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(完整版)线性代数历年考研试题之选择题

二、选择题

1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设

A 为n 阶方阵,且A 的行列式0A a =≠,而*A 是A 的伴随矩阵,则*

A 等于

（ C ） (A)a . (B)

. (C)1n a -. (D)n a . 【考点】伴随矩阵的性质. 解

*n A A

-=.

2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设

A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（）

(A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关.

n A =

3.(1988—Ⅰ,Ⅱ)n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤L 线性无关的充分必要条件是（ D ）

(A) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k L ,使11220s s k k k ααα++≠L .

(B)12,,,s αααL 中任意两个向量都线性无关.

中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.

【考点】向量组线性相关的性质.

解 “向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是(D). 对(A):“存在”改为“任意”就正确.

对(B):如1

23101,,011ααα??????

===????????????

中任意两个向量都线性无关,但123,,ααα线性相关.

对(C):1

23100,,012ααα??????

===????????????

中1α不能由23,αα线性表示,但123,,ααα线性相关. 4.(1989—Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ,Ⅴ)设

A 是n 阶方阵,且A 的行列式0A =,则A 中（）

(A)必有一列元素全为零. (B)必有两列元素对应成比例.

(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合. (D)任一列向量是其余列向量的线性组合.

【考点】向量组线性相关的判别定理.

解

0A =()R A n A ?

5.(1989—Ⅳ)设A 和B 均为n n ?矩阵,则必有（）

(A)A B A B +=+. (B)

AB BA =.

(C)

AB BA =. (D)111()A B A B ---+=+.

【考点】矩阵的性质. 解

AB A B BA ==.选(C).

6.(1989—Ⅴ)设n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵A 的秩为r ，则0Ax =有非零解的充分必

要条件是（）

(A)r

n =. (B)r n <. (C)r n ≥. (D)r n >.

【考点】齐次线性方程组解的理论. 解齐次线性方程组1

10m n n m A x ???=有非零解的充分必要条件是()R A n <.选(B).

7.(1990—Ⅰ,Ⅱ)已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12,αα是对应齐次线性

方程组

0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解（一般解）必是（）

(A)12

11212()2k k ββααα-+++

. (B)12

11212()2k k ββααα++-+

. (C)1

11212()2

k k ββαββ-+++. (D)1

11212()2

k k ββαββ++-+.

【考点】非齐次线性方程组解的结构.

解

112,ααα-线性无关且为对应齐次线性方程组的解,故112,ααα-是对应齐次线性方程组

0Ax =的基础解系;又12

122

2A A A

b ββββ++=

=,故1

ββ+为

Ax b =的一个特解;由非齐次线

性方程组解的结构,知选(B). 对(A):

ββ-为

0Ax =的解.

对(C):12ββ+为2Ax b =的解,且

ββ-为

0Ax =的解.

对(D):11

2,αββ-不一定线性无关.

8.(1990—Ⅳ,Ⅴ)向量组12,,,s αααL 线性无关的充分条件是（）

(A)12,,,s αααL 均不为零向量.

(B)12,,,s αααL 任意两个向量的分量不成比例.

(D)12,,,s αααL

中有一部分向量线性无关.

【考点】向量组线性无关的性质.

解向量组12,,,s αααL

线性无关的充分必要条件是12,,,s αααL 中任意一个向量均不能由其余

1s -个向量线性表示.选(C).

对(A):如1

23101,,011ααα??????

===????????????

均不为零向量,但123,,ααα线性相关.

对(B):如1

23101,,011ααα??????

===????????????中任意两个向量的分量不成比例,但123,,ααα线性相关.

对(D):如1

23101,,011ααα??????

===????????????

中1α线性无关. 9.(1990—Ⅴ)设A 是n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则（）

(A)

*n A A

-=. (B)

*A A =. (C)*n

A A

=. (D)

A A -=.

参考1.(1987—Ⅰ,Ⅱ). 选(A). 10.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有（）

(A)

ACB E =. (B)CBA E =. (C)BAC E =. (D)BCA E =.

【考点】可逆矩阵的判别定理之推论.

解由()E

ABC A BC ==知BC 是A 的逆矩阵.选(D).

11.(1991—Ⅳ)设

A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征值,则A 的伴随矩阵*A 的特征值之一是

（） (A)1

-. (B)1

A λ

-. (C)A λ. (D)n

λ.

【考点】特征值的性质.

解选(B).****

()()()A

Ax x A Ax A x A x A x A x x λλλλ

=?=?=?=

12.(1991—Ⅴ)设,A B 为n 阶方阵,满足等式AB O =,则必有（）

(A)

A O =或

B O =. (B)A B O +=. (C)A O =或B O =. (D)A B O +=.

【考点】矩阵的性质. 解选(C).

00AB O AB A B =?=??=.

13.(1991—Ⅴ)设A 是m n ?矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则

下列结论正确的是（）

(A)若

0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解.

(B)若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解.

(C)若

Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解. (D)若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解.

【考点】非齐次线性方程组解的理论.

解选(D).Ax b =有无穷多个解()()()R A R B n R A n ?=

对(A):如1212120200x x x x x x +=??+=??+=?仅有零解,但121212

0201x x x x x x +=??

+=??+=?无解.

对(B):如12120220x x x x +=??+=?有非零解,但12120

222

x x x x +=??+=?无解.

对(C):

Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解.

14.(1992—Ⅰ,Ⅱ)要使12100,121ξξ????

????==????????-????都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为（）

(A)[]211-. (B)201011-??????. (C)102011-????-??. (D)011422011-????--??????

