《误差理论与数据处理》 第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更 接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济 条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准
值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 1-9、解： 由2122 4() h h g T π+=，得 对2122 4() h h g T π+=进行全微分，令12h h h =+，并令g V ，h V ，T V 代替dg ，dh ，dT 得 从而2g h T g h T =-V V V 的最大相对误差为： 21802000180' '=-'''o o % 000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''= ''＝o
第六章误差理论的基本知识 一、填空题 1、观测条件与精度的关系是 B 。 A.观测条件好，观测误差小，观测精度小。反之观测条件差，观测误差大，观测精度大 B.观测条件好，观测误差小，观测精度高。反之观测条件差，观测误差大，观测精度低 C.观测条件差，观测误差大，观测精度差。反之观测条件好，观测误差小，观测精度小 2、防止系统误差影响应该 C 。 A.严格检验仪器工具；对观测值进行改正；观测中削弱或抵偿系统误差影响 B.选用合格仪器工具；检验得到系统误差大小和函数关系；应用可行的预防措施等 C.严格检验并选用合格仪器工具；对观测值进行改正；以正确观测方法削弱系统误差影 响 3、系统误差具有的特点为（ C ）。 A．偶然性 B．统计性 C．累积性 D．抵偿性 4、水平角测量时视准轴不垂直于水平轴引起的误差属于（ B ）。 A．中误差 B．系统误差 C．偶然误差 D．相对误差 5、下列误差中（ A ）为偶然误差 Ａ.照准误差和估读误差 Ｂ.横轴误差和指标差 Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差 6、经纬仪对中误差属（ A ） Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差 7、尺长误差和温度误差属（ B ） Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差 8、测量的算术平均值是 B 。 A. n次测量结果之和的平均值 B. n次等精度测量结果之和的平均值 C.是观测量的真值 9、算术平均值中误差按 C 计算得到。 A. 白塞尔公式 B. 真误差△。 C. 观测值中误差除以测量次数n的开方根 10、角度测量读数时的估读误差属于（ C ）。 A．中误差 B．系统误差 C．偶然误差 D．相对误差 11、边长测量往返测差值的绝对值与边长平均值的比值称为（ D ）。 A．系统误差 B．平均中误差 C．偶然误差 D．相对误差
误差理论与数据处理总结 三、误差分类三、数据运算规则 在有效数据后多保留一位参考(安全)数字。第一章绪论 (1)近似加减运算。结果应与小数位数最少的数据小数位数按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差(也相同。称偶然误差)和粗大误差三类。第一节研究误差的意义 (2)近似乘除运算。运算以有效位最少的数据位数多取一 (一)系统误差一、研究误差的意义位，结果位数相同。在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保 1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少(3)近似平方或开方运算。按乘除运算处理。持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统误差。 (4)对数运算。 n位有效数字的数据该用n 位对数表，或误差。如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。 2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定—曲线上拐点A的横坐标—曲线右半部面积重,(n+1)位对数表。 , 系统误差又可按下列分类: ''''''''条件下得到更接近于真值的数据。 (5)三角函数。角度误差 10.10.01101、按对误差掌握的程度分心B的横坐标 3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，(1)已定系统误差:指误差的绝对值和符号已确定函数值位数 5 6 7 8 ,—右半部面积的平分线的横坐标。以便在最经济条件下，得到最理想结果。(2)未定系统误差:指误差的绝对值和符号未确定，但可的出4、研究误差可促进理论发展。(如雷莱研究:化学方法、空气误差范围。第二章误差的基本性质与处理三、算术平均值分离方法。制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。) 2、按误差出现规律分 (1)不变系统误差:(指绝对值和符号一定)相当于以定系统误第一节随机误差第二节误差基本概念 ,,,lLL1、公理:一系列等精度测量，则。—真值差。
