§2?3 空間中的平面方程式
(甲)空間中平面方程式
(1)[回顧坐標平面上的直線]：
(a)平面坐標系中，只要知道斜率m與點(x0,y0)就可以確定直線的位置，因此可以求出直線的方程式y?y0=m(x?x0) (點斜式)。
(b)考慮平面上的直線L：2x+3y+6=0，P(3,?4)為L上的任意點，我們曾定義直線L的法向量
→n=(2,3)，設R(x,y)為L上的一點，根據法向量的定義，可知→n→n=0?(x?3,y+4)?(2,3)=0?2x+3y+6=0。
(2)平面的法線與法向量：
平面的法線：若一直線L垂直於平面E，則稱此直線為平面E的法線。
平面的法向量：
若直線L為平面E的法線，
則直線L的一個方向向量就稱為平面E的一個法向量。
法向量的特性：
(a)一個平面的法向量會是唯一嗎？NO！
(b)若任取平面E上的兩個相異點A、B
→n。
(3)如何求平面的方程式：
(a)點法式：
若平面E法向量→n=(a,b,c)且過點A(x
,y0,z0)，
則平面E的方程式為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0。[證明]：
在平面E上任取一點P其坐標為(x,y,z)→n
所以(x?x0,y?y0,z?z0)?(a,b,c)=0
?a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0
反過來說滿足方程式a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0的解Q(x,y,z)
→
n?Q落在平面E上。
(b)一般式：
將方程式a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0 化簡可得ax+by+cz+d=0的方程式。我們將ax+by+cz+d=0稱為一般式。
一般式ax+by+cz+d=0的法向量為
→n=(a,b,c)
[證明]：
設A(m ,n ,l )、B(p ,q ,r )在平面ax +by +cz +d =0上， (a ,b ,c )=(p ?m ,q ?n ,r ?l )?(a ,b ,c ) =a (p ?m )+b (q ?n )+c (r ?l ) =ap +bq +cr ?(am +bn +cl ) =d ?d =0
→n 因此ax +by +cz +d =0的法向量為→n =(a ,b ,c )。 結論：掌握法向量→n ，平面上的一點P ，即可用點法式去表示平面方程式： (a)已知平面E 的→n =(a,b,c )，過P(x 0,y 0,z 0) ?點法式：a (x-x 0)+b (y-y 0)+c (z-z 0)=0 (b)一般式：ax +by +cz +d =0，法向量→n =(a,b,c )。
(4)問題與討論：
(a)特殊平面：xy 平面?z =0 ，yz 平面?x =0，zx 平面?y =0
(b)如何去決定方程式2x +3y ?6=0的圖形。
平面坐標：
空間坐標：
?y
y x
[例題1] 已知一平面E 和直線AB 垂直，A 為其垂足，若A(4,3,?2)，B(5,?2,1)，求平面
E 的方程式。Ans ：x ?5y +3z +17=0
(練習1) 求過點P(2,?3,1)且法向量→n =(2,?3,4)的平面方程式。 Ans ：2x ?3y +4z =17
(練習2) 在空間中，連接點P(2,1,3)與點Q(4,5,5)的線段PQ 之垂直平分面。
Ans ：x +2y +z ?13=0 (練習3) 設P 、Q 為平面E ：ax +by +cz =5x 0 , y 0 , z 0)，則
?(a ,b ,c )為何？(A)不定值，隨(x 0 , y 0 , z 0)而改變。(B)25 (C)5 (D)0 (E)?1。Ans ：(D)
