比例式、等积式的证明方法
河北廊坊三中张宝青
比例式与等积式的证明题是几何证明题中常见的题型．下面简要说明一下证明此种题型的基本思路．
一级：“三点定型”证相似，进而得到比例式或等积式．所谓“三点定型”意指要想确定三角形必需三点，而比例式或等积式中有四条线段，如果它们恰好为两个三角形的两对边，那么，可证这两个三角形相似．
例１已知：如图，P为等边三角形BC边上一点，AP的中垂线
分别交AB、AC于M、N．
求证：BP·PC=BM·CN．
分析：找到线段BP、PC、BM、CN时，ΔPBM和
ΔPCN跃然纸上，提示我们证ΔPBM与ΔPCN相似．
二级：若“三点定型”无法实施时，应考虑＂找中间比过渡或用相等线段替换＂．
例２如图，已知ΔABC中，DF∥AB，EF∥BC．
求证：AE∶BE=BD∶DC
分析：⑴AE、BE、BD、DC不在一个三角形中．
思考：要证AE∶BD=BE∶DC呢？
例３梯形ABCD中，E、F为BC的三等分点，AE的延长线交DF的延长线于H，交BD于G．
求证：EG∶AG=EH∶A H．
分析：⑴三点定型无法实施．
使我们构造的中间比成为两组相似三角形关系的桥梁．
例４已知：如图，D、E为△ABC中AB、AC边上两点，且BD＝CE．DE的延长线交BC的延长线于点F．
求证：AC·EF=AB·DF．
分析：⑴三点定型无法实施，也无中间比．
⑵四条线段中EF与DF在同一条直线上，故可考
虑过D作AC的平行线．
证明：过D作DG∥AC交BC于G．
又∵BD，
专题：比例式、等积式的常见证明方法 ◆类型一 三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明 1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AG . (1)求证：AG ＝CG ； (2)求证：AG 2＝GE ·GF . 2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F . (1)若FD ＝2FB ，求FD FC 的值； (2)若AC ＝215，BC ＝15，求S △FDC 的值． ◆类型二 利用等线段代换
3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证： AB AE ＝AC AD . ◆类型三 找中间比利用等积式代换 4．如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2＝PE ·DE . 参考答案与解析 1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F
＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，???? ?AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝ ∠DCG ，AG ＝CG . (2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG ，∴AG 2＝GE ·GF . 2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2. (2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC 中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝????BD CD 2＝14， 即S △BDC S △FDC ＝3 4 .∵S △BDC ＝3，∴S △FDC ＝4. 3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD . 4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴ CE BE ＝AE CE ，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA ＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠3，∴△AEP ∽△DEB ，∴PE BE ＝AE DE ，∴PE ·DE ＝AE ·BE ，∴CE 2＝PE ·DE .
专训2证比例式或等积式的技巧 名师点金： 证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换． 构造平行线法 1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F. 求证：AE·CF＝BF·EC. (第1题) 2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F. 求证：AB·DF＝BC·EF. (第2题)
三点定型法 3．如图，在?ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD . (第3题) 4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E. 求证：AM 2＝MD·ME.
(第4题) 构造相似三角形法 5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N. 求证：BP·CP＝BM·CN. (第5题)
等比过渡法 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE. 求证：(1)△DEF∽△BDE； (2)DG·DF＝DB·EF. (第6题) 7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP 于点G，交CE于点D. 求证：CE2＝DE·PE. (第7题)
M H F D C A 相似三角形的判定——等积式、比例式证明技巧导学单 一、 预备知识： 1、“双垂直”指：“Rt △ABC 中，∠BCA=900，CD ⊥AB 于D ”， 结论： （1）△ADC ∽△CDB ∽△ACB （2）由△ADC ∽△CDB 得CD 2 =AD ·BD （3）由△ADC ∽△ACB 得AC 2=AD ·AB （4）由△CDB ∽△ACB 得BC 2 =BD ·AB （5）由面积得AC ·BC=AB ·CD （6）勾股定理 …… 二、等积式、比例式证明的一般技巧 相关题：如图，M 是平行四边形ABCD 的对角线BD 上的一点，射线AM 交BC 于F,交DC 的延长线于点H 。求证：AM 2=M F ·MH 思路：根据基本图形寻找“中间比” （一）遇到等积式（或比例式）时，直接利用“左看、右看、上看、下看”，看是否能找到相似三角形。 1、已知：如图，△ABC 中，DA 平分∠BAC=,CD=CE 。求证：AB ·AE=AC ·AD 。 策略1：先把等积式转化为比例式；再观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形；最后找这两个三角形相似所需的条件. A E D C B
（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似。如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。 2．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB 的延长线于F。求证：。 策略2：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果. （三）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，也没有等线段代换或等比代换. 3、如图，⊿ABC中,AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB交BP延长线于F,求证：BP2=PE·PF.
