余数和同余

（十八+十九）余数和同余

【知识要点】

1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数

2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说

是同余的。例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。

3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。

【典型例题】

例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？

例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？

例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？

例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？

【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？

【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？

【课后分层练习】

A组：入门级

1、被

2、

3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？

2、两个整数相除得商数是12，余数是26.被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是多少？

3、有民兵在操场上列队，只知人数在90～110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，共

有民兵多少人？

4、一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？

5、某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日式星期几？

B组：进阶级

1、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

2、有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

4、求478×296×351除以17的余数。

5、在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？

C组：挑战级

1、甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

2、学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才

能正好将66名新生安排下？

3、已知2008被一些自然数除，得到余数都是10，这些自然数共有多少个？

余数与同余问题

余数同余问题 1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数 这四个数的和为463，那么除数为： 2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余： 3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数 是： 4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这 个自然数是： 5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是： 6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为： 7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为： 8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的 和是79，被除数和除数相差56，这个算式是： 9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是： 10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。 11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是： 13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为： 14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是： 15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是： 16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是： 17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有： 18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是： 19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有： 20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有： 21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。 22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。 23、已知N是从1到100的自然数，那么 1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除； 2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。 24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（） 25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是： 26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余

余数与同余解析

六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系： 被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质： 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。 性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。 解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。 所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？ 这道题可采取经典的余数处理方法------凑。 这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。 在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题.

同余及余数问题

同余及余数问题 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余 数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的加法定理 a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同 余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；

〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘 性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则 a≡b（modm） 3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2） 〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是： 0（mod6）：0，6，12，18，24，…… 1（mod6）：1，7，13，19，25，…… 2（mod6）：2，8，14，20，26，…… 3（mod6）：3，9，15，21，27，…… 4（mod6）：4，10，16，22，29，…… 5（mod6）：5，11，17，23，29，……

余数和同余

余数和同余 例一、2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。 例二、用一个自然数分别去除69、90、125，所得的余数都是6，求这个自然数。 例三、61、91和126分别除以某个自然数时，余数相同，这个自然数最大是多少？

例四、有一个整数，用它去除91、119、155得到的三个余数之和是20，求这个数。 例五、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小自然数。 例六、求71427×1379×5781的积除以7的余数。 例七、求6 被11除的余数。

3、5127除以一个两位数，余数是71，这个两位数是（）。 4、被除数、除数、商和余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求这个被除数。 5、用一个自然数分别去除54、61、75时，结果余数都是5，这个自然数是多少？ 6、59、9 7、135分别除以同一个自然数，所得余数都是2.这个自然数是多少？

7、59、97、135分别除以同一个自然数，所得余数相同，这个自然数是多少？ 8、3511、3903和4589分别除以同一个自然数，所得余数相同，这个数最大是多少？ 9、一个自然数，除1773、1888、1957、2003得到相同的余数，求这个自然数最大是多少？

10、用一个整数分别去除345和543所得余数相同，且商差9，求这个数。 11、有一个整数，用它去除70、110、160得到的三个余数之和是50，求这个数。 12、有一个整数用它分别去除155、235、323所得余数和是98.求这个整数是多少？

13、一个数除以3余1，除以5余3，除以7余5，求满足条件的最小自然数。 14、一个数除以6余2，除以5余2，除以9余2，求满足条件的最小自然数。 15、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求满足条件的最小自然数。 16、今天是星期六，再过789×63×24912×4359＋564天使星期几？

初中数学竞赛余数及同余

余数及同余 一、带余除法的定义： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里： （1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商 （2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商 二、同余的概念 两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的. 同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）. 由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等. 三、同余的性质 1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除. 2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余. 3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）. 4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）. 5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m）， a×c≡b×d （mod m）. 6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。（其中n为正整数）. 例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数. [答疑编号5721170101] 【答案】95 【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95. 例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数. [答疑编号5721170102] 【答案】39，13或3. 【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3. 例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？ [答疑编号5721170103] 【答案】35 【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的

