余数同余问题
1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数
这四个数的和为463，那么除数为：
2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余：
3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数
是：
4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这
个自然数是：
5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是：
6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为：
7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为：
8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的
和是79，被除数和除数相差56，这个算式是：
9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是：
10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。
11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：
2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：
12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是：
13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为：
14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是：
15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是：
16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是：
17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有：
18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是：
19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有：
20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有：
21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。
22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。
23、已知N是从1到100的自然数，那么
1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除；
2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。
24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（）
25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是：
26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余
数的和，那么这样的三位数最大可能是：
27、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，符合此条件的最小数为：
28、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，符合此条件的最小数为：
29、1000以内有（）个数除以8余3，除以9余4，除以12余7，其中最大的是（）
30、有些自然数，它加1后是3的倍数，它的3倍加1后是5的倍数，它的5倍加1后是7的倍数，那么这样的自然数中，最小的一个是（）
31、三个连续的两位数除以5的余数之和是7，除以7的余数之和是9，除以9的余数之和是15，则这三个数除以11的余数之和是：
32、一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得三个决的和是758，这个数是：
33、一个自然数除以3、6、9后所得3个余数之和是15，那么这个数除以18的余数是：
34、一个五位数，各位数字互不相同，被2、3、5、11除分别余1、2、3、7，那么这个数最小是：
35、“12345＋67890”的个位数字是（），除以7的余数是（），除以70的余数是（）
36、算式“13579×2468＋246813579”的结果除以9余（），除以11余（），除以
99的余数是（）。
37、一批货物，如果用小车运，每次运8袋余3袋，每次运6袋余1袋，每次运5袋余2袋，如果改用大卡车，每车可以运120袋，则4次运完（每次尽量装满），那么这批货物共有（）袋。
38、一个布袋中装有小球近1000个，如果每次取9个，最后剩7个，如果每次取7个，最后剩5个，每次取5个最后剩3个，每次取3个最后剩1个。那么如果每次取13个，最后剩下（）个。
39、有四个互不相同的两位数，其中任意两数之和都是2的倍数，任意三数之和都是3的倍数，那么这四个数之和最大为（），最小为（）
40、三个连续自然数，其中最小的能被5整除，中间的能被7整除，最大的能被9整除，那么这三个自然数最小为（）
41、N是一个小于3000的四位数，将它除以11所得的余数为5，除以13所得的余数为6，除以17所得的余数为8，那么N的值是（）。
42、把一个两位数的两个数字颠倒过来得到一个新两位数，发现新两位数除以7的余数比原两位数除以7的余数大1，那这样的两位数共有（）个。
43、已知“□”代表一个正整数，并且“75+□”和“48+□”都不是120的倍数，但是这两个数的乘积能被120整除，那么“□”所代表的数字最小可能是：（）
44、20102009除以2008的余数为：
45、90029002除以2009的余数是：
46、20112011……2011除以105余（），除以99余（），除以1001余（）
2011个2011
47、一个圆圈上有200多个小孔，小明用一枚棋子像玩跳棋那样从A孔出发沿着顺时针方向跳，希望跳一圈能回到A孔；如果每隔6孔跳一步，结果能跳到C孔，如果每隔4孔跳一步，结果能跳到B孔，如果每隔2孔跳一步，结果能跳向A孔，那么这个圆圈上共有（）个孔。
48、小明的妈妈买了葡萄、苹果、雪梨和芒果的果脯各若干袋（每种至少一袋），用了340元。葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯每袋售价分别为14元、22元、28元、42元。小明的妈妈至少买了（ ）袋果脯，此时苹果果脯是（ ）袋。
49、设A=1+2+3+……+2009+2010，那么A 除以7的余数是（ ），A 除以77的余数是（ ）。
50、从1写到50，组成一个多位数123456……484950，该数除以9、11、99的余数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
51、444444的数字之和为A ，A 的数字之和为B ，B 的数字之和C ，那么C 是（ ）
52、20092009
的末两位数字是（ ）（ ） 53、算式“1×3×5×7×……×2009×2011”计算结果的末三位数字依次是（ ）（ ）（ ）。
54、三位数□37、8□4、21□，分别在百位、十位、个位被“□”盖住，现已知：
1）同一个三位数的3个数互不相同；
2）“□”盖住的数字互不相同，且不全是奇数；
3）三个三位数除以12余3个互不相同的质数，那么，这三个三位数的和为：（ ）
55、下图中的7张卡片里有3张上面的数是未知整数，这3个未知整数都是3的倍数，3张的和是180，有3个学生，每人抽2张卡片，各自的2张卡片上的灵敏的和都彼此相同，那么剩下的1张卡片上写的数是（ ）
