用麦克斯韦方程推导波动方程
引言：
麦克斯韦方程组是电磁学中描述电场和磁场相互作用的基本方程。波动方程则是描述波动现象的重要方程。本文将通过推导，演示如何利用麦克斯韦方程推导出波动方程。
一、麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组由四个基本方程组成，分别是麦克斯韦-高斯定律、麦克斯韦-法拉第定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。这四个方程可以写成如下形式：
1. 麦克斯韦-高斯定律：
∇·E = ρ/ε₀
其中，∇·E表示电场E的散度，ρ为电荷密度，ε₀为真空介电常数。
2. 麦克斯韦-法拉第定律：
∇×E = -∂B/∂t
其中，∇×E表示电场E的旋度，B为磁感应强度。
3. 法拉第电磁感应定律：
∇·B = 0
其中，∇·B表示磁感应强度B的散度。
4. 安培环路定律：
∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t
其中，∇×B表示磁感应强度B的旋度，J为电流密度，μ₀为真空磁导率。
二、推导过程
为了推导波动方程，我们先从麦克斯韦方程中消去电场E，得到磁场B的波动方程。
对麦克斯韦-法拉第定律取旋度，得到：
∇×(∇×E) = -∇×(∂B/∂t)
利用矢量恒等式∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A，上式可化简为：∇(∇·E) - ∇²E = -∇×(∂B/∂t)
根据麦克斯韦-高斯定律，∇·E = ρ/ε₀，代入上式得到：
∇²E - (1/c²)∂²E/∂t² = -∇×(∂B/∂t)
其中，c = 1/√(ε₀μ₀)为光速。
接下来，对安培环路定律取旋度，得到：
∇×(∇×B) = ∇×(μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t)
利用矢量恒等式∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A，上式可化简为：
∇(∇·B) - ∇²B = ∇×(μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t)
根据法拉第电磁感应定律，∇·B = 0，代入上式得到：
∇²B - μ₀ε₀∂²B/∂t² = μ₀∇×J
将∇×(∂B/∂t)代入上式，得到：
∇²B - μ₀ε₀∂²B/∂t² = μ₀∇×J + μ₀ε₀∂(∇×E)/∂t
根据麦克斯韦-法拉第定律，∇×E = -∂B/∂t，代入上式得到：
∇²B - μ₀ε₀∂²B/∂t² = μ₀∇×J - μ₀ε₀∂²B/∂t²
整理上式，得到：
∇²B - μ₀ε₀∂²B/∂t² = μ₀(∇×J + ε₀μ₀∂²B/∂t²)
由于∇×J为电流密度的旋度，根据安培环路定律，∇×J = ∂(ε₀E)/∂t，代入上式得到：
∇²B - μ₀ε₀∂²B/∂t² = μ₀(∂(ε₀E)/∂t + ε₀μ₀∂²B/∂t²)
根据电磁学的基本关系c² = 1/(ε₀μ₀)，上式可进一步化简为：
∇²B - (1/c²)∂²B/∂t² = ∂²B/∂t²
利用麦克斯韦方程组可以推导出磁场B的波动方程：
∇²B - (1/c²)∂²B/∂t² = ∂²B/∂t²
三、结论
本文通过推导过程演示了如何利用麦克斯韦方程推导出波动方程。
麦克斯韦方程组是电磁学的基础，而波动方程描述了波动现象的传播规律。通过将电场E和磁场B的方程进行旋度运算、代入和化简，我们可以得到磁场B的波动方程。这个推导过程展示了麦克斯韦方程与波动方程之间的关系，深化了我们对电磁学和波动学的理解。
由麦克斯韦方程组推导波动方程 麦克斯韦方程组是电磁学中最为基本的方程组，它描述了电磁场在空间中的分布和变化规律。而波动方程则是描述波动现象的基本方程，因此推导出波动方程对于电磁学的研究具有重要意义。下面我们将从麦克斯韦方程组的物理意义出发，推导出电磁波的基本特性所遵循的波动方程。 对于自由空间中的电磁波，其传播时所遵循的方程为： $\nabla^2\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0$ 和 $\nabla^2\vec{B}- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}=0$ 要推导出电磁波所遵循的波动方程，我们先来了解一下麦克斯韦方程组所描述的物理实验。这些实验包括：高斯定理、安培环路定理、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦-安培定理。这些实验所得出的结论是：在空间中存在着电场$\vec{E}$和磁场$\vec{B}$，它们之间存在着紧密的关系。 根据法拉第电磁感应定律，磁场的变化会在空间中产生电场，而根据麦克斯韦-安培定理，则是电流的产生——‘电流可以产生磁场’。这两个定律的结合，在一定条件下就会引起空间中的波动现象，即电磁