((a)從一個例子說起：
設A(3，?1,1)、B(4,2,?1)、C(7,0,3)，求過[解法]：設平面的法向量為→n =(a ,b ,c )， 3)給不共線三點求平面方程式： A 、B 、C 三點的平面方程式。 ?2)?→n →n 即→n 0且→n 0 ???+=?+0
23a c b a ?a =?811?=+0
24c b c ，b 11=10c
所以n =k (8,?10,?11) k ≠0，取n =(8,?10,?11) 程式為8(x ?3)?10(y +1)?11(z ?1)=0。
中兩個向量→a 、→b ， 可以找到c ，使得a ⊥c 且b ⊥c 。 即a ：b ：c =8：(?10)：(?11)
→→ 所求平面方
(b)找公垂向量：
由前面的例子中，我們知道已知空間→→→→→
空間中的向量運算除了有加減法、係數積、內積之外，還有一種運算?外積。 作用在位移r 的終點上，它的力矩定義為一個向量M 其大小為 ， |sin θ ，且M
構成右手符系， 這樣的慨念抽象化之後，形成以下的定義：
=(a 1,a 2,a 3) =(b 1,b 2,b 3)，
的外積為(a 2b b b 1)，
3?a 3b 2，a 31?a 1b 3，a 1b 2?a 2符=(a 2b 3?a 3b 2，a 3b 1?a 1b 3，a 1b 2?a 2b 1)。 速算法：
快3
21321
321321b b b b b b a a a a a a 性質：
|sin θ ，θ之夾角。 =
為一個向量，其大小為|sin θ ，
構成右手則。
(d)?ABC =21
|AB 。
、，使得 平行的一個向量。
A 例如：設A(1,2,0)，B(0,3,0)，C(?2,?3,1)，求
AB 與 AC 的一個公垂向量。 ns ：(1,1,8)
[例題2] 求過三點A(?3,1,2)、B(5,3,?7)、C(1,7,0)的平面方程式。
Ans：5x?2y+4z+9=0
[例題3] 設一平面E包含點A(2,3,1)及點B(3,?1,0)，且平面E和z軸平行，求平面E的方程式，此平面方程式有何特徵？
Ans：4x+y?11=0，缺z項，和z軸平行。
[例題4] 求過點P(1,1,1)且垂直平面3x+y?z+1=0與4x?2y?z?5=0之平面方程式。
Ans：3(x?1)+(y?1)+10(z?1)=0
[例題5] 一平面與平面3x+2y+z+11=0平行，且與三軸之截距和為22，試求其方程式。
Ans：3x+2y+z?12=0
注意：截距不是距離，是圖形與坐標軸交點之坐標值。
設三平面E [例題6] z +1=0，
線且與E 3垂直，求E 之方程式。 ns ：37x +28y ?68z ?51=0
(練習4) ,2)，求平面BDF
ns ：6x +2y +3z =12
(練習5) －1)，D (3，k ，1)，
1：3x +2y ?2z +1=0，E 2：x +y ?5z ?6=0，E 3：4x +2y +3有一平面E 包含E 1與E 2之交A 如圖，長方體OABC ?DEFG 中，
已知B(1,3,0)、D(1,0A 空間中四點A (1，1，2)，B (－1，0，3)，C (2，0，(1)過A ，B ，C 三點的平面方程式為 。 (2)若A ，B ，C ，D 四點共平面，則k ＝ 。 Ans ：(1) 4x －5y ＋3z －5＝0(2) 2 (練習6) 點且與平面7x +4y ?4z =0垂直之平面的方
程式。Ans ：12x ?17y +4z ?3=0 (練習7) 試求過點A(2,1,?1)、B(1,1,2)二設A(?1,2,1)，B(2,1,0)，C(0,3,1)，D(1,4,?1)設一平面E 和直線AB 及CD