56、圆周上有N 个点，固定其中一点写上数1，按顺时针方向隔1个点，在下一个点处写上数2，按顺时针方向隔2个点，在下一个点处写上数3， ……以此类推，多次后有些点上会被写有多个数，已知第6个点处写有26，在写有6的点上还写有62，那么N 最大为（ ）。
57、将数字1～9各用一次组成3个三位数，使得三个灵敏被9除分别余1、3、5，那么其中最大的数与最小的数相差最小为（ ）。
58、A 、B 、C 这三个人都常去电影院，A 每隔2天去一次，B 每隔6天去一次，C 每隔10天去一次，今天他们三人都去了电影院，将来会有连续4天恰好每天有一个人去，如果今天算第一天，那么最早出现具有上述性质的连续4天是第（ ）（ ）（ ）（ ）。
59、小明每隔2天上一次英语课，每隔3天上一次数字课，每隔4天上一次写作课，如果小明是在7月1日、2日、3日依次上了这3门课，那么此后他将在（ ）月（ ）日第一次同时上这3门课。
60、在算式“○+119=□，□+143=△”中，已知“□、○、△”依次能被7、9、11整除的自然数，那么△的最小值为（ ）
61、有些三位数除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同，那么这样的三位数最小的三个为（ ）（ ）（ ）
62、一个两位数，用它分别除以3、5、7得到三个余数、这三个余数的和是11，那么这样的两位数是（ ）
63、正整数N 满足：N/2是一个整数的平方，N/3是一个整数的立方，N/5是一个整数的5次方，那么N 的最小值是（ ）可以用次方表示
64、自然数N 满足：5n +N 是9的倍数，9n
+N 是5的倍数，那么这样的N 中最小值是（ ）
余数及同余问题 （一） 1、310被一个两位数整除，余数是37，这个两位数是_________。 2、一个数除以23余数是2，把被除数扩大到4倍，余数是________。 3、某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小是________。 4、378×196×251除以17的余数是________。 5、若871和633两个自然数都被同一个两位数相除，所得的余数都是4，除数是__________。 6、有一个整数，用它去除70,98,143得到的三个余数之和是29，则这个数是___________。 7、一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是__________。 8、有一个等于1的整数，用它去除967，1000，2001，得到相同余数，那么这个整数是_______。 9、在1——3000之间同时被3，5，7除都余2的数有_______个。 10、数713,1103,830,947被一个数整除，所得余数相同（不为0），求这个除数_________。 11、一个数除以7余2，如果把被除数扩大9倍，那么余数是几？_________ 12、账本上记着买机器用去□□12元，其中千位数字和百位数字模糊不清，但采购员还记得这个数减去7能被7整除，减去8能被8整除，减去9能被9整除，你能算出买这台机器用去多少元吗？_________。 （二） 1、如果某数除492，2241,3195都余15，那么这个数是________。 2、有一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12余_______。 3、乘积34×37×41×43除以13的余数是____________。 4、666…66（1999个6）除以7所得的余数是____________。 5、有一个三位数，其中个位上的数字是百位上的数字的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3，这个三位数是_________。
余数同余问题 1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数 这四个数的和为463，那么除数为： 2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余： 3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数 是： 4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这 个自然数是： 5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是： 6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为： 7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为： 8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的 和是79，被除数和除数相差56，这个算式是： 9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是： 10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。 11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是： 13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为： 14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是： 15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是： 16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是： 17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有： 18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是： 19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有： 20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有： 21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。 22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。 23、已知N是从1到100的自然数，那么 1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除； 2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。 24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（） 25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是： 26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余
六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系： 被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质： 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。 性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。 解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。 所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？ 这道题可采取经典的余数处理方法------凑。 这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。 在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题.
