第一章随机事件与概率（10课时）
一、目的与要求: 理解随机事件的基本运算及古典概率的
常规计算技巧
二、重点：离散的古典概率与连续型的古典概率
三、难点：离散型的古典概率
四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程：
1.课题引入
P 1
1.1.1：随机现象：
即同一条件下可能出现的不同结果成为随机现象。
例1.1.1：随机现象的例子：
（1）掷硬币可能出现正反两面。
（2）投掷骰子，可能出现的点数。
（3）一天进入某超市的顾客数。
（4）某种电视机的寿命。
（5）测量某种物理量（长度，直径等）的误差。
1.1.2 样本空间：
随机现象的一切可能结果成为样本空间。 例1.1.2
（1） 投硬币的样本空间为},{211ωω=Ω，其中1ω表
示正面，2ω表示反面，
（2） 投骰子的样本空间为
}6,5,4,3,2,1{},,{6212==Ωωωω
（3） 进入商场的顾客数的样本空间为： .},3,2,1{3 =Ω
（4） 电视机寿命的样本空间为： }0:{4≥=Ωt t （5） 测量误差的样本空间： }:{5+∞<<-∞=Ωx t
注意：样本点为有限个或者可列个的空间为离散样本空间。样本点不可列无限个的空间为连续样本空间。
1.1.3：随机事件：
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件。通常用大写字母A,B,C,……表示. 也可以用维恩图表示
随机事件分为基本事件，必然事件，不可能事件。
例1.1.3 掷骰子的样本空间为：
}6,5,4,3,2,1{},,{621==Ωωωω
事件A={出现1点}为基本事件。 事件B={出现偶数点}为复杂事件。 事件C={出现的点数小于7}为必然事件。
事件D={出现的点数大于6}为不可能事件。
1.1.4：随机变量：
表示随机现象结果的变量为随机变量。即为随机事件到数的一个映射。
例如：掷骰子 X=1，2，3，4，5，6. 掷币 X=0，X=1.
电视机寿命T>4000, T<10000 1.1.5：事件间的关系
例1.2.2 掷币两次，一正一反的概率为2
1
例1.2.3 （抽样模型）不返回抽样的情形。
一批产品共有N 件，其中M 件不合格品，N-M 件合格品，求从中随机取出n 件产品有m 件不合格品的概率。 解：设m A ={n 件产品有m 件不合格品}，则
},min{,,2,1,0,)(M n r r m n N m n M N m M A P m ==???
? ??????
??--???? ??=
取 4,3,9===n M N ，则
,
425126154946)(0==???? ?????? ??=A P
,4220
12660491336)(1==????
?????? ?????? ??=A P ,
421512645492326)(2==????
?????? ?????? ??=A P ,
4221266493316)(3==???
?
?????? ?????? ??=A P
例1.2.4（返回抽样）
一批产品共有N 件，其中M 件不合格品，N-M 件合格品，求从中随机取出n 件产品有m 件不合格品的概率。解；设m A ={n 件产品有m 件不合格品}，则
()m
n m n m n n m N M N M m n N M N M m n B P --???
?
?-??? ?????? ??=-???? ??=1)( 取 4,3,9===n M N ，则 ,8116
32931)(4
4
=??? ??=??? ??-=B P ,81
32
32314)(31=??? ??=B P
,812432316)(22
2=???
????? ??=B P
,81
832314)(1
33=???
???
?
?
??=B P ,81131)(4
4=??
?
??=B P
例1.2.6（盒子问题）
设有n 球，每个球等可能地投入N 个不同的盒子里，求： （1） 指定的)(N n n ≤个盒子各有一球的概率; （2） 恰好有)(N n n ≤个盒子各有一球的概率。
解：（1）总样本有n N 个。 特殊样本有!n 个。
所求概率为n N n P !
1=
（2）总样本有n N 个。
特殊样本有n N P 个。
所求概率为n n
N
N P P =2。
例1.2.7 （生日问题）
n 个人的生日各不相同的概率P 是多少。
730
)
1(1365)1(211365113652136511)!365(365!365--
=-+++-≈??
? ??--??? ??-??? ??
