立体几何(文科)小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

立体几何（文科）小题大做

一、单选题

1．（2021·上海青浦·一模）下列条件中，能够确定一个平面的是（）

A．两个点B．三个点

C．一条直线和一个点D．两条相交直线

【答案】D

【分析】

两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；若点在直线上，则一条直线和一个点不能确定一个平面，可判断C；两条直线能确定一个平面，可判断D.

【详解】

解：对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面；

对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，故B不能；

对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故C不能；

对于D，两条相交直线能确定一个平面，故D能.

故选：D.

2．（广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】

利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．

【详解】

对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行：

对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：

对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：

对于选项D ，由于AB ∥CD ∥NQ ，结合线面平行判定定理可知AB ∥平面MNQ ：

故选：A ．

3．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，

M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）

A ．直线1A D 与直线1D

B 垂直，直线//MN 平面ABCD

B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B

C ．直线1A

D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD

D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B

【答案】A

【分析】

由正方体间的垂直、平行关系，可证1//,MN AB A D ⊥平面1ABD ，即可得出结论.

【详解】

连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，

M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，

又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，

MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，

所以//MN 平面ABCD .

因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD

则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；

在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，

AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，

1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，

1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，

且直线11,A D D B 是异面直线，

所以选项C 错误，选项A 正确.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为

A ．22

B ．32

C ．52

D ．72

【答案】C

【分析】

利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.

【详解】

在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，

则55tan 22

BE a EAB AB a ∠===.故选C.

【点睛】

求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

5．（2020年天津市高考数学试卷）若棱长为23该球的表面积为（ ）

A ．12π

B ．24π

C ．36π

D ．144π 【答案】C

【分析】

求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.

【详解】

这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

即()()()222

23232332R ++==，

所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.

故选：C.

【点睛】

本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.

6．（2021·四川成都·一模（理））在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）

A ．2π

B ．22π

C ．32π

D ．42π

【答案】D

【分析】

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式可得．

【详解】

解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长2L =，圆锥底面半径2R =，

22242S ππ∴=⨯⨯⨯= 故选：D ．

7．（2021·辽宁·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，顶角为

23

π的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）

A ．36m π

B ．333m π

C ．393m π

D ．312m π

【答案】B

【分析】 根据给定条件求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式计算即可得解.

【详解】 依题意，该圆形攒尖的底面圆半径3r =，高tan 36h r π==，则21333V r h ππ==(3m )， 所以该屋顶的体积约为333m π. 故选：B

8．（2021·全国全国·模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 是底面圆的直径，点C 在底面圆上且60ABC ∠=︒，点M 为劣弧AC 的中点，过直线AC 作平面α，使得直线SB ∥平面α，设平面α与SM 交于点N ，则SN SM

的值为（ ）

A ．13

B ．23

C ．12

D ．34

【答案】B

【分析】

连接BM 交AC 于点D ，连接ND ，根据线面平行的性质定理知//ND SB ，再根据平行线分线段成比例定理得到SN BD SM BM

=，然后根据圆的性质得到DAB DCM △△∽，进而得21

BD AB DM MC ==，即可求出SN SM 的值. 【详解】

解：如图，连接BM 交AC 于点D ，连接ND ，则平面SBM ⋂平面ND α=，又//SB 平面α，所以//ND SB ，所以SN BD SM BM

=.因为AB 是底面圆的直径，60ABC ∠=︒，点M 为劣弧AC 的中点，连接MC ，所以30ABM MBC BAC BMC ∠=∠=∠=∠=︒，所以

12MC BC AB ==，易得DAB DCM △△∽，所以21BD AB DM MC ==，则23

BD SN BM SM ==.

故选：B.

9．（2021年天津高考数学试题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为

323

π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）

A ．3π

B ．4π

C ．9π

D ．12π 【答案】B

【分析】

作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】

如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，

设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，

设球的半径为R ，则343233

R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==， 所以，1BD =，3AD =，

CD AB ⊥，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠=，所以，CAD BCD ∠=∠，

又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，

所以，AD CD CD BD

=，3CD AD BD ∴=⋅ 因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433

CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=. 故选：B.