余数与同余解析

余数与同余解析 六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系： 被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质： 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b的差能被m整除。 性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。 解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。 所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？ 这道题可采取经典的余数处理方法------凑。 这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩

大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。 在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题. 某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有： 5×7×11+4=389，5×7×11×2+4=774，5×7×11×3+4=1159，答案有无数多个，但最小的只能是389. 于是，我们也可以提这样的问题： 某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是 5×7×11×1-3=382，5×7×11×2-3=767，5×7×11×3-3=1152，答案有无数多个，但最小只能是382. 【规律】 某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]+k. 某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多(设为k)，即 a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少?答案是[a，b，c，……]-k. 例2：小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？

余数和同余

（十八+十九）余数和同余 【知识要点】 1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数 2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说 是同余的。例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。 3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。 【典型例题】 例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？ 例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？ 例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？ 例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？ 【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？ 【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？ 【课后分层练习】 A组：入门级 1、被 2、 3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？ 2、两个整数相除得商数是12，余数是26.被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是多少？

3、有民兵在操场上列队，只知人数在90～110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，共 有民兵多少人？ 4、一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？ 5、某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日式星期几？ B组：进阶级 1、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 2、有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。 4、求478×296×351除以17的余数。 5、在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？ C组：挑战级 1、甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？ 2、学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才 能正好将66名新生安排下？ 3、已知2008被一些自然数除，得到余数都是10，这些自然数共有多少个？

余数与同余关系初步

余数与同余关系初步 在数学中，余数和同余关系是我们经常会遇到的概念。它们在代数、数论、离散数学等领域都有着广泛的应用。本文将介绍余数和同余关 系的基本概念、性质以及相关定理，帮助大家更好地理解和运用它们。 一、余数的定义和性质 余数是我们在进行除法运算时常常会涉及到的概念。当我们把一个 整数a除以另一个整数b（b≠0）时，如果能找到另一个整数q使得 a=bq+r，其中r为非负整数且r

如果两个整数a和b对于模n同余，记作a≡b (mod n)，意味着a和b除以n的余数相等。同余关系具有以下性质： 1. 自反性：a≡a (mod n)，任何整数都与自身对于模n同余。 2. 对称性：如果a≡b (mod n)，那么b≡a (mod n)，同余关系是满足对称性的。 3. 传递性：如果a≡b (mod n)，b≡c (mod n)，那么a≡c (mod n)，同余关系是满足传递性的。 同余关系与余数之间存在紧密的联系，通过对同余关系的研究，我们可以得到关于余数的一些重要结论。 三、同余关系的应用 同余关系在数论、代数和密码学等领域都有广泛的应用。下面我们简要介绍一些常见的应用： 1. 整数的判断和计算：通过同余关系，我们可以轻松判断一个整数是否能被某个数整除，以及计算模运算的结果。 2. 素数与同余关系：同余关系在素数的研究中起着重要的作用。例如，费马小定理就是基于同余关系推导出来的定理。 3. 线性同余方程：线性同余方程是一类特殊的同余关系方程，求解线性同余方程可以帮助我们找到满足一定条件的整数解。 4. 密码学中的应用：同余关系在密码学中被广泛应用于加密算法的设计和密钥管理等方面。

余数性质及同余定理(B级)

余数性质及同余定理 知识框架 一、余除法的定及性 1.定：一般地，若是 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r ，也就是 a＝b×q＋ r , 0≤r＜ b；我称上面的除法算式一个余除法算式。里： (1)当 r 0 ：我称 a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完好商 (2)当 r 0 ：我称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完好商一个圆满的 余除法解模型 : 如 是一堆，共有 a 本，个 a 就可以理解被除数，在要求依照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，打包后共打包了 c 捆，那么个 c 就是商，最后节余 d 本，个 d 就是余数。 个能学生清楚的理解余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余数必然要比除数小。 2.余数的性 ⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数； ⑵ 余数小于除数． 二、余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之和，或个和除以 c 的余数。 比方： 23，16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23+16＝ 39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 比方： 23，19 除以 5 的余数分是 3 和 4，所以 23+19＝ 42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之差。