-=-=n n n n n P n
n n P 的近似结果
1.2.5 确定概率的几何方法
Ω
==S S P A
总体样本数特殊样本数
例1.2.8 （会面问题）甲乙两人约定6-7点会面，先到者只等20分钟，求两人会面的概率。 解：设y x ,分别为甲乙到达的时间。 总体样本为：()}600,600|,{≤≤≤≤y x y x 能会面的样本为：()}20|,{≤-y x y x
则会面的概率为：95
604060222=-==Ω
S S P A
例1.2.9 （蒲丰针问题）平面上平行线相距为d ，向平行线投长为)(d l l <的针，问：针与平行线相交的概率。
解：设x 为针的重心到平行线的边的距离，?为针的方向角。
总体样本为：()}0,20|,{π??≤≤≤≤d
x x
针能相交的样本为：()}sin 2
|,{??l
x x ≤
则针能与平行线相交的概率为：
ππ??π
d l
d d l
S S P A 22
sin 20=
==?Ω 用随机模拟法，即蒙特卡罗法也可以做出类似结论。
例1.2.10. 长度为a 的线上任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。
解：设y x a y x --,,分别为分成的三段线段的长度。 总体样本为：()}0,0,0|,{a y x a y a x y x <+<<<<< 能构成三角形的样本为：
()}2
0,20,2|,{a y a x a y x a y x A <<<<<+<=
则能构成三角形的概率为：
412
822
===Ωa a S S P A
1.2.6 确定概率的主观方法
n n f P A
=
≈
即用主观频率近似代替理论概率。
1.3 概率的性质 1.3.1 概率的可加性 性质1.3.2 （有限可加性） 若n A A A ,,21 互不相容，则
()∑===???? ??n i i n i i A P A P 1
1 性质1.3.3 ()
()A P A P -=1
例：1.3.1 容36只灯泡4只60瓦，32只40瓦，任取3只，求至少一只60瓦的概率。
解：记}603{瓦只至少一只=A ，则
()
695
.0357248336332==???
? ?????? ??=A P 所以()()
305.01=-=A P A P
例：1.3.2抛一枚硬币5次，求有正有反的概率。 解：记}5{次有正有反掷币=A ，}5{次全正掷币=B ，
}5{次全反掷币=C 则
()()
1615
21211)()(1155=
--=--=-=C P B P A P A P 。
1.3.2 概率的单调性
性质1.3.4 若B A ?，则)()()(B P A P B A P -=- 证明：因为B A ?，所以 ()B A B A -?=
由于B A B -与互不相容，由有限可加性得 )()()(B A P B P A P -+= 即得)()()(B P A P B A P -=-
推论（单调性）若B A ?，则)()(B P A P ≥ 一般性结论
对于任意事件B A ,有)()()(AB P A P B A P -=- 证明：由AB A B A -=-又A AB ?故
)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=-
应用
例1.3.3 口袋有编号为n ,,2,1 的n 个球，从中有放回抽取m 次，求m 个球中最大号码为k 的概率。
解：记}k m {个求球最大号码为=k A ，
}i m {于个求球最大号码小于等=i B
则 m m
i n i B P =)(
()().,,2,1,1)
()()(11n k n
k k B P B P B B P A P m
m
m
k k k k k =--=-=-=--
1.3.3 概率的加法公式
性质1.3.6（加法公式）对于任意两个各事件B A ,，有
()
AB P B P A P B A P -+=?)()()(()()n n n
k j i k
j i n
j i j i n
i i n
i i A A A P A A A P A A P A P A P 211
111
1
)1()()()(-≤<<≤≤<≤==-++
-
=∑∑∑推论（半可加性）对于任意两个各事件B A ,，有 )()()(B P A P B A P +≤? 对于任意n 个事件n A A A ,,21，有 ∑==≤n
i i n
i i A P A P 1
1
)()(
例1.3.4 已知事件B A B A ?,,的概率分别为0.4，0.3，0.6
求)(B A P
解：由()AB P B P A P B A P -+=?)()()(得：
)(3.04.06.0AB P -+= 得()1.0=AB P
于是3.01.04.0)()()(=-=-=AB P A P B A P 例1.3.5已知
()16
1
)()(,0)(,41)()(=
=====BC P AC P AB P C P B P A P 则A,B,C 至少发生一个的概率是多少？A,B,C 都不发生的概率是多少？ 解：（1）
8
516243)
()()()()()()()(=-=+---++=??ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P （2）
()
8
3
851)(1=-=??-=??=C B A P C B A P C B A P
例1.3.6 （配对问题）有n 人参加晚会，没人带一件礼物，各人的礼物互不相同，晚会随机抽取礼物，问：至少一人抽到自己的礼物的概率是多少?
解：记n ,1,2,i }i { ==，人抽到自己的礼物第i A 则 所求概率为：)(21n A A A P ???
n A P A P A P n 1
)()()(21====
)1(1)()()(13121-=
===-n n A A P A A P A A P n n
)
2)(1(1
)()()(12421321--=
===--n n n A A A P A A A P A A A P n n n
!
