真空中的麦克斯韦方程组的推导
一、电磁学的基本定律与定理
电荷：正负电荷同性相斥，异性相吸
1、库仑定律：真空点电荷之间相互作用力
12201
4r q q F e r πε= 电场：我们假定电荷与电荷之间的相互作用是通过场来传递的。
电场是一种物质
电场强度：反应了电场力的性质
F E q =（定义式，任何情况下都成立） 对于真空中的点电荷Q 产生的电场有
201
4r Q E e r πε= （只适合于真空中的点电荷）
电场线：世上本来没有电场线，有好事者发明它，它是一种形象描述电场而引进的假想的曲线，它的密度代表电场强度的大小，它的切线方向代表电场的方向。 电场强度：等于垂直于电场方向单位面积的电场线的条数，代表着电场线的密度 dN E dS ⊥
= 电场强度E ⎧⎨⎩
大小：电场线密度方向：正电荷受力的方向
2、高斯定理：电通量与电荷的关系的定理
电通量：S =E dS Φ⎰，通过某一曲面S 的电场线的条数
如果该曲面为闭合的曲面，则有
0q E dS εΦ==⎰
由库仑定律可以推导高斯定理，
由库仑定律可以推导高斯定理0E dS ε=⎰ 由奥萨伐尔定律可以推导安培环路0B dl I μ=⎰
静电场无旋 0dl =⎰ 磁场无源
0B dS =⎰
法拉弟电磁感应定律：变化的磁场产生电场
d d B dS dt dt
ξΦ=-=-⎰ 电荷守恒定律 q j dS t ∂=-∂⎰ 下面我们来总结一下得到的定理定律
1、库仑定律可推出与高斯定理和安培环路定理：因此库仑定律可以由高斯定理
和安培环路定理取代
000
()()q E dS E dV dV E ρρεεε=⇒∇=⇒∇=⎰⎰⎰ 2、静电场环路定理：0()00E dl E dS E =⇒∇⨯=⇒∇⨯=⎰⎰
由于毕奥萨伐尔定律可以推导出磁场的安培环路定理和高斯定理，因此毕奥萨伐尔定律的内容可以由安培环路定理和高斯定理取代
3、磁场的安培环路定理00B dl I B j μμ=⇒∇⨯=⎰
4、磁场高斯定理0=0B dS B =⇒∇⎰
5、法拉弟电磁感应定律
d d B B dS E dl B dS E dt dt t ξ∂=-⇒=-
⇒∇⨯=-∂⎰⎰⎰ 6、电荷守恒定律
q j dS j t t
ρ∂∂=-⇒∇=-∂∂⎰
二、电磁学定律的微分形式
1、0
E ρε∇=：静电场高斯定理 2、0E ∇⨯=：静电环路定理
3、0B j μ∇⨯=：静磁场中的安培环路定理
4、=0B ∇：磁场中的高斯定理：这一定成立
5、B E t ∂∇⨯=-
∂：电磁感应定律：（变化的电磁场中成立） 6、j t ρ∂∇=-∂：电荷守恒定律（任何情况下都成立） 第一我们来验证一下1在变化的电场中是不是成立，由于5式是变化的电场所以有 对于第5式
00B B E E t t
∂∂∇∇⨯=-⇒=∇∇⨯=-=∂∂ 因此1与5不冲突，1可以推广到变化的电场情况，2也可以由5包含。
对3式两边取散度
左边0B ∇∇⨯=，右边00j t μμρ∂∇=-∂，只有在稳恒场中0t
ρ∂=∂才成立，因此3只在稳恒场中才成立，在变化的场中不成立 由电荷守恒定律j t ρ∂∇=-∂可知 00()0E j j j t t t
ρρε∂∂∂∇=-⇒∇+=⇒∇+=∂∂∂ 所以可以将3式的j 换成0
E j t ε∂+∂就可以成立， 所以麦克斯韦方程组微分形式为
1、0
E ρε∇=： 电荷是静电场的源 2、B E t ∂∇⨯=-∂：变化的磁场产生电场 3、=0B ∇：磁场无源
4、：000E B j t
μμε∂∇⨯=+∂ ，电流产生磁场，变化的电场产生磁场
三、真空中的电磁波
对于真空条件下（无介质，无电荷与电流），麦克斯韦方程组可以写为
1、0E ∇=：
2、B E t
∂∇⨯=-∂ 3、=0B ∇
4、00E B t
με∂∇⨯=∂ 将第二个方程取旋度并利用第四个方程可以得到
2
002()E B E t t
με∂∂∇⨯∇⨯=-∇⨯=-∂∂ 又因为2
()E E E ∇⨯∇⨯=∇∇-∇，且在真空条件下0E ∇=，则可以得到标准的行波方程 22
2
200222100E E E E t v t με∂∂∇-=⇒∇-=∂∂
其中1v =
为波速，其实就是光速
麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程 麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程，它描述了电场和磁场的相互作用。在电磁波方程的推导过程中，亥姆霍兹方程是一个重要的中间步骤。在本文中，我们将推导麦克斯韦方程组，然后展示如何通过亥姆霍兹方程推导出电磁波方程。 一、麦克斯韦方程组的推导 1.高斯定理 第一个麦克斯韦方程是高斯定理，它描述了电场和电荷密度的关系。根据高斯定理，一个封闭曲面上的电通量等于该曲面内的电荷总量的四倍πε0 (其中ε0是真空介电常数)。 ∮ E·ds = 4πε0 Q 这个方程表明了电场的源是带电粒子。