波的产生。 为了更好地理解这一点，我们来看一下麦克斯韦方程组所描述的物理实验。在一个高斯面内，根据高斯定理：$\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}$，其中Q表示该高斯面内的电荷总量。通过对该式进行求导并应用安培环路定理：$\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0I_{enc}$，其中$I_{enc}$表示该高斯面所包括的电流总量，得到：$\nabla^2\vec{E}- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0$ 和 $\nabla^2\vec{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}=0$ 这两个方程就是电磁波遵循的波动方程。其中，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子，$c$表示光速，$\frac{\partial^2}{\partial t^2}$表示时间的二阶导数。从这两个方程中，我们可以看到电场和磁场是通过波动来相互传播的，它们的传播速度就是光速。 在波动方程中，我们还可以看到一个重要的性质，即电磁波的波长和频率之间的关系。在自由空间中，电磁波的波长$\lambda$与频率$f$的关系为：$\lambda = \frac{c}{f}$。这就是我们所熟知的电磁波的基本特性之一，即它们在媒介中的传播速度是恒定不变的。 在实际应用中，麦克斯韦方程组所描述的电磁波的特性已经被广泛应
用麦克斯韦方程推导波动方程 引言： 麦克斯韦方程组是电磁学中描述电场和磁场相互作用的基本方程。波动方程则是描述波动现象的重要方程。本文将通过推导，演示如何利用麦克斯韦方程推导出波动方程。 一、麦克斯韦方程 麦克斯韦方程组由四个基本方程组成，分别是麦克斯韦-高斯定律、麦克斯韦-法拉第定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。这四个方程可以写成如下形式： 1. 麦克斯韦-高斯定律： ∇·E = ρ/ε₀ 其中，∇·E表示电场E的散度，ρ为电荷密度，ε₀为真空介电常数。 2. 麦克斯韦-法拉第定律： ∇×E = -∂B/∂t 其中，∇×E表示电场E的旋度，B为磁感应强度。 3. 法拉第电磁感应定律： ∇·B = 0
其中，∇·B表示磁感应强度B的散度。 4. 安培环路定律： ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t 其中，∇×B表示磁感应强度B的旋度，J为电流密度，μ₀为真空磁导率。 二、推导过程 为了推导波动方程，我们先从麦克斯韦方程中消去电场E，得到磁场B的波动方程。 对麦克斯韦-法拉第定律取旋度，得到： ∇×(∇×E) = -∇×(∂B/∂t) 利用矢量恒等式∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A，上式可化简为：∇(∇·E) - ∇²E = -∇×(∂B/∂t) 根据麦克斯韦-高斯定律，∇·E = ρ/ε₀，代入上式得到： ∇²E - (1/c²)∂²E/∂t² = -∇×(∂B/∂t) 其中，c = 1/√(ε₀μ₀)为光速。 接下来，对安培环路定律取旋度，得到： ∇×(∇×B) = ∇×(μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t) 利用矢量恒等式∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A，上式可化简为：