解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法 ——直接法、间接法—网搜罗类型一：找线段对应的三角形，利用相似证明 1．(虹口区模拟)如图，在△ABC中，△C＝90°，AD是△CAB的平分线，BE△AE，垂足为点E，求证：BE2＝DE·AE. 证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠C＝90°，AE⊥BE，∴∠ADC＋∠CAD ＝∠BDE＋∠DBE.∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAD＝∠DBE，∴∠BAD＝∠DBE， ∴Rt△ABE∽Rt△BDE，∴BE DE＝AE BE，∴BE2＝DE·AE. 2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且△BAC＝ △BDC＝△DAE.求证：AB AC＝AE AD. 证法一：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠BDC，∠BF A＝∠CFD，∴180°－∠BAC－∠BF A＝180°－∠BDC－∠CFD， 即∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴AB AC＝AE AD. 证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝ ∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴AB AC＝AE AD.
3．如图，在△ABCD 中，AM △BC ，AN △CD ，M ，N 分别为垂足．求证：AM AB ＝MN AC . 证明：在?ABCD 中，∠B ＝∠D ，AD ＝BC ，又∵∠AMB ＝∠AND ＝90°，∴Rt △AMB ∽Rt △AND ，∴ AM AN ＝AB AD ＝AB BC .又∵AB ∥CD ，AN ⊥CD ，∴AN ⊥AB .∴∠BAM ＋∠MAN ＝∠BAM ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠MAN ，∴△AMN ∽△BAC ，∴AM AB ＝MN AC . 类型二：利用等线段代换证明 4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，△ADB ＝△ACB .求证： AB AE ＝AC AD . 证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AC ＝AE AB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD . 5．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD 于F .求证：DE 2＝BE ·CE . 证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC ，∴AE CE ＝BE AE ，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE .
证明线段比例式或等积式的方法 （一）比例的性质定理： （二）平行线中的比例线段： ①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。 ②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图 3、4）。 ③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。 （三）三角形中比例线段： ①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。 ②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。 ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。 ④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。 直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。 ⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC ⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积
的二倍（图6）。 如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA （四）圆中的比例线段： 圆幂定理： ①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。 （推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。图8） ②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。 ③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。 （五）比例线段的运算： ①借助等比或等线段代换。 ②运用比例的性质定理推导。 ③用代数或三角方法进行计算。
比例式与等积式 一、知识点分析： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 二、典例解析： 例1、如图，△ABC三内角平分线交于点D，过点D引DE⊥AO，分别交AB、AC于点D、E．求证：△BOD∽△BCO∽△OCE． 【随堂练习】 △ABC中，∠1=∠2=∠3，图中有相似三角形吗？请说明理由．
如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE），△AEF ∽△EFC吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．若ABCD为矩形呢？ 例3、如图，已知：AP2=AQ?AB，且∠ABP=∠C，试说明△QPB∽△PBC． 例4、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB． （1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
如图所示，已知Rt△ABC（AC＞BC）的斜边AB的中点D，过D作斜边的垂线交AC于E，交BC延长线于F，求证：DC2=DE·DF。 【随堂练习】 已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE． （1）求证：△ABE∽△ACD；（2）求证：BC?AD=DE?AC．
类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法 ——直接法、间接法一网搜罗 ◆类型一三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明 1．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG. (1)求证：AG＝CG； (2)求证：AG2＝GE·GF. 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. (1)若FD＝2FB，求 FD FC的值； (2)若AC＝215，BC＝15，求S△FDC的值．
◆类型二利用等线段代换 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB ＝∠ACB.求证： AB AE ＝ AC AD. ◆类型三找中间比利用等积式代换 4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE·DE.