. 【考点】齐次线性方程组解向量的定义. 解选(A).

【注意】只需验证[]12,A O ξξ=.

15.(1992—Ⅳ)设

A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是（）

(A)A 的列向量线性无关. (B)A 的列向量线性相关. (C)A 的行向量线性无关. (D)A 的行向量线性相关.

【考点】齐次线性方程组解的理论,矩阵的秩及向量组的线性相关性. 解

0Ax =仅有零解()R A n ?=A ?的列秩n A =?的列向量线性无关.选(A).

16.(1992—Ⅴ)设1

1,,,A B A B A B --++均为n 阶可逆矩阵,则111()A B ---+等于（）

(A)

11A B --+. (B)A B +. (C)1()A A B B -+. (D)1()A B -+.

【考点】逆矩阵的性质. 解选(C).1

1111111(())()()A A B B B A B A AB E A A B --------+=+=+=+.

或

1111111()[()]()()()()A B A A B B E B A A B B B A B A B B E -------++=++=++=.

17.(1992—Ⅴ)设12,,,m αααL

均为n 维向量,那么,下列结论正确的是（）

(A)若11220m m k k k ααα+++=L ，则12,,,m αααL 线性相关.

(B)若对任意一组不全为零的数

12,,,m

k k k L ,都有

11220

m m k k k ααα+++≠L ,则

12,,,m αααL 线性无关.

(C)若12,,,m αααL

线性相关,则对任意一组不全为零的数12,,,m k k k L ,都有

11220m m k k k ααα+++=L .

(D)若12

0000m ααα?+?++?=L ,则12,,,m αααL 线性无关.

【考点】向量组线性相(无)关的定义.

解选(B).由线性相关定义的逆否命题可得.

18.(1993—Ⅰ,Ⅱ)已知12324,369Q t P ????=??????

为3阶非零矩阵,且满足PQ O =,则（） (A)6t

=时P 的秩必为1. (B)6t =时P 的秩必为2.

【考点】矩阵的秩及其性质. 解 ()()31()3()PQ O R P R Q R P R Q =?+≤?≤≤-.

当6t =时,()11()2()R Q R P R P =?≤≤?=1或2,则(A)和(B)都错; 当6t

≠时,()21()1()1R Q R P R P =?≤≤?=.选(C).

【注】(1)()()m s s n A B O R A R B s ??=?+≤.

(2)m s s n

A B O ??=,则B 的列向量组为m s s n A x O ??=的解向量.

19.(1993—Ⅳ)n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）

(A)充分必要条件. (B)充分而非必要条件. (C)必要而非充分条件. (D)既非充分也非必要条件. 【考点】矩阵能对角化的判别定理(充分条件). 解选(B).

20.(1993—Ⅴ)若12312,,,,αααββ都是四维列向量,且4阶行列式1231

,,,m αααβ=,

1223,,,n ααβα=,则4阶行列式32112,,,()αααββ+等于（）

(A)m n +. (B)()m n -+. (C)n m -. (D)m n -. 【考点】矩阵的运算及行列式的性质.

解选(C).

3211232113212

,,,(),,,,,,αααββαααβαααβ+=+

12311223,,,,,,n m αααβααβα=-+=-.

21.(1993—Ⅴ)设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵211

()3

A -有一特征值等于（）

(A)43. (B)34. (C)12. (D)14

【考点】特征值的性质. 解

A 有一特征值21433λ=,则211()3A -有一特征值

34.选(B).

22.(1994—Ⅰ,Ⅱ)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组（） (A)12233441,,,αααααααα++++线性无关. (B)12233441,,,αααααααα----线性无关. (C)12233441,,,αααααααα+++-线性无关.

(D)122

33441,,,αααααααα++--线性无关.

【考点】判别向量组线性相(无)关的方法. 解对(A):

12342341()()()()αααααααα+++=+++,

则12233441,,,αααααααα++++线性相关.

对(B):

12233441()()()()αααααααα-+-=----,

则12233441,,,αααααααα----线性相关.

对(D):

12233441()()()()αααααααα+-+=----,

则12233441,,,αααααααα++--线性相关.

故选(C). 或

对(A):

1223344112341

0011

100[,,,][,,,]01100011αααααααααααα?????

?++++=??

10011

11100010101100

01100110000????

????-???

?→????

???

????

, 所以12233441(,,,)34R αααααααα++++=<,则12233441

,,,αααααααα++++线性相关.

同理可讨论(B),(C),(D).

【注意】判别向量组线性相(无)关的常见方法如下. (1)用定义:一般对抽象的向量组.理论根据:

n 维向量组12,,,m αααL 线性相(无)关?齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=L 有非

零解(只有零解).

(2)用向量组的秩:对具体的向量组直接求秩;对抽象的向量组用矩阵的秩的性质推导出来.理论根据: 向量组12,,,m αααL

线性相(无)关?()(())R A m R A m <=.

(3)用相关理论推导. (4)特殊情形: 若向量组12,,,m βββL 可由12,,,m αααL 线性表示,且12,,,m αααL 线性无关时,设

[][]1212,,,,,,m m K βββααα=L L ,

则向量组12,,,m βββL 线性相(无)关?()(())R K m R K m <=.

23.(1994—Ⅳ)设A 是m n ?矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,

则( ) (A)1r

r >. (B)1r r <. (C)1r r =. (D)r 与1r 的关系依C 而定.

【考点】矩阵秩的性质. 解

1()()()r R B R AC R A r ====.选(C).

【注】设,P Q 为可逆矩阵,则()()()()R A R PA R AQ R PAQ ===.