10．（2021·陕西临渭·一模（理））已知,a b 是两条异面直线，直线c 与,a b 都垂直，则下列说法正确的是（ ）

A ．若c ⊂平面α，则a α⊥

B ．若c ⊥平面α，则//,//a b αα

C ．存在平面α，使得,,//c a b ααα⊥⊂

D ．存在平面α，使得,,c a b ααα⊥⊥//

【答案】C

【分析】

在A 中，a 与α相交、平行或a ⊂α；在B 中，a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内；在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c ⊥α，a ⊂α，b ∥α；在D 中，a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾．

【详解】

由a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，知：

在A 中，若c ⊂平面α，则a 与α相交、平行或a ⊂α，故A 错误；

在B 中，若c ⊥平面α，则a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内，故B 错误； 在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c ⊥α，a ⊂α，b ∥α，故C 正确； 在D 中，若存在平面α，使得c ∥α，a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾，故D 错误．

故选：C

11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A ．2π

B ．12π

C ．82π

D ．10π 【答案】B

【详解】

分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为22 2的圆，且高为2

所以其表面积为22(2)222212S πππ=+⋅⋅=，故选B.

点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.

12．（2021·云南昆明·模拟预测（理））已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若存在点O 到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于d ，则d =（ ）

A ．512-

B ．312-

C ．32

2- D ．622

- 【答案】A

【分析】

作出四棱锥，根据题意sin OE O F SE SO α'=

='

，解方程即可求解. 【详解】

由题意可得2211sin 521OE SE α===+，

且sin 25O F d SO d α'=

='-， 解得51d -=

. 故选：A

二、填空题

13．（2019年北京市高考数学试卷（文科））已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.

11

【分析】

将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.

【详解】

将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；

（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；

（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.

【点睛】

本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.

14．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.

【答案】39π

【分析】

利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.

【详解】

∵216303

V h ππ=⋅= ∴52

h = ∴2

222513622l h r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭

∴136392

S rl πππ==⨯⨯

=侧. 故答案为：39π.

15．（2019年江苏省高考数学试卷）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.

试卷第12页，共14页

【答案】10.

【分析】

由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.

【详解】

因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，

所以1120AB BC CC ⋅⋅=，

因为E 为1CC 的中点， 所以112

CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，

所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，

所以三棱锥E BCD -的体积

1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212

AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】

本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.

16．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

13

【答案】③④（答案不唯一）

【分析】

由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【详解】

选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC BB ===，

,E F 分别为棱11,B C BC 的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E ADF -.

故答案为：③④.

【点睛】

三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.

试卷第14页，共14页

15

【高考数学大题精做】专题05 立体几何中最值问题(第三篇)(解析版)

【高考数学大题精做】 第三篇 立体几何 专题05 立体几何中最值问题 【典例1】【河南省非凡吉创联盟2020届调研】 如图，AB 是圆柱的直径，PA 是圆柱的母线，3AB =，PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点. （1）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （2）若1AC =，D 是线段PB 上靠近点P 的三等分点，点E 是线段PA 上的动点，求CE ED +的最小值. 【思路引导】 （1）三棱锥的高为定值，要根据三棱锥体积公式1 3 V Sh = 可知，要使得体积最大，就要底面积最大，又因为边AB 为定值，故当C 到AB 的距离取得最大值时，底面积最大，故此时棱锥的体积最大； （2）反向延长AB 至C '，使得,,C D E '三点共线，三点共线时，距离最短，则C D '为CE ED +最小值. 【详解】 （1）三棱锥P ABC -高h =，3AB =，点C 到AB 的最大值为底面圆的半径 32 ， 则三棱锥P ABC -体积的最大值等于1133322???= . （2）将PAC ?绕着PA 旋转到PAC '使其共面，且C '在AB 的反向延长线上，连接C D '，C D '与PA 的交点为E ，此时CE ED +最小，为C D '；