如果一个闭合曲面内没有电荷，电场通量将为零。 2.法拉第电磁感应定律 第二个麦克斯韦方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场和电场的相互作用。根据法拉第电磁感应定律，磁通量变化速率与产生感应电动势的电场强度成正比。 ε = -dΦm/dt 这个方程表明了磁场的变化会产生电场。电场和磁场是紧密相连的。 3.安培环路定理和位移电流定律 第三个和第四个麦克斯韦方程分别是安培环路定理和位移电流定律。安培环路定理描述了磁场和电流的相互作用，而位移电流定律描述了电场和时间变化的磁场之间的关系。 根据安培环路定理，通过一个封闭回路的磁通量之和等于该回路内的电流总和。 ∮ B·ds = μ0 I 其中μ0是真空磁导率。
根据位移电流定律，电场的旋转率等于时间变化的磁场的散度的负值。 rot E = - dB/dt 二、亥姆霍兹方程的推导 亥姆霍兹方程是电磁波方程的一个重要的中间步骤。它可以通过麦克斯韦方程和一些向量运算得到。 我们首先从安培环路定律开始: ∮ B·ds = μ0 I 由斯托克斯定理得： ∮ B·ds = ∬(rot B)·ds 将rot B替换为-μ0ε0(dE/dt)，得到 ∮ B·ds = -μ0ε0(d/dt ∫ E·ds) 因此， d/dt ∫ E·ds + ∮ B·ds = 0 利用高斯定理， ∮ (E·ds) = 4πε0 Q 则 d/dt ∫ E·ds + ∬(rot E)·ds = 0 将rot E替换为- dB/dt得到 d/dt ∫ E·ds - ∬(dB/dt)·ds = 0 简化得到 d^2/dt^2 ∫ E·ds - ∬(d^2B/dt^2)·ds = 0 然后，我们使用向量恒等式 rot(rot A) = grad(div A) - ∇^2 A 其中，grad表示梯度，div表示散度，∇^2表示拉普拉斯算子。将div E替换为ρ/ε0，得到 rot(rot E) = grad(div E) - ∇^2 E 由于电场没有源，因此div E = 0，可得到 ∇^2 E = - μ0ε0(d^2E/dt^2) 这个方程就是亥姆霍兹方程。 三、总结
麦克斯韦方程组推导过程 麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程组，由麦克斯韦提出，描述了电磁场的运动规律。下面我们通过推导的过程来了解麦克斯韦方程组的由来和含义。 我们从麦克斯韦方程的第一个方程开始推导。这个方程是高斯定律，描述了电场与电荷之间的关系。根据高斯定律，电场通过一个闭合曲面的通量与这个曲面内的电荷量成正比，且与曲面的形状无关。这个方程可以表示为： ∮E·dA = 1/ε₀ ∫ρdV 其中，∮E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，ε₀为真空中的电介质常数，ρ为曲面内的电荷密度。 接下来，我们推导麦克斯韦方程的第二个方程。这个方程是法拉第电磁感应定律，描述了磁场变化时引起的感应电场。根据法拉第定律，磁场的变化率与感应电场的环路积分成正比。这个方程可以表示为： ∮E·dl = -dφB/dt 其中，∮E·dl表示感应电场E沿闭合回路的环路积分，dφB/dt表示磁场B的变化率。
接下来，我们推导麦克斯韦方程的第三个方程。这个方程是安培环路定律，描述了电流与磁场之间的关系。根据安培环路定律，沿闭合回路的磁场的环路积分等于通过回路的电流与真空中的电介质常数的乘积。这个方程可以表示为： ∮B·dl = μ₀I + μ₀ε₀dφE/dt 其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分，μ₀为真空中的磁导率，I为通过回路的电流，dφE/dt表示电场E的变化率。 我们推导麦克斯韦方程的第四个方程。这个方程是电磁场的无源性方程，描述了电场和磁场的耦合关系。根据电磁场的无源性，闭合回路上的电场的环路积分和磁场的环路积分之和为零。这个方程可以表示为： ∮B·dl = 0 其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分。 通过以上的推导过程，我们得到了麦克斯韦方程组，它们是描述电磁场的基本方程。这四个方程分别描述了电场与电荷的关系、磁场与电流的关系、电场与磁场的耦合关系，以及磁场的无源性。麦克斯韦方程组对于理解电磁场的运动规律和电磁波的传播具有重要意义。