参考答案与解析 1．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F ＝∠FCD.在△ADG与△CDG中， ?? ? ?? AD＝CD， ∠ADG＝∠CDG， DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝ ∠DCG，AG＝CG. (2)∵∠EAG＝∠DCG，∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴ AG FG＝ EG AG，∴AG 2＝GE·GF. 2．解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝∠DCB.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA.∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF.又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2. (2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△BDC∽△BCA，∴BD∶CD＝BC∶AC＝15∶215＝1∶2.在Rt△BAC中，由勾股定理可得AB＝53，∴ S△BDC S△BCA ＝ BC2 AB2＝ 1 5，∴S△BDC＝ 1 5× 1 2×215×15＝3.∵△BDF∽△DCF，∴ S△FBD S△FDC ＝???? BD CD 2 ＝ 1 4，即 S△BDC S△FDC ＝ 3 4.∵S△BDC＝3，∴S△FDC＝4. 3．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴ AB AE＝ AC AB.又∵AB＝AD，∴ AB AE＝ AC AD. 4．证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴Rt△ACE∽Rt△CBE，∴ CE BE＝ AE CE，∴CE 2＝AE·BE.又∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴ PE BE＝ AE DE，∴PE·DE＝AE·BE，∴CE 2＝PE·DE.
专训2证比例式或等积式的技巧 名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换． 构造平行线法 △1．如图，在ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·C F＝BF·E C. △2．如图，已知ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F， 求证：AB·D F＝BC·E F.
求证：＝. 三点定型法 3．如图，在ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F. DC CF AE AD △4．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E. 求证：AM2＝MD·M E.
构造相似三角形法 5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N. 求证：BP·C P＝BM·C N. 等比过渡法 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE. 求证：(1)△DEF∽△BDE； (2)DG·D F＝DB·E F.
求证：＝. 7．如图，CE是△Rt ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D. 求证：CE2＝DE·P E. 两次相似法 8．如图，在△Rt ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F. BF AB BE BC
比例式、等积式证明的常用方法 一、三点定形法 例1 如图，在Rt △ABC 中，90=∠ACB °，AB CD ⊥于D ，E 为AC 的中点，ED 的延 长线交CB 的延长线于点P ，求证：PC PB PD ?=2 例 2 如图，在ABC ?中，AC AB ⊥，D 为BC 中点，BC DE ⊥交AC 于F ，交BA 延长线于E . 求证：DF DE AD ?=2 注：三点定形法证明等积式的一般步骤： 1．先把等积式转化为比例式； 2．观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形； 3．再找这两个三角形相似所需的条件. 二、找相等的量（比、线段、等积式）替换 1、等线段替换 例１ 已知等腰ABC ?中，AC AB =，BC AD ⊥于D ，AB CG //，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ，求证：EG EF BE ?=2 1 D F A B C E 2
例2 如图，在ABC ?中，AC AB =，BC AD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，BC EG ⊥于G ，L 是AF 的中点.求证：DL EG CD ?=2 2、等比替换 例３ 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于点O ，BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ， 求证：.2OE OC OA ?= 例４ 如图，在ABC ?中，AC AB ⊥，BC AD ⊥，E 为AC 中点，ED 延长线交AB 延长线于F . 求证：DF AC AF AB ?=?
