

行列式习题答案

2 线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节 n 阶行列式一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13， 5 -）（D ）（5,13--） 3 ．方程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s

行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ．例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +

63、矩阵、行列式的运算及性质

第62课矩阵、行列式的运算及性质【教学目标】 1. 理解矩阵的概念,掌握矩阵的算法,会利用矩阵解线性方程组。 2. 理解行列式的概念,掌握行列式的算法,会利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况,了解三阶行列式的性质并能运用于计算。【教学难点】 1. 会利用矩阵解线性方程组 2. 利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况。【教学重点】 1.用矩阵表示实际问题中的相关量,运用矩阵的运算解决实际问题。 2.二阶(三阶)行列式的算法, 利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况。【知识整理】 1．矩阵是一个数表,可以用来表示块状数据； 2．矩阵的运算，如：加法、减法、数乘、乘法等； 3．矩阵的基本变换。４．行列式是表示特定算式的记号，其结果是一个数；５．对于给定的方程组，能正确找出D 、x D 、y D ，并根据它们的值判断方程组解的情况，或写出方程组的解。【例题解析】【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，运算【题目】已知矩阵2 793 1 5A ??= ?--?? ，3 14 026B -?? ?= ? ?-? ?，641 1103C -?? ? = ? ?-? ? ，计算：（1）()A B C +；（2）()B C A +；（3）B A C A +；（4）从上述计算结果中你能得到什么结论？【解答】（1）11 110()24 13A B C ?? += ?-?? ；（2）15 1842()23 46101311 33B C A ---?? ?+=-- ? ?---? ? ；（3）15 184223 46101311 33BA CA ---?? ?+=-- ? ?---? ? ；（4）矩阵运算不满足交换率，但满足分配率。【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，运算【题目】一家水果店出售5种水果，它们的单价和利润如表1所示。该家水果店的经理要在计算每笔生意营业额的同时，计算该笔生意的利润额。假设现有3位顾客购买水果，他们的购买量如表2所示。试计算每笔生意的营业额和利润额。表1：表2：

行列式的性质

教学单元教案设计

教学单元讲稿一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则 2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称第三节行列式的性质三、课程导入复习导入四、分析思路首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性质。五、讲授内容第三节行列式的性质对换对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调,叫做相邻对换．例：b b b a a a l ΛΛ11 ——b b a b a a l ΛΛ11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明：由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立定理2 ：n 阶行列式为： .)1(211 21 2322211312 112 1 n p p p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ -∑= 其中t 为n p p p Λ21的逆序数. （以4阶行列式为例,对证明过程作以说明）（补充）定理3 n 阶行列式也可定义为 .)1(1 2 121 11 21 2322211312 11n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ -∑= 其中n p p p Λ21和 n q q q Λ21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.

行列式-矩阵练习题

行列式矩阵练习题一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)k B. 秩(A)≥k C. 秩(A)=k D. 秩(A)≤k 6. 设A 、B 为同阶方阵，则下面各项正确的是( A ). A. 若|AB|=0，则|A|=0或|B|=0 B. 若AB=0, 则A=0或B=0 C. A 2-B 2=(A-B)(A+B) D. 若A 、B 均可逆，则(AB)-1=A -1B -1 7. 当k 满足( A )时，?????=+=++=++0 z 2y -kx 0z ky 2x 0z ky kx 只有零解. A. k=2或k=-2 B. k ≠2 C. k ≠－2 D. k ≠2且k ≠－2 8. 设A 为n 阶可逆阵，则下列( B )恒成立. A.(2A)-1=2A -1 B. (2A -1)T =(2A T )-1 C. ［(A -1)-1］T =［(A T )-1］-1 D. ［(A T )T ］-1=［(A -1)-1］T 二、填空题

矩阵基本性质

矩阵的基本性质矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法（1）,对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘（1），各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法（1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…,

（2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即（1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。（2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。（3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。（4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵（1）（2）

8.酉矩阵：若,则是酉矩阵（1）（2）（3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式（1）为矩阵的迹；或为行列式（2）；注：矩阵乘法不满足交换律（3）（4）,为酉矩阵，则（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵（1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵

行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ．例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式：

线性代数行列式经典编辑例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1 ,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，22 1 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K

2.4 矩阵运算的转置、方阵行列式性质

§2.4 矩阵的转置性质和行列式性质回顾乘法：记作.C AB = 11221 s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b ==+++=∑ ()1,2,;1,2,,,i m j n == 不是所有矩阵都可以相乘的，必须左边矩阵的列数=右边矩阵的行数。m l l n m n A B C ???=，它们的积为：左边矩阵的各行与右边矩阵的各列对应元素积的和。注：①一般地，.AB BA ≠ ②两个非零矩阵的积可能是零矩阵。（实数中不可能有的）（3）若AB=AC ，不一定有B=C 。说明矩阵相乘，两个矩阵的顺序非常重要。（4）乘方()m A m N +∈，A 是n 阶方阵。 0A E =，,m k m k A A A +=().k m mk A A =().k k k AB A B ≠ 新授：矩阵的乘法运算一、转置运算及性质 1）();T T A A =();T T T A B A B +=+();T T A A λλ=().T T T AB B A = 例6：已知171201,423,132201A B -??-?? ?== ? ??? ??? ().T AB 求解法一：171201423132201AB -??-?? ?= ? ??? ??? 0143,171310-??= ??? ()0171413.310T AB ?? ?∴= ? ?-?? 解法二：() T T T AB B A =142217*********???? ???= ??? ???--????0171413.310?? ?= ? ?-?? 练习：

行列式的定义和性质及若干应用论文

行列式及其在初等数学中的应用【摘要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组引言行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。 1 行列式的定义和性质 1.1行列式的定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。例1 n n D n 00000010 0200100 -= 计算行列式　. 解：　n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!) 1(2 ) 2)(1(n D n n n ---= 1.2行列式的性质行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。例 2 一个n 阶行列式ij n a D = 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零. 证明：由　ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,2,1,0==.故行列式可表示为

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =， 1,1, n a n =-，故 0111 02 12 n n n D n n --= --1,1,,2 i i r r i n n --=-= 0111111 1 1 n ----

1,,1 j n c c j n +=-= 1 2 110 2 1 ( 1) 2 (1) 20 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．

方法2 01110 21 2 n n n D n n --= --11,2,,1 11111 1 12 i i r r i n n n +-=----= -- 12,, 1 00 1 2 0123 1 j c c j n n n n +=---= ---= 1 2 (1) 2 (1) n n n ----

例2.设a, b, c是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式即为y2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 10 010 n n n x x a a a x a -- - - + 解：方法1 递推法按第1列展开，有

线性代数性质公式整理

线性代数第一章行列式一、相关概念 1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即这里表示对所有n阶排列求和。式称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。阶与3阶行列式的展开——， 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为的余子式，记为；称为的代

数余子式，记为，即。 6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。 4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和： 5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变： 6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A|按i行展开的展开式 |A|按j列展开的展开式四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于副对角线的n阶行列式的值 3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则

线性代数习题册行列式-习题详解.doc

行列式的概念一、选择题 1．下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行列式的值（）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号．答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.

阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i

几种特殊类型行列式及其计算

1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.

2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()123231111001 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000000 n n n a a a a D a a ?? --- ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式