麦克斯韦方程组的推导 麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程组，包括四个方程：高斯定律、法拉第定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。 首先推导高斯定律，即电场的高斯定理。根据高斯定律，电场从闭合曲面内流出的电通量与该曲面所包围的电荷量成正比，即： ∮ E · dA = Q/ε₀ 其中，∮表示对闭合曲面的面积分，E为电场强度，dA为曲 面的面积微元，Q为闭合曲面内的总电荷，ε₀为真空中的介 电常数。 其次推导法拉第定律，即电磁场的高斯定理。根据法拉第定律，磁感应强度的散度等于磁场中的总电流密度，即： ∮ B · dA = 0 其中，B为磁感应强度，dA为曲面的面积微元。 再次推导安培定律，即电场中的环路定理。根据安培定律，电场强度沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的电流磁场的总磁通量的变化率，即： ∮ E · dl = - d(∮ B · dA) / dt 其中，∮表示对闭合回路的环路积分，E为电场强度，dl为回
路的位移微元，B为磁感应强度，dA为回路所包围的面积微元，t为时间。 最后推导法拉第电磁感应定律，即磁场中的环路定理。根据法拉第电磁感应定律，磁感应强度沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的总电流磁场的磁通量的变化率与由电场引起的涡旋电场的环路积分之和，即： ∮ B · dl = μ₀(∮ J · dA + ε₀ d(∮ E · dA) / dt) 其中，∮表示对闭合回路的环路积分，B为磁感应强度，dl为回路的位移微元，μ₀为真空中的磁导率，J为回路所包围的总电流密度，dA为回路所包围的面积微元，ε₀为真空中的介电常数，E为电场强度，t为时间。 这样，通过以上推导过程，我们得到了麦克斯韦方程组的表达式。
麦克斯韦方程组推导波动方程 麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本定律。它由四个方程组成， 分别是高斯定律、高斯磁定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。这四个方程联立起来可以推导出波动方程，从而揭示出电磁波的性质。 首先，我们来看麦克斯韦方程组的四个方程如下： 1. 高斯定律：电场通量与电荷密度成正比。 ∮E·dA = ε0∫ρdV 这个方程告诉我们，电场的产生是由电荷所形成的，电场是由正 负电荷相互引力或排斥所形成的。 2. 高斯磁定理：磁场的闭合环路积分与电流和变化的电场通量成 正比。 ∮B·ds = μ0∫(J+ε0∂E/∂t)·dA 这个方程说明了磁场是由电流和变化的电场所引起的，磁场的产 生是由电流流动所形成的。 3. 法拉第电磁感应定律：感应电动势与磁通量变化率成正比。 ε = -dΦB/dt 这个方程告诉我们，磁场的变化会产生感应电动势，也就是电磁 感应现象。
4. 安培环路定理：磁场的闭合环路积分与通过这个环路的电流成正比。 ∮B·ds = μ0I 这个方程说明了磁场是由电流产生的，磁场和电流之间存在一种紧密的联系。 通过以上四个方程的联立，我们可以推导出波动方程，即电磁波的方程： ∇^2E - με∂^2E/∂t^2 = 0 这个方程描述了电场的传播和波动，其中∇^2是Laplace算符，μ和ε分别是真空中的磁导率和介电常数。 波动方程的解满足行波解的形式，也就是取决于时间和空间的函数的乘积： E(r,t) = E0e^(i(k·r - ωt)) 其中，E0是振幅，k是波矢，r是位置坐标，ω是角频率。这个解表明电场以速度c = ω/k传播，c是真空中的光速。 通过波动方程的推导，我们可以看出电磁波的传播是由电场和磁场相互耦合形成的。电场和磁场相互垂直并相位差90度，它们交替地变化和传播，形成了电磁波。这种波动的传播方式是以空间和时间的函数关系来描述的，从而揭示了电磁波的特性和行为。
波动方程的定义和基本概念 波动方程是一种以时间和空间为自变量的偏微分方程，描述了 一种波动现象的演化过程。在物理学、数学和工程学等领域都有 着广泛的应用。 波动方程的定义 波动方程是以某个波动物理量的时间和空间分布情况为自变量 的偏微分方程。它描述了这个物理量在时空中的变化规律。比如，当我们谈论光波时，这个物理量就是光的电场或磁场；而在声波中，这个物理量就是气体的压力变化。 波动方程的一般形式为： $$ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} - v^2 \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = 0 $$ 其中，$\Psi$ 为波动物理量，$t$ 为时间，$x$ 为空间位置， $v$ 为波速。