1
)(21n A A A P n =
于是
()()11211
111
1
1!
1
)1(!41!31!211)1()()()(---≤<<≤≤<≤==-≈-++-+-
=-++
-
=∑∑∑e n A A A P A A A P A A P A P A P n n n n
k j i k
j i n
j i j i n
i i n
i i
1.3.4概率的连续性
定义1.3.1对于 ????n F F F 21，称 n
i n F 1=为极限
事件 即 n
i n n n F F 1
lim =∞
→= 同样对于 ????n E E E 21，称 n
i n F 1
=为极限事件
即 n
i n n n F F 1
lim =∞
→= 定义1.3.2 当 ????n F F F 21有
)lim ()(lim n n n n F P F P →∞
→∞
=，则称概率P 是下连续的。
当 ????n E E E 21有
)lim ()(lim n n n n F P F P →∞
→∞=，则称概率P 是上连续的。
性质1.3.7 （概率的连续性）若P 为事件域是F 上的概率，则P 即是下连续，又是上连续的。
证明：先证P 是下连续， ????n F F F 21，即
n
i n n n F F 1
lim =∞
→= 定义φ=0F ，则 ∞
=-∞=-=1
1
1
)(i i i
i n
F
F F ，由可列可加性
()()∑∑=-→∞
∞=-∞=-=-=???? ??n i i i n i i i i i F F P F F P F P 111
11lim 由有限可加性得：
()()()n i i i n
i i i F P F F P F F P =???
?
??-=-∞=-=-∑ 1111 所以)lim ()(lim n n n n F P F P →∞
→∞= 故概率P 是下连续的。 上连续的证明类似。
&1.4 条件概率
1.4.1 条件概率的定义
引入 例 1.4.1 两个小孩的家庭，其样本空间为
},,,{gg gb bg bb =Ω，求：
（1） 事件A=“家中至少有一个女孩”发生的概率。 （2） 若已知事件B=“家中至少有一个男孩”发生，求A
发生的概率。
解： （1）43
)(=A P
（2）32
)(=B A P
)()(4
342
)(B P AB P B A P == 定义1.4.1 设A 与B 是样本空间Ω的两个事件，若
0)(>A P ，则称)()
()(B P AB P B A P =
为B 发生下A 的条件
概率，简称条件概率。
性质1.4.1 （1）∈>A B A P ,0)(F 。 （2）.1)(=ΩB P
（3）()∑∞
=∞==???? ??1
1i n i n B A P B A P 。
性质1.4.2 乘法公式
（1）0)(>B P ，则)()()(B A P B P AB P = （2）若0)(121>-n A A A P ，则
)
()()()()(2121312121n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P =证明：由
)()()()
()()()()(11121321121121-=n n n A A P A A P A A P A A A P A P A A P A P A A A P
可得：
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
3
1
2
1
2
1n
n
n
A
A
A
A
P
A
A
A
P
A
A
P
A
P
A
A
A
P
=
成立。
例1.4.3 一批零件共有100个，其中10个不合格，从中一个一个抽取，求第三次取得不合格品的概率是多少？
解：“第i次取出的是不合格品”记为.3,2,1
,=
i
A
i
则所求概率为：
0826
.0
98
10
.
99
89
.
100
90
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
3
1
2
1
3
1
=
=
=A
A
A
P
A
A
P
A
P
A
A
A
P
例1.4.4（罐子模型）设罐中有b个黑球，r个红球，每次随机取出一个球后将原球放回，还加进c个同色球和d个异色球。第i次取出的是黑球记为i B，第j次取出的是红球记为j R，则
d
c
r
b
c
d
r
d
c
r
b
d
r
r
b
b
R
B
R
P
B
R
P
B
P
R
R
B
P
2
2
.
.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
3
1
2
1
3
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
d
c
r
b
c
d
r
d
c
r
b
c
r
r
b
r
B
R
R
P
R
B
P
R
P
R
B
R
P
2
2
.
.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
3
1
2
1
3
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
d
c
r
b
d
b
d
c
r
b
c
r
r
b
r
R
R
B
P
R
R
P
R
P
B
R
R
P
2
2
2
.