3、等积替换 例 5 如图，在ABC ?中，AD 、BF 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，交AC 延长线于H .求证：EH EG DE ?=2. 例６ 如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上取一点P ，连结AP ，AP BG ⊥垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ?=2． 注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果. 三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化 例１ 已知在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且 AD AF 41=，CF EG ⊥，垂足为G ，求证：FG CG EG ?=2. A B C H D G E F
小专题(十) 等积式与比例式的证明 方法1 三点定型法 要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形． 1．已知：如图，∠ABC ＝∠ADE.求证：AB ·AE ＝AC ·AD. 2．(滨州中考)如图，△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，BD 平分∠ABC 交AC 于D.求证：AB ·BC ＝AC ·BD. 方法2 等线段代换法 从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形． 3．已知：如图，?ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，DE 交AB 于F.求证：AD ·AB ＝AF ·CE. 4．如图，在△ABC 中，点D ，E 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形，∠BAC ＝120°，求证：DE 2 ＝BD ·CE. 5．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点．求证：PB 2 ＝PE ·PF. 方法3 等比代换法(找中间比) 要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡． 6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P.求证：DP BQ ＝PE QC .
7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 为AC 的中点，ED 、CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BC AC . 8．(选做)如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 至点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，交边AC 于点G ，连接CF. (1)求证：AE AC ＝EG CG ； (2)如果CF 2 ＝FG ·FB ，求证：CG ·CE ＝BC ·DE. 方法4 等积代换法(找中间积) 常用到基本图形的结论找中间积． 9．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AE ·AB ＝AF ·AC. 10．(崇明中考)如图，△ABC 中，点D 、E 分别在BC 和AC 边上，点G 是BE 边上一点，且∠BAD ＝∠BGD ＝∠C ，连接AG ，求证：BG AB ＝AB BE . 11．如图，在△ABC 中，AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，交AC 的延长线 于H ，求证：DE 2 ＝EG ·EH.
典中点图形的相似专训4 证比例式或等积式的技巧 ?名师点金? 证比例式或等积式,若所遇问题中无平行线或相似三角形,则需构造平行线或相似三角形,得到成比例线段;若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中,可尝试证这两个三角形相似;若不在两个三角形中,可先将它们转化到两个三角形中,再证这两个三角形相似;若在两个明显不相似的三角形中,可运用中间比代换。 技巧1：构造平行线法 1.如图,在△ABC 中,D 为AB 的中点,DF 交AC 于点E,交BC 的延长线于点F 。求证:AE ·CF=BF ·EC. 2.如图,已知△ABC 的边AB 上有一点D,边BC 的延长线上有一点E,且AD=CE,DE 交AC 于点F 。 求证:AB ·DF=BC.EF 技巧2：三点定型法 3.如图,在□ABCD 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于F 。求证:AD CF AE DC
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M为BC的中点,DM⊥BC交CMA的延长线于D,交AB于E。 AM=MD·ME. 求证:2 技巧3：构造相似三角形法 5.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N。求证:BP·CP=BM·CN 技巧4：等积代换法 6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE。 求证:(1)△DEF∽△BDE； (2)DG·DF=DB·EF