由3AB =，PA =且易知PA AB ⊥，由勾股定理知6PB =，因为1 2 AB PB =，所以30APB ∠=o ，则60DBC ∠='o ，2 43 BD PB = =； 134C B C A AB '+=+'==，则BDC '?是边长为4的等边三角形，故4C D '=，所以CE ED +的最小值等 于4. 【典例2】【江西省新余市第四中学2020届月考】 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD = 2 π ，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE =x ，G 是BC 的中点．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． （1）若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ，求()f x 的最大值； （2）当 ()f x 取得最大值时，求二面角D -BF -C 的余弦值． 【思路引导】 （1）由AEFD ⊥平面EBCF ，////EF BC AD ，可得AE EF ⊥，进而由面面垂直的性质定理得到AE ⊥平面EBCF ，进而建立空间坐标系E xyz -，可得()D BCF A BFC f x V V --==的解析式，根据二次函数的性质， 易求出()f x 有最大值；（2）根据（1）的结论平面BCF 的一个法向量为()20,0,1n =u u v ，利用向量垂直数量 积为零列方程组求出平面BDF 的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角D BF C --的余弦值.

2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之立体几何(文)(Word版,含解析)

（8）立体几何（文）——2021年高考数学真题模拟试题专项汇 编 1.【2021年新高考Ⅰ卷，3】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A.2 B.22 C.4 D.42 2.【2021年新高考Ⅱ卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O ，半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α.该卫星信号覆盖的地球表面面积22π(1cos )S r α=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为( ) A.26% B.34% C.42% D.50% 3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( ) 33 + B. 12 13 +3 4.【2021年浙江卷，4】某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是( )

A. 32 B.3 C. 32 2 D.32 5.【2021年新高考Ⅱ卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( ) A.562 3 B.562 C.282 D. 282 3 6.【2021年浙江卷，6】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，,M N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( ) A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCD B.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度.其中小雨（10

2020届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第八章 立体几何 课时跟踪训练43 Word版含解析.doc

课时跟踪训练(四十三) [基础巩固] 一、选择题 1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线 [解析]当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A. [答案] A 2．(2017·湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是() A．异面B．平行 C．相交D．以上均有可能 [解析]在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC

交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. [答案] B 3．(2016·吉林长春二中模拟)在空间中，设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是() A．若m∥n，则α∥β B．若m，n异面，则α∥β C．若m，n相交，则α，β相交 D．若m⊥n，则α⊥β [解析]若m∥n，则α与β平行或相交，故A错误；若m，n 异面，则α，β平行或相交，故B错误；若m，n相交，则α，β一定有公共点，即相交，故C正确；若m⊥n，则α与β可以平行、相交，故D错误． [答案] C 4．设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是() A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α [解析]对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．[答案] D

2021-2022年高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题13 立体几何综合练习 文(含解析

2021年高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题13 立体几 何综合练习文（含解析） 一、选择题 1．(xx·东北三校二模)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( ) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m [答案] B [解析] 当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A的条件，故A错误；对于C，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α内作直线m与l1相交，满足C的条件，但l与m不平行，故C错误；对于D，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l、m，满足D的条件，故D错误；对于B，由线面垂直的性质定理知B正确．2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( ) A．0个B．1个 C．2个D．3个 [答案] C [解析] 若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命

题为真命题；若α、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题，故选C. 3．(xx·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.1 3＋2π B. 13π 6 C.7π 3 D. 5π 2 [答案] B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2；半圆锥的底面半径为1，高也为1，故其体积为π×12×2＋16×π×12 ×1 ＝13π6 ；故选B. 4.如图，在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论不成立的是( ) A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDF ⊥平面PAE D ．平面PD E ⊥平面ABC [答案] D [解析] ∵D 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴BC ∥DF ， ∵BC ⊄平面PDF ，∴BC ∥平面PDF ，故A 正确；在正四面体中，∵E 为BC 中点，易

立体几何(文科)小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

立体几何（文科）小题大做 一、单选题 1．（2021·上海青浦·一模）下列条件中，能够确定一个平面的是（） A．两个点B．三个点 C．一条直线和一个点D．两条相交直线 【答案】D 【分析】 两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；若点在直线上，则一条直线和一个点不能确定一个平面，可判断C；两条直线能确定一个平面，可判断D. 【详解】 解：对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面； 对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，故B不能； 对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故C不能； 对于D，两条相交直线能确定一个平面，故D能. 故选：D. 2．（广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．

