（1）若方程x x f 2)(=恰有三个不同的实数根，求实数a 的值； （2）当0>a 时，若对任意的],0[+∞∈x ，不等式)(2)1(x f x f ≤-恒成立，求实数a 的取值范围. 4已知0≥a ，函数a a x x x f 25)(2+--=. (1)若函数)(x f 在]3,0[上单调，求实数a 的取值范围； (2)若存在实数2,1x x ，满足)()(0))((2121x f x f a x a x =<--且，求当a 变化时 21x x +的取值范围.
（1）若函数)]([)(x f f x F =与)(x f 在R x ∈时有相同值域，求实数b 的取值范围； （2）若方程21)(2=-+x x f 在)2,0(上有两个不同实数根2,1x x ， ①求实数b 的取值范围； ②求证： 41121<+x x 6已知函数),()(2R b R a b ax x x f ∈∈--=+. (1) 若,2,2≥=b a 且函数)(x f 的定义域，值域均为],1[b ，求b 的值； (2) 若函数)(x f 的图像与直线1=y 在)2,0(∈x 上有2个不同的交点，试求a b 的范围.
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案77699
人教版九年级下册数学 二次函数知识点总结教案 主讲人：李霜霜
一、教学目标： (1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题． (2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想． 二、教学重点、难点 教学重点：二次函数的图像，性质和应用 教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题． 三、教学过程 复习巩固 （一）二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． （二）二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： （三）二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律
二次函数图像与系数之间的判断
己知二次3lSSy=ax^+bx+c 的囹金如囹所示?2a+b=0 ?② b^-4ac>0 ? €>4a-2b+c>0 ? @abc>0 ? €>3a+c>0 .贝（以上结论正隔的有（ ）个? I ? RD2a+b=0i抛物线与xii有两个交点，则厶=b2-4ac>0 i x=-2时的函埶值为正，则4a-2b+c> 0；魅柳线开口向上?a>0.而b=-2a>得到b<0.由于槌物线与y紬的交点在x紬下方，得到cVO,贝Jabc>0；由于x=3时对应的函数图象在x柚 上方?得到9a+3b+c>0.然后把b“2a代入即可得到3a+c>0. 解普二W：???拠物I线的对称紡为宜线x“，???■ g=l，RD2a+b=0 >所以①正确；2a ???牠物线与x柚有两个交点? A A=b2-4ac>0.所以2）佶溪； ???当炉-2时对应的因数囹猱在x釉上方? A4a-2b+c>0.所以◎正确； ???抽物线开口向上? A a>0 ?而b=-2a? Ab<0? ???牠物线与y柚的交点S/toT方? ?--c<0. ?'? ab c > 0 ?所以◎正； 当片3时对应的函数图象左x柚上方?即y>0, ?*? 9a+3b+c >0 > 而b=-2a? A3a4.c>0>所以⑤正X? 故送B? （2011-宝i氐区二模）已知：二;欠函数y=ax2*bx*c的團象如图所示，那么下列结论中:①abc>0;②b"2a; ?5a-2b<0; @a-b+c> 0.正确的个数是（〉 考焦二次函数團象与系数的关系. 专題］推理填空?5? 分析;|①根擔挞物线开口向下判断出a<0,再根擔挞物线的对称轴确定出b的情况，抿抿抛物线与y轴的交点确定出c>0,最后根18有理数的泰 法运算的符号 运算法则解答J ②根1居对称轴为沪?1解答： ③根1居②得出的“ b的关系，用a表示b,然后代入解关于a的不等式，再根抿a的取值范围进行判肝； ④根1 居沪-1时的函数值是正数判断. 解爹二解：①???二次函数图象开口冋下， :.a<0, ???与y轴的正半轴相交， /.c>0, 又???对称轴x=-^=-1, la /.b=2a<0, /.abc>0,故本小题正确； ②由①可iD, b-2a,故本小題错误， ?Vb=2a, /.5a-2b=5a-2X2a=a, A5a-2b<0,故本小题正确； ④由團形可知'当泸寸'y>0, 即a-b*c>0,故本小题正确?综上所述，正确的有①①⑥共3个. 筠点: 二次函数图象与系数的关系. : 压釉题；埶形结合. 根堀抛拥线的对称轴为百线可得至卜寻 A. 4个 B. 3个C?2个
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略 二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。 一、适时用分类，讨论破定势 分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。 例1 已知f(x)=x 2 +bx+c (b,c ∈R), （1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。 （2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥ 2 1. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。 （2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。 当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与 2 1 的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥ 21,即|f(0)|≥2 1 ，命题成立。 （ii ）若|c|< 21，取x 0=－21,则2 1432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .
