空间平面方程的求法
1、 用参数方程
题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。
①矢量式参数方程 →r =→ r 0 + t 1→r 1 +t 2→r 2 其中→r 1 ={X 1,Y 1,Z 1}, →r 2 ={X 2,Y 2,Z 2}
②坐标式参数方程??
?
??++=++=++=22110221102
2110Z
t Z t z z Y t Y t y y X t X t x x
例1、 写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v
解：所求的参数方程为??
?
?
?v
u z u y v
u x -+=-=++=313322
例2、证明矢量},,{Z Y X v =
平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：
0=++CZ BY AX
证明：不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ，把这平面的方程化为参数式：
,,,v z u y v A C u A B A D x ==---
=所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0,
{A C
-,从而知},,{Z Y X v =
与已知平面共面的充要条件为v
与}0,1,{A B -
，}1,0,
{A C
-共面，或 01
001
=--A
C A B
Z
Y
X ,即0=++CZ BY AX . 如果在直角坐标系下，那么由于平面的法矢量为},,{C B A n =
,所以v
平行于平面的充要条件为0=?v n
，即0=++CZ BY AX .
2、 用点位式方程
题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。
2
22
1110
00Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0
3、用三点式方程
题目的条件是平面上的三个已知点。
1
313131212121
11z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------=0 例3、已知三角形顶点为),2,2,2(),1,1,2(),0,7,0(C B A --求平行于三角形ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.
解：由已知，得02
92162
7=+z y x
， 所以三角形ABC 所在的平面方程为014623=-+-z y x . 设与这个平面相距2个单位的平面方程为0=+++D Cz By Ax 由于，
71
=
λ所以.28,021-==D D 因此所求的平面方程为，
0623=+-z y x 028623=-+-z y x 4、用一般式方程
0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不全为零，D =-（Ax 0+By 0+Cz 0））
注:在笛卡尔坐标系下，每个平面是含有z y x ,,的三元一次方程。反之，该三元一次方程表示一个平面，且系数C B A ,,组成平面的法向量，即→n ={C B A ,,} ①平面过原点的充要条件是0=D ②平面过z 轴的充要条件是0,0==D C 平面过x 轴的充要条件是0,0==D A 平面过y 轴的充要条件是0,0==D B ③平面平行于z 轴的充要条件是0,0≠=D C .
平面平行于x 轴的充要条件是0
,0≠=D A .
平面平行于y 轴的充要条件是0,0≠=D B
例4、求通过点（2，-1，1）与点（3，-2，1）且平行于z 轴的平面的方程。 解：设所求平面方程为 0=++D By Ax ,
由已知条件得??
?=+-=+-0
230
2D B A D B A
由此)1(:1:1::-=D B A ,所以所求的平面方程为
01=-+y x .
例5、 求通过点（1，1，1）与点（1，0，2）且垂直于平面062=--+z y x 的 平面的方程。
解：设所求平面方程为0=+++D Cz By Ax , 写出这个平面过已知两点且垂直于已知平面的条件
0=+++D C B A 02=++D C A 02=-+C B A
解之得，D C B A =-=-=,于是所求平面方程为
01=+--z y x
5、用截距式方程
如果在一般式中,,,,D C B A 都不为零，则可改写成 1=++c
z
b y a x （C
D
c B D b A D a -=-=-
=,,）由此可知该平面是过三点).,0,0(),0,,0(),0,0,c b a （ 平面在x 轴，y 轴，及z 轴上的截距为.,,c b a
例6、设平面在空间直角坐标系的第一挂限的部分与三个坐标平面所构成四面体的体积
为1，并且在三个坐标轴上的截距之比是1:2:3::=c b a ,截距之和为6，求该平面的方程。
解：设所求平面方程为
1=++c
z
b y a x ， 依题意，
c b a ,,应满足 ???
?
???==++=1:2:3::61)61
c b a c b a abc （
,,2,3t c t b t a ===令代入上式，解得t=1，故所求平面的方程为
11
23=++z
y x 例7、求三个平面与坐标平面重合，而与原点相对的顶点在平面01823=--+z y x 上的立方体的棱长.
