第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质
考虑11
1212122212n
n
n n nn
a a a a a a D a a a =
L L L L L L L
将它的行依次变为相应的列，得 11
21112
222
12n n T
n
n nn
a a a a a a D a a a =
L L L L L L L
称T D 为D 的转置行列式 .
性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）
事实上，若记111212122212n
n
T n n nn
b b b b b b D b b b =
L
L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L
1212()
12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L
L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L
说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号.
例如 123
123086351.351
086
=- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.
性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即
111211112112121212
n n i i in i i in n n nn n n nn
a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L
L L L L L L L L L L L L L L L L
推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；
(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；
性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．
性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即
11121112212
n i i i i in in n n nn
a a a a
b a b a b a a a +++=L
L L L L
L L L L L
L
1112
112
12n i i in n n nn a a a a a a a a a +L
L L L L L L L L L L
111211212
n i i in n n nn
a a a
b b b a a a L L L L L L L L L L L
. 证: 由行列式定义
1212()
12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L
L L
12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L
性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j
r kr D D +=，即
111211212
i j
n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L
1112111221
2
n i j i j in jn n n nn
a a a a ka a ka a ka a a a +++L
L
L L L
L L L L L L
计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式
2
324311112321311(1)(2)
323411310425
1113D --=
-
解: 2112
31
23123212
3223240188(1)323
4
0862
4
25
4
2
5
r r r r r r D +?-----=-
-
----=
433241
30858
4123212
32018
8
018
8
005862
0058621430
3037
29
r r r r r r -
++-----
-=
=
143
[1(1)58]28629
=-?-??=. 4
12
1
2,3,4666611111111
13111311
0200
(2)6
6
1131113100201113
1113
0002
i
i i r r r r i D
=+
-=∑
==
=6(1222)48=????=.
此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式
12
11
1111(1)(2)111(0,1,2,,)n n n
i a x a a a a
x a D D a a a x
a i n ++=
=
+≠=L
L L L L L L L L L L L L
L L 解: (1)
1112132,3,1
1111
00
000i r r n
i n
n
a a a D a a a a -=+---=
L L L L
M M M M M
L 221
11111100100
010
n
n
a a a a a -=
+-L L L L L
L L L L L L L L
L
(箭形行列式)
112231
22,3,,1111000
0i
i
n
c c i i
a n i n
n
a a a a a a a +==++∑
=
L L
L L L L L L L
2312122111
(1)(1)n
n
n n n i i i i
a a a a a a a a a a a ===++=+∑∑L L L
(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有
12,3,,(1)(1)(1)i c c n
i n
x n a
a a x n a x
a D x n a
a
x
+=+-+-+-=
L L L L L L L L
11
[(1)]1
a a x a x n a a
x
=+-L L L L L L L
12,3,,1
00[(1)]
i r r i n
a a x a x n a x a
-=-+--=
L L L L L L L L
1[(1)]()n x n a x a -=+--.
