历年自考线性代数试题
真题及答案分析解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2
1
21，
n c c b b =2
1
21，则
=++2
21
121c a c a b b （ B ）
A ．n m -
B ．m n -
C ．n m +
D ．)(n m +-
2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB
B ．CAB
C ．CBA
D ．BCA
3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8-
B ．2-
C ．2
D ．8
4．???
??
??=3332312322
21131211a a a
a a a a a a A ，????? ??=3332312322
211312
11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，???
?
?
??=100013001Q ，则=
B （ B ） A ．PA B ．AP
C ．QA
D ．AQ
5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2
B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2
C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0
D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0
6．下列命题中错误．．
的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线
性相关
C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关
D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关
7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出
D ．β必能由321,,ααα线性表出
8．设A 为n m ?矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于m
B ．等于m
C ．小于n
D ．等于n
9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T A
B ．2A
C ．1-A
D ．*A
10．二次型212
322
213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．行列式
2010
2009
2008
2007的值为_____________．
12．设矩阵????
??-=102311A ，?
??
?
??=1002B ，则=B A T _____________．
13．设T )2,0,1,3(-=α，T )4,1,1,3(-=β，若向量γ满足βγα32
=+，则=γ__________．
14．设A 为n 阶可逆矩阵，且n
A 1||-=，则|=-||1A _____________．
15．设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组
Ax =0的解，则=||A _____________．
16．齐次线性方程组???=+-=++0320
321
321x
x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为
_____________．
17．设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3-，则矩阵1
23
1-??
?
??A 必有一个特征值为
_________．
18．设矩阵??
?
?
?
??----=00202221x A 的特征值为2,1,4-，则数=x _____________．
19．已知????
?
?=10002
/102/1b a A 是正交矩阵，则=+b a _____________．
20．二次型323121321624),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是_____________．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式33
3222
c c b b a a c b a c
b a D +++=的值． 解：2
2
2
33
3
22233
3
222
11
1c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a
D ==+++= ))()((1
1)
)((b c a c a b abc a
c a b a c a b abc ---=++--=．
22．已知矩阵)3,1,2(=B ，)3,2,1(=C ，求（1）C B A T =；（2）2A ．
解：（1）????
? ??=????? ??==963321642)3,2,1(312C B A T
；
（2）注意到13312)3,2,1(=???
?
?
??=T CB ，所以
131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A T T T T T ???
?
? ??963321642．
23．设向量组T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．
解：??
?
?
?
?
?
?
?--==101113031121
111
2
),,,(4321ααααA →
??????? ?
?--11121303112110
1
1
→???
??
?
? ??------11102330011
01011
→???????
?
?--10002000011010
11→???????
??00001000011
01011→????
??
?
??-0000100001
1011
01，向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大无关组，213ααα+-=．
24．已知矩阵????? ??=100210321A ，???
??
??--=315241B ．（1）求1-A ；（2）解矩阵方程B AX =．
解：（1）????? ??=100010001100210321),(E A →???
?
? ??--100210301100010021
→????
?
??--100210121100010001，1
-A ????? ??--=100210121；
（2）==-B A X 1????? ??--100210121???
?
?
??---=????? ??--3111094315241．
25．问a 为何值时，线性方程组???
??=++=+=++6
322224
32321
32321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解
时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．
解： ????? ??=63222204321),(a b A →???
?
? ??---2320220432
1a →????? ??-030022
04321a a ． 3≠a 时，3)(),(==A r b A r ，有惟一解，此时→),(b A ???
??
??010********a →
????
?
??010********* →????? ??010*********→????? ??010*********，???
??===012
3
21x x x ； 3=a 时，n A r b A r <==2)(),(，有无穷多解，此时→),(b A ???
?
?
??000023204321
→????? ??000023202001→????? ??000012/3102001，??
?????=-==3
3
321
23
12
x x x x x ，通解为????? ??-+????? ??12/30012k ，其中k 为任
意常数．
26．设矩阵???
?? ??=3030002a a A 的三个特征值分别为5,2,1，求正的常数a 的值及可逆矩阵
P ，使???