均平行,且平面E 含點(1,2,3),求平面E 的方程式。Ans ：3x +5y +4z ?25=0 (練習8) (2)平行於z 軸，且x 軸截距為3，y 軸截距為4之平面。Ans ：4x +3y ?12=0 (練習9) 過點A(1,2,3)與yz 平面平行之平面方程式。Ans ：x =1 (練習10) 距為2，?1，3，試求平面E 的方程式。
Ans ：3x ?6y +2z =6
(練習11) 截點所成三角形之重心，
x
求下列各平面方程式：
(1)平行xy 平面，且在其上5單位長之平面。Ans ：z =5
平面E 在x ,y ,z 軸的截平面過G(?1,2?3)且此點恰為平面在x ,y ,z 軸上
求此平面方程式。 Ans ：6x ?3y +2z +18=0
(練習12) 平面E 之法向量為(3,?2,1)，且三截距和為13，求E 的方程式。
(練習13) 。
(2)垂直於平面3x +2y ?3z ?6=0時，平面E 的方程式。 2)2x +3y +4z =4
Ans ：15x ?10y +5z ?78=0 平面E 包含2x +y ?4=0與y +2z =0之交線且
(1)通過點(2,?1,1)時，平面E 的方程式Ans ：(1)x +y +z ?2=0 ((乙)空間中兩平面的夾角
(1)平面上兩直線的交角
設L 1，L 2為平面上之兩相交的直線L ， 2y +c 2=0， [證明]：設L ， n 2=(a 2,b 2)，由右圖
1：a 1x +b 1y +c 1=0，L 2：a 2x +b 若設兩直線的法向量夾角為α， 則兩直線的交角為α，π?α。
1L 2的法 則可取 n 1=(a 向量分別為
n 1， n 2 1,b 1)， cos α= n 1?n 2| n 1|| n 2| =22
222122
1b a b b b +?+1a 21a a + 2：a 2x +b 2y +c 2z +d 2=0， 的法向量→n 1、→n 2的夾角為α， 於一直線L 2，向量→n 1、→n 2的夾角α必等於直線L
、L 的一個夾角也就是平面E 、E 所夾的個二面角。 兩直線的交角為α，π?α。
(2)空間中兩平面的夾角：
設兩平面E 1：a 1x +b 1y +c 1z +d 1=0，E 若設兩平面則平面E 1與E 2的交角為α，π?α。 [證明]：
設平面E 1、E 2交L ，另作一平面E 垂直L 且分別與E 1、E 2交線L 1、法一
設
[例題7] 平面 3 x+2y+z=2與ax?y+z=5有一個夾角為60°，求a的值。
ns：a=
A 3 ± 6
[例題8] ,1 3
求過點A(1,0,0)、B(0,0)二點，且與平面x+z=3之交角為45°的平面方程式。ns：x±
A 6 y+3z?1=0
(練習14) 設α為平面2x+y?z=4與xy平面之夾角，則sinα=？ Ans：30 6
(練習15) z=5與E2：3x+4y?5z=?3二平面的交角。
Ans：π4
求E1：x?2y+2
或3π4
(練習16) =0之一交角為π4
平面E過點A(1,?1,1)、B(?1,3,1)且與平面x+y+1，求E的程式。 Ans：2x+y+2z?3=0，2x+y?2z+1=0
方
(丙)空間中點到平面的距離
(1)點A(x0,y0,z0)到平面E：ax+by+cz+d=0的距離為d(A,E)=|ax0+by0+cz0|
a2+b2+c2
。
(2)兩平行平面E1：ax+by+cz+d1=0，E2：ax+by+cz+d2=0
兩平面E1、E2的距離d(E1,E2)=|d1?d2|
a2+b2+c2
。
[例題9] 設A(3,2,1)在平面E：3x+2y+z?28=0上的投影點坐標，並求A點對此平面的對稱點。 Ans：(6,4,2)、(9,6,3)
[例題10] 在右圖的空間坐標中，O 為原點，點A 、B 、C 分別位於x 軸、y 軸、z 軸上，
?OA=?OB=?OC ，且D 為?