例3: 设1111111111110
,k k kk k n n nk
n nn a a a a D c c b b c c b b =
L M M L L L M M M M L
L
11111,k
k kk
a a D a a =
L M M L
11121,n n nn
b b D b b =L M M L
证明:12.D D D =
证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式:
11
11110
;kk k kk p D p p p p ==M O
L L
对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:
11
21110
.nn n nk q D q q q p ==M O
L L
先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式:
11111111110
,k kk k n nk
n nn p p p D c c q c c q q =
M O L L M M M O L
L
故, 111112.kk nn D p p q q D D =?=L L . 思考练习 1.计算行列式
111222122
512123714
(1)(2)(2)5927124
6
1
2
n n n n a a a n a a a n
D D n a a a n
+++-+++--=
=
≥-+++-L L M M M M L
2.证明11
11111
112222
22
2
2
2
2a b b c
c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明
222222222
2
2
2
2
2
2
2
(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)4(2)
0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a ab ac ae
b b b b bd
cd de abcdef c c c c bf
cf
ef
d d d d +++-+++-==+++-+++
4.计算行列式2324323631063a
b c
d
a a b
a b c a b c d D a a b a b c
a b c d
a a
b a b
c a b c d
++++++=
++++++++++++
答案
13
4
1
522
17341.(1)29571642c c D ?------=
3243
42
2152215220113011
3
11(3)390030
00300
03
3
3
r r r r r r -++--??-?---=
=
==
11212
2,3,,111111
,2
(2)0,2111
i c c n
i n
n a n a n a a n D n a n -=+-+--=?=
=?>?+-L L L
M M M M L 2.左边=21
11
111111
111122
22
22
222222
c c a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+ 32
1111111
11122
22
2
22
22
2
2222c c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c ++-+-=+-=+-+-+- 2131
23
41
,21522
15220216
01130
1
130
2
16
012
01
2
r r r r r r r r +----------==
23
12
12
11111
1122
2
2
2
2
2
22c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+?+--=+-=-=+--1
112
2
2
2a b c a b c a b c . 3. 证
(1)左边1
111
111
1
1
abcdef -=--2131
111
020
20r r r r abcdef ++-=23
1110
200
02
r r abcdef ?-=-4.abcdef = (2)左边1
2222,3,4
2
214469
214469
214469214469
i c c i a a a a b b b b c c c c d d d d -=++++++=
++++++32
422
222
322126
2126
021262126
c c c c a a b b c c
d d --++=
=++=右边
4. 解: 从第4行开始，后行减前行得，
002320363a b
c
d
a a
b a b
c D a a b a b c
a a
b a b
c +++=
++++++43
32
r r r r -=
-0002003a b c d a a b a b c a a b a a b +++++43r r -=0002000a b c d
a a
b a b c
a a
b a
++++ 4a =
§2.2 行列式按行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证：
111213
2122
2331
32
33
a a a a a a a a a 22232123212311
12
13
32
33
31
33
31
33
a a a a a a a a a a a a a a a =-+
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.
问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算？
一、余子式与代数余子式
定义：在n 阶行列式11
1212122212n
n
n n nn
a a a a a a D a a a =
L L L L L L L
中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而
(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.
例如 三阶行列式 11
12
13
2122
23313232
a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为11122331
32
a a M a a =
元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-
四阶行列式1
11
0251
123
0301
x ---中元素x 的代数余子式为3232111
(1)0515001
A +-=--=
二、行列式按行（列）展开
定理 n 阶行列式11
1212122212n
n
n n nn
a a a a a a D a a a =
L L L L L L L
等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
11221122(1,2,,)
(1,2,,)
i i i i in in
j j j j nj nj D a A a A a A i n D a A a A a A j n =++==++=L L L L 或
证 （1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;
此时 11
212221200
n
n n nn
a a a a D a a a =
L L
L L L L L
1212121211()
()
121211
(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑L L
L L
2223()
11
2()
(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑
L
L L 1111a M =
而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;
（2）1111100j n ij n nj nn
a a a a D a a a =L L M M M M M
L L
M M M M M L L 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行;
将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即
2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.
(3) 一般地
1112112120000
00n i i in n n nn a a a D a a a a a a =+++++++++L
L L
L L
L L L L L L L L L
1112111121111211
2121212000000n n n i i in n n nn
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++L L L L L L L L L L L L L L L L L
L L
L L L L L L L L L L L L L L L
1122i i i i in in a A a A a A =++L
1122j j j j nj nj D a A a A a A =++L 同理有.
推论 n 阶行列式11
1212122212n
n
n n nn
a a a a a a D a a a =
L L L L L L L
的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即
112211220()0()
i s i s in sn j t j t nj nt a A a A a A i s a A a A a A j t ++=≠++=≠L L 或
证 考虑辅助行列式
1111121222112j j n j j n
n nj nj n
a a a a a a a a D a a a a i j =
L L L L L L M M M M M M M L L L 列
列
1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =
++≠L 按第列展
（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以
1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=L （.