解：所给的平面可化为截距式方程为
09
186=-++z y x ，所以截距分别为9,18,6-， 因此，立方体在这个平面上的顶点可设为),0(),,,(>-a a a a 得3=a .
所以原点与点），，（333-连线所形成的立方体的体对角线长度为27，
因此所求的立方体的棱长为3.
例8、求通过点)2,3,4(A 且在各坐标轴上截取等长线段的平面的方程.
分析：所给的条件是在各坐标轴上截取的线段的长度相等，所以求解过程中应该注意
截距有正负多种情况.
解：当平面在z y ,,x 轴上的截距都为正时 可设平面方程为 ,12
3a 4=++a
a 得9=a 所以平面方程为
09=-++z y x
当平面在y x ,轴上的截距为正，在z 轴上的截距为负时， 可设平面方程为
,12
3a 4=-+a
a 得5=a 所以平面方程为
05=--+z y x
当平面在z ,x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负时， 可设平面方程为
,12
3a 4=+-a
a 得3=a 所以平面方程为
03=-+-z y x
当平面在z y ,轴上的截距为正，在x 轴上的截距为负时， 可设平面方程为,12
3a 4=++-a
a 得1=a 所以平面方程为
01=+--z y x
6、用法式方程 ①坐标式法式方程
0cos cos cos =-++p z y x γβα， （p 为原点到该平面的距离）
例9、把平面π的方程014623=++-z y x 化为法式方程，求自原点指向平面π 的单位法矢量及其方向余弦。
解：因为14,6,2,3==-==D C B A >0.A 2
所以取法式化因子711
2
22-=++-=
C B A λ,
将已知的一般方程乘上λ= 71
-，即得法式方程： 027
6
7273=--+-z y x . 原点指向平面π的单位法矢量为→ n
0 ={ 7
67273--，，}, 它的方向余弦为
7
6
cos ,72cos ,73cos -==-=γβα.
②点法式方程
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
注i ：在该方程中若没有常数项则平面经过原点。如果缺少一个有坐标的项，则
平面与相应坐标轴平行；如果同时缺少常数项和一个有坐标的项，则平面 经过相应坐标轴。如果缺少两个有坐标的项，则平面与所缺项对应的两个 轴的坐标平面平行。若果缺少两个坐标项及常数项，则平面与其中一个坐 标平面重合。最后如果所有的坐标项都没有，而常数项异于0，则方程没 有意义。根据以上的六项注意，可以根据题目中给出的平面的特点设方程， 使问题简化或者去验证所求出的方程是否符合条件。
注ii ：在空间直角坐标系中利用点法式是确定平面方程的基本方法。所以如果确定了平 面上的一点及其法矢量，就能人能够确定平面方程，因此问题的关键在于找出平面上的一点以及平面的法矢量。在下列例题中就是根据不同的已知条件求平面方程。
已知条件一：过一直线与一平面垂直，确定方程。 （过两点与一平面垂直，确定方程。对于这种情形只要将一直两点连接起来得一直线问题就转化为上述情形。）
例10、求经过直线
3
1
2211+=-=-z y x ，且垂直于平面032=+-+z y x 。 分析：因为平面经过直线，则一定经过直线上的点（1，2，-1）。而且平面的法矢量与
直线的方向矢量垂直，又因为所求平面垂直于已知平面，所以两平面的法矢量也垂直，于是所求平面的法矢量n 可以由已知平面的法矢量1n 与已知直线的方向适量v
的叉积来确定。
解：取n =}3,7,5{1-=?v n
，所求平面方程为
0)132(7)1(5=++---z y x （）
已知条件二：过一点且垂直于二平面，确定方程。
（过一点且与而直线平行，确定方程。对于这种情形所求平面的法矢量垂直于已知二直线的方向矢量，求解过程类比上述情形。）
例11、做平面通过原点，且垂直于两平面07=-+-z y x 和051223=+-+z y x 。 分析：所求平面垂直于已知的二平面，则所求平面的法矢量一定垂直于已知二平面的法
矢量，所以所求平面的法矢量n
等于已知二平面的法矢量的叉积。
解：n =}5,15,10{21=?n n
由点法式，所求方程：
032=++z y x
已知条件三：过一直线与另一轴或者直线平行，确定方程。 （过两点与一轴或者直线平行，确定方程，同样的将该情形中已知两点连接成一条直线就变成上述情形。）
例12、求通过直线23
1221:1-=-+=-z y x L ，且平行于直线3
1221:2z y x L =-=--的平面方程。
分析：所求平面通过直线1L 所以所求平面的法矢量n
一定垂直于直线1L 的方向矢量
1v ，而且过1L 上的点（1，-2，3）
，平面的法矢量也垂直于2L 的方向矢量2v
，所以所求平面的法矢量21v v n
?= 解：n
={-5，-10，0}
由点法式得：
032=++y x
已知条件四：过一点和轴或者直线，确定方程。
（过二平行直线，确定方程，该情形很容易转化为上述情形。）
（过二相交直线，确定方程，该情形中可以取已知两直线上的的任一点为所求点，取这两条直线的方向适量的叉积为平面的法矢量。）
例13、 求通过点（1，3，-1）和直线
2
1103-=-+=-z y x 分析：所求的平面通过已知直线，所以一定通过直线上的点)0,1,3(0-M , 而且通过已知点),1,3,1(1-M ，所以所求平面的法矢量n
与10M M
垂直，n
与 直线的方向向量v
垂直。
解：n =}2,4,7{10=?v M M