24.(1994—Ⅴ)设,A B 都是n 阶非零矩阵,且AB O =,则A 和B 的秩( )

(A)必有一个等于零. (B)都小于n . (C)一个小于n ,一个等于n . (D)都等于n . 【考点】矩阵秩的性质. 解 ()()AB O R A R B n =?+≤;又()1,()1(,)R A R B A O B O ≥≥≠≠,则

(),()R A n R B n <<.

选(B).

25.(1994—Ⅴ)设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==

45(1,2,2,0),(2,1,5,10)αα=-=,则该向量组的最大线性无关组是( )

(A)123,,ααα. (B)124,,ααα. (C)125,,ααα. (D)1245,,,αααα.

【考点】具体向量组的最大线性无关组的求法.

解

123451031

031

302101101[,,,,]217250

001042140100

0000T T T T T

A ααααα????

????--?

?==→????

-???

????

, 则向量组的最大线性无关组是124,,ααα.选(B). 【注意】

(1)初等行变换保持矩阵的行向量组等价,保持矩阵的列向量组的线性相关性不变; (2)初等列变换保持矩阵的列向量组等价,保持矩阵的行向量组的线性相关性不变.

26.(1995—Ⅰ,Ⅱ)设

11121321

2223

222311

1213131

333111

3212

3313010,,100,

001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ??????

? ?=== ? ? ? ? ? ?+++??????

2100010101P ??

?= ? ???

则必有（） (A)

12APP B =. (B)21AP P B =. (C)12PP A B =. (D)21P P A B =.

【考点】初等变换与初等矩阵的关系. 解

B 可将A 的第一行加到第三行,再将A 的第一行与第二行交换得到.故选(C).

【注】在矩阵的左(右)边乘以一个初等矩阵,相当于对矩阵作相应的初等行(列)变换.

27.(1995—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵

m n A ?的秩为(),m R A m n I =<为m

阶单位矩阵,下述结论中正确的是

( ) (A)A 的任意m 个列向量必线性无关. (B)A 的任意一个m 阶子式不等于零. (C)若矩阵B 满足0BA =,则0B =.

(D)

A 通过初等行变换,必可以化为()m I O 的形式.

【考点】向量组线性无关的判别,矩阵秩的定义及矩阵的行阶梯形和标准形.

解选(C).0T T BA A B O =?

=.由()T R A m =,则齐次线性方程组T A x O =只有零解,即T

B 的列向量全为零,故T

B O B O =?=.

28.(1995—Ⅴ)设n 维行向量11

(,0,,0,)22

=L ,矩阵,2T T A I B I αααα=-=+,其中I 为

n 阶单位矩阵,则AB 等于( )

(A)0. (B)I -. (C)I . (D)T I αα

【考点】矩阵的运算.

解选(C).

29.(1996—Ⅰ,Ⅱ)四阶行列式

122334

0000000

a b a b b a b a 的值等于（）

(A)12341234a a a a b b b b -. (B)12341234a a a a b b b b +.

123434()()a a b b a a b b --. (D)23231414()()a a b b a a b b --.

【考点】行列式的计算.

解选(D).将行列式按第一行展开. 30.(1996—Ⅳ,Ⅴ)设n 阶矩阵A 非奇异,*A 是A 的伴随矩阵,则( )

(A)1

()n A A

A -=. (B)1

**()n A A

A +=. (C)2

()n A

A -=. (D)2

**()n A A

A +=.

【考点】矩阵运算的性质.

解选(C)..*

1****1111()()()A

A A A A A A A A A -----=?==

11n

n A A A A A A

-=?

??=. 31.(1996—Ⅳ,Ⅴ)设有任意两个

n 维向量组1,,m ααL 和1,,m ββL ,若存在两组不全为的数

1,,m λλL 和1,,m k k L ,使

111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=L L ,

则( ) (A)1,,m ααL 和1,,m ββL 都线性相关. (B)1,,m ααL

和1,,m ββL 都线性无关.

(D)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L

L 线性相关.

【考点】向量组线性相(无)关的定义. 解由111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=L L ,得

111111()()()()m m m m m m k k O λαβλαβαβαβ+++++-++-=L L ,

所以1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L

L 线性相关.选(D).

32.(1997—Ⅰ)设111122232333,,a b c a b c a b c ααα????????????===??????????????????

,则三条直线 0(1,2,3)i i i a x b y c i ++==（其中220,1,2,3i i a b i +≠=）

交于一点的充分必要条件（） (A)123,,ααα线性相关. (B)123,,ααα线性无关. (C)秩123(,,)

R ααα=秩12(,)R αα. (D)123,,ααα线性相关，12,αα线性无关.

【考点】齐次线性方程组解的理论.

解三条直线交于一点的充分必要条件是线性方程组

1112223

33000

a x

b y

c a x b y c a x b y c ++=??

++=??++=? 有惟一解12123(,)(,,)2R R ααααα?

=-=

1212123123123(,)2,(,,)2(,,)2,,R R R ααααααααααααα=????-=?=??

线性无关；

线性相关.

33.(1997—Ⅲ,Ⅳ)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中,线性无关的是( )

(A)122331,,αααααα++- (B)122

3123,,2ααααααα++++

(D)12

3123123,2322,355ααααααααα++-++-

解参考22.(1994—Ⅰ,Ⅱ).选(C).