数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理 （加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点 拨： 三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c
的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以 23+16=39 除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23 ,19除以5的余数分别是3和4，故 23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 X仁3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23 X19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a耳)(mod m )，左 边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质， 我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a, b除以同一个数m得到的余数相同， 则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a斗)(mod m )，那么一定 有 a — b = mk,k 是整数，即m|(a —b) 例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则 20-8 一定能被2整除
第20讲巧解余数和同余问题 I 余数 巧点睛——方法和技巧 （1）被除数=商×除数×余数。 （2）借助约数和倍数的知识。 上面两个性质是解题的关键。 巧指导——例题精讲 A级冲刺名校·基础点睛 一、借助“整除”来帮忙 【例1】一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。 分析与解根据带余除法和整除意义知，这个两位数一定是310－37=273的约数。由273=3×7×13知，273的两位数的约数有13，3×7，3×13，7×13，即13，21，39，91。其中只有39，91除310的余数是37，故所求的两位数是39或91。 答：这样的两位数是39或91。 做一做1 237除以一个两位数所得的余数是6，问：这丙的两位数是多少？ 【例2】一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。那么，被除数、除数、商及余数却是已知的。可从“位数”角度思考。 分析与解题目中，只有余数8是一个具体的数，被除数、除数
及商都是未知数，但它们的位数却是已知的。可从“位数”角度思考。 因为除数要大于余数，余数是8，而大于8的一位数只有9，所 以除数一定是9。 第二步判断商是多少？最小的两位数是10，由于 9×10＋8=98，9×11＋9=107， 又由于被除数是两位数，所以被除数是98，商是10。 因此，被除数、除数、商及余数之和是 98＋9＋10＋8=125 做一做2 两数相除，商是498，余数是3。那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？ 【例3】两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之各是866。求这两个数。 分析与解本题应根据带余除法来解。 因被除数=除数×商＋余数。 故被除数＋除数＋商＋余数=除数×商＋余数＋除数＋商＋余数 =除数×（商＋1）＋商＋余数×2 现在，商是22，余数是8，被除数＋除数＋商＋余数=866， 所以，866=除数×（22＋1）＋22＋8×2 于是有
余数问题
“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。 所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。 首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。 1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同， 此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。 例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。 【60后面的“n”请见4、，下同】 2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同， 此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。 例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。 3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同， 此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。 例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。 4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件， 称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。 一.求被除数类 1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数， 一.求被除数类 1. 同余加余，同差减差 例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？
同余及余数问题 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余 数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的加法定理 a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同 余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；
〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘 性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则 a≡b（modm） 3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2） 〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是： 0（mod6）：0，6，12，18，24，…… 1（mod6）：1，7，13，19，25，…… 2（mod6）：2，8，14，20，26，…… 3（mod6）：3，9，15，21，27，…… 4（mod6）：4，10，16，22，29，…… 5（mod6）：5，11，17，23，29，……
数论---同余问题 余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。 定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。 如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。则35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。 定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后 共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是 余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2 而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。 而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
教育学科教师辅导讲义 学员编号：年级：课时数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 授课 T (余数的性质和同余性质) C （求余问题典型例题）T （拓展提高） 类型 授课日 期时段 教学内容 一、同步知识梳理 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 知识点1：带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 知识点2：三大余数定理 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