比方： 23， 16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23－ 16＝7 除以 5 的余数等于2，两个余数差3－ 1＝2. 当余数的差不减，上除数再减。 比方： 23，14 除以 5 的余数分是 3 和 4， 23－ 14＝ 9 除以 5 的余数等于4，两个余数差3＋ 5－4＝ 4 3.余数的乘法定理 a 与 b 的乘除以 c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数的，也许个除以 c 所得的余数。 比方： 23， 16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23×16 除以 5 的余数等于3×1＝ 3。当余数的和比除数大，所求的余数等于余数之再除以 c 的余数。 比方： 23，19 除以 5 的余数分是 3 和 4，所以 23×19 除以 5 的余数等于3×4 除以 5 的余数，即 2. 乘方：若是 a 与 b 除以 m 的余数相同，那么a n与 b n除以 m 的余数也相同． 一、同余定理 1、定 整数 a 和 b，除以一个大于 1 的自然数m 所得余数相同，就称 a 和 b 于模 m 同余或称 a 和 b 在模 m 下同余，即a≡b（ modm） 2、同余的重要性及例。 〈1〉 a≡a（ modm）（ a 任意自然）； 〈2〉若 a≡b（ modm）， b≡a（ modm） 〈3〉若 a≡b（ modm），b≡c（ modm） a≡c（modm ）； 〈4〉若 a≡b（ modm）， ac≡bc（ modm） 〈5〉若 a≡b（ modm），c≡d（ modm）， ac=bd（ modm）； 〈6〉若 a≡b（ modm） an≡bm（ modm） 其中性〈 3〉常被称 "同余的可性 " ，性〈 4〉、〈 5〉常被称 " 同余的可乘性， " 性〈 6〉常被称 " 同余的可开方性 " 注意：一般地同余没有" 可除性 " ，但是：若是：ac=bc（ modm）且（ c， m） =1a≡b（ modm）3、整数分： 〈 1〉用 2 来将整数分，分两： 1， 3， 5， 7，9，⋯⋯（奇数）； 0， 2， 4， 6，8，⋯⋯（偶数） 〈 2〉用 3 来将整数分，分三： 0， 3， 6， 9， 12，⋯⋯（被 3 除余数是0） 1， 4， 7， 10，13，⋯⋯（被 3 除余数是1） 2， 5， 8， 11， 14，⋯⋯（被 3 除余数是2）

余数与同余练习

余数与同余（一） 知识要点： 1.被除数=除数×商＋余数 2.余数＜除数 3.余数的性质 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m,而余数相同，那么a和b的差能被m 整除。 性质2：如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么余数也扩大（或缩小）同样的倍数。。 性质3：如果被除数增加（或减少）除数的若干倍，除数不变，那么余数也不变。 例1：两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？ 练习1：下面算式中的两个括号内应该填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？（）÷85＝99……（） （）÷24＝56……（） 例2：两个数相除的商是21，余数是3.如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少？ 练习2：两个数相除，商是4，余数是6，被除数、除数、商和余数的和是121，求被除数。

练习3：两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。 例3. 有一个整数，除300，262，205得到的余数相同，问这个整数是几？ 例4. 692，608，1126三个数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，那么这个自然数是多少？ 练习4：346，304，563三个数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，那么这个自然数是多少？ 练习5：数713，1103，830，947被某一个数除，所得余数相同（不为0），求除数。

余数与同余（二） 例5. 学生在操场上列队做操，只知道人数是在90至110之间，如果排成3列不多也不少；如果排成5列则少2人；如果排成7列则少4人。问共有学生多少人？ 练习1：今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 练习2：某市举行大型体操表演，小学生队的人数在2000到2150之间，排成3列则刚好，排成5列则少2人，排成7列则少4人。这队小学生共有多少人？ 练习3：一筐梨，三三数之余1，四四数之余3，五五数之差1。这筐梨最少有几个？ 练习4：红旗小学表演团体操的同学在操场排队，如果每排12人，最后一排少1人；如 果每排15人，最后一排少4人；如果每排18人，最后一排少7人。问这个年级最少有几人？