34.(1997—Ⅲ)设,A B 为同阶可逆矩阵,则( )

(A)

AB BA = (B)存在可逆阵P ,使1P AP B -=

(C)存在可逆阵C ,使T

AC B = (D)存在可逆阵P 和Q ,使PAQ B =

【考点】矩阵等价,合同,相似的判别. 解

,A B 为同阶可逆矩阵,则,A B 都与同阶的单位矩阵等价,从而,A B 等价.故选(D).

【注意】两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等.如果不是同型矩阵,则必要性不成立. 35.(1997—Ⅳ)非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ,方程个数为m ,系数矩阵A 的秩为r ,

则( )

(A)r

m =时,方程组Ax b =有解. (B)r n =时,方程组Ax b =有惟一解. (C)m n =时,方程组Ax b =有惟一解. (D)r n <时,方程组Ax b =有无穷多解.

【考点】线性方程组解的理论.

解选(A).()()()()m R A R B m R A R B m =

≤≤?==.

36.(1998—Ⅰ)设矩阵1112223

3a b c a b c a b c ??

????????

是满秩的，则直线

333

121212

x a y b z c a a b b c c ---==

---与直线

111

232323

x a y b z c a a b b c c ---==---（）

(A)相交于一点. (B)重合. (C)平行但不重合. (D)异面. 【考点】空间两条直线位置的判别.

解设111333(,,),(,,),P

a b c Q a b c ==

11212122232323(,,),(,,)s a a b b c c s a a b b c c =---=---.

由121212

1223232312313131

[,,]0,,a a b b c c s s QP a a b b c c s s QP a a b b c c ---=---=?---u u u r u u u r

共面,则两直线共面.又

111121212222232323333333a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ---????????→---????????????

, 则12,s s 不平行,即两直线不平行.选(A).

37.(1998—Ⅱ)设

A 是任一(3)n n ≥阶方阵,*A 是其伴随矩阵,又k 为常数,且0,1k ≠±,则必有

*()kA =（）

(A)*

kA . (B)1

*n k

A -. (C)*n k A . (D)1*k A -.

【考点】伴随矩阵的定义. 解 *1*()n kA k A -=(由伴随矩阵的定义得到).选(B).或由

**1*()()()()n n n kA kA kA E k A E k AA kA k A -====

看出.

38.(1998—Ⅲ)齐次线性方程组212312312

3000

x x x x x x x x x λλλλ?++=?

++=??++=?的系数矩阵记为A .若存在三阶矩阵0

B ≠使得0AB =,则( )

(A)2λ=-且0B =. (B)2λ=-且0B ≠. (C)1λ

=且0B =. (D)1λ=且0B ≠.

【考点】矩阵的性质,齐次线性方程组解的理论.

解

0,00AB B Ax =≠?=有非零解01A λ?=?=.若0B ≠,由0AB =得0A =,

矛盾.故选(C).

39.(1998—Ⅲ)设(3)n n ≥阶矩阵1111a a a a a a A a

a a a

a a ?????

??=????????

L L

L M M M M L

,如果矩阵A 的秩为1n -,则a 必为( ) (A)1. (B)

11n -. (C)1-. (D)1

n -. 【考点】含参数的矩阵的秩的讨论. 解

()01R A n A a

-.当1a =时,显然()1R A =.故选(B). 40.(1998—Ⅳ)若向量组,,αβγ线性无关;,,αβδ线性相关,则( ) (A)α必可由,,βγδ线性表示. (B)β必不可由,,αγδ线性表示 (C)δ必可由,,αβγ线性表示. (D)δ必不可由,,αβγ线性表示. 【考点】向量组线性相(无)关的性质.

解

,,αβγ线性无关,有,αβ线性无关;又,,αβδ线性相关,得δ必可由,αβ线性表示,也必可由

,,αβγ线性表示.选(C).

41.(1999—Ⅰ)设A 是m n ?矩阵,B 是n m ?矩阵,则（）

(A)当m

n >时,必有行列式0AB ≠. (B)当m n >时,必有行列式0AB =.

(C)当n m >时,必有行列式0AB ≠. (D)当n m >时,必有行列式0AB =.

【考点】矩阵秩的性质. 解

()min{(),()}min{,}R AB R A R B m n ≤≤.选(B).

42.(1999—Ⅱ)记行列式

123

2221222333324535

4435743

x x x x x x x x x x x x x

x x x ---------------

为()f x ,则方程()0f x =的根的个数为（）

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

【考点】行列式的计算.

解

121()

1111

22212223()5(1)33324535

4435743

r r r x x x x x f x x

x x x x x x x

x x x -÷-----=-=--------.选(B).

43.(1999—Ⅲ,Ⅳ)设向量

可由向量组

12,,,m

αααL 线性表示,但不能由向量组

(Ⅰ):121,,,m ααα-L 线性表示,记向量组(Ⅱ):121,,,,m αααβ

-L ,则( )

(A)m α不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示. (B)m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示. (C)m α可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示. (D)m α可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示. 【考点】向量组的线性表示的定义及其判别.

解方法一: 若m α可由(Ⅰ)线性表示,则

121121121121(,,,)(,,,,)(,,,,,)(,,,,)

m m m m m m R R R R αααααααααααβαααβ----===L L L L

与β不能由121,,,m ααα-L 线性表示,矛盾,则m α不能由(Ⅰ)线性表示.故(C),(D)错.且

121121(,,,,)(,,,)1m m m R R ααααααα--=+L L ,

由β不能由121,,,m ααα-L 线性表示,则

121121(,,,,)(,,,)1m m R R αααβααα--=+L L .