麦克斯韦方程组推导光速的过程 引言 麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，其中包括了关于电场和磁场的四个方程。通过对麦克斯韦方程组的推导和分析，我们可以得到光速的数值，并且发现光速是真空中的一个恒定值。 麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组由以下四个方程组成： 1.高斯定律：∇⋅E=ρ ε0 这个方程描述了电场的发散性质，其中E表示电场强度，ρ表示电荷密度， ε0为真空中的电介质常数。 2.高斯磁定律：∇⋅B=0 这个方程描述了磁场的发散性质，其中B表示磁感应强度。 3.法拉第电磁感应定律：∇×E=−∂B ∂t 这个方程描述了电场对磁场的感应作用，其中×表示向量的叉乘。 4.安培环路定律：∇×B=μ0J+μ0ε0∂E ∂t 这个方程描述了磁场对电场的感应作用，其中μ0为真空中的磁导率常数，J 为电流密度。 推导过程 我们现在将利用麦克斯韦方程组来推导光速。 首先，考虑真空中没有电荷和电流，即ρ=0且J=0。在这种情况下，高斯定律和 安培环路定律可以简化为： 1.高斯定律：∇⋅E=0 2.安培环路定律：∇×B=μ0ε0∂E ∂t 接下来，我们假设电场和磁场都是沿着x轴方向传播的平面波，即E=E0cos(kx− ωt)和B=B0cos(kx−ωt)，其中E0和B0为振幅，k为波数，ω为角频率。 将上述电场和磁场的表达式代入高斯定律和安培环路定律中，可以得到：
1. 高斯定律：∂E x ∂x =0 2. 安培环路定律：∂B y ∂x =−μ0ε0∂E x ∂t 由于波动方程的解是满足以下关系的：∂2f ∂x 2=1v 2∂2f ∂t 2，其中v 为波速，我们可以将上 述两个方程进行整合。 首先，对高斯定律两边关于x 求偏导数，可以得到：∂2E x ∂x 2=0。然后，对安培环路 定律两边关于t 求偏导数，可以得到：∂2B y ∂x ∂t =−μ0ε0 ∂2E x ∂t 2。 将上述两个方程代入波动方程，可以得到：∂2B y ∂x ∂t =1v 2∂2B y ∂x 2 ，其中v 为波速。 通过对上述方程进行分析，我们可以发现磁场的传播速度和电场的传播速度是相等的，即v =c ，其中c 为光速。 综上所述，我们得到了光速c 与真空中的电介质常数ε0和磁导率常数μ0的关系：c =√εμ。 结论 通过对麦克斯韦方程组的推导和分析，我们得到了光速c 与真空中的电介质常数ε0和磁导率常数μ0的关系：c =√εμ。这表明光速是真空中的一个恒定值，与电磁场的传播无关。 这个结果在物理学中具有重要意义，它不仅解释了光的传播速度为什么是一个恒定值，也为电磁波的性质和光学现象的解释提供了基础。同时，这个结果也与实验观测结果相吻合，进一步验证了麦克斯韦方程组的准确性和可靠性。 总之，通过麦克斯韦方程组的推导和分析，我们可以深入理解光速的来源和性质，为电磁场和光学的研究提供了重要的理论基础。
麦克斯韦方程组是电磁学中描述电场和磁场的基本方程组，由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪中期推导出来。这个方程组总共包含四个方程，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。下面是麦克斯韦方程组的推导过程： 1.高斯定律（电场的高斯定理）：高斯定律描述了电场的源和汇， 即电荷和电场的关系。我们从库仑定律出发，该定律描述了电 荷之间的相互作用。设一个正电荷Q位于原点，电场E为其造 成的电场强度。现在我们考虑一个半径为r的闭合球面S，它将 原点包围。根据高斯定律，电场通过球面的总通量等于包围在 球心的电荷量的比例。即， Φ(E) = ∮(E·dA) = (1/ε₀) * Q 其中，Φ(E)表示电场E通过球面S的通量，∮(E·dA)表示电场E 的面积积分，ε₀是真空中的电介质常数（电容率）。 2.高斯磁定律：高斯磁定律指出，不存在孤立的磁荷（单极磁荷）。 这意味着磁场线总是形成闭合回路，没有类似电荷的单一起点 或终点。因此，对于任何闭合曲面S，磁场B通过曲面的通量 为零。即， Φ(B) = ∮(B·dA) = 0 其中，Φ(B)表示磁场B通过曲面S的通量，∮(B·dA)表示磁场B的面积积分。
3.法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律描述了磁场随时间 变化时，电场的感应效应。考虑一个线圈或导体回路，它的边 界为曲面S。当磁场B通过这个曲面的通量随时间变化时，将 会在回路内部产生电动势（电压）。该电动势大小与通量变化率 成正比。法拉第电磁感应定律的数学表达式为： ∮(E·dl) = -(dΦ(B)/dt) 其中，∮(E·dl)表示沿着闭合回路的电场E的线积分，dl表示回路的微小线段，-(dΦ(B)/dt)表示磁场B通过曲面S的通量随时间的变化率。 4.安培环路定律：安培环路定律描述了电流通过闭合回路时，磁 场的环绕效应。假设我们有一个闭合回路C，其中有电流I通 过。磁场B会形成环绕回路C的磁场线。安培环路定律表达式 为： ∮(B·dl) = μ₀* I 其中，∮(B·dl)表示磁场B沿着闭合回路C的线积分，dl表示回路的微小线段，μ₀是真空中的磁导率。 将这四个定律结合起来，即得到完整的麦克斯韦方程组，描述了电场和磁场在空间中的行为和相互作用。这些方程在电磁学中具有重要的意义，对于理解电磁现象和应用它们至各种实际问题非常重要。