.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
3
1
2
1
3
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
（1） 当c=-1,d=0时，即为不返回抽样。 （2） 当c=0，d=0时，即为返回抽样。 （3） 当c>0,d=0时，即为传染病模型。 （4） 当c=0,d>0时，即为安全模型。 1.4.3 全概率公式
性质1.4.3设n B B B ,,,21 为Ω的一个分割，即
n B B B ,,,21 互不相容，且Ω== n
i i B 1
，则
∑==n
i i i B A P B P A P 1
)()()(
证明：
∑∑======Ω=n
i i i n i i n i i B A P B P AB P B A P A P A P 1
1
1
)
()()()()()( 全概率公式的简单应用形式：
)()()()()(B A P B P B A P B P A P +=
例 1.4.5 （摸彩模型）设在n 张彩票有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？
解：设.21i }i {，
，人摸到奖券第==i A 则
n
n n n n A A P A P A A P A P A P 1
11.10.1)
()()()()(1211212=--+=+=
类似的n
A P A P A P n 1
)()()(43====
故买彩票时候，无论先后，中奖机会均等。
例 1.4.6 保险公司认为某险种的投保人可以分为两类：一类为容易出事故者，另一类为安全者。统计资料表明：易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4，而安全者发生事故的概率为0.1，若假定第一类人投保的比例为20%，现在有一人来投保，问该投保人在投保后一年内出事故的概率有多大？
解：设}{投保人一年内出事故=A ，
}{投保人为第一类人=B ，}
{投保人为第二类人=B 则 16.01.08.04.02.0)
()()()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P
例 1.4.7 （敏感性问题调查）
调查学生阅读黄色书刊与影像，为得到真实结果，设计方案如下:
问题A ：你的生日是否在7月1日之前？ 问题B ：你是否看过黄色书刊与影像？
现在一个罐子里放白球与红球，抽到白球答问题A ，抽到红球答问题B 。
根据统计结果求看黄色书刊与影像的同学的比例。
解；
)
()()()()(是红球白球是白球是P P P P P +=
即ππp k
+-=)1(5.0n 于是π
π)1(5.0--=n k P
例如在一次实际调查中红球是30个，白球是20个，则
6.0=π，共收到1583张试卷，其中389张回答“是”，
则由此计算得：
0762.06
.0)
6.01(5.01583389=--=P 。 即约有
7.62%的学生看过黄色刊物与影像。
1.4.4 贝叶斯公式
设n B B B ,,,21 是样本空间Ω的一个分割，即n B B B ,,,21 互不相容，且Ω== n
i i B 1，则
∑==
n
j j
j
i i i B A P B P B A P B P A B P 1
)
()()
()()(
例1.4.8 某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用试剂检查，有病呈阳性的占99%，无病呈阴性的占99.9%，现在某人检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？
解：记B 为“被检查者换有肝癌”，A 为事件“检查结果为阳性”，则
284.0001
.09996.099.00004.099
.00004.0)
()()()()()()(=?+??=+=
B A P B P B A P B P B A P B P A B P
例1.4.9 伊索寓言“孩子与狼的问题”。 记A 为“小孩说谎”，B 为“小孩可信”，若
2.0)(,
8.0)(==B P B P
第一次村民印象为
5.0)(,
1.0)(==B A P B A P
444.05
.02.01.08.01
.08.0)
()()()()()()(=?+??=+=
B A P B P B A P B P B A P B P A B P 第二此村民印象为
556.0)(,
444.0)(==B P B P
138.05
.0556.01.0444.01
.0444.0)
()()()()
()()(=?+??=+=
B A P B P B A P B P B A P B P A B P
第三章 多维随机变量及其分布 一、教材说明 本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望。本章仿照一维随机变量的研究思路和方法。 1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念； （2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数； （3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望。 本章的教学要求是： （1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维分布； （2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法； （3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目； （4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系； （5）深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目。 2、本章的重点与难点 本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法。 二、教学内容 本章共分多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容。 3.1 多维随机变量及其联合分布 一、多维随机变量 定义3.1.1 如果12(),(),,()n X X X ωωω???是定义在同一个样本空间{}ωΩ=上的n 个随机变量，则称1()((),...,())n X X X ωωω=为n 维随机变量或随机向量。 二、 联合分布函数 1、定义3.1.2 对任意n 个实数12,,,n x x x ???，则n 个事件 1122{},{},,{}n n X x X x X x ≤≤???≤同时发生的概率 121122(,,,){,,,}n n n F x x x P X x X x X x ???=≤≤???≤ 称为n 维随机变量12(,,,)n X X X ???的联合分布函数。