不同类型的波动方程有不同的形式，但基本上都可以写成上述形式的变形。比如，电磁波可以使用麦克斯韦方程组推导得到一个波动方程；而热传导过程中的温度分布也可以被描述为一个波动方程。 波动方程的基本概念 基本上，波动方程描述了一个波动物理量在时间和空间中的变化规律。为了更好地理解这个变化规律，我们需要了解一些与波动相关的基本概念。下面分别介绍这些概念及其物理意义： 波速 波速是指波动物理量在介质中传播的速度。在波动方程中，$v$ 表示波速。对于不同的波动物理量，其在介质中的传播速度也不同。比如，电磁波在真空中传播的速度是光速，而声波则会受到介质密度和压强等因素的影响。 波长
波长是指波动物理量一次周期内传播的距离。在波动方程中，波长可以用波速$v$ 与频率$f$ 的乘积表示：$\lambda = v/f$。同样地，不同类型的波长也有不同的定义方式。比如，在电磁波中，波长就是电场和磁场一次周期内传播的距离。 频率 频率是指波动物理量的振动次数，即单位时间内波动物理量通过某个位置的次数。在波动方程中，频率可以用波速$v$ 与波长$\lambda$ 的比值获得：$f = v/\lambda$。 振幅 振幅是指波动物理量在峰值或谷值时的最大值。它是描述波动幅度的重要参数，也是衡量波动物理量强度的主要指标之一。 以上几个基本概念是理解波动方程的重要工具。通过对波速、波长、频率和振幅等概念的理解，我们可以更清楚地掌握波动现象的本质。
电磁波波动方程 电磁波波动方程是描述电磁波传播过程的重要方程之一，其具有 深刻的物理意义和广泛的应用价值。本文将从物理意义、基本结构和 应用方面全面介绍电磁波波动方程，旨在为读者深入理解电磁波的性 质和应用提供指导。 一、电磁波波动方程的物理意义 在物理学中，波动方程是描述波动现象中粒子所处位置随时间变 化的数学表达式。电磁波波动方程是描述电磁波传播过程中电场和磁 场的关系，具有以下物理意义： 1. 描述电磁波的传播速度 电磁波波动方程通过求解电场和磁场体积密度的偏微分方程，可 以得到电磁波传播的速度。根据麦克斯韦方程组的推导，电磁波在真 空中的传播速度为光速，即3×10⁸m/s。这种速度远大于其他波动现象，例如声波和水波。 2. 描述电磁波的传播方向 电磁波波动方程说明电场和磁场之间存在一定的相位差，因而在 电磁波的传播过程中，电场和磁场以不同的方向变化。根据电磁波波 动方程，电磁波的传播方向是垂直于电场和磁场变化的方向，即电磁 波是横波。 3. 描述电磁波的功率和辐射
电磁波波动方程可以用于计算电场和磁场的体积密度，从而得到电磁波的功率和辐射。这在通信、雷达、天线和光学等领域中具有广泛的应用，因为这些领域的主要任务是通过电磁波传播信息或进行探测。 二、电磁波波动方程的基本结构 电磁波波动方程是麦克斯韦方程组的基础，其基本结构分为两部分：Maxwell-Ampere定律和Faraday电磁感应定律。 Maxwell-Ampere定律是描述电场对磁场产生影响的定律，其数学表达式为： rot H = J + dD/dt 其中，rot H 是磁场的旋度，J 是电流密度，dD/dt 是电场变化率。 Faraday电磁感应定律是描述磁场对电场产生影响的定律，其数学表达式为： rot E = - dH/dt 其中，rot E 是电场的旋度，dH/dt 是磁场变化率。 电磁波波动方程将这两个定律相互结合起来，得到如下的偏微分方程： △E - με*d²E/dt² = 0
电动力学中的波动方程及其应用电动力学是物理学中的一个重要分支，主要研究电磁场的产生及其相互作用。其中，波动方程是电磁场中最基本、最重要的方程之一。本文将从波动方程的定义、推导及其应用三个方面来详细探讨这一问题。 一、波动方程的定义 波动方程描述了电磁波在空间中向各个方向传播的规律。它是电动力学中最常见、最基本的方程之一。其一般形式为： $$ \nabla^2E=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2E}{\partial t^2} $$ 其中，$E$表示电场强度，$c$表示光速，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子，$\frac{\partial^2E}{\partial t^2}$表示电场强度随时间的二阶导数。
这个方程的物理意义在于，它描述了电磁波在空间中的传播过程中，电场强度随时间和空间的变化规律。它告诉我们，电磁波在空间中的传播速度是恒定的，即光速$c$。此外，可以从波动方程中推导出很多与电磁波有关的重要物理现象，如光的反射、折射、干涉、衍射等。 二、波动方程的推导 波动方程的推导需要用到麦克斯韦方程组（包括高斯定律、安培环路定理、法拉第电磁感应定律和安培-麦克斯韦定律）和洛伦兹力公式等知识。这里不进行详细介绍，只给出波动方程的简要推导步骤。 首先，根据麦克斯韦方程组，可以得到电场强度与磁场强度之间的关系： $$ \nabla\times H = \frac{1}{c}\frac{\partial E}{\partial t} $$