用麦克斯韦方程推导波动方程 引言： 麦克斯韦方程组是电磁学中描述电场和磁场相互作用的基本方程。波动方程则是描述波动现象的重要方程。本文将通过推导，演示如何利用麦克斯韦方程推导出波动方程。 一、麦克斯韦方程 麦克斯韦方程组由四个基本方程组成，分别是麦克斯韦-高斯定律、麦克斯韦-法拉第定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。这四个方程可以写成如下形式： 1. 麦克斯韦-高斯定律： ∇·E = ρ/ε₀ 其中，∇·E表示电场E的散度，ρ为电荷密度，ε₀为真空介电常数。 2. 麦克斯韦-法拉第定律： ∇×E = -∂B/∂t 其中，∇×E表示电场E的旋度，B为磁感应强度。 3. 法拉第电磁感应定律： ∇·B = 0
其中，∇·B表示磁感应强度B的散度。 4. 安培环路定律： ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t 其中，∇×B表示磁感应强度B的旋度，J为电流密度，μ₀为真空磁导率。 二、推导过程 为了推导波动方程，我们先从麦克斯韦方程中消去电场E，得到磁场B的波动方程。 对麦克斯韦-法拉第定律取旋度，得到： ∇×(∇×E) = -∇×(∂B/∂t) 利用矢量恒等式∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A，上式可化简为：∇(∇·E) - ∇²E = -∇×(∂B/∂t) 根据麦克斯韦-高斯定律，∇·E = ρ/ε₀，代入上式得到： ∇²E - (1/c²)∂²E/∂t² = -∇×(∂B/∂t) 其中，c = 1/√(ε₀μ₀)为光速。 接下来，对安培环路定律取旋度，得到： ∇×(∇×B) = ∇×(μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t) 利用矢量恒等式∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A，上式可化简为：
麦克斯韦关系式的推导 1. 引言 麦克斯韦关系式是电磁学中的一个重要公式，描述了电场、磁场和电流之间的相互关系。它由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出，并成为了电磁学理论的基础之一。 本文将对麦克斯韦关系式进行推导，以便更好地理解其物理意义和应用。我们将从基本的电场和磁场定律出发，逐步推导得到麦克斯韦关系式。 2. 推导过程 2.1 安培定律 安培定律是描述电流与磁场之间关系的基本定律。根据安培定律，通过一个闭合回路的磁场积分等于该回路所包围的电流乘以真空中的磁导率μ₀。 数学表达为： ∮B⃗ ⋅dl=μ0I 其中，∮表示对闭合回路上路径积分，B⃗ 表示磁场强度，dl表示微元路径长度，μ0表示真空中的磁导率，I表示通过闭合回路的电流。 2.2 法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律是描述磁场变化引起感应电动势的定律。根据法拉第电磁感应定律，一个闭合回路中的感应电动势等于该回路所包围的磁通量变化率的负值。 数学表达为： ε=−dΦdt 其中，ε表示感应电动势，Φ表示磁通量，t表示时间。 2.3 麦克斯韦-安培定律 麦克斯韦-安培定律是描述电场和磁场之间关系的基本定律。根据麦克斯韦-安培定律，一个闭合回路中的电场积分与该回路所包围的时间变化率的负值成正比。 数学表达为： ∮E⃗⋅dl=−dΦdt
其中，E⃗表示电场强度。 2.4 法拉第旋度定理 法拉第旋度定理是描述旋度与闭合环路上的环流之间关系的定理。根据法拉第旋度定理，一个闭合回路上的环流等于该回路所包围的磁场旋度积分。 数学表达为： ∮B⃗ ⋅dA=μ0I enc 其中，B⃗ 表示磁场强度，dA表示微元面积矢量，I enc表示通过被闭合曲面所包围的电流。 2.5 麦克斯韦方程组 将安培定律和法拉第旋度定理结合起来，可以得到麦克斯韦方程组： ∇×E⃗=−∂B⃗ ∂t ∇×B⃗ =μ0J+μ0ε0∂E⃗∂t 其中，∇表示梯度算子，×表示向量叉乘，J表示电流密度，ε0表示真空中的介电常数。 2.6 麦克斯韦关系式 根据麦克斯韦方程组中的第一个方程： ∇×E⃗=−∂B⃗ ∂t 我们可以对该方程进行旋度运算，得到： ∇×(∇×E⃗)=−∇×∂B⃗ ∂t 根据矢量恒等式（矢量分析中的高斯恒等式）： ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A 将上式应用于麦克斯韦方程组中的第一个方程，得到： ∇(∇⋅E⃗)−∇2E⃗=−∂ ∂t (∇×B⃗ )