课程号： 《概率论与数理统计》自测试卷 考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟 专业 班号 学号 姓名 得分 注意：所有答案请写在答题纸上，写清题号，否则无效。 一、填空题（本题20分，每题5分，共4题） 1、已知P(A)=0.4，P(B)=0.5, 若A 与B 互不相容，则P(AUB)= __0.9 ； 2、某国奥队前锋在4次射门中至少命中1次的概率为 15 16 ，则此前锋在一次射门中进球的概率为 12； 3、设随机变量X 服从参数为λ的Poisson 分布， 已知E(X)+ D(X) =5，则参数λ等于 _2.5 ； 4、假设来自正态总体(,100)N μ 的容量为100的样本，样本均值为5x =,则总体均值μ的置信度为0.95 的双侧置信区间为（已知分位点0.025Z =1.96） (3.04, 6.96) . 【解答】 1、 已知P(A)=0.4，，P(B)=0.5, 若A 与B 互不相容，则由有限可加性有P(AUB)=0.4+0.5=0.9 2、 某国奥队前锋在4次射门中至少命中1次的概率为 1516，则1516 =1-4 (1)p -，从而此射手在一次射击中命中的概率为p= 1 2 。 3、 由Poisson 分布数学期望和方差的性质有E(X)+ D(X) =5 即λλλ+==25，从而，λ=2.5. 4、来自正态总体(,100)N μ 的容量为100的样本，样本均值为5x =,则总体均值μ的置信度为0.95 的 双侧置信区间为（已知分位点0.025Z =1.96 ）在方差已知的条件下是??± ?X ，代入数据得置信区间(5-1.96, 5+1.96) =(3.04, 6.96) 。 二、选择题（本题20分，每题5分，共4题） 1、一酒鬼带着n 把钥匙回家,只有一把是门钥匙。他随手摸1把，总共摸了n 次，(提示：酒鬼的特征是失忆即无记忆性，每次可能重复摸到任何一把钥匙)。设随机变量X 为摸到门钥匙的总次数，则X 服从的分布为____C______
专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定
《概率论与数理统计》课程教案 第一章随机事件及概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。 1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2）注意让学生理解事件的互斥关系； 3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理； 5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题： 1. 集合的并运算 和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题： 第二章随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；
二．本章的教学内容及学时分配 学时 三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)。四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数之间的关系； c) 构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数关于x处处连续，且单点处概率为0，其中x为任意实数； e) 注意正态分布的标准化以及计算查表问题； 五．思考题和习题 思考题：1.会判别给定函数是否是某个随机变量的分布函数？ 2. 分布函数两种定义主要的区别是什么？ 3. 均匀分布与几何概率有何联系？ 4. 讨论指数分布与泊松分布之间的关系。 5．列举正态分布的应用。 第三章二维随机变量及其分布 一．教学目标及基本要求 (1) 了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。 (2) 会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3) 掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4) 会求两个独立随机变量的简单函数(如函数X+Y, max(X, Y), min(X, Y))的分布。 三．本章教学内容的重点和难点
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
第五章统计量及其分布 一、教材说明 本章内容包括：总体与样本，样本数据的整理与显示，统计量及其分布，三大抽样分布。本章的基本概念和重要结论是学习数理统计的基础。 1、教学目的与教学要求 1）掌握数理统计的总体、样本、样本经验分布函数、统计量及常用统计量等基本概念。 2）掌握三大分布的定义，并能熟练应用来求随机变量的分布。 3）牢记Fisher定理的内容及其三大推论。 4）使学生了解数理统计研究问题的方法与概率论研究问题方法的不同。 5）了解如何对样本数据进行整理与现实。 2、本章重点与难点 本章重点是数理统计的基本概念、三大分布的定义、Fisher定理及其推论。难点是Fisher 定理结合三大分布来求随机变量的分布。 二、教学内容 本章共分总体与样本、样本数据的整理与显示、统计量及其分布、三大抽样分布等4节来讲述本章的基本内容。 §5.1总体与样本 一、总体与样本 在一个统计问题中，把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。对于实际问题，总体中的个体是一些实在的人或物。比如，我们要研究某大学的学生身高情况，则该大学的全体学生构成问题的总体，而每一个学生即是一个个体。事实上，每一个学生有许多特征：性别、年龄、身高、体重等等，而在该问题中，我们关心的只是该校学生的身高如何，对其他的特征暂不考虑。这样，每个学生（个体）所具有的数量指标——身高就是个体，而所有身高全体看成总体。这样，抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是合适的，从这个意义上说： 总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。 例5.1.1考察某厂的产品质量，将其产品分为合格品和不合格品，并以0记合格品，以1记不格品，若以p表示不合格品率，则各总体可用一个二点分布表示： 不同的p反映了总体间的差异。 在有些问题中，我们对每一研究对象可能要观测两个或更多个指标，此时可用多维随机向量及其联合分布来描述总体。这种总体称为多维总体。 若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体。实际中总体中的个体数大多是有限的，当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理抽象。
一、单项选择题 1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2x B. C. 2x D. x 10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2x B. 1 C. 2x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。 (A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制