?
? ??=-5000200011AP P ．
解：由521)9(23
323
0300
02||2??=-===a a a
a a A ，得42=a ，2=a ．
=-A E λ???
?
? ??-----320230
002
λλλ． 对于11=λ，解0)(=-x A E λ：
=-A E λ?
??
?
? ??-----22022000
1→????? ??000110001，?????=-==333210x x x x x ，取=1p ????? ??-110；
对于22=λ，解0)(=-x A E λ：
=-A E λ?
??
?
? ??----12021000
0→????? ??000100010，?????===003211x x x x ，取=2p ????? ??001；
对于53=λ，解0)(=-x A E λ：
=-A E λ????? ??--220220003→????? ??-000110001，???
??===33
3210
x
x x x x ，取=3
p ????? ??110． 令????? ??-==101101010),,(321p p p P ，则P 是可逆矩阵，使????
?
??=-5000200011
AP P ．
四、证明题（本题6分）
27．设A ，B ，B A +均为n 阶正交矩阵，证明111)(---+=+B A B A ．
证：A ，B ，B A +均为n 阶正交阵，则1-=A A T ，1-=B B T ，1)()(-+=+B A B A T ，所以
111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T ．
全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设3阶方阵),,(321ααα=A ，其中i α（3,2,1=i ）为A 的列向量，若
=||B 6|),,2(|3221=+αααα，则=||A （ C ）
A ．12-
B ．6-
C ．6
D ．12
2．计算行列式
=----3
23
2
020005
1020203
（ A ）
A ．180-
B ．120-
C ．120
D ．180
3．若A 为3阶方阵且2||1=-A
，则=|2|A （ C ） A ．2
1 B ．
2 C ．4
D ．8
4．设4321,,,αααα都是3维向量，则必有（ B ） A ．4321,,,αααα线性无关 B ．4321,,,αααα线性相关 C ．1α可由432,,ααα线性表示
D ．1α不可由432,,ααα线性表
示
5．若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2，则=)(A r （ C ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．设A 、B 为同阶方阵，且)()(B r A r =，则（ C ） A ．A 与B 相似
B ．||||B A =
C ．A 与B 等价
D ．A 与B 合同
7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为0,1,2，则=+|2|E A （ D ） A ．0
B ．2
C ．3
D ．24
8．若A 、B 相似，则下列说法错误的是（ B ） A ．A 与B 等价
B ．A 与B 合同
C ．||||B A =
D ．A 与B
有相同特征值
9．若向量)1,2,1(-=α与),3,2(t =β正交，则=t （ D ） A ．2-
B ．0
C ．2
D ．4
10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,2，则（ B ） A ．A 正定
B ．A 半正定
C ．A 负定
D ．A 半负定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．设?
???? ??-=421023A ，????
??--=010112B ，则=AB ______________．
12．设A 为3阶方阵，且3||=A ，则=-|3|1A ______________．
13．三元方程1321=++x x x 的通解是______________．
14．设)2,2,1(-=α，则与α反方向的单位向量是______________．
15．设A 为5阶方阵，且3)(=A r ，则线性空间}0|{==Ax x W 的维数是______________
．
16．
17．若A 、B 为5阶方阵，且0=Ax 只有零解，且3)(=B r ，则
=)(AB r ______________．
18．实对称矩阵???
?
? ??--110101012所对应的二次型=),,(321x x x f ______________．
19．设3元非齐次线性方程组b Ax =有解?
???
? ??=3211α，???
??
??-=3 2 12α，且2)(=A r ，则b
Ax =的通解是______________．
20．设???
?
?
??=321α，则T A αα=的非零特征值是______________．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算5阶行列式2
000102000002000
00201
0002=D ．
解：连续3次按第2行展开，
24382
11282
010*******
001020000201
0022=?=?
=?=?
=D ．
22．设矩阵X 满足方程???
?? ??---=????? ??????? ??-021102341010100001200010002X ，求X ．
解：记????? ??-=200010002A ，????
? ??=010100001B ，???
