附录1
驱动轮输送带的牵引力与滑动的比较
A.J.G. Nuttall*,G. Lodewijks
迪福特技术大学, 传送技术和物流管理， Mekelweg 2 ， 2623 CD迪福特，荷兰接收于 2005 年7月 13 日；在校接收于 2005 年12月 15 日；被承认于2006 年1月2日，网上发布于2006年3月2日
摘要：
本文提出了用于水平带式输送机的现有模型的扩展, 描述有弯曲表面的输送带的驱动轮的牵引力和滑动之间的关系。模型包括以麦克斯韦元件形式运行表面的具有黏弹性的橡胶。应用正确的要素之后，主要是解决彼此相连各元素（原来没有建模的）之间的交互作用, 实验的结果表明模型能够很好地匹配，则带速在一定的速度范围内对牵引力有小的作用。
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关键词:旋转关系；牵引力；粘弹性；麦克斯韦模型；带式输送
带；弯曲带表面
1.引言
传统的带式输送机在输送大块矿石时，在输送系统的首部或尾部都会有一个缠有皮带的动力滑轮的驱动装置，如图1所示。这表明输送带系统的驱动结构中有单一的或是双重的驱动装置。但是，当需要两个以上的驱动配置时，问题就会出现。由于驱动轮不能放置在沿运输带的绳缆任意位置，不影响矿石的滚落，不能充分利用分散动力系统的优点。
在多种复杂的驱动系统中，可选择性的驱动方法可以提供更大的布局柔性，还能增强直接作用在皮带表面的驱动轮性能，产生所需的牵引力。例如在Enerka–Becker 系统(简称E–BS)中，都会有一
些带有装在输出轴上驱动轮的马达形成一对驱动力，实际上可以放在沿皮带的任意位置。Bekel [1]也提议使传统的驱动带底部变硬来弄平传送带，它可以用一对驱动轮带动起来。在传送带沿线任意位置设立驱动装置的自由度可以使系统设计者们有机会在部分组件出现故障时，通过平衡已安装的驱动力来控制皮带上的张力。这就是降低张力的关键，可以用同样轻型的皮带构造从而忽略传送带的长度。这将会降低成本，增强结构的柔性，也使组件的标准化成为可能。
对于常规的驱动带和驱动轮，如在E–BS中的，产生的牵引力是由皮带与滑轮或驱动轮表面接触力和摩擦系数决定的。但是，随着驱动轮的外形使得磨擦不完全来自于皮带的张力，而是源自皮带与其运送矿石的重量和压缩轴产生的力。在常规的传送带中，由于驱动滑轮欧拉公式[2]的不同，常用来决定最大可转移的有效牵引力，而不能用于一个传送驱动轮输送机。所以，一个新的模型需要明确表述，考虑材料、皮带的几何性质和驱动。
图1
本文提出的就是一个像E–BS的模型，描述了牵引与传送带驱动轮中滚动接触补片的滑动之间的关系。模型包括橡胶的黏弹性，作为一个Maxwell元素的阵列，与过去常用在Bekel [1]系统中的弹性方法相比较。模型都与试验结果相比较。牵引-滑动关系是有作用的，因为牵引和滑动与正常的摩擦力相结合，极大影响皮带表面的磨损
率。在寿命内，为了防止带损坏，设定允许的最大限度磨损率，这可导致降低最大可转移的牵引。
2.基于粘弹性的摩擦力建模
很多研究者都用Maxwell模型来量化滚筒在富有粘弹性表面滚动的能量消耗[3—5]，与输送带穿过托辊相比。当皮带通过托辊时，橡胶表面迅速伸缩。因为橡胶表面材料经常会产生粘弹性，从而导致压力的不对称分配，也就是产生了阻力。通过实现粘弹性来推测阻力，Maxwell模型主要用在三种参数格式。其中一种比较特殊，由Lodewijks[6]描述，以Winkler的基础或铺垫结合为三个参数化Maxwell模型包括弹簧，彼此没有相互作用。因为在相互作用的组件之间的剪力无法测算可以忽略不计，从而使计算变得简单。尽管简化的结果可以表明输送带的运行能够产生令人满意的效果。所以，Maxwell模型参数同Winker的基础结合将会提供一个研究分析传送带驱动轮牵引力与滑动力关系的起点。
