当前位置：文档之家› 线性代数之行列式的性质及计算

线性代数之行列式的性质及计算

第二节行列式的性质与计算 § 行列式的性质

考虑111212122212

n n n n nn

a a a a a a D a a a =

将它的行依次变为相应的列，得

112111222212n n T n

a a a a a a D a a a =

称T D 为D 的转置行列式 .

性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）

事实上，若记1112

12122212

n n T n n nn

b b b b b b D b b b =

则(,1,2,

,)ij ji b a i j n ==

()

12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12

12()

12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑

说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.

性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号.

例如 123

123086351.351

086

=- 推论若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.

性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即

111211112

11212

n n i i in i i in n n nn

n n nn

a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =

推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；

(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；

性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．

性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即

1112111221

n i i i i in in n n nn

a a a a

b a b a b a a a +++=1112112

12n i i in n n nn

a a a a a a a a a +1112112

n i i in n n nn

a a a

b b b a a a . 证: 由行列式定义

12()

12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑

12()

()

1212(1)(1).n n i

n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑

性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j

r kr D D +=，即

11121121

i j

r kr i i in n n nn

a a a a a a a a a +=1112111221

n i j i j in jn n n nn

a a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．例1: 计算行列式

324311112321311

(1)(2)

323

11310

1113

D --=

解: 21

231232123223240188

(1)323408620425

0425

r r r r r r D +?-----=-

----=

4332

30858

4123212

018

0188005862

0058621430

3037

r r r r r r -

++------==

143

[1(1)58]28629

=-?-??=. 4

121

2,3,4666611111111

1311

0200

(2)6

1131

113100201113

11130002

i i r r r r i D

-=∑==

6(1222)48=????=.

此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式

111111(1)(2)1

1(0,1,2,

n n n i a x a a a a x

a D D a a

a i n ++=

+≠=

解: (1)

1112132,3,1

111

000

0i r r n

i n

n a a a D a a a a -=+---=

221

11111100100

a a a a a -=+-(箭形行列式)

112231

2,3,,1111000

c c i i

a n i n

a a a a a a a +==++∑

2312

1(1)(1)n

n n n i i i

a a a a a a a a a a a ===++=+∑∑

(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有

12,3,,(1)(1)(1)i c c n

i n

x n a a a x n a x a D x n a

a x

+=+-+-+-

11[(1)]

a a x a x n a a

=+-

12,3,,1

[(1)]

i r r i n

a a x a x n a x a

-=-+--=

1[(1)]()n x n a x a -=+--.

例3: 设11111111111

k kk k n n nk

n nn

a a a a D c c

b b

c c b b =

111

k kk

a a D a a =

121

n nn

b b D b b =

证明:12.D D D =

证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式:

111

0;kk k kk p D p p p p =

对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:

211

0.nn n nk q D q q q p =

先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式:

1111111

,k kk k n nk

n nn

p p p D c c q c c q q =

故, 111112.kk nn D p p q q D D =?=.

思考练习

1.计算行列式

111222122

512

123714(1)(2)(2)592712

4612

n n n n a a a n a a a n D D n a a a n

+++-+++--=

≥-+++-

2.证明11

11111

112222

2a b

b c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明

22222222

222

(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)4(2)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a ab ac ae

b b b b bd cd

de abcdef c c c c bf cf ef

d d d d +++-+++-==+++-+++ 4.计算行列式2324323631063a

a a

b a b

c a b c d

D a a b a b c a b c d

a a

b a b

c a b c d

++++++=

++++++++++++

答案

41522

17341.(1)29571642

c c D ?------= 21312341

,2152215220216011

0113021601

0120

r r r r r r r r +-------

---==

3243

2152215220113

0113

11(3)39003000300

r r r r r r -++--??-?---=

11212

2,3,,111111,2

(2)0,

211

i c c n

i n

n a n a n a a n D n a n -=+-+--=?=

=?>?+- 2.左边=21

111111

111122

222222

c c a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+ 32

11111

11122

222222222222c c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c ++-+-=+-=+-+-+- 23

111111122

22c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+?+--=+-=-=+--1

112

2a b c a b c a b c . 3. 证

(1)左边1

111

abcdef -=--2131

111

020

20r r r r abcdef ++-=23

1110

200

r r abcdef ?-=-4.abcdef = (2)左边12

2,3,42

214469

214469214469214469i c c i a a a a b b b b c

c c c

d d d d -=++++++=++++++32422

3221

262126

021262126

c c c c a a b b c c

d d --++=

=++=右边 4. 解: 从第4行开始，后行减前行得，

002320363a b c d a

a b

a b c

D a a b a b c a a b a b c +++=++++++43

r r r r -=

-0002003a b c d

a a

b a b

c a a b a a b

+++++43

r r -=

000200

a b c d a a b a b c a a b a

++++

4a =

§ 行列式按行（列）展开

对于三阶行列式，容易验证：

111213

2122

2331

a a a a a a a a a 22

23212321231112

a a a a a a a a a a a a a a =-+

可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.