1. 某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一 个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______． 2. 甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两端的概率为( ) A．1 12B． 1 6 C．1 24D． 1 4 3. 已知x、y的取值如下表所示： x0134 y0.9 1.9 3.2 4.4 从散点图分析，y与x线性相关，且y^＝0.8x＋a，则a＝( ) A．0.8 B．1 C．1.2 D．1.5 4. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示; 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( ) A、3 B、4 C、5 D、6 5. 为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女 生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中 从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，若全校 男、女生比例为3：2，则全校抽取学生数为________． 6.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) （A）1 10（B）1 8 （C）1 6 （D）1 5
7.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点 D 在函数1,0()1 1,02 x x f x x x +≥?? =?-+
第一章随机事件与概率 第一节随机事件 教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。 教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。 教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。 教学内容： 1、随机现象与概率统计的研究对象 随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。 研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。 2、随机试验（E） 对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。 3、基本事件与样本空间 （1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用ω表示。 （2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间，用Ω表示。 4、随机事件 （1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。 （2）随机事件的集合表示 （3）随机事件的图形表示 必然事件（Ω）和不可能事件（E） 5、事件间的关系与运算 （1）包含（子事件）与相等 （2）和事件（加法运算） （2）积事件（乘法运算） （3）互斥关系 （4）对立关系（逆事件） （5）差事件(减法运算) 6、事件间的运算规律 （1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律 教学时数：2学时 作业：习题一1、2 第二节概率的定义 教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解概率的基本性质。
教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。 教学内容： 1、概率 用于表示事件A 发生可能性大小的数称为事件A 的概率，用P(A)表示。 2、古典型试验与古典概率 （1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。 （2）古典概率，在古典型试验中规定 P(A)= n k A =Ω中基本事件总数中含的基本事件数 3、几何型试验与几何概率 （1）几何型试验 向区域G 内投点，点落在G 内每一点处是等可能的，落在子区域1G 内(称事件A 发生) 的概率与1G 的度量成正比，而与1G 的位置和形状无关。 （2）几何概率。在几何型试验中规律定 P(A)= 的度量 的度量 G G 1 4、频率与统计概率 （1）事件的概率 设在n 次重复试验中，事件A 发生了r 次，则称比值 n r 为在这n 次试验中事件A 发生的频率，记为n r A f n =)( （2）频率的性质 ○11)(0≤≤A f n ；○21)(=Ωn f ；○30)(=Φn f ； ○4Φ=AB 时，)()()(B f A f B A f n n n +=+； ○5 随机性：r 的出现是不确定的；○6稳定性：)()(∞→→n p A f n （3）统计概率，规定 P(A)=P （4）统计概率的计算 n r A p ≈ )( (n 很大) 5、概率的基本性质 从以上三种定义的概率中可归纳得到： （1）0;1)(≤≤A P （2）1)(=ΩP
《概率论与数理统计》课程教案 第一章 随机事件及其概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概 率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机事件及事件之间的关系 第二节 频率与概率 2学时 第三节 等可能概型（古典概型） 2 学时 第四节 条件概率 第五节 事件的独立性 2 学时 三．本章教学内容的重点和难点 1） 随机事件及随机事件之间的关系； 2） 古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes 公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1） 使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2） 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义，理解 事件的互斥关系； 3） 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4） 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组 合，复习排列、组合原理； 5） 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？
2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？ 习题： 第二章 随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律 或密度函数及性质； 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机变量 第二节 第二节 离散型随机变量及其分布 离散随机变量及分布律、分布律的特征 第三节 常用的离散型随机变量 常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时 第四节 随机变量的分布函数 分布函数的定义和基本性质，公式 第五节 连续型随机变量及其分布 连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时 第六节 常用的连续型随机变量 常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时 三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何 事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)； 四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数(){}F x P X x =<的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X 的分布律的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； c) 构成连续随机变量X 的密度函数的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数()F x 关于x 处处连续，且()0P X x ==，其中x 为任