所以 121121(,,,,)(,,,,)m m m R R αααβαααα--=L L

121121(,,,,,)(,,,,,)m m m m R R ααααβαααβα--==L L ,

则m α可由121,,,,m αααβ

-L 线性表示.故选(B).

方法二:β可由向量组12,,,m αααL 线性表示.若m α可由121,,,m ααα-L 线性表示,则β

可由向

量组121,,,m ααα-L 线性表示,矛盾.故(C),(D)错.

β可由向量组12,,,m αααL 线性表示,则存在一组数11,,,m m k k k -L ,使得

1111m m m m k k k βααα--=+++L ,

其中0m k ≠.若0m k =,则β

可由向量组121,,,m ααα-L

线性表示,矛盾.m α可由121,,,,m αααβ

-L 线性表示.故(A)错.选(B). 44.(1999—Ⅲ)设,A B 为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( )

(A)E A E B λλ-=-.

(B)

A 与

B 有相同的特征值和特征向量. (C)A 与B 都相似于一个对角矩阵.

(D)对任意常数t ,tE A -与tE B -相似.

【考点】矩阵相似的性质. 解选(D).A 与B 相似,存在可逆矩阵P ,使得1P AP B -=,则

1111()()tE B tE P AP P tE P P AP P tE A P -----=-=-=-,

即tE A -与tE B -相似. 对(A):E A E B A B λλ-=-?=.

对(B):

A 与

B 相似,则A 与B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 对(C):A 与B 不一定能对角化.

45.(2000—Ⅰ)n 维列向量组1,,()m m n αα

线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的

充分必要条件为（） (A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示. (B)向量组1,,m ββL 可由向量组1,,m ααL 线性表示.

(C)向量组1,,m ααL

与向量组1,,m ββL 等价.

(D)矩阵

1(,,)m A αα=L 与矩阵1(,,)m B ββ=L 等价.

【考点】向量组线性相(无)关的判别.

解选(D).

(A)是充分非必要条件.

(1) (A)是充分条件:

111(,,)(,,)(,,)m m m m R R m R m ααββββ=≤≤?=L L L .

(2) (A)是非必要条件:如12100,100αα????????==????????????线性无关,12100,001ββ????????==????????????

线性无关,但12,αα不能由12,ββ线性表示.

(B)是既非必要也非充分条件.

(1) (B)是非必要条件:如12100,100αα????????==????????????线性无关,12100,001ββ????????==????????????

线性无关,但12,ββ不能由12,αα线性表示.

(2) (B)是非充分条件:如12100,100αα????????==????????????线性无关,12100,000ββ????????==????????????

.12,ββ可由12,αα线性表示,但12,ββ线性相关. (C)是充分非必要条件.

(1) (C)是充分条件:11(,,)(,,)m m R R m ββαα==L

L .

(2) (C)是非必要条件:如12100,100αα????????==????????????线性无关,12100,001ββ????????==????????????

线性无关,但12,αα不能由12,ββ线性表示,则12,αα与12,ββ不等价. (D)是充分必要条件. 向量组1,,m ββL 线性无关111(,,)(,,)(,,)m m m R m R R m ββααββ?=?==L L L

()()R A R B A B ?=?→.

46.(2000—Ⅲ,Ⅳ)设

123

,,ααα是四元非齐次线性方程组

Ax b

=的三个解向量,且秩

(

A )=3,123(1,2,3,4),(0,1,2,3),T T C

ααα=+=表示任意常数,则线性方程组

Ax b =的通解

x =( )

(A)11213141C ????????????+????????????. (B)10213243C ????????????+????????????. (C)12233445C ????????????+????????????. (D)13243546C ????????????+????????????

【考点】线性方程组解的性质及非齐次线性方程组解的结构. 解选(C).()30R A Ax =?=的基础解系含4()1R A -=个解向量ξ.可取

1232()(2,3,4,5)T ξααα=-+=.

47.(2000—Ⅲ)设

A 为n 阶实矩阵,T

A 是

A 的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):0Ax =和

(Ⅱ):0T A Ax =,必有( )

(A)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解, (Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解. (B)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解. (C)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解, (Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解. (D)(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解, 但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解. 【考点】0Ax =与0T A Ax =解的关系.

解选(A).

【注意】0Ax =与0T A Ax =同解.事实上

(1)0()()0T T Ax A A x A Ax =?==,即0Ax =的解是0T A Ax =的解;

(2)

00()000T T T T A Ax x A Ax Ax Ax Ax Ax =?=?=?=?=,即0T A Ax =的解

是

0Ax =的解.

48.(2001—Ⅰ)设11114

0001

1110000,111100001

1110

000A B ????

?????

???==????

????

,则A 与B （） (A)合同且相似. (B)合同但不相似. (C)不合同但相似. (D)不合同且不相似. 【考点】实对称矩阵的对角化. 解选(A).

A 为实对称矩阵且A 的特征值为4,0,0,0.

【注意】实对称矩阵既正交合同也正交相似于对角矩阵.

49.(2001—Ⅲ,Ⅳ)设1112

131421

222324313233344142

44a a a a a a a a A a a a a a a a a ?????

?=???

???,14

131211242322213433323144

41a a a a a a a a B a a a a a a a a ??????=??????

10001010000101000P ??????=??????,210

00001001000001P ??

????=??

???

, 其中A 可逆,则1B -=( )

(A)

112A P P -. (B)112P A P -. (C)112P P A -. (D)1

21P A P -.

【考点】初等矩阵与初等变换的关系及乘积矩阵的求逆.

解选(C).B 由

A 的第二列与第三列交换,再将第一列与第四列交换得到,则

2112B AP P B PP A --=?=.