5测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为1/7488。 10、用经纬仪对某角观测4次,由观测结果算得观测值中误差为±20″,则该角的算术平均值中误差为___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200,则该线段中误差为__9.4 mm ___。 12、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为±13.856″。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为±3mm，若1km观测了15个测站，则1km的高差观测中误差为11.6mm，1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K----是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示。 3、等精度观测----是指观测条件(仪器、人、外界条件)相同的各次观测。 4、非等精度观测---- 是指观测条件不同的各次观测。 5、权----是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性
第二部分：简答题（共30分） 一、在什么情况下适于采取多次测量结果的算数平均值方法处理测量数据？（3分） 对同一量进行多次等精度重复测量而得到的数据 二、残差与误差的区别和联系是什么？（6分） 测量的误差是表示测量结果与被测量的真实值之前的差异，而残差是指测量的结果与测量量的平均值之差，它们从本质上是不同的，但都可以从某种程度上反映被测量的测量结果的布垭确定性。 三、测量误差的数学期望和方差的意义是什么？（6分） 数学期望反映的是误差的平均特性，体现随机误差的抵偿性；方差反映误差的分散特性，方差大，不确定度大，对测量结果的影响大。 四、在实际测量中，如何减小三大误差对测量结果的影响？（8分） 三大误差包括随机误差、系统误差和粗大误差。系统误差分为确定的系统误差和不确定的系统误差，确定的系统误差可以通过修正的方法减小，而不确定的系统误差具体数值不能确切的掌握，则无法通过修正的方法来减小，可以按照统计规律来进行描述；（4分）随机误差具有一定的抵偿性，可以利用其性质取多次测量的平均值来减小误差；（2分）粗大误差在结果中不应该出现，要严格避免。粗大误差可以按照莱以特准则、格罗布斯准则等方法进行剔除。（2分） 五、按t分布确定扩展不确定度与按正态分布确定扩展不确定度有何差别与联系？（7分） 不确定度是表征误差对测量结果的影响程度的参数。当测量数据按照结果有确定的置信概率，可以按照正态分布确定扩展不确定度，当在实践中，取小子样进行实验时，由子样获得的标准差估计量获得的扩展不确定度估计量的置信概率还与该估计量的可信度有关，需要引入t，按照t分布来评定扩展不确定度。 一、合成不确定度时，在何种条件下才可以将某项分量舍弃？(3分） 在合成不确定度时，当舍弃谋一分量不确定度时，对总的不确定度的影响不大时，可以认为改分量对不确定度的合成影响很小，可以舍弃；在实际情况下，通常按照三分之一原则：即当某一不确定度分量小于合成的的总的标准不确定度的三分之一时，认为其在总的合成中，影响是微小的，可以舍弃。考虑经济方面的原因，还应以不影响合成不确定度的有效数字为限，这时可能比三分之一更小。 三、测量误差的数学期望和方差的意义是什么？（6分） 数学期望反映的是误差的平均特性，体现随机误差的抵偿性； 方差反映误差的分散特性，方差大，不确定度大，对测量结果的影响大。 四、在实际测量中，如何减小三大误差对测量结果的影响？（8分） 三大误差包括随机误差、系统误差和粗大误差。 系统误差分为确定的系统误差和不确定的系统误差，确定的系统误差可以通过修正的方法减小，而不确定的系统误差具体数值不能确切的掌握，则无法通过修正的方法来减小，可以按照统计规律来进行描述；（4分） 随机误差具有一定的抵偿性，可以利用其性质取多次测量的平均值来减小误差；（2分）
第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数 据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理 想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定。 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？ 已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm， 解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L ＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm） 测件的真实长度Ｌ 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa）
误差理论与数据处理知识总结 1、1研究误差的意义 1、1、1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 1、2误差的基本概念 1、2、1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。 1、2、2绝对误差：某量值的测得值之差。 1、2、3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。 1、2、4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。 