关于代数余子式的重要性质
1,,
0,;n ki kj ij k D i j a A D i j δ==?==?≠?
∑ 1,,0,;n
ik jk ij k D i j a A D i j δ==?==?≠?∑1,0,.ij i j i j δ=?=?≠?
，
其中 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.
三、行列式的计算
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.
计算行列式常用方法：化零，展开.
例4: 计算四阶行列式1
2341012311
01
2
5
D =
---.
解: 3141
21
222100
3146
1
2
17
c c c c D
-------=
()
221
2
22
111462
17
+=?------按第行展
()()122
(1)
111
1211
4
6217
r r ÷÷--??---=
11121
4
6
217
=--2131
10021
3
5
239
c c c c ----=()
11
3
5
21139
+=
??---按第1行展
3
5
2
2439
==---.
例5 已知4阶行列式
4142434430402222,..07
5
3
22
ij ij D M M M M M a =
+++--求的值其中为的余子式
解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）
(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.
414243441424344441424344111(1)1M M M M A A A A A A A A +++=-+++=-?+?+-?+?
3040
222207001111
=
---3407222111=--34014111002=342811
=28=-.
例6: 计算n 阶行列式
00001000000020(1)(2)00000010
00000
n n x y x y D D x y n y x n ==-L L L L
M M M M M M M M M M
M L L L L
解：11111212111(1)n
n n D a A a A a A =
++L 按第列展
11
10000000
000000(1)(1)000000000
00
00n x
y y x y x y x y x y y x
x y
++=-+-L L L L M M M M M M M M M M M M L L L
L
1(1)n n n x y +=+-.
11111212111(2)n
n n D a A a A a A =
++L 按第列展
111000
0200
(1)(1)!00200001
n n n n n n ++=-=---L
L
M M M
M
M L L
.
例7: 计算四阶行列式40
00000
a b
a b a b a b D a b a b a b
a b
+-+-=
-+-+.
解: 按第1行展开，有
1114
400()(1)0()(1)0
00
a b a b
a b a b
D a b a b a b
a b a b a b a b
a b +++-+-=+--++---++-,
对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得
22[()()]
a b a b D a b a b a b a b
+-=+---+4222a b =.
例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )
12
11
1112111()
(2)n n i j j i n
n n n n
x x x D x x n x x x ≤<≤---=
=
-≥∏
L L
L L L L L
,
其中
1()i j j i n
x x ≤<≤-∏
表示所有可能的())i j x x j i -<（
的乘积. 证: (用数学归纳法)
2n =时,22112
1
1
,D x x x x =
=-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.
213112222213311
11
1212
2213311111
1000n n n n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=------L L L
M M
M M M
L
21311
2213311222
2213311111100
()
()
()0()()()
n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------L L L
M M M M M
L
112
()n
i i x x ==
-∏按第列展提取公因子
232222
31
11
n
n n n n
x x x x x x ---L L L L L L L
1()i j j i n x x ≤<≤=-∏. 例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式
1111
4375
16
9
49
25
6427343125
D -=
- 解 ：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====-
所以有
14
()i j j i D x x ≤<≤=
-∏
213141324243()()()()()()x x x x x x x x x x x x =---?--?-
(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368=----?---?--=.
第三环节：课堂练习 练习:已知4阶行列式
1424344411713180,..214
35
12
5
ij ij D A A A A A a -=
+++-求的值其中为的代数余子式
解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）
(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.
14243444142434441111A A A A A A A A +++=?+?+?+?