50.(2001—Ⅲ)设A 是n 阶矩阵,α是n 维列向量.若秩0T

A αα

???

=秩(A ),则线性方程组( ) (A)

Ax α=必有无穷多解. (B)

Ax α=必有惟一解.

x y αα

????

???????

仅有零解. (D)00T

x y αα

????

???????

必有非零解. 【考点】线性方程组解的理论.

解秩0T

A αα

???

=秩(

A )1n n ≤<+,则00T

x y αα

????

=????????

必有非零解.选(D).

51.(2002—Ⅰ)设有三张不同平面的方程123,1,2,3i i i i a x a y a z

b i ++==，它们所组成的线性方程

组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（）

【考点】线性方程组解的理论.

解方程组1112131

2122232

32333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b

++=??

++=??++=?有无穷多解.选(B).

【注意】

(1)三张不同平面123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==相交于一点1112131

2122232

32333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b

++=??

?++=??++=?有

惟一解;

(2)三张不同平面123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==相交于直线11121312122232

3132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b

++=??

?++=??++=?有

无穷多解;

(3)三张不同平面123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==无交点1112131

212223231

32333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b

++=??

?++=??++=?无解.

52.(2002—Ⅱ)设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由

123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）

(A)12312,,,k αααββ+线性无关. (B)12312,,,k αααββ+线性相关.

2,,,k αααββ+线性无关. (D)12312,,,k αααββ+线性相关.

【考点】向量组线性相(无)关与线性表示之间的关系. 解令0k =,则1232,,,αααβ线性无关,(B)错;1231,,,αααβ线性相关,(C)错.

令1k

=,若12312,,,k αααββ+线性相关,则2β能由123,,ααα线性表示,(D)错.选(A).

53.(2002—Ⅲ)设A 是m n ?矩阵,B 是n m ?矩阵,则线性方程组()0AB x =( )

(A)当n

m >时仅有零解. (B)当n m >时必有非零解.

(C)当m n >时仅有零解. (D)当m n >时必有非零解.

【考点】矩阵的秩的性质与齐次线性方程组解的理论. 解

()min{(),()}R AB R A R B n ≤≤,又AB 为m 阶方阵.选(D).

【注意】 (1)()min{,}m n R A m n ?≤

;

(2)()min{(),()}R AB R A R B ≤.

54.(2002—Ⅲ)设

A 是n 阶实对称矩阵,P 是n 阶可逆矩阵.已知n 维列向量α

是

A 的属于特征值λ

的特征向量,则矩阵1

()T P AP -属于特征值λ的特征向量是( )

(A)1

α-. (B)T P α. (C)P α. (D)1()T P α-.

【考点】矩阵的运算及矩阵的特征值与特征向量的定义.

解

11,()()T T T A P AP P A P αλα--==,从后式看出要利用前式,必须消去1()T P -,即在α

的前

面乘以T

P .选(B).

或1

1()()[()]()T T T T T T T P

AP P P A P P P A P αααλα--===.

【注意】在做选择题及填空题时,要有意识地培养“只求目的,不择手段”.

55.(2002—Ⅳ)设

,A B 为n 阶矩阵,**,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵,分块矩阵A O C O B ??

=??

,则C 的伴随矩阵*

=( )

(A)**A A O O B B ??

????. (B)**B B O O A A ??

???? (C)**A B O O

B A ??

???? (D)**B A O O

A B ??????

【考点】伴随矩阵的性质. 解方法一:根据*

A E =验证.选(D).(此方法在解决这类问题时一般较麻烦).

方法二:若1

A -易求得,由

*1A A A -=最简便.显然

1,A O C C A B O

B ---??

==?

???

1*A B A O B A O C C C O A B B O A B ---????

?===?

???????

. 56.(2003—Ⅰ,Ⅱ)设向量组Ⅰ: 12,,,r αααL 可由向量组Ⅱ:12,,,s βββL 线性表示,则（）

(A)当r

s <时,向量组Ⅱ必线性相关. (B)当r s >时,向量组Ⅱ必线性相关.

(C)当r s <时,向量组Ⅰ必线性相关. (D)当r s >时,向量组Ⅰ必线性相关.

【考点】向量组线性表示与向量组秩的关系. 解

1212(,,,)(,,,)r s R R s αααβββ≤≤L L .选(D).

57.(2003—Ⅰ)设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =,其中,A B 均为m n ?矩阵,现有4个命题:

①若

0Ax =的解均是0Bx =的解,则秩(A )≥秩(B ). ②若秩(A )≥秩(B ),则0Ax =的解均是0Bx =的解. ③若0Ax =与0Bx =同解,则秩(A )=秩(B ). ④若秩(A )=秩(B ),则0Ax =与0Bx =同解.

以上命题正确的是（）

(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ 【考点】线性方程组解的理论.

解若0Ax =的解均是0Bx =的解,则0Ax =的基础解系必是0Bx =的基础解系的一部分,故

0Ax =的基础解系所含解向量个数必小于0Bx =的基础解系所含解向量个数,即

()()()()n R A n R B R A R B -≤-?≥.

则①对,从而③也对.选(B).

或直观地判别结论.若

0Ax =的解均是0Bx =的解,则0Ax =所含限制条件不少于0Bx =所含

限制条件,从而0Ax =所含独立方程个数必不少于0Bx =所含独立方程个数,故()()R A R B ≥.①对.

【注意】

(1)()R A =线性方程组0Ax =所含独立方程个数; (2)()R B =线性方程组

0Ax b =≠所含独立方程个数.