7.如图,CE 是Rt △ABC 斜边上的高,在EC 的延长线上任取一点P,连结AP,作BC ⊥AP 于点C,交CE 于 点D 。求证:2CE =DE ·PE 8.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F 。求证:AB AC AE =AF 技巧5：两次相似法 9.如图,在□ABCD 中,AM ⊥BC,AN ⊥CD,垂足分别为M,N.求证: (1)△AMB ∽△AND (2) AC MN AB AM = 技巧6：等比代换法 10.如图,在Rt △ABC 中,AD 是斜边BC 上的高,∠ABC 的平分线BE 交AC 于E,交AD 于F 。 求证： BC AB BE BF = 技巧7：等线段代换法 11.如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D,点P 是AD 上一点,CF ∥AB,延长BP 交AC 于点
比例式、等积式证明的常用方法 一、三点定形法 例1如图，在Rt △ ABC 中， ACB 90 ° , CD AB 于D , E 为AC 的中点，ED 的延 长线交CB 的延长线于点P ,求证：PD 2 PB PC 例2如图，在 ABC 中，AB AC , D 为BC 中点, 注：三点定形法证明等积式的一般步骤： 1.先把等积式转化为比例式； 2 .观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形; 3 .再找这两个三角形相似所需的条件 . 二、找相等的量（比、线段、等积式）替换 1等线段替换 例1 已知等腰 ABC 中，AB AC , AD BC 于D , 于 E 、F ，求证：BE 2 EF EG 长线于E .求证：AD 2 DE DF DE BC 交AC 于F ，交BA 延 CG//AB ，BG 分别交 AD 、AC
例2如图，在ABC中，AB AC , AD BC 于D , BE AC 于E , EG BC 于G , L是AF的中点.求证：CD2EG DL 2、等比替换 例3 求证: 已知梯形ABCD中，AB/ OA2 OC OE. CD , AC、BD交于点O, BE// AD交AC的延长线于点E, S' / AC , AD 长线于F .求证：AB AF AC DF 如图，在ABC中，AB BC , E为AC中点, ED延长线交AB延
3、等积替换 例5如图，在 ABC 中，AD 、BF 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ,交BF 于G ，交AC 延长线于H .求证：DE 2 EG EH . 例6如图，已知 CE 是Rt △ ABC 斜边AB 上的高，在 EC 的延长线上取一点 P ,连结AP , BG AP 垂足为G ,交CE 于D ，求证：CE 2 PE DE ? P / / / ■- 2 注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可 以用相等的比、 等积式来替换相应的量， 明又一村”的效果. 三、把求证等积式、比例式转化为求证垂直、求证角、线段相等，使证明简化 1 例1 已知在正方形 ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且 AF - AD 4 相等的线段、相等的 把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花
M H F D C B A 相似三角形的判定——等积式、比例式证明技巧导学单 一、预备知识: １、“双垂直”指:“Ｒt△ABC中,∠BCA=900，CD⊥AＢ于D”， 结论: (1)△AＤC∽△ＣDＢ∽△AＣB （２)由△ADC∽△ＣDＢ得CD2=AD·BD （3)由△ＡDC∽△ＡCＢ得AC2=AD·ＡB (4)由△CDB∽△ACB得BC２=BD·AB （5）由面积得ＡＣ·BC=ＡＢ·CD （６)勾股定理…… 二、等积式、比例式证明的一般技巧 相关题：如图，M是平行四边形ABCＤ的对角线ＢD上的一点，射线AM 交BC于F,交DC的延长线于点H。求证：AM２=MＦ·MH 思路:根据基本图形寻找“中间比” (一)遇到等积式(或比例式)时,直接利用“左看、右看、上看、下看”,看是否能找到相似三角形。 1、已知:如图,△ABＣ中,DA平分∠BＡＣ＝,CD=CE。求证：ＡB·AＥ＝AＣ·AＤ。 策略1:先把等积式转化为比例式;再观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形;最后找这两个三角形相似所需的条件. (二)若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似。如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。 2.如图,已知:在△ＡBC中，∠BAＣ＝９00，ＡＤ⊥ＢＣ,E是AＣ的中点,ED交AB的延长线于Ｆ。求证: 。 A E D C B
F 策略2：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似,可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路,柳暗花明又一村”的效果． （三)若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，也没有等线段代换或等比代换. 3、如图,⊿ＡBC 中,AB ＝ＡC ，ＡD 是中线，P 是AD 上一点,过Ｃ作ＣF ∥AB 交ＢＰ延长线于F,求证:ＢP 2=ＰＥ·PF. 若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角不相似，也没有等线段代换或等比代换.则需要添加适当的辅助