它是D 中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有
142434440.A A A A +++=
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
行列式的定义及其性质证明 摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。 关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。 证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。 定理1 n阶行列式也可定义为 证明由定义1和引理即可证得。 性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。 性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。 证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知 又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这
考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错;
(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量
线代编程报告 过程14—卓越班 2014010624 万利锋
【实践活动】： 编写程序计算阶数大于10的行列式的值 【活动目的】： 通过学生自主编写程序，培养学生主动获取和综合运用知识的能力以及动手能力，培养学生的创新意识、程序编写能力、逻辑能力。 【活动要求】： 能根据需要编写程序，在编写程序的过程中必须考虑程序运行的时间和占用内存的大小，考虑尽量简单的编写指令。反复“程序运行——结果检验——改进提高”这一过程，并最终形成合理的程序。 【考核形式与要求】： 以程序运行效果为主要参考依据，程序编写为辅助依据。 看程序是否有逻辑错误，是否有BUG，计算结果是否准确。 看程序的时空复杂度。 看源代码的可读性，注释是否完整。 【求解方法】 行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零
元素最少就从哪行开始。计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。 【程序】： #define N 11 //可设置不同的N值 #include
教案头 教学详案 一、回顾导入（20分钟） ——复习行列式的概念，按照定义计算一个四阶行列式，一般需要计算四个三阶行列式，如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦，为简化行列式的计算，我们需要研究行列式的主要性质。 二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟） 一、行列式的性质 定义 将行列式D 的行换为同序数的列就得到D 的转置行列式，记为T D 。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和。 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。二、行列式按行（列）展开 定义 在n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij A 。记ij j i ij M A +-=)1(，叫做元素ij a 的代数余子式。引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那末这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =。定理 行 列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。 行列式的代数余子式的重要性质： ???≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ???≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100 20010000 n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---= . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j a a =-知i i i a a =-，即 0,1,2,,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A ' = 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
行列式的定义及性质 （张俊敏） ● 教学目标与要求 通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。 ● 教学重点与难点 教学重点：n 阶行列式的定义及性质。 教学难点：n 阶行列式定义的理解。 ● 教学方法与建议 通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 求解二、三元线性方程组 （二元线性方程组???=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为： 22 21 1211 222121********* 122211a a a a a b a b a a a a b a a b x = --= 二阶、三阶行列式
22 212 1122 211112112221121 12112a b a a a a b a a a a a a b b a x = --= ）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式） 1112 112212212122 det()a a A a a a a a a = =-，其中A 为方程组的系数矩阵。 2. 三阶行列式： 32 3122 21133331232112333223221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。 (2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。 2. n 阶行列式的定义： 1112122 23 221 23 22122211 12 23 1 3 1 2 21 22 2,1 111 2 ,1 (1)n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-= =-+ +- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的 1n -阶行列式叫做ij a 的余子式，记作ij M ，即11 1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1 ,1 ,1 j j n i i j i j n n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+= 并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为 111111********* det (1)(1)k n n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+ +-=-∑ （2.5）
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 0010020010000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式 n ij D a =的元素满足 ,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i i a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n ==
故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。 因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a = 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 111121 12,1221222,11,21,1 1,1 12 ,1 (1)2 12,1 1 000000000000000 00 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------= ==- 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；
3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降 阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法） 【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题） 0001000200019990002000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!019990002000 00 D ?---=- =--=
教学单元教案设计
教学单元讲稿 一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则 2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称 第三节 行列式的性质 三、课程导入 复习导入 四、分析思路 首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性 质。 五、讲授内容 第三节 行列式的性质 对换 对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l ΛΛ11 ——b b a b a a l ΛΛ11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立 定理2 ：n 阶行列式为： .)1(211 21 2322211312 112 1 n p p p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ -∑= 其中t 为n p p p Λ21的逆序数. （以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n 阶行列式也可定义为 .)1(1 2 121 11 21 2322211312 11n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ -∑= 其中n p p p Λ21和 n q q q Λ21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