麦克斯韦方程组得几种推导方法及其比较 摘要:介绍麦克斯韦方程组得几种推导方法。从经典、能量守恒、拉格朗日方程得方 面推导得出现有得麦克思维方程组,从侧面说明了麦克斯韦得普遍适用性与有其她一些普遍存在得定理定律得等价性。通过分析三种方法得优缺点,从而加深对麦克斯韦方程组得物理意义得理解,培养科学求真得探索精神。 关键词:拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律 目录 引言: (1) 1_用经典方法推导麦克斯韦方程组得方法 (2) 1、1 第一方程式得推导 (2) 1、2第二方程式得推导 (3) 1、3第三方程式得推导 (3) 1、4第四方程式得推导 (5) 2_从电磁场能量与能流形式推导麦克斯韦方程组 (6) 3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组得方法。 (8) 4_三种方法得比较 (11) 4、1经典方法得优势 (11) 4、2能量方法推导得优缺点 (12) 4、3拉格朗日方程推导得特点 (12) 结束语: (13) 参考文献: (13) 引言: 麦克斯韦方程组就是电磁理论得基本方程,在电磁学中有很重要得地位,在与很多工业领域有很多应用。关于它得推导建立,有我们熟知得经典方法,还有后来得根据拉格朗日方程等分析力学方法推导,以及由能量守恒得方法推导等诸多方法。下面我们来一一推导证明
1_用经典方法推导麦克斯韦方程组得方法 1、1 第一方程式得推导 电荷得库仑定律: F =0ε41πr r q q 3 ' 此电荷得场强为: E =0ε41πr r q 3 对电荷得场强沿着球面求面积分,得到: ?S dS E =∑0εi Q =?V 01dV ρε 电场强度通过面元d S 得通量为: dS E ? =Ecos θds=204r Q πεcos θds 。 θ就是d S 与E 得夹角,cos θds/2r 位球面得立体角元。所以包裹电荷得闭合曲面 与球面得积分就是相同得。由于对电荷得场强求面积分只与包裹着得电荷有关系,所以积分得面没有关系。 又因为电荷得体密度得定义: ρ=V q 根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度得体积分: ???V dV E =ρV/0ε 得到: 0/ερ=??E 等效都就是在真空下得方程式,如果在介质下得束缚电荷密度p ρ,那么: E ??=(ρ+p ρ)/0ε。定义电位移矢量: D =0ε E +P
13-6 麦克斯韦方程组 关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理： 静电场的高斯定理： 静电场的环路定理： 稳恒磁场的高斯定理： 磁场的安培环路定理： 上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。 麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念： 1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法 拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即 上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。 2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即 上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。 综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在 一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为 又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间 任一点的磁感强度应该表示为 因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律， 根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是： 1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系 列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有： 2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是 3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用，即