由点法式得
017247=-++z y x
已知条件五：过三点，确定方程。
例14、求过三点)1,0,2(),1,1,1(),2,1,0(321M M M 的平面方程。
分析：所求平面过已知三点，则所求平面的法矢量n
一定垂直于21M M 和31M M ，
所以所求平面的法矢量n
=?21M M 31M M
.
解：}111
{---=，，n
由点法式，所求平面方程为：
03=-++z y x
空间直线与平面的方程及其位置关系
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间： 1
2 课题： 第五节 平面及其方程 教学目的及要求： 介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。 教学重点： 1.平面方程的求法 2.两平面的夹角 教学难点： 平面的几种表示及其应用 教学步骤及内容 ： 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量 },,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即 00M M ?=u u u u u u r n 代入坐标式，有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A （1） 此即平面的点法式方程。 旁批栏：
3
4 例1：求过三点1M （2，－1，4）、2M （－1，3，－2）和3M （0，2，3）的平面方程。 解：先找出这平面的法向量n ， k j i k j i n -+=----=?=9141 3 26433121M M M M 由点法式方程得平面方程为 0)4()1(9)2(14=--++-z y x 即： 015914=--+z y x 二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 旁批栏：
B020005 一、1、曲线x y R y z R 222222+=+=???在点R R R 222,,?? ???处的法平面方程为 （A ）-+-=x y z R 2 （B ）x y z R -+=32 （C ）x y z R -+=2 （D ）x y z R ++=32 答：（ ） 三、1、 若u =f (t )是(－∞,+∞)上严格单调的奇函数，Ω是球体(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2≤R 2 (R >0),若，试问a ,b ,c ,d 应满足什么条件。 2、设f x ()是以3为周期的周期函数，又设f x ()在任意有限闭区间[,]a b 内可积。试写出f x ()的傅立叶系数的计算公式。 四、1、z xy =ln()2，求z z x y ,。 2、设z ax bxy cy dx ey f =+++++22222，求 ????z x z y ,。 3、设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。 4、设曲线C 的方程为x 6+y 6=1.求曲线积分 5、求微分方程''-=y a y x 2sin 的一个特解，其中a 为非零实常数。 6、求微分方程tx x ''-'=0的通解。 7、求极限lim x y x xye xy →→-+00 416 。 8、 设Ω是由及z =1所围的有界闭区域，试计算. 五、1、设L 为在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明曲线积分 2、如果幂级数∑∞=0n n n x a 在2-=x 处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少? 试证之. 3、验证：y x y x 12==cos ,sin ωω都是微分方程''+=y y ω20的解，并写出该方程的通解。 4、求证函数系{}sin ,sin ,,sin ,x x nx 2??????是[]0,π上的正交函数系。 5、 试证对于空间任意一条简单闭曲线C ，恒有∮c (2x +y )d x +(4y +x +2z )d y +(2y －6z )d z =0. 六、1、 利用二重积分计算由直线y =x ,y =5x 及x =1所围成区域的面积。 2、在空间找一点P x y z (,,)，使它到三个平面x y z x y z y z ++=-+=-=111,,的距离平方和为最小。 3、求微分方程''+'-=y y y 230的一条积分曲线，使其在原点处与直线y x =4相切。 4、求曲线族y Cx =3的正交轨线族（即与曲线y Cx =3 互相正交的曲线族）所满足的微分方程。
题目：割平面法及其数值实现 院系：数理科学与工程学院应用数学系 专业：数学与应用数学 姓名学号：*** 1****** *** 1****** *** 1****** *** 1****** 指导教师：张世涛 日期：2015 年 6 月11 日