第1章行列式（共4学时） 一、教学目标及基本要求 1．了解逆序数的概念 2．掌握n阶行列式的定义和行列式的性质 3．掌握行列式的按行（列）展开定理 4．利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值 二、教学内容与学时分配 1．预备知识 2．n阶行列式的定义（2学时） 3．行列式的性质 4．行列式的展开（2学时） 三、教学内容的重点及难点 重点：利用行列式性质及展开计算行列式 难点：行列式的计算技巧 四、教学内容的深化和拓宽 行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际中的应用，或讲稿中部分结论推广 五、思考题与习题 思考题：见讲稿 作业：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5） 六、教学方式与手段 注意行列式定义的引入，应用启发式
讲稿内容 1.1 预备知识 为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的三点 ),(),,(),,(332211y x y x y x ，则以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值：.1112 1 3 3 22 11 y x y x y x 这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。下面我们利用线性方程组的求解引入行列式的概念。 设有二元线性方程组 ?? ?? ?=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a 可用消元法来解该方程组。 1222211211222111222)(:)2()1(a b a b x a a a a a a -=-?-? 2111122211222112111)(:)1()2(a b a b x a a a a a a -=-?-? 若0)(21122211≠-a a a a ，则21 1222112111122211222111222211,a a a a a b a b x a a a a a b a b x --=--= 如果我们定义 bc ad d c b a -=， d c b a 称为二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行 二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。这样一来，二元线性方程组的解可简 单表示为 D D x D D x 2211,== 其中22 211211a a a a D = 为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式； 2221211a b a b D = （用方程组的常数项代替系数行列式的第1列） 2 211 11 2b a b a D = （用方程组的常数项代替系数行列式的第2列） 类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组： ??? ??=++=+=++33332321 3123232221211 313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ＋ 定义32211331231233221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==
习题1—1 全排列及行列式的定义 1． 计算三阶行列式123 4 56789 。 2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3． 利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D
⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 001 0000 200 0010 n n D n -= 4． 利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。
习题1—2 行列式的性质 1． 计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
2． 在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=， 证明：当n 是奇数时，D=0. 3． 计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n = ⑵n n a a a D +++= 11 1 1 1111121 ()120n a a a ≠
行列式及其在初等数学中的应用 【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用 【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组 引言 行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。 1 行列式的定义和性质 1.1行列式的定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。 例1 n n D n 00000010 0200100 -= 计算行列式 . 解： n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!) 1(2 ) 2)(1(n D n n n ---= 1.2行列式的性质 行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。 例 2 一个n 阶行列式ij n a D = 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零. 证明： 由 ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,2,1,0==.故行列式可表示为
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即
111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 11121112212 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=L L L L L L L L L L L 1112112 12 n i i in n n nn a a a a a a a a a +L L L L L L L L L L L 111211212 n i i in n n nn a a a b b b a a a L L L L L L L L L L L . 证: 由行列式定义 1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L L L 12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 111211212 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L 11121112212 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++L L L L L L L L L L L 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．
第一讲：行列式 排列 定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。n 级排列的总数为 (1)(2)21!n n n n ?-?-?=（n 的阶乘个）。 定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它 们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性 134782695 解 逆序数为10，是偶排列。 行列式： 定义（设为n 阶）：n 阶行列式 是取自不同行不同列的n 个元素的乘 积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ表示排列 12n j j j 的 逆序数。 n 阶行列式具有的性质 1．性质（1）行列互换，行列式不变。即 111211121121222122221 2 12n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 。 2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即 11121121 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka a a a =k 11121121 2 n i i in n n nn a a a a a a a a a 特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。 3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。即 1212121112121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a A a a a a a a τ==-∑
目录 一、行列式 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
行列式及其在初等数学中的应用 【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用 【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组 引言 行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。 1 行列式的定义和性质 1.1行列式的定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。 例1 n n D n 00000010 020 100 -=计算行列式 . 解： n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!) 1(2 ) 2)(1(n D n n n ---= 1.2行列式的性质 行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。 例 2 一个n 阶行列式ij n a D = 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称反对称行
行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.
阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i
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