1、2、5误差来源：1）测量装置误差2）环境误差3）方法误差4）人员误差 1、2、6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 1、2、7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1、2、8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。 1、2、9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。 1、3精度 1、3、1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。 1、3、2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。 1、4有效数字与数据运算 1、4、1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。 1、4、2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。 1、4、3数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加一2）若舍去部分的数值，小于保留部
第一章绪论 1.1研究误差的意义 1.1.1研究误差的意义为： 1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差 2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据 3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 1.2误差的基本概念 1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。 1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。 1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。 1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。 1.2.5误差来源：1）测量装置误差2）环境误差3）方法误差4）人员误差 1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。 1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。 1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。 1.3精度 1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。 1.3.2精度可分为： 1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度 2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度 3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。 1.4有效数字与数据运算 1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。 1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。 1.4.3数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整： 1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加一 2）若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变 3）若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。 1.4.4数据运算规则： 1）在近似数加减运算时，运算数据以小数位数最少的数据位数为准 2）在近似数乘除运算、平方或开方运算时，运算数据以有效位数最少的数据位数为准 3）在对数运算、三角函数运算时，数据有效位数应查表得到。 第二章误差的基本性质与处理 2.1随机误差 2.1.1随机误差的产生原因：1）测量装置方面的因素2）环境方面的因素3）人员方面的因素。 2.1.2随机误差一般具有以下几个特性：对称性，单峰性，有界性，抵偿性。 2.1.3正态分布：服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征，由于多数随机误差都服从正态分布，因
基本概念题 1．误差的定义是什么？它有什么性质？为什么测量误差不可避免？答：误差=测得值-真值。 误差的性质有： 1）误差永远不等于零； 误差具有随机性； 误差具有不确定性； 误差是未知的。 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，受人们认识能力所限，测量或实验所得数据和被测量真值之间不可避免地存在差异，因此误差是不可避免的。 2．什么叫真值？什么叫修正值？修正后能否得到真值？为什么？ 答：真值：在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。 修正值：为消除系统误差用代数法加到测量结果上的值，它等于负的误差值。 修正后一般情况下难以得到真值。因为修正值本身也有误差，修正后只能得到较测得值更为准确的结果。 3．测量误差有几种常见的表示方法？它们各用于何种场合？ 