??
??---=021102341C ，则C AXB =，
????? ??-=-2/100010002/11A ，????
? ??=-010*******B ，
????? ??---=021********????? ??010100001????
?
??---=20102443121． 23．求非齐次线性方程组???
??=--+=+--=--+0
89544331
34321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解．
解：=),(b A ????? ??------089514431311311→???
?? ??------176401764011311→
???
?
?
??---00000176
4011311 →????? ??---0000017640441244→????? ??--000001764053604→????? ??----000004/14/72/3104/54
/32/301， ??????
???==++-=-+=44
33432431472341432345x x x x x x x x x x ，通解为??
??
??? ??-+??????? ??+??????? ??-104/74/3012/32/3004/14/521k k ，21,k k 都是任意常数． 24．求向量组)4,1,2,1(1-=α，)4,10,100,9(2=α，)8,2,4,2(3---=α的秩和一个极大无关组．
解：?????
?? ?
?----=844210141002291),,(321T
T T ααα→??????? ??----21121012501291→???????
??--08001900410291 →????
??
?
?
?-000000010291
→????
??
?
?
?-000000010201
，向量组的秩为2，21,αα是一个极大无关组． 25．已知???
?
?
??---=2135212b a A 的一个特征向量T )1,1,1(-=ξ，求b a ,及ξ所对应的特征值，
并写出对应于这个特征值的全部特征向量．
解：设λ是ξ所对应的特征值，则λξξ=A ，即???
??
??-=????? ??-????? ??---1111112135212λb a ，从而
????
?
??-=????? ??++-λλλ121b a ，可得3-=a ，0=b ，1-=λ； 对于1-=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：
=-A E λ=????? ??+-+---201335212λλλ????? ??----101325213→????? ??----213325101→???
??
??110220101→
????? ??000110101，???
??=-=-=33
3
231x
x x x x x ，基础解系为?????
??--111，属于1-=λ的全部特征向量为k ???
?
?
??--111，k 为任意非零实数．
26．设???
?
? ??----=2211121211
2a A ，试确定a 使2)(=A r ．
解：????? ??----=22111212112a A →????? ??----a 12121122211→???
?
? ??----2330233022
11a
→???
?
?
??--a 00023302211，0=a 时2)(=A r ． 四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．若321,,ααα是b Ax =（0≠b ）的线性无关解，证明,12αα-13αα-是对应齐次线性方程组0=Ax 的线性无关解．
证：因为321,,ααα是b Ax =的解，所以12αα-，13αα-是0=Ax 的解；
设0)()(132121=-+-ααααk k ，即0)(3221121=++--αααk k k k ，由321,,ααα线性无
关，得???
??===--0002
121k k k k ，只有零解021==k k ，所以,12αα-13αα-线性无关．
全国2011年1月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α
与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1.设行列式
33
32
31
232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式
33
3231232221131211333222a a a a a a a a a =
（ ）
2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ）
3.已知A 2
+A -E =0，则矩阵A -1
=（ ） +E
+E
4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）
A.54321,,,,ααααα一定线性无关
B.54321,,,,ααααα一定线性相关
C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示
D.