故不论|c|≥ 21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥2 1 成立。 本题除了取x=－ 2 1 外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。 二、合理用公式，灵活换视角 公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。 例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1. 解 由韦达定理，得???=-=+b x x a x x 2121 ???==+∴.|||||,|||2 121 b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1， 又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|. 1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x 即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。 又∵1+|x 2|>0，∴|x1|<1. 同理可得|x 2|<1。 例3 函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),若函数f(x)的图象与直线y=x 和y=-x 均无公共点，求证：（1）4ac －b 2>1. （2）对一切实数x ，恒有| |41 ||2a c bx ax >++. 分析（1）略。
绝对值问题的求解方法
绝对值问题的求解方法 一、定义法 例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。 分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为： ， ∴， 即 说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。 二、利用非负性 例2 方程的图象是（） （A）三条直线： （B）两条直线： （C）一点和一条直线：（0，0）， （D）两个点：（0，1），（－1，0）
分析与解由已知，根据非负数的性质，得 即或 解之得：或 故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。 说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。 三、公式法 例3 已知，求的值。 分析与解， ∴原式 说明本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。 四、分类讨论法 例4 实数a满足且，那么
分析与解由可得 且。 当时， ； 当时， 说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。 五、平方法 例5 设实数a、b满足不等式，则 （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有 ，
整理得 ， 由此可知，从而 上式仅当时成立， ∴，即且， 选B。 说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。 六、图示法 例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。 由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。 说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。
二次函数图像与系数的关系
二次函数图像与系数的关系 1. 如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出四个结论：① ；②；③；④。其中正确结论的个数是（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 小轩从如图所示的二次函数（）的图象中，观察得出了下面五条信息：①；② ；③；④；⑤。你认为其中正确信息的个数有（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 设二次函数，当时，，当时，，那么的取值范围是（）。 A. B. C. D. 4. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间 （包含端点），则下列结论：①当时，；②；③；④中，正确的是（）。 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ①③ 5. 已知二次函数的图象如图所示。下列结论：①；②；③；④ ，其中正确的个数有（）。 A. B. C. D.
6. 已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④。其中，正确结论的个数是（）。 A. B. C. D. 7. 如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1） ；（2）；（3）；（4），其中错误的有（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 二次函数（）的图象如图所示，若，，。则 ，，中，值小于的数有（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 如图，已知二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴 的交点在和之间（包括这两点），下列结论：①当时，；②； ③；④。其中正确的结论是（）。 A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 已知二次函数（）的图象如图所示，下列结论错误的是（）。 A. B. C. （为任意实数） D.