第一节 随机事件 教学目的： 了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念； 掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。 教学重点： 随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。 教学难点： 事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。 教学内容： 1、随机现象与概率统计的研究对象 随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。 研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。 2、随机试验（ E ） 对随机现象的观察。 特点①试验可在相同条件下重复； ②试验的所有可能结果不只一个， 但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。 3、基本事件与样本空间 （ 1）基本事件： E 中的结果（能直接观察到，不可再分） （ 2）样本空间： E 中所有基本事件的集合称为这个随机试验 示。 教学目的： 概率的基本性质。 教学难点： 古典概率的计算，频率性质与统计概率。 第一章 随机事件与概率 ，也称为样本点，用 表示。 E 的样本空间，用 表 4、 随机事件 （ 1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用 （2） 随机事件的集合表示 （ 3）随机事件的图形表示 必然事件（ ）和不可能事件（ E ） 5、 事件间的关系与运算 （1） （2） （2） （3） （4） （5） 6、 事件间的运算规律 （1）交换律； （ 2）结合律； （ 3）分配律； （ 4）对偶律 教学时数： 作 业： 包含（子事件）与相等 和事件（加法运算） 积事件（乘法运算） 互斥关系 对立关系（逆事件） 差事件 （减法运算 ） 2 学时 习题一 1、2 A 、 B 、 C 等表示。 第二节 概率的定义 掌握概率的古典定义，几何定义， 统计定义及这三种概率的计算方法； 了解
概率论与数理统计自测题（含答案，先自己做再对照） 一.单项选择题 设A^B 互为对立事件?且P （A ） >0. P A. P(A\B) = 0 B ? P (B|A) =0 C. P (AB) =0 D. P (AU5) =1 2- A. 3. A. 设A. B 为两个随机事件，且P(AB) >0, P (A) B. P (AB) C. P (A|B) D. 1 设随机变量X 在区间［2, 4］上服从均匀分布，则 P{2
概率论与数理统计英 文版总结
Sample Space样本空间 The set of all possible outcomes of a statistical experiment is called the sample space. Event 事件 An event is a subset of a sample space. certain event（必然事件）： The sample space S itself, is certainly an event, which is called a certain event, means that it always occurs in the experiment. impossible event（不可能事件）： The empty set, denoted by?, is also an event, called an impossible event, means that it never occurs in the experiment. Probability of events （概率） If the number of successes in n trails is denoted by s, and if the sequence of relative frequencies /s n obtained for larger and larger value of n approaches a limit, then this limit is defined as the probability of success in a single trial. “equally likely to occur”------probability（古典概率） If a sample space S consists of N sample points, each is equally likely to occur. Assume that the event A consists of n sample points, then the probability p that A occurs is ()n p P A N == Mutually exclusive(互斥事件) Mutually independent 事件的独立性 Two events A and B are said to be independent if ()()() P A B P A P B =? I Or Two events A and B are independent if and only if (|)() P B A P B =.
《概率论与数理统计》单元自测题 第一章 随机事件与概率 专业 班级 姓名 学号 一、填空题： 1．设A ，B 是随机事件，7.0)(=A P ，5.0)(=B P ，3.0)(=-B A P ，则 =)(AB P _____________，=)(A B P _____________； 2．设A ，B 是随机事件， 4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=AB P ，则=)(B A P __________； 3．在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之和小于1的概率为___________； 4．三台机器相互独立运转，设第一、第二、第三台机器发生故障的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为_____________； 5．设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等 于 27 19 ，则事件A 在每次试验中出现的概率)(A P 为____________。 二、选择题： 1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则对立事件A 为（ ） (A )“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B )“甲、乙产品均畅销”； (C )“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； (D )“甲种产品滞销”。 2．设A ，B 为两个事件，则下面四个选项中正确的是（ ） (A ) )()()(B P A P B A P +=?； (B ))()()(B P A P AB P =； (C ))()()(A P B P A B P -=-； (D ))((1)(AB P B A P -=?。 3．对于任意两事件A 与B ，与B B A =?不等价的是（ ） (A ) B A ?； (B )A B ?； (C ) φ=B A ； (D )φ=B A 。 4．设6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，则有（ ） (A ) 事件A 与B 互不相容； (B ) 事件A 与B 互逆； (C )事件A 与B 相互独立； (D )A B ?。 三、计算题： 1．已知30件产品中有3件次品，从中随机地取出2件，求其中至少有1件次品的概率。 2．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地