1
α一定可以由
5432,,,αααα线性表出
5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ）
=0 =E (A )=n
6.设A 为n 阶方阵，r (A ) Ax =0的叙述正确的是（ ） =0只有零解 =0的基础解系含r (A )个解向量 =0的基础解系含n -r (A )个解向量 =0没有解 7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解 D.2132ηη-是Ax =b 的解 8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =???? ? ?????200540093的三个特征值，则321λλλ= （ ） 9.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.2 1 C.2 3 10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=3 23121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为 （ ） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式 1 2 2 1---k k =0，则k =_________________________. 12.设A =?? ? ? ??1101，k 为正整数，则A k =_________________________. 13.设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1 =?? ? ???4321，则矩阵A =_________________________. 14.设向量α=（6，-2，0，4），β=（-3，1，5，7），向量γ满足βγα32=+，则γ=_________________________. 15.设A 是m ×n 矩阵，A x =0,只有零解，则r (A )=_________________________. 16.设21,αα是齐次线性方程组A x =0的两个解，则A （3217αα+）=________. 17.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1-x 2+x 3=0}的维数是______________________. 18.设方阵A 有一个特征值为0，则|A 3|=________________________. 19.设向量=1α（-1，1，-3），=2α（2，-1，λ）正交，则 λ=__________________. 20.设f (x 1,x 2,x 3)=31212322 212224x x x tx x x x ++++是正定二次型，则t 满足_________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21.计算行列式 b a c c c b c a b b a a c b a ------222222 22.设矩阵 A =??? ? ??????---16101512211λλ，对参数λ讨论矩阵A 的秩. 23.求解矩阵方程??????????100152131X =???? ? ?????--315241 24.求向量组：????????????--=21211α，????????????--=56522α，????????????=11133α，????? ???????---=37214α的一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来. 25.求齐次线性方程组?????=++--=-++-=++-0 3204230 532432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及其通解. 26.求矩阵???? ??????---3142281232 的特征值和特征向量. 四、证明题（本大题共1小题，6分） 27.设向量1α，2α，….,k α线性无关，1 全国2011年1月高等教育自学考试 线性代数（经管）试题参考答案 课程代码：04184 三、计算题 解：原行列式 全国2011年4月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184 说明：A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列等式中，正确的是（） A．B．3= C．5D． 2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（） A．B． C．D． 3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，则C-1是（） A．B． C．D． 4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则矩阵A*的秩r (A*)=（） A．0 B．1 C．2 D．3 5．设向量，若有常数a ,b 使， 则（ ） A ．a =-1, b =-2 B ．a =-1, b =2 C ．a =1, b =-2 D ．a =1, b =2 6．向量组的极大线性无关组为 （ ） A ． B ． C ． D ． 7．设矩阵A =，那么矩阵A 的列向量组的秩为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 8．设是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 9．设矩阵A =，则A 的对应于特征值的特征向量为（ ） A ．（0，0，0）T B ．（0，2，-1）T C ．（1，0，-1）T D ．（0，1，1）T 10．二次型2 221213212),,(x x x x x x x f +-=的矩阵为（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．行列式 __________. 12．行列式 2 23 5 1 011110403 --中第4行各元素的代数余子式之和为__________. 13．设矩阵A =，B =（1，2，3），则BA =__________. 14．设3阶方阵A 的行列式|A |=2 1，则|A 3|=__________. 15．设A ，B 为n 阶方阵，且AB =E ，A -1B =B -1A =E ，则A 2+B 2=__________. 16．已知3维向量=（1，-3，3）， （1，0，-1）则+3=__________. 17．设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为__________. 18．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0 的通解为__________. 19．设3阶矩阵A 与B 相似，若A 的特征值为4 1,31,21，则行列式|B -1|=__________. 20．设A = 是正定矩阵，则a 的取值范围为__________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．已知矩阵A = ，B = ， 求：（1）A T B ； （2）|A T B |. 22．设A =，B =，C =，且满足AXB =C ，求矩阵X . 23．求向量组=（1, 2, 1, 0）T ，=（1, 1, 1, 2）T ，=（3, 4, 3, 4）T ，= （4, 5, 6, 4）T 的秩与一个极大线性无关组. 24．判断线性方程组??? ??-=+-=+--=-+-1 5424213431 43214321x x x x x x x x x x x 是否有解，有解时求出它的解. 25．已知2阶矩阵A 的特征值为=1，=9，对应的特征向量依次为=（-1，1）T ， =（7，1）T ，求矩阵A . 26．已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ=，求行列式|A -E |的值. 四、证明题（本大题共6分） 27．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵.证明： （1）AB -BA 为对称矩阵； （2）AB +BA 为反对称矩阵. 全国2011年7月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184 说明：本卷中，A T 表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩 阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设101350041A -?? ??=?? ???? ，则T AA =（ ） A ．-49 B ．-7 C ．7 D ．49 2．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（ ） A ．-32 B ．-8 C ．8 D ．32
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