整数规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系，如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。所以要想掌握生活中这些解决问题的方法，研究整数规划是必然的路径。用于解决整数规划的方法主要有割平面法，分支定界法，小规模0-1规划问题的解法，指派问题和匈牙利法。本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。 割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底，直到求解出最有整数解。 关键词：最优化；整数规划；割平面法；数值实现；最优解；Matlab软件。 Abstract The integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming. Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved. Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software.
空间平面方程的求法 摘 要：空间平面是空间解析几何中最简单而又最基本的图形之一，所以确定它的方程有着重要意义。研究各种求解方程的方法，不难发现，用代数的方法能够定量地建立平面的各种形式的方程。 关键词：空间平面 平面方程 方程的求解 空间解析几何主要是研究三维空间中的平面，学习空间平面首先要明确他们的方程，我们在求解的过程中，了解方程的特点熟悉常用的确定平面的方法。在这些方法中我们重点运用代数的方法定量的研究空间最简单而又最基本的图形，即空间平面。在学习这种方法时，有时矢量代数的知识掌握运用得不好，再加上缺乏空间想象力，搞不清所求平面与已知条件，容易为求解方程带来困难。为解决这个困难我们要深入的探讨空间平面的求解方法。 如何根据已知条件写出平面方程呢？对这类问题的求解是否有规律可循？虽然在求这类问题时题目中会给出很多不同的已知条件，只要我们采用相应的解题方法，就会求出不同的关于平面方程的正确形式。求解方程没有什么普遍的万能的方法，所以必须全面掌握这部分的知识，再通过大量的练习来逐步的巩固。在此，我通过一些实例探讨求这类方程的方法。 1、 用参数方程 题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。 ①矢量式参数方程 →r =→ r 0 + t 1→r 1 +t 2→r 2 其中→r 1 ={X 1,Y 1,Z 1}, →r 2 ={X 2,Y 2,Z 2} ②坐标式参数方程?? ? ??++=++=++=22110221102 2110Z t Z t z z Y t Y t y y X t X t x x 例1、 写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v 解：所求的参数方程为?? ? ? ?v u z u y v u x -+=-=++=313322 例2、证明矢量},,{Z Y X v = 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX 证明：不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ，把这平面的方程化为参数式： ,,,v z u y v A C u A B A D x ==--- =所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0, {A C -,从而
平面空间直线及其方程 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点.(2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： +D Cz By Ax + = + 几个平面图形特点： 1）D＝0：通过原点的平面。 2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。 同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x 三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ???=+++=+++002222 1111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
§3.2 点到平面的距离，平面的法式方程 本节重点：掌握平面划分空间的判别法 掌握点到平面的距离的求法。 掌握平面的法式方程。 1. 平面划分空间 由平面方程建立中，我们看到平面方程的左边 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＝→→?P P n 0 这里→n 为平面的法向量{A,B,C}，0P 为平面上任一点，P (X,Y ,Z)为动点。若P 在已知平面上，则上式的值为 0。假设P 不在这个平面上，则上式不等于0，我们来研究它的符号。 把→n 的起点放在0P ，则它指向已知平面的某一侧。若P 点位于→n 所指的这一侧，则∠(→n ，→P P 0)小于直角，于是→n ·→P P 0＞0。若P 位于与→n 所指相反的一侧,则∠(→n ，→P P 0)大于直角，于是→n ·→P P 0＜0。由此我们得到 3.2.1 定理 对于平面 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＝0 把法向量→n {A,B,C}的起点放在它上面，则→ n 所指一侧的点坐标满足不等式 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＞0 而另一侧的点的坐标满足不等式 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＜0 系：把位于已知平面同侧的点的坐标代入方程左边，所得的值必同号；异侧的点的坐标代入方程左边，其值异号。 