为了在E—BS中能更详细描述出驱动轮对牵引力的影响，模型提供了两种途径。首先，Maxwell要素的数量增加到可以在整个接触补片过程中提供模型与橡胶特性之间的有效结合。其次，一个毛刷模型也用于描述汽车轮胎[4]的橡胶轮胎面的作用也常来用来计算驱动轮与皮带之间由于滑动而产生的剪力。
这三个参数Maxwell模型，都是由系列中的单个的Maxwell要素组成，满足传统的输送带要求，因为在托辊与输送带之间可以描述为一系列的接触，由于持续的接触长度覆盖了接触区域使模型只能通过单一激振频率配合，使调整单个Maxwel时间常数到这个激振频率成为可能。但是，在E—BS中，弯曲的运行表面，有一个椭圆的接触区域。基于在椭圆片中不同的接触长度，模型只好以一定范围的频率配合。图2即描述了模型是怎样演示皮带穿过托辊或驱动轮变化的过程。一个以角速度 运转的刚性滚筒施加到以皮带速度为
V运转的弯曲的黏弹性表面上，形成了椭圆的接触区域。
b
在激振范围内，为配合以橡胶的粘弹性的模型，产生了附加的Maxwell要素。一系列Maxwell要素近似黏弹性的特性，每个包括以
以硬度为i E 的弹簧的弹力度和一个减幅系数为i η的减震器。如图3
所示。理想的模型应该有无限多的元素组成，但是，由于实际情况与计算的原因，理想状况通过一定数量的要素到m 简化了。
图2 图3
Maxwell 模型要素需要通过调整来适应在测量振荡试验中的带
的黏弹性的复杂弹性模量，材料承受正弦交变应力和应变[8，9]的情况下。图4表明橡胶用于E —BS 皮带的作用下的实验结果。这些实验结果有代表性地表达了如存储能模量E '，损失模量E ''和损失因素αtg 等内容。同时，提出了复杂的弹性模量和与其相关的内容如下：
一定数量的用在模型中的Maxwell 要素m 依赖于想得到的频率
范围内所需复杂弹性模量的精确度。以可能的输送带的输送速度为
6.1～s m /10，近似接触长度为0.02m ，激振频率范围从80到500hz 。当要素的数量增加时，精确度也随之增加。但是，有越多要素的模型也会变得越复杂，增加更多计算消耗的时间，搜索开始条件以配合程序难度增加时对优化路线很好的集中。此外，由于执行最小二乘法，要素的最大数量由实验测量数据所限制，从而不可能有比数据节点更多的模型参数。
图4表示当使用大量的不同的Maxwell 要素时，模型是怎样适
应测量E —BS 黏弹性特性的。
图形清楚地说明了有一个要素（或是三个参数值）的最简单模
型产生不满意的在s rad /100010-之间近似值同改善的三个要素（或七
个参数值）之间的区别。有七参数的模型最终选为好的匹配，用于进一步的计算中。
图4弹力属性示意图
3．正常的应力分布
当在牵引极限内驱动轮施加了牵引力到传送带上，粘性和滑动区域存在于接触平面。在粘性区由于施加的牵引力只有橡胶表面变形，而在滑动区域因为表面的摩擦极限已经达到，橡胶表面也滑过轮的表面。为了确定区域的位置，根据库伦德涣—汤定理，再建模时加入摩擦。
()()y x
τ≤（11）
y
,μσ
x,
式中μ为摩擦系数。
要解这个方程,在接触面压力分布σ(x,y)应首先确定，接触面压力由Z轴方向的粘弹性表面的变形定义(见图 2 ) 。对于这一计算的假设为剪应力不影响正常应力的分布，也由Johnson[3]使用。如
果接触区域与滚筒曲面和橡胶表面 (如x 1R ≤和2R y ≤)相比很小，刚刚压入表面的距离为0Z ，然后接触面的变形可以描述如下：
（12）
以恒定皮带的带速???