麦克斯韦方程组的推导 麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程组，包括四个方程：高斯定律、法拉第定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。 首先推导高斯定律，即电场的高斯定理。根据高斯定律，电场从闭合曲面内流出的电通量与该曲面所包围的电荷量成正比，即： ∮ E · dA = Q/ε₀ 其中，∮表示对闭合曲面的面积分，E为电场强度，dA为曲 面的面积微元，Q为闭合曲面内的总电荷，ε₀为真空中的介 电常数。 其次推导法拉第定律，即电磁场的高斯定理。根据法拉第定律，磁感应强度的散度等于磁场中的总电流密度，即： ∮ B · dA = 0 其中，B为磁感应强度，dA为曲面的面积微元。 再次推导安培定律，即电场中的环路定理。根据安培定律，电场强度沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的电流磁场的总磁通量的变化率，即： ∮ E · dl = - d(∮ B · dA) / dt 其中，∮表示对闭合回路的环路积分，E为电场强度，dl为回
路的位移微元，B为磁感应强度，dA为回路所包围的面积微元，t为时间。 最后推导法拉第电磁感应定律，即磁场中的环路定理。根据法拉第电磁感应定律，磁感应强度沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的总电流磁场的磁通量的变化率与由电场引起的涡旋电场的环路积分之和，即： ∮ B · dl = μ₀(∮ J · dA + ε₀ d(∮ E · dA) / dt) 其中，∮表示对闭合回路的环路积分，B为磁感应强度，dl为回路的位移微元，μ₀为真空中的磁导率，J为回路所包围的总电流密度，dA为回路所包围的面积微元，ε₀为真空中的介电常数，E为电场强度，t为时间。 这样，通过以上推导过程，我们得到了麦克斯韦方程组的表达式。
麦克斯韦方程组推导波动方程 麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本定律。它由四个方程组成， 分别是高斯定律、高斯磁定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。这四个方程联立起来可以推导出波动方程，从而揭示出电磁波的性质。 首先，我们来看麦克斯韦方程组的四个方程如下： 1. 高斯定律：电场通量与电荷密度成正比。 ∮E·dA = ε0∫ρdV 这个方程告诉我们，电场的产生是由电荷所形成的，电场是由正 负电荷相互引力或排斥所形成的。 2. 高斯磁定理：磁场的闭合环路积分与电流和变化的电场通量成 正比。 ∮B·ds = μ0∫(J+ε0∂E/∂t)·dA 这个方程说明了磁场是由电流和变化的电场所引起的，磁场的产 生是由电流流动所形成的。 3. 法拉第电磁感应定律：感应电动势与磁通量变化率成正比。 ε = -dΦB/dt 这个方程告诉我们，磁场的变化会产生感应电动势，也就是电磁 感应现象。
4. 安培环路定理：磁场的闭合环路积分与通过这个环路的电流成正比。 ∮B·ds = μ0I 这个方程说明了磁场是由电流产生的，磁场和电流之间存在一种紧密的联系。 通过以上四个方程的联立，我们可以推导出波动方程，即电磁波的方程： ∇^2E - με∂^2E/∂t^2 = 0 这个方程描述了电场的传播和波动，其中∇^2是Laplace算符，μ和ε分别是真空中的磁导率和介电常数。 波动方程的解满足行波解的形式，也就是取决于时间和空间的函数的乘积： E(r,t) = E0e^(i(k·r - ωt)) 其中，E0是振幅，k是波矢，r是位置坐标，ω是角频率。这个解表明电场以速度c = ω/k传播，c是真空中的光速。 通过波动方程的推导，我们可以看出电磁波的传播是由电场和磁场相互耦合形成的。电场和磁场相互垂直并相位差90度，它们交替地变化和传播，形成了电磁波。这种波动的传播方式是以空间和时间的函数关系来描述的，从而揭示了电磁波的特性和行为。
真空中的麦克斯韦方程组的推导 一、电磁学的基本定律与定理 电荷：正负电荷同性相斥，异性相吸 1、库仑定律：真空点电荷之间相互作用力 2 r 4「° r 电场：我们假定电荷与电荷之间的相互作用是通过场来传递的。 电场是一种物质 电场强度：反应了电场力的性质 F E=-（定义式，任何情况下都成立） q 对于真空中的点电荷Q产生的电场有 E」Qg 4二;0r2 r （只适合于真空中的点电荷） 电场线：世上本来没有电场线，有好事者发明它，它是一种形象描述电场而引进的假想的曲线，它的密度代表电场强度的大小，它的切线方向代表电场的方向。电场强度：等于垂直于电场方向单位面积的电场线的条数，代表着电场线的密度 __ dN E 二 dS_ 电场强度f大小：电场线密度 方向：正电荷受力的方向 2、高斯定理：电通量与电荷的关系的定理 电通量：叮u.sELdS，通过某一曲面S的电场线的条数 如果该曲面为闭合的曲面，则有 ①=[yE_dS=q 由库仑定律可以推导高斯定理，