二次函数图像与系数关系含答案
二次函数图像与系数关系 一．选择题（共9小题） 1．（2013?义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中， 正确的是（） A．①②B．③④C．①④D．①③ 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：计算题；压轴题． 分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断； ②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入 （3a+b），并判定其符号； ③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值 范围； ④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． 故①正确； ②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0． ∵对称轴x=﹣=1， ∴b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0． 故②错误； ③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0）， ∴﹣1×3=﹣3， ∴=﹣3，则a=﹣． ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣． 故③正确；
④根据题意知，a=﹣，﹣=1， ∴b=﹣2a=， ∴n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3， ∴≤c≤4，即≤n≤4． 故④错误． 综上所述，正确的说法有①③． 故选D． 点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 2．（2013?烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（） A．①②B．②③C．①②④D．②③④ 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断 ③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的 增大而增大即可判断④． 解答：解：∵二次函数的图象的开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1， ∴﹣=﹣1， ∴b=2a＞0，
二次函数的图像与系数的关系
二次函数的图像与系数的关系 1．已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc ＜0；②3a+c ＞0；③4a+2b+c ＞0；④2a+b=0；⑤b 2 ＞4ac.其中正确的结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．如图，二次函数y =ax 2 +bx +c （a ≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说确的是（ ） A. a ＞0，b ＜0，c ＞0 B. b 2 ﹣4ac ＜0 C. 当﹣1＜x ＜2时，y ＞0 D. 当x >2时，y 随x 的增大而增大 3．如图，二次函数 图象，过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（ ） A. 2a+b=0 B. ac>0 C. D. 4．已知函数y=mx 2 －6x+1（m 是常数），若该函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ） A. 9 B. 0 C. 9或0 D. 9或1 5．如图，二次函数2 y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列理论：①0a <， 0b <②20a b ->，③0a b c ++>，④0a b c -+<，⑤当1x >时， y 随x 的增大
而减小，其中正确的是（）． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①③④ 6．已知y=ax+b的图象如图所示，则y=ax2+bx的图象有可能是（） A. B. C. D. 7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0； ②9a+c＜3b； ③25a+5b+c=0； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，?③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）
二次函数绝对值问题
常见绝对值类问题汇总 ——辽宁数学小丸子编辑 【题1】已知32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当1x ≤时，'()f x M ≤恒成立，求a 的最大值 【题2】设1()4 2(,)x x f x a b a b R +=+?+∈，若对于1[0,1],()2x f x ?∈≤都成立，求b 【题3】2()f x x bx c =++在定区间[,]m n 上的最大值为M ，则M 有一个最小值2 ()8 m n -，当且仅【题4】设,,a b c R ∈,对任意满足1x ≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___ 【题5】设函数(),,f x x ax b a b R =--∈，若对任意实数,a b ，总存在实数0[0,4]x ∈使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围 【题6】设2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()1f x ≤，求证：当2x ≤时，()7 f x ≤【推广】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()f x k ≤，求证：当x n ≤时，2()(21)f x n k ≤-【题7】已知二次函数22(),(),(1)1,(0)1,(1)1f x ax bx c g x cx bx a f f f =++=++-≤≤≤求证：当11x -≤≤时， （1）5 ()4f x ≤（2）()2 g x ≤【题8】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有 24 ax b +≤【推广】设函数2 ()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有2(*) nax b n n N +≤∈【题9】设,,a b c R ∈,对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___ 【题10】设函数1()(1,)f x x c b c R x b =++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[1,1]-上的最大值为M ，若M k ≥对任意的,b c 成立，求k 最大
二次函数系数a、b、c与图像的关系89058
二次函数系数a、b、c与图象的关系知识归纳： 1.a的作用：决定开口方向和开口大小 2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置） 3.c的作用：与y轴交点的位置。 4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。 5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。 针对训练： 1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。 (1)a___0；b___0；c___0；△__0. (2)a___0；b___0；c___0；△__0. (3)a___0；b___0；c___0；△__0. (4)a___0；b___0；c___0；△__0. (5)a___0；b___0；c___0；△__0. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图， 用（＞，＜，=）填空： a___0；b___0；c___0；a+b+c__0；a-b+c__0.