? ??-=b t x b d d υυ的稳定状态下，以厚度h 的Winkle 基本理论和变形方程（12）(()h
y x w ,=
ξ)，对于麦克斯韦要素的微分方程可以表示如下式： i
i b i i i i hR x E E x -=-??νησσ （13） 该微分方程可由设定在超前边缘()y a 之间的接触面的压力等于
零或σ(y a ,) = 0时求解，因为在第一个接触点根本没变形出现。求解方程揭示了在接触平面内压力
()()()2201,1exp 2m i i i i i i i E E K x a x y a x x a a K R h hR K σ=??????-=-+-++- ? ? ? ? ??????
?∑ 和 i
b
i i E K υη= （14） 合力z F 可由分布在整个接触区域的应力分布的合力或式
()()()
dxdy y x F c c y a y b z ??--=
,σ. （15） 计算。
尾缘的接触面位置()y b -的确定可设定()y x ,σ值为零。
4.剪应力分布
有了计算的压力分布和测得的摩擦系数，大部分资料可以确定
在滑移带内的剪应力由公式（11）确定。下一个重要步骤是找出剪应力在整个接触面分布是粘带的剪应力计算。在粘带，接触表面无无滑动发生。然而，牵引力施加时，在驱动轮子的外径和皮带之间出现表观速差或蠕变。这个表观速率也称为蠕变速率δ并定义为：
b
i b R υωυδ-= (16) 式中ω是驱动车轮的角速度。
蠕变速率与剪切角有关，由下列公式计算:
h
y x δ-=?? （17） 为了在粘性区域建立蠕变速率和剪应力分布的关系，麦克斯韦
模型与刷子模型相结合来描述剪切效应。如图5中刷子模型的描述是接触区域内带的具有代表性的简化。它分为刚性元素铰接，并由放置在其基础上扭转的弹簧支撑。扭转弹簧的特性也是基于Maxwell 模型与图3种的弹簧元素相似。
以剪切模量G ，剪应力τ和剪切角γ替换公式（1）、（2）和（6）
中的弹性模量E ，应力σ应变ε，分别导出了描述行为的基础元素。在稳态条件下,使用变形方程（17）的微分方程描述每个麦克斯韦剪切元素可以写成：
h
G G x i b i i i i δυηττ-=-?? (18) 为了获得黏弹性剪切参数，必须指导进行附加的振动试验，在
橡胶试验中试样承受的剪应力和应变。 然而，事实上，由于没有结果的剪切试验是可行的，剪切参数是来自正常应力试验和在如下列公式帮助下转换得到：
()
υ+=12E G (19) 如果假定粘性区域开始于接触面的先导边缘，可以找到微分方
程（18）的解决方案，在粘带内屈服剪应力为：
()()()∑=???