相似三角形的判定 分知识打下良好基础。 我们本讲重点研究两个问题： 一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。 一、等积式、比例式的证明: 困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 （一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。 字母，就可找岀相似三角形。 /F 就可证明两个三角形相似。 证明略（请同学们证明）提示：D 为直角三角形斜边 AB 的中点，所以AD=DC,则/ DCE 2 A. （二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或 等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。 相似三角形的知识与圆有着密切的联系, 所以我们一定要把这部分知识学好， 为学习圆这部 等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。 因为这种问题变化很多，同学们常常感到 等积式可根据比例的基本性质改写成比例式, 在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的 因为/ CDE 是公共角，只需证明/ DCE= 例 求证: 分 △ EDC 这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。
例2.如图，已知△ ABC中，AB=AC AD是BC边上的中线, 于E点。 求证：B P=PE- PF。 分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形, 他方法，因为AB=AC D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连 结PC,由线段垂直平分线的性质知PB=PC只需证明^ PEC^A PCF,问题就能解决了。 证明：连结PC 在^ ABC中，??? AB=AC D 为BC中点, ??? AD垂直平分BC, ??? PB=PC ???/ 1 = / 2, ??? AB=AC ???/ ABC=/ ACB ???/ ABC-/ 1 = / ACB-/ 2, ???/ 3=/ 4, ?/ CF/ AB,.../ 3= / F, ?/ 4=/ F, 又???/ EPC=/CPE ?△PCE^A PFC CF// BA, BF 交AD于P 点，交AC 所以必须考虑等线段代换等其
圆中常考问题——————证明及运用等积式和比例式1．（2004?广州）如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E． 求证：（1）AD=AE；（2）AB?AE=AC?DB． 2．（2002?南通）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE ⊥AC，E为垂足． （1）求证：∠ADE=∠B； （2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD?DA=FO?DE． 3．（2009?攀枝花模拟）已知：如图，在⊙O中，AB是直径，CD⊥AB于M，交⊙O于E，连接CB交⊙O于F，求证：EF?DF＝BF?CF．
4．（2001?天津）如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB=CE． 求证：（1）BE∥DG； （2）CB2﹣CF2=BF?FE． 5．（2012?南充自主招生）已知：AB是⊙O的直径，C是AB上一点，PC⊥AB，交⊙O于F，PDE是割线，交⊙O于D、E．求证：PC2=PD?PE+AC?CB． 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2＝CD?2OE； （3）若cos∠BAD＝，BE＝6，求OE的长．
7．如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG （1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：2OB2＝BC?BF； （3）如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F． （1）求证：BD＝CD； （2）求证：DC2＝CE?AC； （3）当AC＝5，BC＝6时，求DF的长．
第27章相似专项训练 专训1证比例式或等积式的技巧 名师点金： 证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三 角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换. 构造平行线法 1 ?如图，在△ ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E,交BC的延长线于点F， 求证：AE- CF= BF- EC. 2?如图，已知△ ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD =CE DE交AC于点F， 试证明：AB- DF= BC- EF. 点找三角形相似法 DC_C^ AE_AD 4.如图，在△ ABC中，/ BAC90°, M为BC的中点，DMLBC交CA的延长 线于D,交AB于E. 求证：AM= MD ME. 3.如图，在？ABCD中E是AB延长线上的一点, DE交BC于F.