OC 的中點，求O 到平面ABC 與O 到平面ABD 的距離之
比。Ans ：2：1
[例題11] 平面E 1：7x ?y +2z +10=0，E 2：4x +4y ?8z +3=0，求E 1及E 2所夾二面角之平分面
方程式。Ans ：16x ?16y +32z +31=0或40x +8y ?16z +49=0
(練習17) 求點A(5,0,8)到平面E ：2x ?y +2z +1=0的距離。 Ans ：9
(練習18) 空間中，設A(?1,3,3)、B(1,3,4)、C(3,?5,?5)、D(2,2,7)，則四面體
ABCD 中，以ABC 為底面時，高為何？ Ans ： 5 (練習19) 求與平面2x ?y ?2z +3=0平行且與其距離為1的平面方程式。
Ans ：2x ?y ?2z =0或2x ?y ?2z +6=0
(練習20) 設P(x ,y ,z )為平面E ：x ?2y ?2z +3=0的點，則(x ?6)2+y 2+z 2的最小值為？
Ans ：9
綜合練習
(1) 試求下列諸平面的方程式：
(a)過點(?1,3,2)，法線方向為(?4,1,3)。
(b)過點(5,6,6)，法線的方向角為45°、45°、90°。
(c)過點(3,3,3)，法線方向餘弦為27、37、?6
7。 (d)過三點(2,7,3)、(4,6,2)、(5,6,1)。 (e)在x ,y ,z 軸截距為3,?2,4。
(f)設P(2,1,?1)、Q(3,?2,1)、R(1,1,2)，其中直線PQ 垂直此平面且R 點到平面的 距離為214 。
(g)與4x ?2y ?z ?5=0、3x +y ?z +1=0二平面均垂直且通過點P(1,1,1)。 (h)點(1,2,3)在此平面上的投影點為(2,3,4)。
(i)過x +y ?z +2=0、x +z ?3=0二平面的交線且過點(0,0,2)。
(j)過A(?1,3,1)、B(1,?1,1)二點且與平面x +y ?6=0之一交角為3π
4。 (2) 平面E 1：x ?2y +2z ?5=0，E 2：2x +y ?2z +3=0，求E 1、E 2所夾二面角之平分面方
程式。 (3) B(3,?1,2)、C(0,1,?1)，試求
(b)?ABC 的面積為何？
(c)平面ABC 的方程式。(d)?
AB 的垂直平分面方程式。
(4) 、B(0,8,0)、C(0,0,1)、D(1,4,9)為空間中四點，求四面體ABCD 的體
(5) +12z ?5=0平行，且與三坐標平面所圍成的四面體的體積為
(6) E ：x ?3y ?z ?12=0及一點P(2,5,?3)，求P 在E 上的正射影，P 對於E 的
(7) P 在xz 平面上，若?AP+?
BP 為最小，
則P 的坐標為 設A(2,0,0)積。 一平面E 與平面x ?3y 1，求E 的方程式。 ?給予一平面對稱點。 點A(1,2,3)、B(2,3,4)，點。
進階問題
平面E 過點P(2,3,4)，且分別交x ,y ,z 三軸正向於A 、B 、C 三點，O 為原點，(a (8)
)求四面體OABC 的最小體積。(b)此時平面ABC 之方程式為何？
(9) 設二平面E 1：x +ky +z ?2=0與E 2：x + 2 y ?z +1=0的夾角為3π
，求之值。
k
(10) 設A(0，1，2)，B(－1，0，(a)求通過A ，B ，C 三點的平的垂心坐標。 x +3y ?6z +3=0 (d)x +y +z ?12=0
3y +2z =32或x ?3y +2z =?24 (g)3x +y +10z ?14=0 +2z ?3=0 (2) x +34z +8=0或3x ?2=0
(3) 53)，C(1，2，3)，
面方程式。(b)求?ABC
綜合練習解答
(1) (a)4x ?y ?3z +13=0 (b)x +y ?11=0 (c)2 (e)4x ?6y +3z ?12=0 (f)x ? (h)x +y +z ?9=0 (i)x +y ?z +2=0 (j)2x +y ?2z +1=0或2x +y y ?y ?1,1,?2) (b)11
(a)?6(?2 (c)?2=0 (d)2x +3y +z x ?y +z ?6=0
(4) 24 [提示：找出平面ABC 的方程式，再求D 點到平面ABC 的距離，再利用四面體的體積=1
ABCD 3×(?ABC 的面積×(5) x ?3y +12z =±6
[示可令所求方程式為x ?3y +12z =k ?x ,y ,z 軸的截距為k ,k ?3
)高] 提：,k
12 ?16|k ?k 3?k 12|=1] (6) (4,?1,5) (6,?7,?7)
(7)7? (5,0,17
5)[提示：A 、B 兩點在xz 平面的同側，作A 對y =0的對稱點A /(1,?2,3)，令P(x ,y ,z )因為A /、P 、B 共線 //?x =1+t ,y =?2+5t ，z =3+t ，代入y =0 5?t =2。]
(a (8))108 (b)x 6+y 9+z
12=x 1[提示：設平面方程式為a +y b +z c =1 ，因為平面過P 點 ?a 2+3b +4c =1(其中a ,b ,c 均為正數)，四面體OABC 的體積V 1=6abc ，1=2a +3b +4
c ≥3
3c b a ??=33V
?V ≥108，等號成立時 ?a 4
2=3b =4c =13432 ? a =6，b =9,c =12] (9) ± 2 [提示：→n 1=(1,k ,1)，→n 2=(1, 2 ,?1)?cos π3= |n 1?→n 2|→|→n 1||→n 2| ?k =± 2 ]