由此，我们知道平面把空间上点分成三部分，一部分点在平面上，它的坐标代入方程左端使 AX ＋BY ＋CZ ＋D ＞0与AX ＋BY ＋CZ ＋D ＜0。 2. 点到平面的距离，平面的法式方程 从点P 向已知平面引垂直线段PM ，(如图2-5)是点P 到平面 图2-5 的距离。再由P 点向过0P 的平面法线→n 引垂直线段PN ，则易知四边形N PMP 0为一矩形，故N P 0=PM ，由于在含→n 的轴线上→N P 0是→P P 0的射影向量 ∴ →→P P o n 0Pr =→N P 0→n =→P P 0→ n 故|→N P 0|=N P 0= ||||0→→→?n n P P 即 222| |C B A D Cz By Ax d +++++= （1）
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x
7-4 相 轨 迹 一、相轨迹的概念 设二阶系统可以用下列常微分方程描述 ),(x x f x = 或 ),(x x f dt x d = 式中),(x x f 一般是x 和x 的非线性函数。该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。也可把时间t 作为参 变量，用x 与x 之间的关系曲线来表示。下面以线性二阶系统为例加以说明。 设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。即可把系统的阶跃响应 用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，x x -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。 显然，如果把方程),(x x f x =看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速 度）来表示该质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运 动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标x x -的平面称为相平面。相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的 一个运动状态，这个点就称为相点。相点随时间t 的变化在x x -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。 相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。首先把二阶常微分运动方程 ),(x x f x = 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =? 则有
空间平面方程的求法 1、 用参数方程 题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。 ①矢量式参数方程 →r =→ r 0 + t 1→r 1 +t 2→r 2 其中→r 1 ={X 1,Y 1,Z 1}, →r 2 ={X 2,Y 2,Z 2} ②坐标式参数方程?? ? ??++=++=++=22110221102 2110Z t Z t z z Y t Y t y y X t X t x x 例1、 写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v 解：所求的参数方程为?? ? ? ?v u z u y v u x -+=-=++=313322 例2、证明矢量},,{Z Y X v = 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX 证明：不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ，把这平面的方程化为参数式： ,,,v z u y v A C u A B A D x ==--- =所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0, {A C -,从而知},,{Z Y X v = 与已知平面共面的充要条件为v 与}0,1,{A B - ，}1,0, {A C -共面，或 01 001 =--A C A B Z Y X ,即0=++CZ BY AX . 如果在直角坐标系下，那么由于平面的法矢量为},,{C B A n = ,所以v 平行于平面的充要条件为0=?v n ，即0=++CZ BY AX . 2、 用点位式方程 题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。 2 22 1110 00Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0