余数三大定理

余数三大定理 余数三大定理有余数的加法定理：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。余数的乘法定理：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余。 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例：18，21除以5的余数分别是1和3，而18+21=39除以5的余数等于4，即是两个余数的和1+3. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c所得的余数。 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例：18，21除以5的余数分别是1和3，而18×21=378除以5的余数等于3，即是两个余数的积1×3. 当余数的积比除数大时，所求的余数等于两个余数的积再除以c所得的余数。 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a、b除以同一个数m，得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。 例：18，33除以5的余数都是3，则33－18=15一定能被5整除。 论证：设除数为x，第一个商为m，余数为a，则第一个被除数为mx+a，设第二个商为n（n＜m），余数为a，则第二个被除数为

nx+a，两个被除数的差为：（m－n）x，（m+n）x是x的倍数，所以，两个被除数的差一定能被x整除。

余数及同余

余数及同余 余数及同余 一、带余除法的定义： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里： （1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b 的商或完全商 （2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商 二、同余的概念 两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m 来说是同余的. 同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）. 由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m 个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等. 三、同余的性质 1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除. 2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余. 3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）. 4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.

5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m）， a×c≡b×d （mod m）. 6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。（其中n为正整数）. 例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数. [答疑编号5721170101] 【答案】95 【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95. 例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数. [答疑编号5721170102] 【答案】39，13或3. 【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3. 例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？ [答疑编号5721170103] 【答案】35 【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的 数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。所有这两种数只能选出一种，我们选个数较多的一种，即1、4、7、10、…、100.此外，被3整除的数只能选出一个，所以最多可以选出

小学奥数精讲：余数与同余问题

小学奥数精讲：余数与同余问题 小学奥数精讲：余数与同余问题 一、问题引入 我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被2 整除可以分为偶数和奇数两类，即能被 2 整除（除以 2 余 0）的数为偶数，丌被2 整除（除以 2 余 1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我们以除以3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余 0、余 1、余 2；如果我们以除以 4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余 0、余 1、余 2、余3；以除以 n 为标准，就可以将自然数划分为 n 类。那么除以 n 余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。 二、知识总结 1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。 【注】下列方法大家以理解为主，丌必死记。着重掌握除以3、4、 8、9、16 的余数求法即可。 ①求除以 2 的余数：奇数余 1，偶数余 0； ②求除以 3 的余数：等于该数的各位数字之和除以 3 的余数； ③求除以 4 的余数：等于该数末两位组成的数除以 4 的余数； ④求除以 5 的余数：等于该数个位数除以 5 的余数； ⑤求除以 6 的余数：该数的各个数字之和除以 3 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以6 的余数为a，若该余数不 原数一奇一偶，则原数除以 6 的余数为 a+3； ⑥求除以7 的余数：等于该数的末三位不末三位以前的数字组成的数之差 除以 7 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来， 就重复此过程；

⑦求除以 8 的余数：等于该数的末三位除以 8 的余数； ⑧求除以 9 的余数：等于该数的各位数字之和除以 9 的余数； ⑨求除以 10 的余数：等于该数的个位数； ⑩求除以11 的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和不偶数的数字 之和的差除以 11 的余数 （b）等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的 数之差除以 11 的余数，如果数字仍然太大丌能直接 观察出来，就重复此过程； 求除以13 的余数：等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的数之 差除以 13 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察 出来，就重复此过程； 求除以 16 的余数：等于该数的后四位除以 16 的余数; 求除以17 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减 去个位数的 5 倍，所得到的数字除以 17 的余数， 如果数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过 程； 求除以 18 的余数：该数的各个数字之和除以 9 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以 18 的余数为 a，若该余数 不原数一奇一偶，则原数除以 18 的余数为 a+3； 求除以19 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加 上个位数的 2 倍，所得数字除以 19 的余数。如果 数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过程；2、同余不同余的性质： 两个整数 a，b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a，b 对于模m 同余。一般记为a≡b（mod m）。