C．D． 【答案】A 【分析】 利用线面平行判定定理逐项判断可得答案． 【详解】 对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行： 对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ： 对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：

对于选项D ，由于AB ∥CD ∥NQ ，结合线面平行判定定理可知AB ∥平面MNQ ： 故选：A ． 3．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -， M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ） A ．直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 【答案】A 【分析】

2020高考文科数学复习-立体几何含答案

正视图 侧视图 C ． 2 π D ． π 一、选择题 20 1、某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附 80 属两 部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工 件滑出台面而设置 80 俯视图 80 的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图 中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合 板厚度忽略不计）（ ） A. 40000cm 2 B 40800cm 2 C. 1600(22 + 17) cm 2 D. 41600cm 2 2、在下列关于直线 l 、 m 与平面 α 、 β 的命题中，真命题是（ ） （A ）若 l ⊂ β ，且 α ⊥ β ，则 l ⊥ α （B ）若 l ⊥ β ，且 α // β ，则 l ⊥ α （C ）若 α I β = m ，且 l ⊥ m ，则 l // α （D ）若 l ⊥ β ， α ⊥ β ，则 l // α 3、一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是 边长为 1 的正三角形，那么这个几何体的侧面积为（ ） 且 A ． 1 π B ． 2 2 π 2 4 4 4、下列四个几何体中，每个几何体的三视图 有且仅有两个视图相同的是（ ）． ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

A．①②B．①③C．①④D．②④ 5、已知α,β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m⊥α,m⊂β，则α⊥β； ②若m⊂α,n⊂α,m//β，n//β,则α//β； ③如果m⊂α,n⊄α,m、n是异面直线，那么n与α相交； ④若α⋂β=m,n//m，且n⊄α,n⊄β，则n//α且n//β. 其中正确的命题是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 二、填空题 6、如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如 果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三 角形，俯视图对应 的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为． 7、表面积为16π的球的内接正方体的体积为． 8、一个平面四边形的斜二测化法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平 面四边形的面积为.

2020高考人教版数学(文)总复习练习：第七章 立体几何 课时作业41 Word版含解析

课时作业41 空间点、直线、平面之间的位置关系 1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(D) 解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面． 2．(2019·烟台质检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(C) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c 解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．3．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(A) ①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线； ②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线； ③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β； ④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.

A．②B．②③ C．①③D．②④ 解析：对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误； 对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确； 对于③，还有可能n∥β或n与β相交或n在β内，③错误； 对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC．而m与n所成的角为60°，故④错误． 4．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(D) A．1条B．2条 C．3条D．4条 解析：如图，连接体对角线AC1， 显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2. 联想正方体的其他体对角线， 如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，

专题12 文科立体几何高考真题大题(全国卷)赏析(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题12：文科立体几何高考真题大题（全国卷）赏析（解析版） 题型一：求体积 1，2018年全国卷Ⅲ文数高考试题 如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【详解】 分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明． （2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可． 详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ． 证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ． MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．

点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题． 2，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷） 如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点， 且2 3 BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积． 【答案】(1)见解析. (2)1. 【解析】 分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC ∠=90，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ； (2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 详解：（1）由已知可得，BAC ∠=90° ，BA AC ⊥．

高考复习立体几何大题(文科)(含详细解析)

立体几何解答题练习（文科） 1．由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1； （Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1． 2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

3．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F． 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G为BC的中点． （1）求证：FG∥平面BED； （2）求证：平面BED⊥平面AED； （3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC； （3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？ 6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°， BC=CD=AD． （I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．

专题8.8 立体几何综合问题(精练)-2021年新高考数学一轮复习学与练(解析版)

专题8.8 立体几何综合问题 一、选择题 1.（2020·浙江高三月考）“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不必要也不充分条件 【答案】B 【解析】 设命题p：直线l与平面α内无数条直线垂直， 命题q：直线l与平面α垂直， ⇒，所以p是q的必要不充分条件. 则p q，但q p 故选：B 、是空间两个不同的平面，则“平面α上存在不共线的三点到2．（2020·上海市建平中学月考）已知αβ αβ”的（） 平面β的距离相等”是“// A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．非充分非必要条件 【答案】B 【解析】 、是空间两个不同的平面，若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等， 已知αβ αβ或相交， 可得// αβ，则平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等； 反之，若// αβ”的必要不充分条件． 所以“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“// 故选：B. 3.（2020·浙江高三月考）设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（） A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 ⊥”的充分不必要条件 B．当时，“m⊥β”是“αβ C．当时，“n//α”是“”必要不充分条件