问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算

一、余子式与代数余子式

定义：在n 阶行列式111212122212

n n n n nn

a a a a a a D a a a =

中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下

的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而

(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.

例如三阶行列式 11

2122

233132

a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为11

122331

a M a a =

元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-

四阶行列式

10110251123

x ---中元素x 的代数余子式为3232111

(1)0515001

A +-=--=

二、行列式按行（列）展开

定理 n 阶行列式111212122212

n n n n nn

a a a a a a D a a a =

等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的

代数余子式的乘积之和，即

11221122(1,2,,)(1,2,

i i i i in in

j j j j nj nj D a A a A a A i n D a A a A a A j n =++==++

=或

证（1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;

此时 112122212

0n n n nn

a a a a D a a a =

1211()

()

12121

(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑

223

()

2()

(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑

1111a M =

而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;

（2）11

111

0j n ij n nj

a a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即

2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.

(3) 一般地

1121

0000

00n

i i

in n

n nn

a a a D a a a a a a =++

+++

1112111121111211

1212

0000

n n n i i in n n nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =++

1122j j j j nj nj D a A a A a A =++同理有.

推论 n 阶行列式111212122212

n n n n nn

a a a a a a D a a a =

的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对

应的代数余子式的乘积之和为零，即

112211220()0()

i s i s in sn j t j t nj nt a A a A a A i s a A a A a A j t ++=≠++

=≠或

证考虑辅助行列式

1112122211

2j j n j j n

n nj nj

a a a a a a a a D a a a a i j =

列

1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =

++≠按第列展

（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以

1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=（.

关于代数余子式的重要性质

1,,

0,;

n ki kj ij

k D i j a A D i j δ==?==?≠?∑ 1,,0,;

ik jk ij

k D i j a A D i j δ==?==?≠?∑1,0,.ij i j i j δ=?=?≠?，

其中在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.

三、行列式的计算

利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.

计算行列式常用方法：化零，展开.

例4: 计算四阶行列式1

2341012311

D =

---.

解: 3141

222100

3146

c c c c D

-------=

()

221

111462

+=?------按第行展

()()122

(1)

111

1211

6217

r r ÷÷--??---=

11121

217

=--2131

10021

239

c c c c ----=()

21139

??---按第1行展

2439

==---.

例5 已知4阶行列式

4142434430

2222

,..070

ij ij D M M M M M a =

+++--求的值其中为的余子式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）

(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.

414243441424344441424344111(1)1M M M M A A A A A A A A +++=-+++=-?+?+-?+?

304

222207001111

---3407222111=--34014111002=342811

=28=-.

例6: 计算n 阶行列式

00001000

0020(1)(2)00000010

n n x y x y D D x y n y

n =

解：11111212111(1)n

n n D a A a A a A =

按第列展

00000000

000(1)(1)0000000000

n x y y x y x y x y x y y x

x y

++=-+-

1(1)n n n x y +=+-.

11112121

11(2)n

n n D a A a A a A =

++按第列展

11100002

(1)(1)!002000

n n n

n n n ++=-=---.

例7: 计算四阶行列式40

000

a b

a b a b a b D a b a b a b

a b

+-+-=

-+-+.

解: 按第1行展开，有

1114

400()(1)0()(1)0

a b a b

D a b a b a b

a b a b a b a b

a b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得

[()()]

a b a b D a b a b a b a b

+-=+---+4222a b =.

例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )

1112

11()

(2)n

n i j j i n

n n n n

x x x D x x n x x x ≤<≤---=

-≥∏

其中

1()i j j i n

x x ≤<≤-∏

表示所有可能的())i j x x j i -<（

的乘积. 证: (用数学归纳法)

2n =时,22112

,D x x x x =

=-结论正确;

假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.

21311222221331

1212221

331

111

000n n n n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x

x ---------=------

21311221331122

2213311111100

()

(

)0()()

()

n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------

()n

i x x ==

-∏按第列展提取公因子

2222

11n

n n n n

x x x x x x ---1()i j j i n

x x ≤<≤=

-∏

例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式

11114

16949256427343125

D -=

解：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====- 所以有

()i j j i D x x ≤<≤=

-∏

213141324243()()()()()()x x x x x x x x x x x x =---?--?-

(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368=----?---?--=.