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的 关系判断正确的是（） A.ab<0 B.bc<0 C.a+b+c>0 D.a－b+c<0 4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点A（b2-4ac，-b a ）在第象限． 4题图6题图 图6题图 5．已知a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号： (1)a；(2)b；(3)c；(4)a+b+c；(5)a-b+c；(6)b2-4ac； (7)4ac-b2；(8)2a+b；(9)2a-b 7.练习：填空 （1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件：，恒 为负的条件：. （2）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方，则方程ax2+bx+c=0 的解得情况为：. （3）二次函数y=ax2+bx+c中，ac＜0，则抛物线与x轴有交点。
二次函数图象特征与系数关系专题
二次函数图象特征与系数关系专题 一、知识要点： 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)系数符号的确定 3、C 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在 y 轴的丿正半轴， 则 d 负半轴， 则"O 4、 b2-4ac 的符号由抛物线与 X 轴(或坐标轴)的交点个数确定： 。个交点，b 2-4ac?O ; y = O 时，方程有两个不相等 实数根 ① 与X 轴的交点个数1个交点，b 2-4ac=O ; y =O 时，方程有两个相等实 数根 没有交点，b 2-4ac O; y =O 时，方程无实数根 3个交点，b 2 - 4ac a O ； ② 与坐标轴交点个数 2个交点，b 2 - 4ac = O ; 1 个交点，b 2-4ac O; 5、 根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号： 常见①x=1时，a +b +c 的符号；②x=-1时，a -b+ C 的符号；③x=2时，4a+2b+c 的符号；④ x=-2 时，4a-2b+c 的符号； ......... . K 6、 由对称轴公式X=- 一，可确定2a+b 的符号或对称轴有具体数值是确定相关代数式的符 2a 号；如：X=- =-时，可确定4a-3b 的符号；有时与相关成立的等式或不等式结合，确 2a 3 定运算后代数式的符号。 二、专题练习 ①b 2-4ac >O :② abc >O :③ 8a+c >O ;④ 9a+3b+c V O 2 3、 如图3,二次函数y=ax +bx+c 的图象中，根据图中信息，下列结论正确是( ) 1、a 由抛物线开口方向确定 开口向上=a a O 开口向下=a γ O K 2、b 由对称轴X=-和a 的符号确定 2a So, IaY 0, b 2a Y O 」 a ■ 0, a 0, 2 1.如图1 ,是二次函数y=ax +bx+c ( a ≠0的图象，根据图中信息，下列结论正确是( ) ① a b C >O ; ② b< a+ c ;③2a+b=O :④a +b二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的 求解策略 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
二次函数中绝对值问题的求解策略 二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。 一、适时用分类，讨论破定势 分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。 例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R), （1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）当b<－2时，求证：在（－1，1）内至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥ 2 1. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。 当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与 2 1 的大小关系如何呢对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥ 21,即|f(0)|≥2 1 ，命题成立。 （ii ）若|c|< 21，取x 0=－21,则2 1432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f . 故不论|c|≥ 21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥2 1 成立。 本题除了取x=－ 2 1 外，x 还可取那些值呢留给读者思考。
二次函数的图象与各项系数之间的关系
二次函数的图象与各项系数之间的关系 姓名________ 组号_____ 一、知识基础 1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上， ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下， a 的值越大，函数图象越靠近y 轴，开口越小，反之a 的值越小，函数图象越远离y 轴，开口越大；一次函数图象有类似特点。 总结：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02b a - <，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a - =，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a - >，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a - =，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴a b x 2- =在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；
⑵当0 c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶当0 c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结：c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 4．当x=1时，可以求出a+b+c的值；若x=1时，y>0，则a+b+c>0; 若x=1时，y<0，则a+b+c<0; 若x=1时，y=0，则a+b+c=0; 当x=-1时，可以求出a-b+c的值；若x=-1时，y>0，则a-b+c>0; 若x=-1时，y<0，则a-b+c<0; 若x=-1时，y=0，则a-b+c=0; 思考：x=2时，可以通过函数图象得出哪些值？ 5.根的别式b2-4ac，可以用来判断抛物线与x轴的交点个数，当b2-4ac>0时，方程 2 =++=0有两个根，也就是说y=0时，函数在x轴上可以找到2个对应的自变量值，y ax bx c 即断抛物线与x轴有2个交点；同理b2-4ac=0，二次函数图象与x轴有一个交点；b2-4ac <0时，抛物线与x轴没有交点。 二、精典练习 1．（烟台市中考题）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（） A．①②B．②③C．①②④D．②③④ 2、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（） A．5个B．4个C．3个D．2个