法拉弟电磁感应定律：变化的磁场产生电场dt dt ' 电荷守恒定律 ■—1a 下面我们来总结一下得到的定理定律 1、库 仑定律可推出与高斯定理和安培环路定理：因此库仑定律可以由高斯定理和安培环 路定理取代 J(^[E)dV = J(#)dV 二V]E =— —®0 £o % 2、静电场环路定理：卅出(亦E)_dS = 0n g E=0 由于毕奥萨伐尔定律可以推导出磁场的安培环路定理和高斯定理，因此毕奥萨伐尔定律的内容可以由安培环路定理和高斯定理取代3、磁场的安培环路定理Vx B = %j 4、磁场高斯定理[]B_dS=o= jB=o 5、法拉弟电磁感应定律 J -d J B&Sn H Ejdt = f B]dSn g E =-生 dt 匕dt c t 6电荷守恒定律
麦克斯韦方程组张量形式 一、前言 麦克斯韦方程组是电磁学的基础，它描述了电磁场的演化和相互作用。在物理学中，张量是一个非常重要的概念，它可以描述物理量在不同 坐标系之间的变换规律。因此，将麦克斯韦方程组表示为张量形式是 十分有意义的。 二、麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组包含四个方程式： 1. 高斯定律：$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ 其中，$\mathbf{E}$ 是电场强度，$\rho$ 是电荷密度， $\epsilon_0$ 是真空介电常数。 2. 安培定律：$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J}+\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$
其中，$\mathbf{B}$ 是磁感应强度，$\mathbf{J}$ 是电流密度，$\mu_0$ 是真空磁导率。 3. 法拉第定律：$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ 4. 安培-马克思定律：$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ 三、张量形式 为了将麦克斯韦方程组表示为张量形式，我们需要定义一些张量。 1. 电场强度张量 电场强度张量 $F_{\mu\nu}$ 定义为： $$F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z\\ E_x & 0 & -B_z & B_y\\ E_y & B_z & 0 & -B_x\\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$$
真空无源波动方程 介绍 真空无源波动方程是描述无源波动在真空中传播的数学模型。本文将探讨真空无源波动方程的定义、相关概念、推导过程以及其在物理学中的应用。 真空无源波动方程的定义 真空无源波动方程（Vacuum Source-Free Wave Equation）是一种描述波动在真空中传播的数学模型。它是二阶偏微分方程，通常用于描述电磁波在真空中的传播。波动方程的一般形式为： 其中，是波速，是波函数。 推导过程 我们可以通过麦克斯韦方程组来推导出真空无源波动方程。麦克斯韦方程组描述了电场和磁场在空间中的变化和相互作用。其中的波动方程正是由电磁场的传播性质导致的。 1.首先，我们考虑麦克斯韦方程组的一部分——电场的旋度等于磁场的时间导 数： 2.对上述方程两次取旋度，得到： 把这两个方程中的与代入得到： 3.根据电磁场的性质以及亥姆霍兹方程的定义，我们可以得到真空无源波动方 程的标准形式： 推导过程结束，我们从麦克斯韦方程组得到了真空无源波动方程，这个方程描述了波动在真空中的传播。 相关概念 在真空无源波动方程中，有一些相关概念需要了解。
波速 波速是波动传播的速度，它是波长与周期之间的比值。在真空中，电磁波的波速等于真空中的光速，即。 波函数 波函数是描述波动的数学函数，它是真空无源波动方程中的未知量。根据具体情况，波函数可以表示电场、磁场或其他物理量的振幅和相位随时间和空间变化的规律。 物理学中的应用 真空无源波动方程在物理学中有广泛的应用。以下是一些例子： 1.光学真空无源波动方程描述了光波在真空中的传播。通过求解波动方程， 可以得到光波的传播速度、频率、波长以及传播方向等信息。光学实验和光 学设备的设计与分析都依赖于波动方程的求解。 2.电磁学电磁波是由电场和磁场构成的波动。真空无源波动方程描述了电场 和磁场在真空中的传播特性。通过求解波动方程，可以研究电磁波的行为， 包括反射、折射、干涉、衍射等现象。 3.声学声波是机械波，但和电磁波一样可以使用真空无源波动方程来描述其 在真空中的传播。在一些特殊的声学场景中，例如真空中的爆炸声和宇宙中 的引力波，真空无源波动方程的应用十分重要。 4.工程应用在工程领域中，真空无源波动方程被应用于天线设计、电磁场辐 射计算、声学信号处理等方面。波动方程的求解为工程师和科学家提供了有 关波动行为的重要信息。 结论 真空无源波动方程是描述无源波动在真空中传播的数学模型。本文对其定义、推导过程以及相关概念进行了详细的阐述，并探讨了其在物理学中的应用。真空无源波动方程在光学、电磁学、声学以及工程领域有广泛的应用。通过深入研究和理解波动方程，我们能够更好地理解和应用波动现象。