平面方程拟合计算 平面方程的一般表达式为： 0=+++D Cz By Ax , (0≠C ) C D y C B x C A z --- = 记：C D a C B a C A a -=-=-=210,, 则：210a y a x a z ++= 平面方程拟合: 对于一系列的n 个点)3(≥n ： 1,,1,0),,,(-=n i z y x i i i 要用点1,,1,0),,,(-=n i z y x i i i 拟合计算上述平面方程，则使： ()∑-=-++=1 02 210n i z a y a x a S 最小。 要使得S 最小，应满足： 2,1,0,0==??k a S k 即：?????=-++=-++=-++∑ ∑∑0)(20)(20)(2210210210i i i i i i i i i i i z a y a x a y z a y a x a x z a y a x a 有，?????=++=++=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i i i i z n a y a x a z y y a y a y x a z x x a y x a x a 21022102120 或，????? ??=????? ??∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i i i i z z y z x a a a n y x y y y x x y x x 21022 解上述线形方程组，得：210,,a a a 即：210a y a x a z ++=
下面程序实际求得的是以下的参数： 01=+++Z D C Y D B X D A 即:AX+BY+CZ+1=0 其程序代码如下： #include "stdafx.h" #include
巧求平面法向量 在空间直角坐标系中，平面的一般方程是0d cz by ax =+++（其中系数a,b,c 不同时为零），则向量 )c ,b ,a (n =→ 为平面0d cz by ax =+++的法向量。根据这一原理，我们可以按下列方法求平面的法向量。 定理1：若平面α不经过原点．．．．． ,，取平面α内不共线的三点A 、B 、C ，将其分别坐标代入关于z y x ,,的方程1cz by ax =++（等号右边的1也可以是其它任意非零常数），求出系数a,b,c 的一组值，则向量 )c ,b ,a (n =→ 为平面α的法向量 定理2：若平面α经过原点．．．． ,取平面α内与原点不共线的两点A 、B ，将其坐标代入关于z y x ,,的方程0cz by ax =++，求出系数a,b,c 的一组值，则向量)c ,b ,a (n =→ 为平面α的法向量。 例1：已知如图正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长AA 1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC 1，平面A 1BC 1，平面ABC 1D 1的法向量。 解（1）因为平面BDC 1过原点D,将点B(1,1,0),C 1(0，1，2)代入0cz by ax =++得：0 20a b b c +=?? +=? 所以 2a b b c =-?? =-?。不妨设c=1,可得b=－2, a=2。所以)1,2,2(n -=→是平面BDC 1的法向量 （2）因为平面A 1BC 1不过原点D,将点A 1(1,0,2),B （1，1，0）C 1(0，1，2)代入1cz by ax =++得： 21121a c a b b c +=??+=??+=?所以121214a b c ? =?? ? =? ? ? =?? 所以)4 1 ,21, 21(n =→ 为平面BDC 1的法向量 (3) 因为平面ABC 1D 1不过原点D,将A 1(1,0,2),B （1，1，0 C 1(0，0，2)代入1代入2ax by cz ++=得 22022221a c a a b b c c +==???? +==????==?? 即所以(0,2,1)n →=是平面ABC 1D 1的法向量。
平面的法线式方程 x y on 为原点至平面的垂线，也即是平面的法向量。(,,)p x y z 为平面上任意一点，0p 为平面上一固定点，0on pp ⊥。 由此推出：00()0on pp on op op =-= ， （1） 即00on op on op -= ， （2） 设0(cos ,cos ,cos )on αβγ= 为单位法向量， 故0000on op on op -= （3） 其中000on op d =≥ ，d 为原点到平面的距离。 由于0(cos ,cos ,cos )on αβγ= ，(,,)op x y z = ， （3）式可写为： (,,)(cos ,cos ,cos )cos cos cos 0x y z d x y z d αβγαβγ-=++-= （4） 222cos cos cos 1αβγ++= 到此，推出了平面的法线式方程： 222,(1,0)ax by cz d a b c d ++=++=≥ （5）
注： 1）坐标形式法线式方程是平面的坐标形式一般式方程的特例，其一次项的系数是平面法向量的方向余弦，常数项-d≤0，d表示坐标原点到平面的距离. 2）当平面不通过坐标原点时，一次项所表示的(单位)法向量从坐标原点指向平面，法线式方程是唯一确定的. 3）当平面通过原点时，对应于两个法向量，就有两个法线式方程，其系数只差一个负号. 4）设给定平面的坐标形式一般式方程为 Ax By Cz D +++=， 为了将其化为法线式方程，只要将 λ=称为法化因子)乘以上述一般式方程的两边，可得法线式方程 )0 Ax By Cz D +++=，并选取λ的符号与常数项D相反的正负号.