答：绝对误差、相对误差、引用误差 绝对误差——对于相同的被测量，用绝对误差评定其测量精度的高低。 相对误差——对于不同的被测俩量以及不同的物理量，采用相对误差来评定其测量精度的高 低。 引用误差——简化和实用的仪器仪表示值的相对误差（常用在多档和连续分度的仪表中）。 4．测量误差分哪几类？它们各有什么特点？答：随机误差、系统误差、粗大误差随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差。 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。误差值较大，明显歪曲测量结果。 5．准确度、精密度、精确度的涵义分别是什么？它们分别反映了什么？ 答：准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。 准确度反映测量结果中系统误差的影响程度。精密度反映测量结果中随机误差的影响程度。 精确度反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。
名词解释： 1. 测量范围：所谓测量范围只在允许误差范围内一起的被测量值的范围。 2. 滞差：在输入量由小逐渐增大再由大逐渐减小的过程中，对用一大小的输入量出现不同 大小的输出量，这种由于测量行程方向的不同，对应于同一出入量产生输出的差异统称为滞差。 3. 零值误差：指当测量为零值时，测量仪器示值相对于零的差值，也可说是测量仪器的零 位误差。 4. 示值误差：指测量仪器的示值与被测量的真值之差。 5. 齿轮空会：齿轮机构在工作状态下，输入轴方向回转时，输出轴产生的滞后量。 6. 准确度：测量仪器给出接近于真值的响应能力。 7. 等效节点：将一对共轭点A 和A ’用虚线连起来，次虚线和光轴的交点为J 0，则透镜 绕点J 0微量转动，像点不懂，称为J 0透镜的等效节点，称过点J 0作光轴的垂面为等效接平面。 8. 螺旋线误差：螺杆旋转一个螺距周期，在同一半径的圆柱截面内，加工形成的螺旋线轨 迹与理论螺旋线轨迹之差。 9. 灵敏度：即仪器对被测量变化的反应能力。S=x L 10. 阿贝原则：所谓阿贝原则，即被测尺寸与标准尺寸在测量方向的同一直线上，或者说， 被测量轴线只有在基准轴线的延长线上，才能得到精确的测量结果。 11. 螺距积累误差：在给定长度范围内，任意两牙间的距离对公称尺寸偏差的最大代数和。 12. 视差：指示器与标尺表面不在同一平面时，观察者偏离正确观测方向进行读数或瞄准时 所引起的误差。 13. 漂移：指仪器特性随时间的缓慢变化，通常表现为零位或灵敏度随时间的缓慢变化，风 别称为零点漂移和灵敏度漂移。 14. 等效节平面：将一对共轭点A 和A ’用虚线连起来，次虚线和光轴的交点为J 0，则透 镜绕点J 0微量转动，像点不懂，称为J 0透镜的等效节点，称过点J 0作光轴的垂面为等效接平面。 15. 量化误差：由于脉冲数字系统中，用脉冲或数码表示连续变化的物理量，因此介于两个脉冲或两个数码之间的值只能用与它相接近的脉冲或数码表示，这样便产生了误差。 16. 透镜偏心差：是透镜的外圆中心轴与光轴的偏离程度。图13—4。 17. 信号延迟误差：是由于中央处理器指令发出后，各级处理电路都有一定的延迟所造成的。 18. 经济公差：在通用设备上，采用最经济的加工方法所能达到的加工精度。 19. 生产公差：在通用设备上，采用特殊工艺装备，不考虑效率因素进行加工所能达到的加工精度。 20. 技术公差：在特殊设备上，在良好的实验室条件下，进行加工和检测时所能达到的加工精度。 21. 导向误差：是直线运动导轨副运动件的实际位置与理想几何位置的偏差。 22. 旋合长度：两相配合的螺纹沿螺纹线方向相互旋合部分的长度称为螺纹的旋合长度。 23. 主轴平均轴线：就是回转主轴的实际回转轴线变动范围中处于平均位置的那条回转轴线。
1)误差的定义及其表示法。 (1) 绝对误差：绝对误差=测得值-真值； (2) 相对误差：相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值； (3) 引用误差：引用误差=示值误差/测量范围上限； 2)误差的基本概念。所谓误差就是测得值与被测量的真值之间的差。 误差=测得值-真值 3)误差的来源。 (1) 测量装置误差； (2) 环境误差； (3) 方法误差； (4)人员误差； (5)被测量对象变化误差； 4)误差分类： (1) 系统误差：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。 (2) 随机误差：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。 (3) 粗大误差：指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。 5)测量的精度。 ① 准确度：表征测量结果接近真值的程度。系统误差大小的反映 ②精密度：反映测量结果的分散程度(针对重复测量而言)。表示随机误差的大小 ③ 精确度：表征测量结果与真值之间的一致程度。系统误差和随机误差的综合反映 6)有效数字 答： (1)有效数字：含有误差的任何近似数，若其绝对误差界是最末位数的半个单位，则从这个近似数左方起的第一个非零数字称为第一位有效数字。且从第一位有效数字起到最末一位数止的所有数字，无论是零还是非零的数字，都叫有效数字。 论是零还是非零的数字，都叫有效数字 1 ．若舍去部分的数值大于保留末位的 0.5，则末位加 1 ， (大于 5 进) ； 2 ．若舍去部分的数值小于保留末位的 0.5 ，则末位不变， (小于 5 舍) ； 3 ．若舍去部分的数值恰等于保留末位的 0.5，此时: ①若末位是偶数；则末位不变， ②若末位是奇数，则末位加 1 ， (等于 5 奇进偶不进) 。 1 -1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义 (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。 (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。 (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下，得到理 想的结果。 误差理论的主要内容： (1)讨论形成误差的原因； (2)各类误差的特征及处理方法； (3)对测量结果进行评定 第二章 随机误差产生的原因：测量装置，环境，人员因素。 (均属于不确定因素)