其中，$H$表示磁场强度。将这个式子带入安培环路定理式中，可以得到： $$ \nabla\times\nabla\times E = \nabla(\nabla\cdot E) - \nabla^2 E = - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} $$ 于是，波动方程就可以表示为： $$ \nabla^2E=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2E}{\partial t^2} $$ 三、波动方程的应用 波动方程是电磁学中最重要的方程之一，它具有广泛的应用领域。下面介绍几个与波动方程有关的典型应用。
电磁场中的波动方程 电磁场是一种无处不在的现象，它伴随我们的生活始终存在。电磁波是电磁场的一种传播方式，其性质包含了电场和磁场的相互作用。电场和磁场的变化会引发电磁波的产生和传播。这种现象是由电磁波方程描述的，也被称作麦克斯韦方程。 麦克斯韦方程是描述电磁现象的基本方程。它包含了四个方程式，分别是麦克斯韦-安培定律、麦克斯韦-法拉第定律、高斯定律和安培定律。这些定律可以描述电荷间的运动、电场和磁场的相互作用，以及电磁波的产生和传播。 其中最重要的是麦克斯韦-安培定律和麦克斯韦-法拉第定律，它们描述了电磁场的本质和演化过程。麦克斯韦-安培定律表明电场和磁场的变化率决定了电流的存在和方向。这个定律可以用于解释通过电导体产生的电流和磁感应线圈产生的感应电流。麦克斯韦-法拉第定律则描述了电磁场相互作用的本质。当磁变化时，会引发磁场的旋转，在这个过程中，会引发电场的变化，从而产生电磁波。 在电磁波的产生和传播的过程中，麦克斯韦方程的重要性不言而喻。其波动方程描述了电场和磁场的演化过程，并且预测了电
磁波的存在和性质。电磁波的波长和频率是可以计算的，这在天 线设计和电磁波工程中起着至关重要的作用。 电磁波波动方程具有非常特殊的形式。它是由电场和磁场的空 间导数和时间导数的求和组成的。其中，导数的正负性质决定了 电场和磁场变化的速率和方向。这个方程式被广泛应用于电磁场 的研究和电磁波的传播预测。 对于这个方程的求解，可能会需要使用不同的方法。例如分离 变量法或Fourier变换可以用于解决电磁场的向空间分布的傅立叶 系数，从而找出能量传递的频带。这些方法在研究电磁波的传播、天线设计和电磁波工程中都具有重要的应用。 总的来说，电磁波波动方程是描述电磁场演化和电磁波产生和 传播的核心方程式之一。通过这个波动方程，我们可以深入了解 电磁波的物理特性、预测电磁波的传播和预测电磁波的频带等。 这对于电磁场的研究和电磁波工程具有重要的意义。
波导条件的概念 波导条件是一种在电磁波导中，电磁波的传播必须满足的一组条件。波导是一种特殊的导波结构，通常由金属或介质界面形成，具有一定的几何形状。波导条件是必需的，以确保波在波导中正确传播和限制能量的流失。下面将从理论和实践两个方面介绍波导条件的概念。 在理论上，波导条件可以从麦克斯韦方程组开始推导。麦克斯韦方程组描述了电磁场在空间中的分布和传播规律。对于电磁波导，波动方程是其中的一个重要方程，可以通过对麦克斯韦方程组进行推导得到。对于波导，一般都是采用电磁场在截面上的分布来描述，而不是在整个空间中描述。通过将电磁场沿垂直方向分离变量，可以得到电场和磁场在截面上的分布，从而得到波动方程。 在导波结构中，波是沿着无界介质或金属中的一定路径传播的。波导的特殊结构使得波只能在一定范围内传播，这是由于波在界面上反射和折射导致的。在波导中，波随着某一方向的传播可以被限制，而在垂直方向上无穷传播。这种传播模式被称为波导模式，而波导条件定义了波导模式必须满足的一些限制条件。 波导条件的主要内容是：在波导截面内，电场和磁场的分布必须满足特定的边界条件。在传播方向上，电场和磁场必须满足电磁场的波动方程；在垂直方向上，电场和磁场必须满足驻波条件。波导条件保证了电磁波在波导中的传播能够有效地进行，并且限制了能量的流失。
实际上，波导条件也可以通过解析方法和数值方法来求解。解析方法是一种基于解析表达式的精确求解方法，可以得到波导模式的解析解。数值方法是一种基于数值计算的近似求解方法，可以通过离散化波导结构和求解离散化方程组来得到波导模式的近似解。这些方法在实际工程应用中非常重要，可以用于设计和优化波导传输系统。 总之，波导条件是一组保证电磁波在波导中正确传播的条件。波导条件可以从理论上和实践上进行分析和求解，它为波导结构的设计和应用提供了重要的理论基础。通过满足波导条件，可以实现很多重要的应用，如电磁波导器件、光纤通信和微波电路等。