(10) (a) x －y ＋1＝0(b) H (0，1，1)
[提示：令H(x,y,z)00，H在平面ABC上，找出x,y,z的方程式，再解x,y,z。]
空间直线与平面的方程及其位置关系
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
空间平面方程的求法 摘 要：空间平面是空间解析几何中最简单而又最基本的图形之一，所以确定它的方程有着重要意义。研究各种求解方程的方法，不难发现，用代数的方法能够定量地建立平面的各种形式的方程。 关键词：空间平面 平面方程 方程的求解 空间解析几何主要是研究三维空间中的平面，学习空间平面首先要明确他们的方程，我们在求解的过程中，了解方程的特点熟悉常用的确定平面的方法。在这些方法中我们重点运用代数的方法定量的研究空间最简单而又最基本的图形，即空间平面。在学习这种方法时，有时矢量代数的知识掌握运用得不好，再加上缺乏空间想象力，搞不清所求平面与已知条件，容易为求解方程带来困难。为解决这个困难我们要深入的探讨空间平面的求解方法。 如何根据已知条件写出平面方程呢？对这类问题的求解是否有规律可循？虽然在求这类问题时题目中会给出很多不同的已知条件，只要我们采用相应的解题方法，就会求出不同的关于平面方程的正确形式。求解方程没有什么普遍的万能的方法，所以必须全面掌握这部分的知识，再通过大量的练习来逐步的巩固。在此，我通过一些实例探讨求这类方程的方法。 1、 用参数方程 题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。 ①矢量式参数方程 →r =→ r 0 + t 1→r 1 +t 2→r 2 其中→r 1 ={X 1,Y 1,Z 1}, →r 2 ={X 2,Y 2,Z 2} ②坐标式参数方程?? ? ??++=++=++=22110221102 2110Z t Z t z z Y t Y t y y X t X t x x 例1、 写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v 解：所求的参数方程为?? ? ? ?v u z u y v u x -+=-=++=313322 例2、证明矢量},,{Z Y X v = 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX 证明：不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ，把这平面的方程化为参数式： ,,,v z u y v A C u A B A D x ==--- =所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0, {A C -,从而
平面空间直线及其方程 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点.(2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： +D Cz By Ax + = + 几个平面图形特点： 1）D＝0：通过原点的平面。 2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。 同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x 三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ???=+++=+++002222 1111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x
空间平面方程的求法 1、 用参数方程 题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。 ①矢量式参数方程 →r =→ r 0 + t 1→r 1 +t 2→r 2 其中→r 1 ={X 1,Y 1,Z 1}, →r 2 ={X 2,Y 2,Z 2} ②坐标式参数方程?? ? ??++=++=++=22110221102 2110Z t Z t z z Y t Y t y y X t X t x x 例1、 写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v 解：所求的参数方程为?? ? ? ?v u z u y v u x -+=-=++=313322 例2、证明矢量},,{Z Y X v = 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX 证明：不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ，把这平面的方程化为参数式： ,,,v z u y v A C u A B A D x ==--- =所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0, {A C -,从而知},,{Z Y X v = 与已知平面共面的充要条件为v 与}0,1,{A B - ，}1,0, {A C -共面，或 01 001 =--A C A B Z Y X ,即0=++CZ BY AX . 如果在直角坐标系下，那么由于平面的法矢量为},,{C B A n = ,所以v 平行于平面的充要条件为0=?v n ，即0=++CZ BY AX . 2、 用点位式方程 题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。 2 22 1110 00Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0