误差理论与测量平差基础 误差理论与测量平差基础 引言 在现代工程领域中，测量技术扮演了重要的角色。从航空航天、机电制造、地质探矿、土建工程到工业品质检验，无不需要借助科学的测量方法和仪器设备实现质量控制。然而，由于各种各样的误差影响测量结果，以及不同种类的测量值必须得到平差处理，所以测量技术的水平不但与测量精度直接相关，而且涉及数据处理的准确性和可靠性，这就必须依赖误差理论、测量平差等基础理论与技术。 一、误差的分类 一般地，误差指测量结果与真值之间的差值。在实际测量中会受到多种误差的影响，可以从不同的角度对误差进行分类。 1. 按照产生原因分类 ⅰ.人为误差 如主观猜度、读数信号模糊、操作错误等。 ⅱ.仪器误差 如仪器精度规定、系统灵敏度、温度、湿度、机械磨损、杂散
噪声等。 ⅲ.环境影响 如电磁辐射、磁场干扰、大气折射率、风吹雨打、光照变化等。 2.从系统设备模型分类 ⅰ.常规误差 该类误差是由于测量设备的设计或框架固定导致的。如仪器设备误差、辅助公差、环量仪误差、补偿和漂移误差等。常规误差可以在测量前后校正和补偿，通过校准手段，消除了常规误差的影响。 ⅱ.偶然误差 偶然误差，是由于测量操作或非控制因素引起的。如个人读数误差、抖动、瞬时环境修正等。因为这种误差的出现不能事先预测，也无法校准和补偿，主要采取多次测量和配对测量方法，来降低其影响。 二、测量值的平差原理 平差（Adjustment）即按照特定条件对各个测量结果进行修正，使其满足特定准则的过程。该过程可以消除任何类别的误差，不同平差方法所制定的平差原则在基本假设和方法运作上存在不同。
平差的目的是在满足精度要求的情况下，将各个测量值之间保持合适关系，或将测量值与真值接近（最小二乘法）。测量平差分为绝对平差和相对平差，其中绝对平差侧重于改正单个点的误差，而相对平差则侧重于改正一组数据测量中产生的各种误差。 1.多项式平差 多项式平差是一种对多项式函数进行拟合的方法，常用于测量数据处理的多项式平滑，通常被用于地理信息系统中的地图校正。相对平差的多项式平差模型使用的是几何平均值，因此，可以应用到任意大小的数据集上。 2.最小二乘法平差 这种方法的目的是在满足精度条件下，改正测量结果，并使得估计值与真实值最为接近。它适用于一组数据项，例如重新检查的流量、温度、电压或质量测量的样本（通过因子分析）。定性上，最小二乘法平差使用误差的协方差矩阵来定量测量值的变化，使其能够被算法所理解。 三、测量误差控制 根据误差来源、形成特点、影响程度和对测量精度的贡献程度，可以采取多种方法，共同控制和降低误差指标。 1.仪器校准与检查
第一章绪论 1、误差理论及测量平差根底是一门专业、根底、理论、核心课程。 2、测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球及其他实体的空间分布有关信息的数据。 3、任何观测数据总是包含信息和干扰两局部〔有效信息和干扰信息〕。采集数据就是为了获取有用的信息，干扰也称为误差。 4、观测数据总是不可防止带有误差。 5、误差即测量值及真值之差。 6、当对某个量进展重复观测时就会发现，这些观测值之间往往存在差异，这是由于观测值中包含有观测误差。 7、误差来源于观测条件，观测条件包括测量仪器、观测者、外界条件。 8、偶然误差即总是假定含粗差的观测值已被剔除；含系统误差的观测值已经过适当改正。在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。 9、在测量中产生误差是不可防止的。 10、根据观测误差对测量结果的影响性质，可分为偶然误差〔Δ〕、系统误差和粗差〔〕三类。 【】 11、在一样的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而然，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。〔如估读不准确〕 12、系统误差包括常差、规律差、随机性系统误差。 13、在一样的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在个过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。〔如视准轴及水准管轴不平行、仪器下沉、水准尺下沉、水准尺竖立不垂直〕 14、系统误差的存在必然影响观测结果，具有一定的累加性，是影响巨大的。 15、粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所能出现的最大误差还要大的误差。〔误差=错误，消除粗差的方法：多余观测进展发现、剔除粗差。测量数据中一旦发现粗差，需要舍弃或重测〕 16、属于经典测量平差范畴。 17、如何处理由于多余观测引起观测值之间的不符值或闭合差，求出未知量的最正确估值并评定结果的精度是测量平差的根本任务〔研究路线〕。 18、偶然误差概率统计理论包括偶然误差的分布、评定精度的指标、误差的传播规律、误差检验和误差分析等。 19、测量平差的根本定义是依据某种最优化准那么，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最正确估值及精度的理论和方法。 20、测量平差即测量数据调整的意思。 21、P10 公式2-2-5 22、方差和协方差数字特征 23、测量平差的根本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最正确估值，并评定测量成果的精度。 24、正态分布中没有一个比其他的变量占有绝对优势 25、当观测量仅含有偶然误差时，其数学期望也就是它的真值，真误差=真值—观测值=期望—观测值。 第 1 页
