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2023高考数学基础强化专题训练(二)

2023高考数学基础强化专题训练（二）

解析几何

直线与圆

1．若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线y

＝有两个交点，则实数b 的取值范围是（） A ．{b |－2 ＜b ＜2 } B ．{b |2＜b ＜2 } C ．{b |2≤b ＜2 } D ．{b |b ＝±2}

2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （－3，0）在圆C ：x 2＋y 2＋2mx －4y ＋m 2－12＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（）

A ．（3－2 ，1]∪[5，3＋2 ）

B ．[1，5]

C ．（3－2 ，3＋2 ）

D ．（－∞，3－2 ）∪（3＋2 ，＋∞）

3．（多选题）下列说法中，正确的有（） A ．直线y ＝ax ＋2a ＋3（a ∈R ）必过定点（2，3） B ．直线y ＝2x －1在y 轴上的截距为－1 C ．直线 x －y ＋2＝0的倾斜角为60°

D ．点（1，3）到直线y －2＝0的距离为1

4．（多选题）已知圆M ：（x ＋2）2＋y 2＝2，直线l ：x ＋y －2＝0，点P 在直线l 上运动，直线P A ，PB 分别于圆M 切于点A ，B ．则下列说法正确的是（） A ．四边形PAMB 的面积最小值为 B ．|P A |最短时，弦AB

C ．|P A |最短时，弦AB 直线方程为x ＋y －1＝0

D ．直线AB 过定点（，） 5. 在直线l ：2x －y ＋1＝0上一点P 到点A （－3，0），B （1，4）两点距离之和最小，则点P 的坐标为 ▲ .

6．在平面直角坐标系xOy 中，点A （－2，2），B （－1，1），若直线x ＋y －2m ＝0上存在点P 使得P A ＝ PB ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．

7.已知直线:1l ax by +=是圆2

220x y x y +--=的一条对称轴，则ab 的最大值为______．

222224x -33333332

-212

8.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为．

9.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和

2:340l x y a -+=的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为____________．

10.

11.已知直线l ：kx －y ＋2＋k ＝0(k ∈R )．

（1）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；

（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值和此时直线l 的方程．

12.已知⊙C 的圆心在直线3x －y －3＝0上，点C 在y 轴右侧且到y 轴的距离为1，⊙C 被直线l ：x －y ＋3＝0截得的弦长为2．（1）求⊙C 的方程；

（2）设点D 在⊙C 上运动，且点T 满足→DT =2→

TO ，(O 为原点)记点T 的轨迹为Γ． ①求Γ的方程；

②过点M （1，0）的直线与Γ交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

圆锥曲线

4.在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭

关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于34

．（1）求动点P 的轨迹方程，并注明x 的范围;

（2）设直线AP 与BP 分别与直线3x =交于M ，N ，问是否存在点P 使得PAB △与PMN △面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．

5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2＝

30°，(1，3

2)在椭圆E 上．

(1)求椭圆E 的方程；

(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P (－2，0)，Q (2，0)．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQ S △NPQ 的值． 6.

7.已知双曲线)0,(1:22

22>=-Γb a b

y a x ，经过双曲线Γ上的点)1,2(A 作互相垂直的直线

AN AM 、分别交双曲线Γ于N M 、两点．设线段AN AM 、的中点分别为C B 、，直线

OC OB 、O (为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.4

(1)求双曲线Γ的方程；

(2)过点A 作D MN AD (⊥为垂足），请问：是否存在定点E ，使得||DE 为定值？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.

8.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．（1）求p 的值；

（2）是否存在定点T ，使得TA →·TB →为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．

函数与导数

1.若直线4y x m =+是曲线313y x nx =-+与曲线22ln y x x =+的公切线, 则

n m -=

A. 11

B. 12

C. -8

D. -7

2.已知3151

log 2,log 10,sin 2

a b c ===, 则

A. b c a >>

B. a c b >>

C. a b c >>

D. b a c >>

【类题训练】

1.若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋1

，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．c ＜b ＜a

B ．c ＜a ＜b

C ．a ＜b ＜c

D ．b ＜c ＜a 2.

3.设1.1ln =a ，11

.0-=e

b ，1.0tan =

c ，π

.0=

d ，则

A ．d c b a <<<

B ．d b c a <<<

C ．c d b a <<<

D ．b d c a <<<

4.（多选题）已知0＜x ＜y ＜π，e y sin x ＝e x sin y ，则( )

A ．sin x ＜sin y

B ．cos x ＞－cos y

C ． sin x ＞cos y

D ．cos x ＞sin y 5.