一、专题精讲 例1. 求1992×59除以7的余数。 答案解析：5 注：应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计 算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除 以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。 因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是。 例2.已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？ 答案解析：星期五 注：一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数 被7除的余数就行了。如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。 2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。因为366 ×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 例3.甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的 11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成 员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷 还可拍几张照片？ 答案解析：23张 注： 分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以3余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。 因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以3的余数。 （11×25）÷36=7……23， 即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。 例4. 有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。
1. 学习同余的性质 2. 利用整除性质判别余数 同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b ，模m 。 2、重要性质及推论： （1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除 例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （） 能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b ) 3、余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数． ⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数； ⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数； ⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数； 知识点拨 教学目标 5-5-3.同余问题
⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数； ⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）； ⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与 偶数节的数之和的差被7，11 或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数． 模块一、两个数的同余问题 【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答 【解析】(法1) 39336 -=，51-3=48，1473144 -=，(36,144)12 =，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12； (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912 -=，14739108 -=，(12,108)12 =，所以这个数是4,6,12． 【答案】4,6,12 【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空 【关键词】2003年，人大附中，分班考试 【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、 4、5]+1=60+1=61。 【答案】61 【例 3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？ 【考点】两个数的同余问题【难度】3星【题型】解答 【解析】由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所求的数为(543345)336 -÷=． 【答案】6 例题精讲
代入排除法快速解答余数、同余问题 数学运算题目是广大考生普遍认为的考试中比较难的一类题目。但事实上，并不是所有的数学运算题目都难，如果掌握了相应的题型和方法，还是挺简单的。下面就教给大家一个快速解答数学运算题中余数、同余问题的解答方法——代入排除法。 代入排除法是指将题目的选项直接代入题干当中验证来判断选项正误 的方法。这是处理“客观单选题”非常行之有效的方法。最典型的运用这种方法的题型之一就是余数、同余问题。 余数、同余问题，简单的说就是题目中涉及到余数的问题，题目中会明确的给出或者暗含“除以几余几”这样的信息。余数、同余问题如果题干里说XX数字满足YY条件，最后问XX数字是多少，都直接用代入排除法。 【例1】15. 某生产车间有若干名工人，按每四个人一组分多一个人，按每五个人一组分也多一个，按每六个人一组分还是多一个，该车间至少有多少名工人?（2009年北京社招） A. 31 B. 41 C. 61 D. 122 【答案】C 【解析】题中的条件实际上是指工人总数除以4余1，除以5余1，除以6余1。所以为同余问题，又求的是具体的数字，所以采用代入排除法求解。 A选项不满足除以4余1，B选项不满足除以6余1，D选项不满足除以6余1，所以答案肯定是C选项。 【例2】46.今有物不知其数，三三数之余一，五五数之余二，七七数之余三，此物至少有：（2010广西） A.37个 B.52个 C.97个 D.157个 【答案】B 【解析】题中的条件实际上说的是所求数除以3余1，除以5余2，除以7余3。所以为同余问题，又求的是具体的数字，所以采用代入排除法。 因为求的是至少，所以从最小的数开始代入，经验证，A选项不满足除以7余3，而B选项三个条件都满足，所以选B。 【例3】36.在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是
余数及同余 一、带余除法的定义： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里： （1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商 （2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商 二、同余的概念 两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的. 同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）. 由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等. 三、同余的性质 1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除. 2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余. 3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）. 4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）. 5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m）， a×c≡b×d （mod m）. 6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。（其中n为正整数）. 例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数. [答疑编号5721170101] 【答案】95 【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95. 例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数. [答疑编号5721170102] 【答案】39，13或3. 【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3. 例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？ [答疑编号5721170103] 【答案】35 【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的
余数与同余解析 六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系： 被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质： 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b的差能被m整除。 性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。 解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。 所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？ 这道题可采取经典的余数处理方法------凑。 这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩
大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。 在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题. 某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有： 5×7×11+4=389，5×7×11×2+4=774，5×7×11×3+4=1159，答案有无数多个，但最小的只能是389. 于是，我们也可以提这样的问题： 某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是 5×7×11×1-3=382，5×7×11×2-3=767，5×7×11×3-3=1152，答案有无数多个，但最小只能是382. 【规律】 某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]+k. 某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多(设为k)，即 a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]-k. 例2：小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？
小学奥数精讲：余数与同余问题 小学奥数精讲：余数与同余问题 一、问题引入 我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被2 整除可以分为偶数和奇数两类，即能被 2 整除（除以 2 余 0）的数为偶数，丌被2 整除（除以 2 余 1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我们以除以3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余 0、余 1、余 2；如果我们以除以 4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余 0、余 1、余 2、余3；以除以 n 为标准，就可以将自然数划分为 n 类。那么除以 n 余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。 二、知识总结 1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。 【注】下列方法大家以理解为主，丌必死记。着重掌握除以3、4、 8、9、16 的余数求法即可。 ①求除以 2 的余数：奇数余 1，偶数余 0； ②求除以 3 的余数：等于该数的各位数字之和除以 3 的余数； ③求除以 4 的余数：等于该数末两位组成的数除以 4 的余数； ④求除以 5 的余数：等于该数个位数除以 5 的余数； ⑤求除以 6 的余数：该数的各个数字之和除以 3 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以6 的余数为a，若该余数不 原数一奇一偶，则原数除以 6 的余数为 a+3； ⑥求除以7 的余数：等于该数的末三位不末三位以前的数字组成的数之差 除以 7 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来， 就重复此过程；
⑦求除以 8 的余数：等于该数的末三位除以 8 的余数； ⑧求除以 9 的余数：等于该数的各位数字之和除以 9 的余数； ⑨求除以 10 的余数：等于该数的个位数； ⑩求除以11 的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和不偶数的数字 之和的差除以 11 的余数 （b）等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的 数之差除以 11 的余数，如果数字仍然太大丌能直接 观察出来，就重复此过程； 求除以13 的余数：等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的数之 差除以 13 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察 出来，就重复此过程； 求除以 16 的余数：等于该数的后四位除以 16 的余数; 求除以17 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减 去个位数的 5 倍，所得到的数字除以 17 的余数， 如果数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过 程； 求除以 18 的余数：该数的各个数字之和除以 9 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以 18 的余数为 a，若该余数 不原数一奇一偶，则原数除以 18 的余数为 a+3； 求除以19 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加 上个位数的 2 倍，所得数字除以 19 的余数。如果 数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过程；2、同余不同余的性质： 两个整数 a，b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a，b 对于模m 同余。一般记为a≡b（mod m）。
五年级奥数小学数学培优--第6讲-巧解余数和同余问题 第___讲巧解余数与同余问题 第一节余数 方法和技巧： （1）被除数=商×除数+余数。 （2）借助约数和倍数的知识。 上面两个性质是解题的关键。 例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。 做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？ 例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？ 做一做2：两数相除，商是498，余数是3。那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？ 例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。求这两个数。 做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。问：被除数是多少？ 例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？ 做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？ A B C D E F G ___________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 … 例5:把化为循环小数，问：小数点后1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？ 做一做5：问：化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？ 例6:某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？ 做一做6：一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。求这个自然数能取得的最小值。 例7:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和为25,那么这三个余数中最小的数是多少? 巩固练习： 1、填空： （1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数__________________。 （2）被2,3,5除都余1，且不等于1的最小整数是_______________。 （3）有一队民兵在操场上列队，只知道民兵人数在90至110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，则共有民兵_______人。 （4）五（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么体育课的同学最少有________名。 （5）一个教练数田径队的学生，每4个一数，最后剩下2人；每5个一数，最后剩下1人。田径队女生比男生多，女生有15人，则男生有__________人。 （6）某会议有代表不到200人，分住房时，每5人一间多3人；吃饭时，每9人一桌少一人；开小组会时，每7人一组多6人，那么到会的代表有_______人。 （7）一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是_______。
数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就 可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打 包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打 包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d 本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.【余数的加法定理】 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.【余数的乘法定理】 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.【同余定理】 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、【弃九法原理】： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7