波动方程 波动方程或称波方程（英语：Wave equation）由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。 从一个点源发散出的球面波 波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：
这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c应该用波的相速度代替： 实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程： 另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波:
电动力学中麦克斯韦方程组的整理及讨论引言 大学中有关电动力学的学习，都离不开一个重要的方程--------麦克 斯韦方程组。麦克斯韦方程作为电磁场中核心定律引导我们更好的学习电 动力学，并更好的从电磁场的角度来分析光学的相关知识。更深一步的掌 握麦克斯韦方程组，有助于我们学科的学习，为了更好的归纳，以下就从 它的历史背景，公式推导，静电场，静磁场，电磁场等几个方面论述麦克 斯韦方程组的重要应用。 一、历史背景 伟大的数学家麦克斯韦和物理学家法拉第历史性的拥抱，麦克斯韦将 法拉第实验得到电磁场存在的理论，用数学公式完美的表现出来，这就是 伟大的麦克斯韦方程组。 1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场 概念”。1855年至1865年，麦克斯韦基于以上理论，把数学的分析方法 引进电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。 二、真空中麦克斯韦方程的推导 麦克斯韦方程之所以能够出现，是因为他在恒定场的基础上提出两个 假设，他们分别是有法拉第电磁感应定律，认为变化的磁场可以激发电场；麦克斯韦位移电流假设，认为变化的电场可以激发磁场。
所以麦克斯韦利用库伦定律，高斯定理和相应的数学公式推出了电场的高斯定理的微分式（1）。利用安培环路定理，毕奥—萨伐尔定律推导出微分式（3）。利用了法拉第电磁感应定律和静电场方程推出了微分式（2）。最后利用麦克斯韦的位移电流假说和电荷守恒定律推导出了微分式（4）。 ρEε0（1）（2） BEtB0（3）（4） EBu0Juε00t三、介质中的麦克斯韦方程组 介质中的电容率和磁导率不再是u0和ε0而是改成u和ε，并在此我们确定了 两个物理量，分别是极化强度适量P和磁化强度适量M。他们各自产生了极化 ρP和电流和磁化电流，他们之间的关系式由微分形式表示为PMJM。根据以上关系式，并根据电荷守恒和诱导电流（极化电荷和磁化电流）分别得到电位移矢量D和磁场强度M。并得到两个线性关系 Dε0EP和HBu0M。这样就把真空中的麦克斯韦方程组推广到介质中，下面（5）到（8）就是介质中的麦克斯韦方程组。 Dρ（5） BEt（6）（7） B0DHJt（8）
姓名：学号：1由麦克斯韦方程和物质方程推导出三维波动方程。 解：麦克斯韦方程为 ∇∙D=ρ（1.1.43a）∇×E=−∂B ∂t (1.1.43b) ∇∙B=0 (1.1.43c) ∇×H=J+∂D ∂t (1.1.43d) 物质方程为 D=εE (1.1.44a) B=μH (1.1.44b) J=σE (1.1.44c) 从上述(1.1.43)和(1.1.44)出发，推导电磁场方程。将矢量运算公式∇(∇∙E)−∇2=∇×(∇×E) (1.1.45) 中E视为电场强度，利用（1.1.43a）和(1.1.44a)得到 ∇(∇∙E)=1 ε∇(∇∙D)=1 ε ∇ρ=0 (1.1.46) 最后假定自由电荷密度ρ为常数。进而利用（1.1.43）和(1.1.44)，有 ∇×(∇×E)=−∇×ðB ðt =−ð ∂t ∇×B =−μ∂ ðt ∇×H =−μ∂ ∂t (J+ðD ðt ) =−μ(ðJ ðt +ð2D ðt2 ) =−μσ∂E ∂t −μεð2E ðt2 将这个结果和（1.1.46）代入（1.1.45），得到μεð2E ðt2+μσ∂E ∂t =∇2E(1.1.47a) 这是电场方程。同理得磁场方程μεð2H ðt2+μσðH ðt =∇2H(1.1.47b) (1.1.47)中的一阶微商项刻画系统的损耗。