空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.1 直线的对称式（点向式）方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v (非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1-1） 叫做直线l 的向量式参数方程，（其中t 为参数）。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ，那么 （1.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （1.1-2） （1.1-1）叫做直线l 的坐标式参数方程。 消参数t 即得 Z z z Y y y X x x 0 00-=-=- (1.1-3)
则(1.1-3)叫做直线l 的对称式方程或称直线l 准方程。 例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程。 解 取21M M v =作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为 直线l 上的任意点（如右图），那么 },,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-== 所以直线l 的向量式参数方程为： );(121r r t r r -+= （1.1-4） 坐标式参数方程为 ?? ? ??-+=-==-+=) ()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （1.1-5） 对称式方程为 1 21121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （1.1-6） 方程（1.4-4）（1.4-5）（1.4-6）都叫做直线l 的两点式方程。 1.1.1直线的方向数 ①取直线l 的方向向量为 {}γβαcos ,cos ,cos 0=v ,则直线的方程为 00v t r r +=(参数方程) 或 ?? ? ??+=+=+=γ βαcos cos cos 000t z z t y y t x x （1.1-7） 标准方程 γ βαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- （1.1-8） 由此可见参数t 的几何意义: t 为直线l 上点M 与点0M 之间的距离. ②直线的几个问题 Ⅰ.直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向. Ⅱ.直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Z 或与之成比例的一组数n m l ,, Ⅲ.直线的方向余弦γβαcos ,cos ,cos 与方向数n m l ,,之间的关系
湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲 考试科目代码：[] 考试科目名称：空间解析几何 一、试卷结构 1) 试卷成绩及考试时间 本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。 2) 答题方式：闭卷、笔试 3) 题型结构 a: 判断题，约10分。 b: 单项选择题，约10分 c: 填空题，约20分。 d: 解答题(包括证明题)，约60分。 二、考试内容与考试要求 第一章向量代数 考试内容 向量的概念向量的加减法向量的线性运算标架与坐标应用向量的线性运算解初等几何问题向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算。 考试要求 （1）透彻理解向量的有关基本概念，如单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的投影等。 （2）牢固掌握向量的各种运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）的定义及其对应的几何意义、运算规律与坐标表示，并能熟练的运用它们解决几何问题。 (3) 掌握向量积、混合积的几何意义，掌握两向量垂直、共线、三
向量共面的充要条件，并能熟练地运用它们解决几何问题。 （4）理解坐标系建立的依据以及向量的坐标与点的坐标的含义，熟练地利用向量的坐标进行运算。 （5）利用向量代数的知识解决某些初等几何问题。 第二章空间的平面与直线 考试内容 平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的位置关系、它们之间的夹角以及距离点到平面和点到直线的距离平面束。 考试要求 （1）掌握平面方程和直线方程的各种形式，能根据所给的条件建立适当的平面或直线的方程。 （2）掌握平面与平面、直线与平面、直线与直线的各种位置关系及其判断方法，并能熟练运用他们解决几何问题。 （3）掌握两异面直线的距离及两异面直线的公垂线方程；会求两平面、两直线、直线与平面的交角以及点到直线、点到平面的距离等。 （4）理解平面束的概念，能利用平面束来解决有关的问题。 第三章常见的曲面 考试内容 曲面方程和空间曲线方程的概念球面柱面锥面旋转曲面空间曲线与曲面的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程五种典型的二次曲面二次直纹曲面。 考试要求 （1）了解曲面方程和空间曲线方程的概念。 （2）掌握球面、柱面、锥面、旋转曲面的概念及方程的求法。 （3）了解空间曲线与曲面的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求投影曲线的方程。 （4）掌握五种典型的二次曲面的标准方程及其图形，能够利用二次曲面标准方程的特点，利用平行截割法等研究二次曲面的特征。 （5）了解空间曲线与空间区域的画法。