构造相似三角形法 5?如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB, AC于点M N. 求证：BP- CP= BM- CN. 等比过渡法 6 .如图,在厶ABC中,AB= AC, DE// BC,点F在边AC上, DF与BE相交于点G,且/ EDF=Z ABE. 求证：(1) △ DEF^A BDE (2)DG - DF= DB- EF. 7.如图，CE是Rt△ ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BGLAP于点G 交CE于点D. 求证：CE= DE- PE. （第7题） 两次相似法 8.如图，在Rt△ ABC中，AD是斜边BC上的高，/ ABC的平分线BE交AC （第5 （第6 B
专题：相似三角形的判定 相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。 我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。 一、等积式、比例式的证明： 等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 （一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。 等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。 例1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D， 交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。 分析：我们将此等积式变形改写成比例式得：，由等式左边得到 △CDF，由等式右边得到△EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为∠CDE是公共角，只需证明∠DCE=∠F就可证明两个三角形相似。 证明略（请同学们证明）提示:D为直角三角形斜边AB的中点,所以AD=DC, 则∠DCE=∠A. （二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。 例2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。 求证：BP2=PE·PF。 分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了。 证明：
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧 证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。下面以一些例题来说明解答策略及规律。 一三点定形法 利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能
否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1：如图1，abcd是⊙o的内接四边形，过c作db的平行线，交ab的延长线于e。求证be·ad＝bc·cd。 分析：要证be·ad＝bc·cd，即＝。 横定：这个比例式的前项中的线段be、cd共有四个不 同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比 中的线段be、bc它们有三个不同的端点，可以确定一个 △bec，另一个比中的线段cd、ad的三个不同的端点 也可以确定一个△acd，于是只要证明△bec∽△dca，这样，证明所需添加的辅助线ac也就显示在眼前了。解决△bec∽△dca，这个过程成了整个问题的关键。 证明：连接ac。∵ce∥db，∴∠bce＝∠dbc。 ∵∠dbc＝∠dac，∴∠bce＝∠dac。 ∵∠cbe＝∠adc，∴△bec∽△dca。 ∴＝，即be·ad＝bc·cd。 例2：如图2，设点d、e分别为△abc的外接圆、的中点，弦de交ab于点f，交ac于点g。求证：af·ag＝df·eg。 分析：要证af·ag＝df·eg，即＝。 横定：这个比例式的前项中的线段af、df它们有三个不同的端点，可以确定一个△adf；竖定：这个比例式的后项中的线段eg、
相似三角形比例式的证明攻略 例 △ABC 中，作直线DN 平行于中线AM ，设这条直线交边AB 于点D ，交边CA 的延长线于点E ， 交边BC 于点N ，求证：AB AD = AC AE E 解题过程： A 一． 作图： 二． 分析： D 1．平时做题不能简单地做出来了事，而应该多思 考多分析。把此类题型的思路和方法再想一遍。 B C 比例式的证明方法和步骤有口诀可依：“一现二找三代四辅” N M ⑴．“一现”：现成的等积式分两种： ①．直接用等积式来证明。 ②把等积式转变成比例式。 ⑵．“找”： ①．利用“三点定位法”找三角形相似。 ②．利用平行线分线段成比例。 ⑶．“三代”：（分四种）①等量代换，②等比代换，③等积代换，④综合性代换。 ⑷．“四辅”：利用辅助线，构造出“一现二找三代”，其中辅助线以平行线居多。 2．本题是比例式，其中口诀“一现”不是，用“二找”：需证明△ADE ∽△ABC ，而两个三角形一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，很明显不相似。那只有用“三代”，如何代换是许多同学都感到很棘手。 我们来反思： ⑴．本题有中点，那么可能有等量代换或中位线可以讨论。 ⑵．本题有平行线，那么可能有平行线的性质，有三角形相似或平行线分线段成比例问题。 ⑶．本题证明比例式，那么很有可能是考查相似和平行线分线段成比例。 3．打草稿：（基础好的可以打腹稿，一般的同学应写在草稿上） AC AE AB AD ?→?? || || 只需证BM=MC ，而这是已知，此题得证。 MC MN BM MN ?→?? ND//AM 归纳总结是解题后的反思和探究的必然结果。是从个别到一般总结规律的过程。 归纳总结就是通过对一些个别的经验事实和感性材料进行概括和总结，从中抽象出一般性结论、原理、公式或原则的一种逻辑思维和推理方法，从一些个别性的前提推出一般性结论。 在等比代换中，如何快速罗列比例式，然后从中代换？本题的线段少，容易想到。如果线段多了呢？证明比例式有口诀，那么找比例式有没有什么特殊的方法？经过反思和探究，找比例式有如下图形作为比例式的基本图形： 1．A 型（或者叫重三角型）：条件DE//BC 。（图2） ⑴．DE//BC ?△ADE ∽△ABC ?BC DE AC AE AB AD ===大三角形小三角形 ⑵．平行线分线段成比例（口诀）： EC AE DB AD ===下上下上；AE DE AD DB ===上下上下；