第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式

142434441

171

3180

,..214

ij ij D A A A A A a -=

+++-求的值其中为的代数余子式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）

(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.

14243444142434441111A A A A A A A A +++=?+?+?+?

它是D 中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有

142434440.A A A A +++=

线性代数行列式算与性质

线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ，行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。

线性代数练习题(行列式)

线性代数练习题（行列式）A 一、填空题 1、-=--362 2 36623 2、 =00010020 03004000 3、_____________)631254 (=N 4、四阶行列式)det(ij a 的反对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为 5. 行列式2 430123 21---中元素0的代数余子式的值为_______ 二、选择题 1、 =11 a a （） ----+1111A a B a C a D a 3、+=-010 111111a a （） +++-11(1)(1)A a B a C a D a a 5、若≠314 001 0x x x ，则=x （）

≠≠≠≠≠≠020202且或A x x B x x C x D x 6、=111011011011 0111 （） --2331A B C D 7、=222 111 x y z x y z （） ---+++++()()()()()()A y x z x z y B xyz C y x z x z y D x y z 三、设行列式 2 92170216 3332314----=D ，不计算ij A 而直接证明： 444342412A A A A =++

线性代数练习题（行列式）B 一、填空题 1、设ij A 是n 阶行列式中元素ij a 的代数余子式，则 =∑1 n ik jk k a A = 2、设=3(1,2,3,4)i A i 是行列式12345678 2348 6789 中元素3i a 的代数余子式， +++=132********A A A A 3、各列元素之和为零的n 阶行列式之值等于 4、设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则 =00 A B ； =00 A B 5、设=(,1,2)ij A i j 为行列式= 21 31 D 中元素ij a 的代数余子式，则=1121 12 22A A A A 6、方程 -+-= ----1321360 1 2 2 14 x x x x 的根为 7、已知齐次线性方程组λ+-=?? +-=??-+=?1231231 232020340 x x x x x x x x x 有非零解，则λ= 8、若11223344,,,a a a a 都不等于零，则方程组 +++=??++=? ? +=??=? 1111221331441 22223324423333443 3444a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x b 有解。

考研数学线性代数行列式的计算方法

考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法一、基本内容及历年大纲要求。本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中的相关推论是如何得到的。二、行列式在线性代数中的地位。行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着密切的联系。三、行列式的计算。由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式的计算。 1.数值型行列式的计算主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的计算，但是它计算量大，而且容易出错;

(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量

线代编程之求解行列式1

线代编程报告过程14—卓越班 2014010624 万利锋

【实践活动】：编写程序计算阶数大于10的行列式的值【活动目的】：通过学生自主编写程序，培养学生主动获取和综合运用知识的能力以及动手能力，培养学生的创新意识、程序编写能力、逻辑能力。【活动要求】：能根据需要编写程序，在编写程序的过程中必须考虑程序运行的时间和占用内存的大小，考虑尽量简单的编写指令。反复“程序运行——结果检验——改进提高”这一过程，并最终形成合理的程序。【考核形式与要求】：以程序运行效果为主要参考依据，程序编写为辅助依据。看程序是否有逻辑错误，是否有BUG，计算结果是否准确。看程序的时空复杂度。看源代码的可读性，注释是否完整。【求解方法】行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零

元素最少就从哪行开始。计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。【程序】： #define N 11 //可设置不同的N值 #include #include void main() { int i,j,m,n,s,t,k=1; //定义变量

线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式 00100 20010000 n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---= . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算

例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j a a =-知i i i a a =-，即 0,1,2,,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A ' = 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.

线性代数行列式基本概念

目录目录 (1) 一、行列式 (2) 见ppt。 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)

一、行列式见ppt。二、矩阵特征值设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。三、正定矩阵设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

#线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式 0010020010000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式 n ij D a =的元素满足 ,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i i a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n ==

故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a = 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，

线性代数-特殊行列式及行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 111121 12,1221222,11,21,1 1,1 12 ,1 (1)2 12,1 1 000000000000000 00 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------= ==- 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例1 （2001年考研题） 0001000200019990002000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!019990002000 00 D ?---=- =--=