第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆
江西省高安二中龙跃文
2012年11月【随机事件的概率】教学设计 江西省高安二中龙跃文 【教学内容解析】 《随机事件的概率》是北师大版数学必修3中第三章第一节的第一课时，是一节与生活实际联系紧密的概念课。本节课在旨在通过理解概率的定义的基础上理解其核心思想——随机思想。生活中存在着大量的随机现象，如天气、保险、彩票等。随机思想在当今社会有着广泛的应用，在概率成为普通生活常识的今天，对随机现象有一个较清楚的认识，成为每一个公民文化素质的基本要求。研究随机性有助于探究大自然和生活中事件发生的规律，从而方便人们的生活和生产。在初中阶段，同学们已经初步学习了随机事件和概率，对随机现象有了一定的了解。在高中阶段我们进一步学习概率的知识，从而为以后的概率论和数理统计知识打好基础。本节是高中概率的起始内容，理解好本节知识是学习本章后续古典概型和几何概型的重要前提。此外，随机思想是自然辩证法的重要思想，理解随机思想有助于培养学生用一分为二、对立统一的辩证唯物主义观点分析问题和认识世界。 教学重点：概率概念的提出以及频率与概率的区别和联系； 教学难点：利用概率的统计意义解释生活中的一些随机现象。 【教学目标设置】 知识与技能目标： (1)了解随机事件,必然事件,不可能事件的概念，能列举一些生活中的随机事件; (2)能通过正确理解随机事件发生的不确定性和稳定性，进一步认识随机现象; (3)能正确理解概率的概念和意义,明确事件发生的频率与事件发生的概率的区别与联系. 过程与方法目标： (1)能够通过在抛硬币的试验获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高. (2)能利用概率知识正确理解一些现实生活中的随机现象和实际问题。 情感态度与价值观目标： (1) 能通过亲身试验和感受来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系。 (2) 通过发现随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性的过程，体会偶然性和 必然性的对立统一的辩证唯物主义思想。 【学生学情分析】 (1)随机事件广泛存在于生活中，学生对随机事件和概率在生活中都有感性的体验，比如天气、彩票等问题，但是学生在高中学习阶段对随机思想的认识比较少，对随机现象理论也没有形成系统的认识。 (2)要正确理解本节内容中所蕴含的随机思想，需要学生有一定的生活经历，能自己动
2004年7月第1版 2008年4月第10次印刷 第一章 随机事件与概率 1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验. 1.1.2 样本空间 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元. 1.1.3 随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件. 1.1.4 随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 1.1.7 事件域 定义1.1.1 设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的集合类.如果?满足： (1) Ω∈?； (2)若A ∈?，则对立事件A ∈?； (3)若A n ∈?,n =1,2,…，则可列并 A n ∞n =1∈?. 则称?为一个事件域，又称为σ代数. 在概率论中，又称(Ω,?)为可测空间. 1.2 概率的定义及其确定方法 1.2.1 概率的公理化定义 定义1.2.1设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件A ∈?，定义在?上的一个实值函数P (A )满足： (1)非负性公理 若A ∈?，则P A ≥0； (2)正则性公理 P Ω =1； (3)可列可加性公理 若A 1,A 2,…,A n 互不相容，有 P A i ∞i =1 = P A i ∞ i =1 则称P (A )为事件A 的概率，称三元素(Ω,?,P )为概率空间. 第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布 2.1.1 随机变量的概念 定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X =X (ω)称为随机变量. 2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称
《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 B 个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2 ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+
5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,,,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11 n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ n n ?? n n i ??么 , n X 是来自总体2, X S =n σ C 、 2 22 1 ~(1)n n S X n σ-- D 、 ) ~(1)n X t n S μ-- 答案：B 9、容量为n =1的样本1X 来自总体~(1,)X B p ，其中参数01p <<，则下述结论正确的
A 、1X 是p 的无偏统计量 B 、1X 是p 的有偏统计量 C 、2 1X 是2p 的无偏统计量 D 、2 1X 是p 的有偏统计量 答案：A 10、已知若~(0,1) Y N ,则 { 1.96}0.05P Y ≥=。现假设总体 1225~(,9),,,,X N X X X μ为样本,X 为样本均值。对检验问 25, ,)x x )0.7A B =5、设样本12,, ,n X X X 来自总体2~(,)X N μσ，μ已知，要对2σ作假设检验，统计 假设为2222 0010:,:H H σσσσ=≠，则要用检验统计量为_______,给定显著水平α，则 检验的拒绝域为_________________。 答案：2 2 21 ()n i i X μχσ=-= ∑ ,2 2 22 1(0,()][(),)n n ααχχ-+∞