二次函数经典难题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数经典难题（含精解） 一．选择题（共1小题） 1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6 二．填空题（共12小题） 2．作抛物线C 1关于x轴对称的抛物线C 2 ，将抛物线C 2 向左平 移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C 1 所对应的函数解析式是 _________ ． 3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为 _________ ． 4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是_________ ． 5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD 边长为10，则正方形EFGH的边长为_________ ． 6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛
物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为_________ ． 7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B （4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是_________ ． 8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a= _________ ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是_________ ．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a= _________ ． 10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是_________ ． 11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是 _________ ． 12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a?c 的值是_________ ． 13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为_________ ．
二次函数及含有绝对值练习
二次函数及含有绝对值练习 的取值范围； 恒成立，求实数、若函数a a x x x f ≥-++=|2|1)(1 2、的取值范围；成立，求实数使若存在一个a a x ≥+|2x |-|1-x | 3、的值 ，求实数的最小值为若函数a a x x x f 3|2||1|)(+++= 的最小值是 函数|2018||2017||4||3||2||1|)(-+-++-+-+-+-=x x x x x x x f Λ [)) 1()1()(-.)1()1()(-.)1()1()(-.)1()1()(-.,0|,)1()(|)1()()(0)().(4a F a F a F a F D a F a F a F a F C a F a F a F a F B a F a F a F a F A a x g x f x g x f x F x g x f -≤+≤-≥+≤-≤+≥-≥+≥>----+=∞+且）（且）（且）（且）（则（）若设函数上单调递增， ，都是偶函数，且在、已知 的值求实数的最小值为、已知函数a ax x x a x x f , 2 111)4()(522+-++-+=
的取值范围 求实数有四个不同的根，若方程 、已知函数a a ax x g x f x g x f x x g x x f 03|)()(|)()(,34)(,)(62=----+-== ) ,()),(),,((.|||||)||,(|.|;||||)||,(|.),(),(.. 2 ),(,2 ),(,,7b a m b a m b a M m D b a b a b a M C b a b a b a m B b a b a m b a M A b a b a b a m b a b a b a M R b a =+=-+-=-++=+--+= -++=∈） 下列式子错误的是（ 定义：、设 的取值范围是 则有两个不同的零点，、已知m m x x x f x x ----+-=23 4234)(8 的取值范围 求实数，的最小值为、已知a x x a x x a x x x f 1)0(321 1)(9>-+--+-+ =
二次函数系数符号的确定
二次函数系数符号的确定 活动一：复习引入： 1.复习用“>”“<”填空 ①，反比例函数x k y = k 0 ② ,b kx y +=一次函数k 0, b 0. 2.思：二次函数c bx ax y ++=2呢 a 0, b 0, c 0 活动二 a.c 符号 1.开口方向向上，则a 开口方向向下，则a 2.抛物线与x 轴的交点在x 轴上方，则c 0, 与x 轴交点在下方，则c 0, 练习： 活动三:b 的符号 1.对称轴：a b x 2-= 分析图1 学生练习图2 x y O x y O y O x y
2.思考：a.b 同号，则对称轴在y 轴 侧；a.b 异号，则对称轴在y 轴 侧。 3.练习：快速说出b 的符号。（图略） 活动4： 1.看图填空 （1）a ＋b ＋c_______0（2）a －b ＋c_______0 （3）2a －b _______0（4）4a ＋2b ＋c_______0 2.练习： ②（稍难二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2） 和（1,0），且与y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1．其中正确的结论是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 ①.（2009黄石）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 活动5：画草图 1. 4-22x x y += 4-2-2x x y += 2. 归纳：①开口方向 ②与y 轴交点，x 轴交点， ③顶点坐标 活动6.达标测评 1．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( ) 2（岳阳2013）.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④ b ＋2a ＝0；⑤a ＋b ＋ c ＜0.其中正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 O A x y O B x y O C x y O D x y