2022高考三类“比大小”问题的出题背景及应用举例

文/刘蒋巍

第1类出题背景1

变形得：

x x

x e x e

<+<+11)0(>x

注：该不等式也可运用“移项，构造函数”的高中方法证明。

第2类出题背景2

若2

,,1a bc c b a <≠>

1)2

log ()2log ()2log log (log log 2

222=<=+<⋅a bc c b c b a a a a a a

【运用案例1】

（2022·新高考Ⅰ卷T7）设0.1

0.1e ,ln 0.99

a b c ===-，，则（） A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. a c b <<

910x x

x e x e

<+<+11)0(>x

令9

1=x ，得：91

1910e e <<，9

101

10191101e e <<即：可得：b a < 设1.01.0e a =,)1.01ln(--=c

将0.1抽象成x ，x xe a =,)1ln(x c --=，则)1ln(x xe c a x -+=-问题迎刃而解。

【运用案例2】

（南京市第一中学2023届高三上学期入学考试数学试题）已知75

8log 5a =，

378ln 5

b =

，6

log 5

c =，则,,a b c 的大小关系为（） A. b c a << B. b a c << C. a c b << D. a b c <<

7ln 5

ln =a 5

7ln 8

3=b

58由“若2

,,1a bc c b a <≠>

1)2

log ()2log ()2log log (log log 2

222=<=+<⋅a bc c b c b a a a a a a ”得：

log 58log 5757<⋅=c a 所以，c a < 故：b a c <<.

【运用案例3】

（2022·全国甲（文）T12）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）

A. 0a b >>

B. 0a b >>

C. 0b a >>

D. 0b a >>

10log 9=m

11log 10log 10log 109910101110-=-=a

由“若2

,,1a bc c b a <≠>

1)2log ()2log ()2log log (log log 2222=<=+<⋅a bc c b c b a a a a a a ”得：

19log 11log 10

log 11

log 1010910<⋅=，则10log 11log 910<，则0>a

同理，9log 10log 10

log 8998898

-=-=b

18log 10log 9

log 10

log 9989<⋅=，则0

故，0a b >>

【变式】（2019年全国高中数学联赛甘肃预赛第3题）已知e a 4log =，4log 3=b ，

5log 4=c ，则c b a 、、的大小关系是__________________

参考答案：b c a <<（提示：3log 5log 44⋅=b c ，因为2453<⨯，所以1

）

第3类出题背景3

【运用案例】

（2022·全国甲（理）T12）已知3111

,cos ,4sin 3244

a b c =

==，则（） A. c b a >> B. b a c >> C. a b c >> D. a c b >>

分析：因为

14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭

，所以11tan 44>,即1c

b >,所以

c b >；

结合“

”,令

x 即可判断：a b >

故，c b a >>

【新题训练】

3.（多选题）定义在[1,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x ', 且

()(2)()f x x x f x '<恒成立, 则必有

A. ()()7 4 4 7f f >

B. ()()3 14f f <

C. ()()9 19f f >

D. ()()5 4 3 9f f < 【类题训练】

已知f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (0)＝1，对任意的x 总有2f ′(x )－f (x )＞2，则不等式f (x )＋

2≥3e π2的解集为．

4. 已知函数()f x 满足1()()33f x f x x f x ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭

, 则11010010

()()i i f i f i ==--=∑∑_____.

5.已知函数()e 2x f x a x -=+-.

(1)讨论()f x 的单调性;

(2) 若()f x 有两个零点12,x x , 且120x x <, 证明: 122ln x x a +>

6.设.sin )(x e x f x =

(1)求)(x f 在],[ππ-上的极值；

(2)若对],0[,21π∈∀x x ，21x x =/，都有

0)()(22

2121>+--a x x x f x f 成立，求实数a 的取值范围

数列

1.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22n n n S a a =+.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）记22cos

n n n a b a π=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求3n T .

【类题训练】

基本初等函数、函数与方程专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮基本初等函数、函数与方程（原卷+答案） 1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨ ⎧ax 2－x －14，x ≤1 log a x －1，x >1 ，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12 B ．⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，1 3．若不等式x 2 －log a x <0在⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．116 ≤a <1 B ．1 16

的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的1 5 ，则信息传递速度C 大约增加了( ) (参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213% 6．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0，－x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(4，8) C ．(0，8) D ．(0，＋∞) 7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8.