误差理论课程教学大纲 课程名称：误差理论 英文名称：Theory of Error 课程编号： 学时数：48 其中实验（实训）学时数：10 课外学时数：0 学分数：3.0 适用专业：测控技术与仪器 一、课程的性质和任务 《误差理论》是测控技术与仪器专业的专业基础课。理论严密,系统完整，逻辑性很强,也是工科学生的一门方法论课程。 通过本课程的学习，培养学生掌握测试与实验数据处理的基本理论与方法，正确估计被测量的值，科学客观地评价测量结果，并根据测试对象的精度要求，对测试与实验方法进行合理设计，为后续专业课程及实验环节奠定理论基础。 二、课程教学内容的基本要求、重点和难点 （1）误差理论概述 掌握测量误差的基本概念、误差的表达形式、误差分类、误差来源；掌握测量中的有效数字概念及其在数据处理中的基本方法。 重点：绝对误差与相对误差的计算方法，正确定义三大类误差及其与精度的对应关系。 难点：有效数字定义及选取。 （2）误差的基本性质与处理 掌握随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施，能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。 重点：三大类误差的数据处理方法。 难点：等精度测量和不等精度测量的数据处理方法。 （3）误差的合成与分配 掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配；了解微小误差的取舍，了解最佳测量方案的确定问题。 重点：函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。 难点：误差的合成和分配。 （4）测量不确定度 了解测量不确定度与误差的区别；掌握测量不确定度分量与误差分量评定的异同点；了解自由度的意义及确定方法，掌握应用不确定度理论及评定方法对测量结果进行处理，科学规范地写出测量不确定度报告。 重点：测量不确定度的评定与合成。 难点：测量不确定度报告。 （5）线性参数的最小二乘法处理
误差理论简史 从古人夜观天象开始，人们在长期的观测中很早就意识到测量不可避免会产生误差；而由于真值=测量值-误差，“得到”误差 就可以得到真值，这样的认识自然使得人们开始研究误差。而纵观误差理论的发展史，人们会发现误差理论的发展其实是与概率理论的发展密不可分、相互影响的。 较早期在著作中探讨误差各种性质的人是近代科学及实验科学的奠基人伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）。他在《关于托勒密和哥白尼：两大世界体系的对话》（1632）中谈到第谷（Tycho Brahe，1546 -1601）于1572年发现的一颗新星（Nova）的位置时，讨论了这个问题：“萨：……首先我问你，天文学家们用他们的仪器观测并测算诸如新星在地平线上的仰角时，是否会测算得过头一点，或测算得不够一点；这就是说，有时候把角度推算得比正确的角度高些，有时候低些？还是推算的错误总是朝一边倒，以致只要发生误差，总是过头了一点；或者总是不够，而永远不会过头？辛：毫无疑问，过与不及的两种倾向都同样地存在。”“萨：……从这种地方你可以看出，所谓仪器测算上的误差决不能从计算结果上来决定其误差的大小，而必须根据仪器实际测量出的度和分的数目来定……”虽然伽利略当时并没有明确提 出“随机”和“分布”这样的概念，但可以看出他所描述的误差的种 1/ 6
种性质，实际上正是我们现在所理解的随机误差的分布性质——即所有观测值都可以有误差，其来源可归因于观测者、仪器工具以及观测条件；观测误差对称地分布在0的两侧；小误差出现得比大误差更频繁。此外他的表述中还涉及了误差传递的。 对早期误差理论的发展做出了重大贡献的另一个人是英国数学家辛普森（Thomas Simpson，1710-1761），他的工作在他1755年写的一封信《在应用天文学中取若干个观测值的平均的好处》中提出。在信里，他构造了一个离散的误差分布：假定在一次测量中，误差只能取0、±1、±2、±3、±4、±5这11个值，取这些值的概率在0处最大，然后在两边按比例下降，直到±6处为0：即。根据所给的分布，可算得单次测量的误差（绝对值）不超过1（0、±1）的概率为16/36=0.444，不超过2（0、±1、±2）的概率是24/36=0.667；为比较起见，他又计算出6次测量的平均值的误差（即6个误差的平均）不超过1的概率是0.725，不超过2的是0.967——易见平均值的估计优于单个值。由此出发，辛普森就首次从数学上“证明”了算数平均值的优良性，而由于出发点是误差取值的概率，辛普森也被视为是第一个将误差理论与概率理论联系起来的人——后面可以看到这一点的意义十分重大，因为整个误差理论就是建立在概率论基础上的。 误差理论发展的下一个阶段就是随机误差的分布的确定，这众所周知的是由大数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855） 2/ 6