此题的后面解法又是“不择手段”,读者在考试中做选择题和填空题时稍加运用,可以提高考试的效率

和得分率.这里要说明的,所谓“不择手段”是在对数学理论的直观理解的基础上,而不是记忆上. 58.(2003—Ⅲ)设12,,,s αααL

均为n 维向量,下列结论不正确的是( )

(A)若对于任意一组不全为零的数

12,,,s

k k k L ,都有

11220

s s k k k ααα+++≠L ,则

12,,,s αααL 线性无关.

(B)若12,,,s αααL 线性相关,则对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k L ,有

11220s s k k k ααα+++=L .

线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

【考点】向量组的线性相(无)关. 解选(B).

59.(2003—Ⅳ)设矩阵

001010100B ??

??=??

????

已知矩阵A 相似于B ,则秩(2)A E -与秩()A E -之和等于( )

(A)2. (B)3. (C)4. (D)5. 【考点】相似矩阵的性质. 解

(2)()(2)()4R A E R A E R B E R B E -+-=-+-=.选(C).

【注】 (1)若

A 与

B 相似,则111(0)k A l E k +≠与222(0)k A l E k +≠相似;

(2)相似矩阵有相同的秩.

60.(2004—Ⅰ,Ⅱ)设

A 是三阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得

B ,再把B 的第2列加到第3列得

C ,

则满足

AQ C =的可逆矩阵Q 为（）

06-10年数学一考研线性代数真题部分

（5）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么 .. （11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] （12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则 (A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得. 已知二次型的秩为2. （I）求a的值；（II）求正交变换，把化成标准形；（III）求方程=0的解. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.. （5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= . （11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（A）若线性相关，则线性相关. （B）若线性相关，则线性无关. （C）若线性无关，则线性相关. （D）若线性无关，则线性无关. 【】（12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则（A）（B）（C）（D） 20 已知非齐次线性方程组 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩 Ⅱ求的值及方程组的通解 21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得. （7）设向量组，，线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )（A）（B）（C）（D）

（8）设矩阵A=，B=，则A于B ( ) (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 (15)设矩阵A＝，则的秩为________. (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵. （5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（）不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（） 0. 1. 2. 3. （13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为. (20)（本题满分11分），为的转置，为的转置. （1）证；（2）若线性相关，则. （21）（本题满分11分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证（2）为何值，方程组有唯一解，求（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解 5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为 (A). (B). (C). (D). （6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 . . . . （13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为.

2015年武汉大学线性代数考研真题

2015年线性代数一、 ①证明?? ????-C B C A A 可逆的充要条件是AB 可逆 ②若??????-C B C A A 可逆，求出?? ????-C B C A A 的逆。二、r b A r A r b ==≠),()(,0，b Ax =的所有解集合为S,证明： ①S 中包含1+-r n 个线性无关的向量121,...,+-r n ηηη。 ②ξ是S 中元素充要条件是存在)1...,2,1(,+-=r n i k i ， 111=∑+-=r n i i k ，使得 ∑+-==1 1r n i i i k ηξ 三、已知A 为实正交矩阵，det(A)=1,证明存在正交矩阵P ，使得 21cos ,cos sin 0sin cos 00 01 332211'-++=??????????-=a a a AP P θθθθθ 其中。四、以下有关矩阵秩的命题在数域F 上判断正误，如正确请说明理由，如不正确请举例说明。（1）、若)()(B r A r =，则()()* *B r A r = （2）、若())(B r AB r =，则)()(BC r ABC r = （3）、)()('AA r A r = （4）、若一个对称矩阵的秩为r ，则有一个非0 的r 阶主子式。五、A 是n 阶实对称矩阵，其正负惯性指数分别是q p ,， AX X x f ')(=，记{} n f R x x f x N ∈==,0)(|，证明：（1）、包含于f N 的线性空间维数至多是),max(q p n - （2）、若w 是n R 的一个线性子空间，将二次型限定w 在中，得到的正负惯性指数分别是p1,q1，则有q q p p ≤≤11,。

2017考研数学理工类精选试题及解析：线性代数精品

第一章行列式一. 填空题 1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______. 解. a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为a 12a 21a 33a 44. 2. 排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1. 解. 排列i 1i 2…i n 可经过1 + 2 + … + (n －1) = n(n －1)/2 次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1. 3. 在五阶行列式中3524415312) 23145()15423() 1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a . 解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”. 4. 在函数 x x x x x x f 2 1 1 12)(---=中, x 3的系数是______. 解. x 3的系数只要考察23422 2x x x x x x +-=--. 所以x 3前的系数为2. 5. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 01 0100=---a b b a . 解. 0)(1 1 010022=+-=--=---b a a b b a a b b a . 所以a = b = 0. 6. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______. 解. nn n n a a a a a a a a 221121 222111 0= 7. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为???? ??????=321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式 =-1 21 332A A A A ______.