线代教案第1章行列式

第1章行列式（共4学时）一、教学目标及基本要求 1．了解逆序数的概念 2．掌握n阶行列式的定义和行列式的性质 3．掌握行列式的按行（列）展开定理 4．利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值二、教学内容与学时分配 1．预备知识 2．n阶行列式的定义（2学时） 3．行列式的性质 4．行列式的展开（2学时）三、教学内容的重点及难点重点：利用行列式性质及展开计算行列式难点：行列式的计算技巧四、教学内容的深化和拓宽行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际中的应用，或讲稿中部分结论推广五、思考题与习题思考题：见讲稿作业：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5）六、教学方式与手段注意行列式定义的引入，应用启发式

讲稿内容 1.1 预备知识为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的三点 ),(),,(),,(332211y x y x y x ，则以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值：.1112 1 3 3 22 11 y x y x y x 这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。下面我们利用线性方程组的求解引入行列式的概念。设有二元线性方程组 ?? ?? ?=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a 可用消元法来解该方程组。 1222211211222111222)(:)2()1(a b a b x a a a a a a -=-?-? 2111122211222112111)(:)1()2(a b a b x a a a a a a -=-?-? 若0)(21122211≠-a a a a ，则21 1222112111122211222111222211,a a a a a b a b x a a a a a b a b x --=--= 如果我们定义 bc ad d c b a -=， d c b a 称为二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。这样一来，二元线性方程组的解可简单表示为 D D x D D x 2211,== 其中22 211211a a a a D = 为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式； 2221211a b a b D = （用方程组的常数项代替系数行列式的第1列） 2 211 11 2b a b a D = （用方程组的常数项代替系数行列式的第2列）类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组： ??? ??=++=+=++33332321 3123232221211 313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ＋定义32211331231233221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==

线性代数习题-[第一章]行列式

习题1—1 全排列及行列式的定义 1．计算三阶行列式123 4 56789 。 2．写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3．利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D

⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 001 0000 200 0010 n n D n -= 4．利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。

习题1—2 行列式的性质 1．计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

2．在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=，证明：当n 是奇数时，D=0. 3．计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n = ⑵n n a a a D +++= 11 1 1 1111121 ()120n a a a ≠

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

线性代数之行列式的性质及计算讲解学习

线性代数之行列式的性质及计算

第二节行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即

111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 11121112212 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=L L L L L L L L L L L 1112112 12 n i i in n n nn a a a a a a a a a +L L L L L L L L L L L 111211212 n i i in n n nn a a a b b b a a a L L L L L L L L L L L . 证: 由行列式定义 1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L L L 12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 111211212 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L 11121112212 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++L L L L L L L L L L L 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．

考研数学线代1行列式的性质及应用

第一讲：行列式排列定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。n 级排列的总数为 (1)(2)21!n n n n ?-?-?=（n 的阶乘个）。定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性 134782695 解逆序数为10，是偶排列。行列式：定义（设为n 阶）：n 阶行列式是取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ表示排列 12n j j j 的逆序数。 n 阶行列式具有的性质 1．性质（1）行列互换，行列式不变。即 111211121121222122221 2 12n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 。 2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即 11121121 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka a a a =k 11121121 2 n i i in n n nn a a a a a a a a a 特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。 3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。即 1212121112121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a A a a a a a a τ==-∑

线性代数行列式基本概念

目录一、行列式 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)

线性代数之行列式的性质和计算

第二节行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质考虑11 12121 22 212 n n n n nn a a a a a a D a a a = 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 22212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记1112 12122212 n n T n n nn b b b b b b D b b b = 则(,1,2, ,)ij ji b a i j n == 12 12 () 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12 12() 12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑ 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112 112121 2 1 2 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；

线性代数习题册行列式-习题详解

行列式的概念一、选择题 1．下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号．答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.

阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i

(精选)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__125____，|2A|=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设）（则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ；（B)―12 ；（C ）12 ；（D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4，则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式

线性代数之行列式的性质及计算

第二节行列式的性质与计算 § 行列式的性质考虑111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = 将它的行依次变为相应的列，得 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记1112 12122212 n n T n n nn b b b b b b D b b b = 则(,1,2, ,)ij ji b a i j n == 12 12 () 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12 12() 12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑ 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112 11212 1 2 12 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =

推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 1112111221 2 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=1112112 12n i i in n n nn a a a a a a a a a +1112112 12 n i i in n n nn a a a b b b a a a . 证: 由行列式定义 12 12() 12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑ 12 12 12 12() () 1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑ 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 11121121 2 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=1112111221 2 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．例1: 计算行列式 2 324311112321311 (1)(2) 323 4 11310 4 25 1113 D --= -