空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.1 直线的对称式（点向式）方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v (非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1-1） 叫做直线l 的向量式参数方程，（其中t 为参数）。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ，那么 （1.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （1.1-2） （1.1-1）叫做直线l 的坐标式参数方程。 消参数t 即得 Z z z Y y y X x x 0 00-=-=- (1.1-3)
则(1.1-3)叫做直线l 的对称式方程或称直线l 准方程。 例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程。 解 取21M M v =作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为 直线l 上的任意点（如右图），那么 },,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-== 所以直线l 的向量式参数方程为： );(121r r t r r -+= （1.1-4） 坐标式参数方程为 ?? ? ??-+=-==-+=) ()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （1.1-5） 对称式方程为 1 21121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （1.1-6） 方程（1.4-4）（1.4-5）（1.4-6）都叫做直线l 的两点式方程。 1.1.1直线的方向数 ①取直线l 的方向向量为 {}γβαcos ,cos ,cos 0=v ,则直线的方程为 00v t r r +=(参数方程) 或 ?? ? ??+=+=+=γ βαcos cos cos 000t z z t y y t x x （1.1-7） 标准方程 γ βαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- （1.1-8） 由此可见参数t 的几何意义: t 为直线l 上点M 与点0M 之间的距离. ②直线的几个问题 Ⅰ.直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向. Ⅱ.直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Z 或与之成比例的一组数n m l ,, Ⅲ.直线的方向余弦γβαcos ,cos ,cos 与方向数n m l ,,之间的关系
湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲 考试科目代码：[] 考试科目名称：空间解析几何 一、试卷结构 1) 试卷成绩及考试时间 本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。 2) 答题方式：闭卷、笔试 3) 题型结构 a: 判断题，约10分。 b: 单项选择题，约10分 c: 填空题，约20分。 d: 解答题(包括证明题)，约60分。 二、考试内容与考试要求 第一章向量代数 考试内容 向量的概念向量的加减法向量的线性运算标架与坐标应用向量的线性运算解初等几何问题向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算。 考试要求 （1）透彻理解向量的有关基本概念，如单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的投影等。 （2）牢固掌握向量的各种运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）的定义及其对应的几何意义、运算规律与坐标表示，并能熟练的运用它们解决几何问题。 (3) 掌握向量积、混合积的几何意义，掌握两向量垂直、共线、三
向量共面的充要条件，并能熟练地运用它们解决几何问题。 （4）理解坐标系建立的依据以及向量的坐标与点的坐标的含义，熟练地利用向量的坐标进行运算。 （5）利用向量代数的知识解决某些初等几何问题。 第二章空间的平面与直线 考试内容 平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的位置关系、它们之间的夹角以及距离点到平面和点到直线的距离平面束。 考试要求 （1）掌握平面方程和直线方程的各种形式，能根据所给的条件建立适当的平面或直线的方程。 （2）掌握平面与平面、直线与平面、直线与直线的各种位置关系及其判断方法，并能熟练运用他们解决几何问题。 （3）掌握两异面直线的距离及两异面直线的公垂线方程；会求两平面、两直线、直线与平面的交角以及点到直线、点到平面的距离等。 （4）理解平面束的概念，能利用平面束来解决有关的问题。 第三章常见的曲面 考试内容 曲面方程和空间曲线方程的概念球面柱面锥面旋转曲面空间曲线与曲面的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程五种典型的二次曲面二次直纹曲面。 考试要求 （1）了解曲面方程和空间曲线方程的概念。 （2）掌握球面、柱面、锥面、旋转曲面的概念及方程的求法。 （3）了解空间曲线与曲面的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求投影曲线的方程。 （4）掌握五种典型的二次曲面的标准方程及其图形，能够利用二次曲面标准方程的特点，利用平行截割法等研究二次曲面的特征。 （5）了解空间曲线与空间区域的画法。