D ．当 时，“”是“”的充分不必要条件 【答案】C 【解析】A,B,D 正确；C 错误．,////m n m n m n αα⊂⇒或与异面； ,////;m n m n n ααα⊂⇒⊂或所以当m α⊂时，//n α是//m n 的既不充分又不必要条件.故选C 3．（2020·河北新华·石家庄二中高三月考（理））如图，正方体1111ABCD A BC D -中， P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且,PA PE =则点P 的轨迹是（ ） A ．线段 B ．圆 C ．椭圆的一部分 D ．抛物线的一部分 【答案】A 【解析】 连结1AP ，可证 11A AP A EP ≌，即11A A A E =，即点E 是体对角线1AC 上的定点，直线AE 也是定直线．PA PE =，∴动点P 必定在线段AE 的中垂面α上，则中垂面α与底面ABCD 的交线就是动点P 的轨迹，所以动点P 的轨迹是线段． 故选：A 5．（2020·河南月考（理））3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为

2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)第6讲 立体几何(含详解)

第6讲 立体几何 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面上，则该球的表面积为（ ） A ．100π B ．128π C ．144π D ．192π 2．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ． 上升到1575m ．时， 2.65）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯ C ．931.410m ⨯ D ．931.610m ⨯ 3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且 3l ≤≤ ） A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2781,44⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[18,27] 4．（2022·全国·高考真题（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（ ） A ．平面1B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BD C ．平面1//B EF 平面1A AC D ．平面1//B EF 平面11AC D 5．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A ．13 B ．1 2 C D 6．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲 乙，则=V V 甲乙 （ ） A B ． C D 7．（2022·全国·高考真题（理））在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30，则（ ） A ．2AB AD = B ．AB 与平面11AB C D 所成的角为30 C ．1AC CB = D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒ 8．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面

2022年高考数学备考中等生百日捷进提升系列 专题04立体几何解答题(理)(综合提升篇)解析版

2021中等生百日综合提升篇 专题四 立体几何解答题（理） 空间向量运算与利用向量证明平行、垂直的位置关系 【背一背重点学问】 1.用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面对量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示. 2.面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线面平行，线线平行. 3.用向量证明线面垂直的方法有：①证明直线的方向向量与平行的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理，转化为线线垂直. 4.面面垂直的证明发法：①两个平面的法向量垂直；②转化为线面垂直，线线垂直. 【讲一讲提高技能】 必备技能： 1.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则1l ∥2l (或1l 与2l 重合)⇔ 1v ∥2v . ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量1v 和2v ，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数 ,x y ，使12v xv yv =+. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为1u ，2u ，则α∥β⇔1u ∥2u . 2.用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1⊥l 2⇔1v ⊥2v ⇔1v .2v ＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u ③设平面α和β的法向量分别为1u 和2u ，则α⊥β⇔1u ⊥2u ⇔1u ·2u ＝0. 典型例题： 例1如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，0 90ADC ∠=，1PD AD AB ===， 2DC =． （1）求证：BC ⊥平面PBD ； （2）求二面角A PB C --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）56 π ． 【解析】

2020高考数学(文)大一轮精讲练精练：第七章 立体几何 课下层级训练38含解析

课下层级训练(三十八) 空间点、直线、平面的位置关系 [A级基础强化训练] 1．在下列命题中，不是公理的是() A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A[选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．] 2．(2019·甘肃兰州统考)已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要条件是() A．m∥α，n∥αB．m⊥α，n⊥α C．m∥α，n⊂αD．m，n与平面α成等角 D[A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不一定在平面内，必要性不成立；D中，m，n平行，则m，n与α成的角一定相等，但反之如果两直线m，n与α成的角相等则不一定平行，所以是必要非充分条件．] 3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是() A．相交B．异面 C．平行D．垂直 A[如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．] 4．以下四个命题中， ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 B[①显然是正确的；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③中构