如果系统的损耗为零，则（1.1.47）变为 ð2E ðt2 =c2∇2E ð2H ðt2 =c2∇2H(1.1.48) 这是电磁场的波动方程，其中，c=√1(με) ⁄正是电磁波的传播速度。 2.推导三维空间的模密度表达式g(v)=8πv2 c3 提示：见课本第12页 解：现在考虑边长为L的正方形空腔，腔内允许存在的波数{k x,k y,k z}=π L {l1,l2,l3}其中，l1,l2,l3是一组正整数。三维k-空间中模的密度为(π/L)3。考虑到k x,k y,k z 连续变化的情况，考察直角坐标系到球坐标系的变换。一个半径为k,厚度为∆k的球壳的体积为4πk2∆k。由于k x,k y,k z只限于取正值，它们只构成1/8的空间，相 应球壳的体积为1 8 (4πk2∆k).由于模密度为(L/π)3，因此1/8球壳内的模数为
1. 电磁场能量守恒定律的推导 应用麦克斯韦方程组 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨ ⎧∂∂+ =⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t D J H B t B E D 0 ρ 和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v J ρ=，结合公式 E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()( 可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为 E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)( E t D H E J ⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( E t D E H ⋅∂∂-⋅⨯∇=)( [] E t D H E H E ⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( E t D H t B H E ⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)( 令 H E S ⨯= H t B E t D t w ⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂ 对应的积分形式为 注释: 对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w ⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出 能量密度为
) (21B H D E w ⋅+⋅= 而H E S ⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。 ************************************************ 练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯 定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。 2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导 对于各向同性线性介质，将 E D ε=，ϕ-∇=E 代入f D ρ=⋅∇ 得 f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)( 即 ε ρϕεε ϕf -=∇⋅∇+ ∇1 2 对于均匀介质, 有0=∇ε 此即为静电势ϕ满足的泊松（poisson ）方程，其中f ρ为自由电荷体密度。 注释: 当0=∇ε，或E ⊥∇ε时，均有0=∇⋅∇ϕε，ϕ仍满足泊松方程。 3. 静电场能量公式的推导 在线性介质中，电场总能量为 ⎰∞ ⋅=dV D E W 21 对于静电场，利用 ρϕ=⋅∇-∇=D E ,给出 ρϕϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇-⋅∇-=⋅-∇=⋅)(])([D D D D D E 所以 ⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞+⋅-=+⋅∇-=⋅dV s d D dV dV D dV D E ρϕϕρϕϕ )( 又 =⋅⎰ ∞ s d D ϕ，故