§2?3 空間中的平面方程式 (甲)空間中平面方程式 (1)[回顧坐標平面上的直線]： (a)平面坐標系中，只要知道斜率m與點(x0,y0)就可以確定直線的位置，因此可以求出直線的方程式y?y0=m(x?x0) (點斜式)。 (b)考慮平面上的直線L：2x+3y+6=0，P(3,?4)為L上的任意點，我們曾定義直線L的法向量 →n=(2,3)，設R(x,y)為L上的一點，根據法向量的定義，可知→n→n=0?(x?3,y+4)?(2,3)=0?2x+3y+6=0。 (2)平面的法線與法向量： 平面的法線：若一直線L垂直於平面E，則稱此直線為平面E的法線。 平面的法向量： 若直線L為平面E的法線， 則直線L的一個方向向量就稱為平面E的一個法向量。 法向量的特性： (a)一個平面的法向量會是唯一嗎？NO！ (b)若任取平面E上的兩個相異點A、B →n。 (3)如何求平面的方程式： (a)點法式： 若平面E法向量→n=(a,b,c)且過點A(x ,y0,z0)， 則平面E的方程式為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0。[證明]： 在平面E上任取一點P其坐標為(x,y,z)→n 所以(x?x0,y?y0,z?z0)?(a,b,c)=0 ?a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0 反過來說滿足方程式a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0的解Q(x,y,z) → n?Q落在平面E上。 (b)一般式： 將方程式a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0 化簡可得ax+by+cz+d=0的方程式。我們將ax+by+cz+d=0稱為一般式。 一般式ax+by+cz+d=0的法向量為 →n=(a,b,c)
6.3 一、单选题 1、平面330x y z +--=的截距式方程为（ ）. A 3(1)0x y z +--= B 133 x z y +-= C 33x y z +-= D 13y x z +-= 答案： B 解析： 根据截距式方程的标准形式， 可将平面的一般式方程330x y z +--=，化为 133x z y +-=. 2、过三点1(0,1,0)M -, 2(1,0,1)M , 3(1,1,1)M -的平面的一般式方程为（ ）. A 32(1)0x y z -+-= B 3220x y z --+= C 3220x y z ---= D 1232 x z y --= 答案： C 解析： 方法一 直接求平面的一般方程 . 设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++= ①，将已知的三个点123,,M M M 坐标 分别代入方程①中, 即有方程组0 00B D A C D A B C D -+=??++=??+-+=? , 运用中学学过的消元法解方程组, 用D
来表示,,A B C , 可得3212 B D A D C D ??=??=-???=?? , 因此, 所求平面的一般方程为 310,22D x D y D z D -?+?+?+=方程两边同时除以2 D -化简得3220x y z ---=. 方法二 先求平面的点法式方程, 再化为一般方程 . 将三个点任意连成两个向量, 不妨作1213,,M M M M 则有1213(1,1,1),(1,2,1),M M M M ==-从1213,M M M M 的坐标可以看出这两个向量并不平行, 可以通过这两个向量 求出平面方程的法向量1213111121i j k n M M M M =?=- 11111132.211112 i j k i j k =+=-++--- 再从123,,M M M 中任取一点, 不妨就取1(0,1,0)M -, 根据点法式, 可得所求的平面方程(3)(0)2(1)1(0)0,x y z -?-+?++?-=化为平面的一般方程即3220x y z ---=. （大家还可以想想其他方法.） （做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。） 3、过点1(1,1,2)M -, 2(2,0,4)M 且平行于x 轴的平面的一般式方程为（ ）. A 240y z -+= B 124y z -= C 024 y z -= D 240y z --= 答案： A 解析： 首先，由于所求平面平行于x 轴，因此可设平面方程为0By Cz D ++= . 方法一 直接求平面的一般方程 . 将已知的两个个点12,M M 坐标分别代入平面方程0By Cz D ++=中,