高考数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第八章立体几何课时跟踪训练41含解析

课时跟踪训练(四十一) [基础巩固] 一、选择题 1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是() A．8 B．20＋8 2 C．16 D．24＋8 2 [解析]由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱 柱，其侧棱为4，故其表面积S表＝2×4＋2×4＋22×4＋1 2×2×2×2 ＝20＋8 2. [答案] B 2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()

A.312 B.34 C.612 D.64 [解析] V B 1－ABC 1＝V C 1－ABB 1＝13×12×1×1×32＝3 12. [答案] A 3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 ( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛 [解析] 米堆的体积为14×13×π×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫8×42π2×5＝320 3π.将π＝3代入上式，得体积为3209立方尺．从而这堆米约有320 9×1.62 ≈22(斛)． [答案] B 4．(2017·河北唐山二模)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )

A ．24－π B ．24－3π C ．24＋π D ．24－2π [解析] 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方1 8球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3×14×π×22＋1 8×4×π×22＝24－π，故选A. [答案] A 5．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( ) A.π 2＋1 B.π2＋3

专题15 立体几何高考真题浙江卷赏析(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题15：立体几何高考真题浙江卷赏析（解析版） 题型一：三视图 1．2019年浙江省高考数学试卷 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ） A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 【答案】B 【分析】 本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】 由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为 264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ . 【点睛】 易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.

2．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷） 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是 A ． +12 π B ． +32 π C ． 3+12 π D ． 3+32 π 【答案】A 【解析】 由三视图可知几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体， ∴2 111V 1213322π⎛⎫= + ⎪⎝⎭ =12π+,故选A. 3．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷） 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A ．83cm B ．123cm C ． 32 3 3cm D ． 40 3 3cm 【答案】C 【解析】 试题分析：由三视图可知该几何体是四棱柱与同底的四棱锥的组合体,所以其体积为

立体几何(小题)专题历年高考真题模拟题汇总(解析版)

立体几何 一、考试大纲 1．空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 4．空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 二、新课标全国卷命题分析 立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、

三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——立体几何(解答题)(解析版)

立体几何（解答题） 专项汇编 1．【2021年全国高考甲卷数学（文）】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥. （1）求三棱锥F EBC -的体积； （2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥. 【答案】(1)1 3 ；(2)证明见解析. 【分析】 (1)首先求得AC 的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积； (2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论. 【详解】 (1)如图所示，连结AF ，

由题意可得：22415BF BC CF =+=+=， 由于AB ⊥BB 1，BC ⊥AB ，1 BB BC B =，故AB ⊥平面11BCC B ， 而BF ⊂平面11BCC B ，故AB BF ⊥， 从而有22453AF AB BF =+=+=， 从而229122AC AF CF = -=-=， 则222 ,AB BC AC AB BC +=∴⊥，ABC 为等腰直角三角形， 111221222BCE ABC S s ⎛⎫ = =⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ △△，11111333F EBC BCE V S CF -=⨯⨯=⨯⨯=△. (2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体1111ABCM A B C M -，如图所示，取棱,AM BC 的中点,H G ，连结11,,A H HG GB ， 正方形11BCC B 中，,G F 为中点，则1BF B G ⊥，

又111111,BF A B A B B G B ⊥=， 故BF ⊥平面11A B GH ，而DE ⊂平面11A B GH ， 从而BF ⊥DE . 【点睛】 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化. 2．【2021年全国高考乙卷数学（文）】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面 ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥． （1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ； （2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 3 ． 【分析】 （1）由PD ⊥底面ABCD 可得PD AM ⊥，又PB AM ⊥，由线面垂直的判定定理可得 AM ⊥平面PBD ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM ⊥平面PBD ； （2）由（1）可知，AM BD ⊥，由平面知识可知，~DAB ABM ，由相似比可求出AD ，再根据四棱锥P ABCD -的体积公式即可求出． 【详解】 （1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ， 所以PD AM ⊥， 又PB AM ⊥，PB PD P =，

专题04 立体几何-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文) Word版含解析

专题04 立体几何 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ． 【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.

过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ， 平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ， MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===,， 5 ,22 MF BF BM = =∴=BM EN ∴≠，故选B ． 【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3 ）是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，