绝对值函数系列习题(二次函数)
含有绝对值符号的函数的性质 1、已知不等式| |2 2x x a +≤对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是_______. 2、若关于x 的不等式||22 a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是_______. 3、函数2 |1|y x =-和函数y x k =+的图像恰有三个交点，则k 的值是_______. 4、设常数R ∈a ，以方程20112||=?+x a x 的根的可能个数为元素的集合=A _______. 5、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为_______. 6、对任意的120x x <<，若函数1 ()f x a x x b x =-+折线（两侧的射线均平行于x 轴）， 试写出a 、b 应满足的条件 . 7、已知函数()2log f x x =，正实数,m n 满足m n <， 且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ????上的最大值为则m =________,n =_________. 8、设,,a b R ∈且1b ≠.若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是_______. 9、关于x 的方程092 2=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a _______. 10、若函数1log 2 )(| 3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_______. 11、定义在R 上的函数()f x 的图像过点(6,2)M -和(2,6)N -，且对任意正实数k ，有 ()()f x k f x +<成立，则当不等式|()2|4f x t -+<的解集为(4,4)-时，则实数t 的值 为_______. 12、已知函数21(0)()log (0) x a x f x x x ?++≤=?>?有三个不同零点，则实数a 的取值范围为_______. 13、设关于x 的不等式4|4|2 +≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ?∈2,0，则实数m 的取 值范围是_______.
二次函数系数abc与图像的关系28318
二次函数系数a、b、c与图像的关系 知识要点 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号． （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0． （4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac ＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号． 一．选择题（共9小题） 1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0 （m≠﹣1）． 其中正确的个数是（） A．1B．2C．3D．4 2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下 结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号 是（） A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下 列四个结论： ①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论： ①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确结论的个数为（） A．1B．2C．3D．4 5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1， 且过点（﹣3，0）下列说法： ①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点， 则y1＞y2． 其中说法正确的是（）
二次函数系数判断典型试题
二次函数系数判断典型试题 一．选择题 1.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0， ②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac-b2＜0；其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b； ④b2-4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1和3，则下列结论正确的是（） A．2a-b=0 B．a+b+c＞0 C．3a-c=0 D．当a=1/2时，△ABD是等腰直角三角形 4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），其对称轴为直线x=1，下面结论中正确的是（）A．abc＞0 B．2a-b=0 C．4a+2b+c＜0D．9a+3b+c=0 5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③ 6．已知二次函数y=ax2+bx=c（a≠0）的图象如图所示，与y轴相交一点C，与x轴负半轴相交一点A，且OA=OC，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0； ⑤c+1/a=-2．其中正确的结论有（）A．③④⑤B．③④C．①②③D．②③④ 7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a-b＜0； ②abc＜0；③a+b+c＜0；④b2-4ac＞0；⑤（a+c）2＞b2，正确的有（）（填序号）A．①②③B．①③⑤C．①③④D．①②③⑤ 8．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，下面四条信息：①ab＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c＞0；④点（-3，m），（6，n）都在抛物线上，则有m＜n；你认为其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④ 9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=-1；③当x=1时，y=2n；④am2+bn+a＞0（a≠-1）．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④ 10.已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，化简√(a+c)2+√(c-b)2的结果为①c，②b，③b-a，④a-b+2c，其中正确的有（） A．一个B．两个C．三个D．四个