6.3 一、单选题 1、平面330x y z +--=的截距式方程为（ ）. A 3(1)0x y z +--= B 133 x z y +-= C 33x y z +-= D 13y x z +-= 答案： B 解析： 根据截距式方程的标准形式， 可将平面的一般式方程330x y z +--=，化为 133x z y +-=. 2、过三点1(0,1,0)M -, 2(1,0,1)M , 3(1,1,1)M -的平面的一般式方程为（ ）. A 32(1)0x y z -+-= B 3220x y z --+= C 3220x y z ---= D 1232 x z y --= 答案： C 解析： 方法一 直接求平面的一般方程 . 设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++= ①，将已知的三个点123,,M M M 坐标 分别代入方程①中, 即有方程组0 00B D A C D A B C D -+=??++=??+-+=? , 运用中学学过的消元法解方程组, 用D
来表示,,A B C , 可得3212 B D A D C D ??=??=-???=?? , 因此, 所求平面的一般方程为 310,22D x D y D z D -?+?+?+=方程两边同时除以2 D -化简得3220x y z ---=. 方法二 先求平面的点法式方程, 再化为一般方程 . 将三个点任意连成两个向量, 不妨作1213,,M M M M 则有1213(1,1,1),(1,2,1),M M M M ==-从1213,M M M M 的坐标可以看出这两个向量并不平行, 可以通过这两个向量 求出平面方程的法向量1213111121i j k n M M M M =?=- 11111132.211112 i j k i j k =+=-++--- 再从123,,M M M 中任取一点, 不妨就取1(0,1,0)M -, 根据点法式, 可得所求的平面方程(3)(0)2(1)1(0)0,x y z -?-+?++?-=化为平面的一般方程即3220x y z ---=. （大家还可以想想其他方法.） （做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。） 3、过点1(1,1,2)M -, 2(2,0,4)M 且平行于x 轴的平面的一般式方程为（ ）. A 240y z -+= B 124y z -= C 024 y z -= D 240y z --= 答案： A 解析： 首先，由于所求平面平行于x 轴，因此可设平面方程为0By Cz D ++= . 方法一 直接求平面的一般方程 . 将已知的两个个点12,M M 坐标分别代入平面方程0By Cz D ++=中,
§2?3 空間中的平面方程式 (甲)空間中平面方程式 (1)[回顧坐標平面上的直線]： (a)平面坐標系中，只要知道斜率m與點(x0,y0)就可以確定直線的位置，因此可以求出直線的方程式y?y0=m(x?x0) (點斜式)。 (b)考慮平面上的直線L：2x+3y+6=0，P(3,?4)為L上的任意點，我們曾定義直線L的法向量 →n=(2,3)，設R(x,y)為L上的一點，根據法向量的定義，可知→n→n=0?(x?3,y+4)?(2,3)=0?2x+3y+6=0。 (2)平面的法線與法向量： 平面的法線：若一直線L垂直於平面E，則稱此直線為平面E的法線。 平面的法向量： 若直線L為平面E的法線， 則直線L的一個方向向量就稱為平面E的一個法向量。 法向量的特性： (a)一個平面的法向量會是唯一嗎？NO！ (b)若任取平面E上的兩個相異點A、B →n。 (3)如何求平面的方程式： (a)點法式： 若平面E法向量→n=(a,b,c)且過點A(x ,y0,z0)， 則平面E的方程式為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0。[證明]： 在平面E上任取一點P其坐標為(x,y,z)→n 所以(x?x0,y?y0,z?z0)?(a,b,c)=0 ?a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0 反過來說滿足方程式a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0的解Q(x,y,z) → n?Q落在平面E上。 (b)一般式： 將方程式a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0 化簡可得ax+by+cz+d=0的方程式。我們將ax+by+cz+d=0稱為一般式。 一般式ax+by+cz+d=0的法向量為 →n=(a,b,c)
第五节 平面及其方程 教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节 让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。 教学重点：1.平面方程的求法 2.两平面的夹角 教学难点：平面的几种表示及其应用 教学内容： 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向 量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即 00M M ?=u u u u u u r n 代入坐标式，有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A （1） 此即平面的点法式方程。 例1：求过三点1M （2，－1，4）、2M （－1，3，－2）和3M （0，2，3）的平面方程。 解：先找出这平面的法向量n ， k j i k j i n -+=----=?=91413 26433121M M M M 由点法式方程得平面方程为 0)4()1(9)2(14=--++-z y x
即： 015914=--+z y x 二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-r Q n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x 三、两平面的夹角： 定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。 设平面0:11111=+++∏D z C y B x A ，0:22222=+++∏D z C y B x A },,{1111C B A n =ρ， },,{2222C B A n =ρ按照两向量夹角余弦公式有： 222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ 几个常用的结论 设平面1和平面2的法向量依次为},,{1111C B A =n 和},,{2222C B A =n