????????? ?????? ??--+-=m a i b i i b i stick a x G h x a G h y x υηυδηδτexp 1,0 (20) 无论是粘性区和滑移区的分布现在可以由整合计算每个区域分
开计算的剪应力
()()()()()dy dx y x dx y x c
c y y b y a y stick traction ???--???? ??+?=1)(,,τττσμτ (21) 其中代t1(y)表粘性区到滑动区过渡线。它代表了那里边剪应力
到达边界摩擦，可以求解：
()()y t y t strick ,,11σμτ?= (22)
5.修正系数
修正系数fs 是为了弥补这样的事实,即在相邻弹簧元素Winkler
基础不包含剪切效应，以层的实际刚度来配合模型的刚度。在这种情况下,驱动车轮以及带间的速度差很小，尾缘滑移区变得微乎其
微。由于在接触区域几乎没有滑移,发生速差或蠕变主要由由层刚度
决定。相应蠕变速率的极限，由约翰逊[3]获得，用半空间近似，是：
''=Z i RF aF 2δ 或 a RF F Z i '='
2 (23) 式中'i F 和'Z F 接触面宽度的每单位长度来测量。
正应力''i F 可表示为接触区域先导边缘距离的函数。bekel [1]从
下从列公式得出,用赫兹公式：
()
E R
F a Z πυ2
18-'= (24) E 是静态测量的弹性模量。与此方程正应力'Z F 从公式 （23）中
消去。为了配合刚度的刷子模型, 切线在开始于模型的牵引力曲线与公式（23）描述的蠕变曲线相匹配，其可由下式计算
（25）
式中和s f 是修正系数。
't f 由式（23）-（25）合并消去，给出如下修正系数：
模型的刚度由公式（26）中的系数测量的麦克斯韦参数补偿。
6.实验验证
在E —BS 和验证模型中驱动状态下，进行实验测量牵引和滑移的实际关系。试验过程中，用到两个轮子，见图.5。 一个轮子由钢丝制成，代表驱动轮，是由电动马达驱动，另一个轮子均由胶带覆盖，有橡胶层()mm D D b d 500==硬化在其上，它也是连接到电动机上，用作可调式刹车系统。每个电机轴上的应变计测量产生的转矩。可调弹簧也可以用来把制动轮放到传动轮，使其能够控制接触力。两个轮子的直径选成相等的,当作用力相反时，生成互相接触补片。与在E —BS 中，在传动轮(mm D 250=)和带之间的补片相比较。
从每个实验的开始，接触力和驱动车轮的转速设定成所需值。 为了弥补减少制动轮直径的橡胶层的压痕，速度的制动轮调整仅低
于同步转速，直至制动力矩降低到零。从这个角度考虑，当实测牵引力为零时，牵引滑移曲线所造成的相继降低将导致制动车轮速度和测量由此增加24%～28%。同时它也显示了曲线，计算结果与实际给出的粘弹性模型,同时用来形容牵引滑移关系的一个车轮驱动橡胶带。 bekel [1]采用了一个类似半空间的做法形容约翰逊为线接触涉及完全弹性材料，其中结果为：
???
? ??--=Z i R F F r a μμδ11 和 21111r r r R += (25) 结果表明,提出的Maxwell 模型提供了一个很好的匹配值与实测值低的接触力。随着接触力的增加，从模型低估了实际的24%～28%。由于粘弹性的影响，粘弹性牵引，不同曲线计算，如果以不同的速度，结果经常与接触力速度范围从电子布的标准皮带速度1.6s m /增长到以一个潜在的高速应用与皮带速度。
图5
图6速度分析与N 100 z F
曲线图. 6建议这个牵引跌幅在压纹速度将以最大的降低发生在中间的滑动范围。但是，这种影响似乎很小，在可行的范围内速度的带式输送机。随着速度的影响在同一量级的测量误差，可以断定，在这种情况下对粘弹性部分的橡胶制品性能的影响很小，关系牵引滑移。
7.结论
本文表明,扩大到三参数Maxwell 模型用来计算作用在黏弹性层的滚筒滚动阻力是有可能的，包括想要的特性来决定牵引力和滑移之间的关系。这种模式有很多简化后，这相对简单，计算方便联络的模式，其中包括粘行为。在引入一个校正关系来弥补失效的结果，从实验的覆盖材料的电子布置胶带形势表明该模型产生令人满意的结果与实测值。进一步分析与验证模型显示速度依赖牵引滑移关系，是一个小的且在可行的速度范围内固定了带式输送机。从学到的知识关系中可知牵引滑动将是一个宝贵的系统，因为这一系统设定当选择多个驱动站安装时如在皮带输送系统像E —BS 分布。
参考文献：
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[2] A.C. Low,J.W. Kyle,带子运送装置，机械的工程师协会，
伦敦推荐,1986.
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的材料上的圆筒摩擦, 应用物理学 30(1959)1713 – 1724.
[5] S.C. 猎人 , 兼具黏性和弹性的一半空间的圆筒的旋转连络,应用了技巧 28(1961)611 – 617 。
[6] G. Lodewijks ，带子系统，论题的动力学，技术， Delft 大学,1995.
附录 2