历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关

考研数学三(线性代数)历年真题汇编1.doc

考研数学三（线性代数）历年真题汇编1 (总分：50.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：14，分数：28.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.设n阶方阵A的秩r(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中【】（分数：2.00） A.必有，一个行向量线性无关． B.任意r个行向量都线性无关． C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组． D.任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出． 3.设A为n阶方阵且∣A∣=0，则【】（分数：2.00） A.A中必有两行(列)的元素对应成比例． B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合． C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合． D.A中至少有一行(列)的元素全为0． 4.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是【】（分数：2.00） A.α1，α2，…，αs均不为零向量． B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例． C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s一1个向量线性表示． D.α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关． 5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k 1，…，k m，使(λ1 +k 1 )α1 +…+(λm +k m )αm +(λ1一k 1 )β1 +…+(λm一k m )βm =0，则【】（分数：2.00） A.α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关． B.α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关． C.α1 +β1，…，αm +βm，α1一β1，…，αm一βm线性无关． D.α1 +β1，…，αm +βm，α1—β1，…，αm一βm线性相关． 6.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【】（分数：2.00） A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1 B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3 C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1 D.α1 +α2 +α3，2α1一3α2 +22α3，3α1 +5α2一5α3 7.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则【】（分数：2.00） A.αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示． B.αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示． C.αm可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示． D.αm可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示． 8.设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论不正确的是【】（分数：2.00） A.若对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，都有k 1α1 +k 1α2 +…+k sαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关． B.若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，有k 1α 1 +k 2α 2 +…+k sαs =0 C.α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s． D.α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 9.设α1，α2，…，α3均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【】（分数：2.00） A.若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性相关．

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

考研线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷128.doc

[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷128 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵（B）存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1T AQ1，Q2T BQ2为对角矩阵（C）存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B 2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．（A）A无负特征值（B）A是满秩矩阵（C）A的每个特征值都是单值（D）A-1是正定矩阵 3 下列说法正确的是( )．（A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 4 设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T AX与X T A-1X( )．

（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同 5 设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵 6 设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．（A）A，B合同（B）A，B相似（C）方程组AX=0与BX=0同解（D）r(A)=r(B) 7 设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．（A）r(A)=r(B) （B）|A|=|B| （C）A～B

历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)

历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-???? ????-???? B P 求5,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ?? ??=?? ??-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P

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1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-????????-????B P 求5 ,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ????=?? ???? A 与20000001y ?? ??=????-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P

考研线性代数重点内容和典型题型

考研线性代数重点内容和典型题型线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、

伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、

历年自考线性代数试题真题及答案分析解答完整版

历年自考线性代数试题真题及答案分析解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 4．??? ?? ??=3332312322 21131211a a a a a a a a a A ，????? ??=3332312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则= B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2

B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关 C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关 D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出 D ．β必能由321,,ααα线性表出 8．设A 为n m ?矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于m B ．等于m C ．小于n D ．等于n 9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T A B ．2A C ．1-A D ．*A 10．二次型212 322 213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

(完整版)历年全国自考线性代数试题及答案

浙02198# 线性代数试卷第1页（共25页）全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（）A.-12 B.-6 C.6 D.12 2．计算行列式 =----3 23 2 020005 1020203 （）A.-180 B.-120C.120 D.180 3．设A =? ? ? ???4321，则|2A *|=（）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示 5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（）A ．2 B 3C ．4 D ．5 6．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（）A ．A 与B 相似 B ．|A |=|B | C ．A 与B 等价 D ．A 与B 合同 7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（）A ．0 B ．2C ．3 D ．24 8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（）A ．-2 B ．0C ．2 D ．4 10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定 D ．A 半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1l.设A =??? ? ? ?????-421023,B =??????--010112，则AB =________. 12．设A 为3阶方阵，且|A |=3，则|3A -l |=________. 13．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________. 14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______． 15．设A 为5阶方阵，且R (A )=3，则线性空间W ={x |Ax =0}的维数是______． 16．设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，21 ，l ，则|5A -1|=_______． 17．若A 、B 为同阶方阵，且Bx =0只有零解，若R (A )=3，则R (AB )=________． 18．二次型f (x 1，x 2，x 3)=21x -2x 1x 2+2 2x -x 2x 3所对应的矩阵是________.

线性代数试题精选与精解含完整试题与详细答案2020考研数学基础训练

线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020 考研数学基础训练）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】C 【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。【历年考题链接】（2008,4）1．设行列式D=3332 31 232221 131211a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 3131 2322212113 12 1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．15 答案：C 。 2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( ) A.-180 B.-120

C.120 D.180 【答案】A 【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有： 44 1424344433 313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 000 2 2 3 2 3 3 3(002)6(1) =630180. 210 A A A A A A A ++--=?+?+?+?=-----=?+?-=---?=- 【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆。【历年考题链接】（2008,1）11.若,02 11 =k 则k=_______. 答案：1/2。 3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。由于1 1,A A -= 由已知| A -1 |=2，从而12A = ，所以3 122842 A A ==?=。

2020考研数学水平测试之线性代数测试(基础试题)(含详细答案)

2020考研数学水平测试之线性代数测试（基础试题）（含详细答案）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1．3阶行列式j i a = 1 1 101110 ---中元素21 a 的代数余了式 21 A =（） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 2．设矩阵A=??? ? ??2221 1211a a a a ，B=??? ? ? ?++1211 122211 21 a a a a a a ，P 1=??? ? ??01 10 ， P 2= ??? ? ??1101，则必有（） A ．P 1P 2A= B B ．P 2P 1A=B C ．AP 1P 2=B D ．AP 2P 1=B 3．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC=E ，则B -1 =（） A ．A -1 C -1 B ． C -1A -1 C ．AC D ．CA

4．设3阶矩阵A=??????? ? ??000100010，则A 2 的秩为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．设4 32 1 ,,,ααα α是一个4维向量组，若已知4 α可以表为3 2 1 ,,αα α的线性组合，且表示法惟一，则向量组4 32 1 ,,,ααα α的秩为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．设向量组4 321 ,,,ααα α线性相关，则向量组中（） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组

2017年自考线性代数历年考试试题及答案解析

第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2 β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0

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