真空中的电磁场与麦克斯韦方程组 在物理学中，电磁场是一个非常重要的概念。它描述了电荷和电流对周围空间 的影响，以及光和其他电磁波的传播方式。而麦克斯韦方程组则是描述电磁场行为的基本方程。在真空中，电磁场的行为受到麦克斯韦方程组的支配。 首先，让我们来看一下电磁场的基本概念。电磁场是由电场和磁场组成的。电 场是由电荷产生的，它描述了电荷对周围空间中其他带电粒子的作用力。磁场则是由电流产生的，它描述了电流对周围空间中其他电流的作用力。 在真空中，没有任何电荷和电流，所以电磁场的行为完全由麦克斯韦方程组来 描述。麦克斯韦方程组分为四个方程，分别是麦克斯韦第一和第二方程，以及法拉第电磁感应定律和安培环路定律。这些方程描述了电场和磁场之间的相互作用，并且可以用来推导出电磁波的传播方式。 麦克斯韦第一和第二方程是描述电场和磁场的规律的基本方程。麦克斯韦第一 方程（高斯定律）说明了电场线的起源，它告诉我们电荷产生的电场是如何传播的。麦克斯韦第二方程（安培定律）则描述了磁场如何随着电流的变化而改变。这些方程形成了电磁场的基础。 法拉第电磁感应定律和安培环路定律则描述了电磁场中的相互作用。法拉第电 磁感应定律告诉我们磁场如何通过变化的磁通量来诱发电场。这是电磁感应现象的基本原理，也是电磁感应发电机的工作原理。安培环路定律则告诉我们电场如何通过变化的电流来影响磁场。 通过这些方程，我们可以得出电磁波的传播方式。电磁波是一种由电场和磁场 组成的波动，在真空中以光速传播。根据麦克斯韦方程组的推导，我们可以得到电磁波的传播速度等于电场和磁场的耦合常数的倒数。这个耦合常数就是真空中的电磁波的速度，也就是光速。
第4讲 真空中的麦克斯韦方程组 第一章 电磁现象的普遍规律（3） §1.3 真空中的麦克斯韦方程组 以上两节由实验定律总结了恒定磁场的基本规律。随着交变电流的研究和广泛应用，人们对电磁场的认识有了一个飞跃。由实验发现不但电荷激发电场，电流激发磁场，而且变化着的电场和磁场可以互相激发，电场和磁场成为统一的整体——电磁场。 和恒定场相比，变化电磁场的新规律主要是： （1）变化磁场激发电场（法拉第电磁感应定律）； （2）变化电场激发磁场（麦克斯韦位移电流假设）。 下面分别讨论这两问题。 1. 电磁感应定律 自从发现了电流的磁效应之后，人们跟着研究相反的效应，即磁场能否导致电流？开始人们企图探测处于恒定磁场中的固定线圈上的感应电流，这些尝试都失败了，最后于1831年法拉第发现当磁场发生变化时，附近闭合线圈中有电流通过并由此总结出电磁感应定律：闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比，其方向关系在下面说明。如图1-6，设L 为闭合线圈，S 为L 所围的一个曲面，d S 为S 上的一个面元。按照惯例，我们规定L 的围绕方向与d S 的法线方向成右手螺旋关系。由实验测定，当通过S 的磁通量增加时，在线圈L 上的感应电动势E 与我们规定的L 围绕方向相反，因此用负号表示。电磁感应定律表为 ε=⎰⋅- S d dt d S B （1.3---1）
线圈上的电荷是直接受到该处电场作用而运动的，线圈上有感应电流就表明空间中存在着电场。因此，电磁感应现象的实质是变化磁场在其周围空间中激发了电场，这是电场和磁场内部相互作用的一个方面。 感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁感应定律（1.3---1）式可写为 L S d d d dt ⋅=- ⋅⎰ ⎰E B S l （1.3---2） 若回路L 是空间中的一条固定回路，则上式中对t 的全微商可代为偏微商 L S d d t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰ B E S l 化为微分形式后得 t ∂∂- =⨯∇B E （1.3---3） 这是磁场对电场作用的基本规律。由（1.3---3）式可见，感应电场是有旋场。因此在一般情况下，表示静电场无旋性的（1.1---10）式必须代以更普遍的（1.3---3）式。 2. 位移电流 上面我们研究了变化磁场激发电场问题，进一步我们要问，变化电场是否激发磁场？在回答这问题之前，我们先分析非恒定电流分布的特