八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题测试提优卷试题
一、解答题
1．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝
13
S 矩形OBCD ，问：
（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；
（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．
2．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ???
（2）若ACD ?是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：
（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+
3．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论； （3）若AB ＝1，BC 5BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．
4．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ?∠= ．
()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若
3,2BE BG ==，求EF 的长；
()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-
()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足
,90,45,AB AD BAD BCD EAF ??=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接
写出BE 的长．
5．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．
（1）当t ＝1时，求BF 的长度；
（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值； （3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．
6．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α?<
（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数； （3）联结AF ，求证：2DE AF =
．
7．探究：如图①，△ABC 是等边三角形，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、AN ，延长MC 交AN 于点P ． （1）求证：△ACN ≌△CBM ；
（2）∠CPN = °；（给出求解过程）
（3）应用：将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ，如图②、③，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、DN ，延长MC 交DN 于点P ，则图②中∠CPN = °；（直接写出答案）
（4）图③中∠CPN = °；（直接写出答案）
（5）拓展：若将图①的△ABC 改为正n 边形，其它条件不变，则∠CPN = °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．
8．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=?.
（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=?；
（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；
②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由. 9．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．
(1)如图1，求证：CF ⊥EF;
(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;
(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.
10．（问题情境）
在△ABC 中，AB=AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE=CF ．
图① 图② 图③
证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：
PD+PE=CF．（不要证明）
（变式探究）
当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
（结论运用）
如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；
（迁移拓展）
在直角坐标系中.直线l1：y=
4
4
3
x
-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别
交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）P（10
3
，2）；（2）（
5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）
【分析】
（1）根据已知条件得到C（5，3），设直线OC的解析式为y＝kx，求得直线OC的解析式
为y＝3
5
x，设P（m，
3
5
m），根据S△POB＝
1
3
S矩形OBCD，列方程即可得到结论；
（2）设点P的纵坐标为h，得到点P在直线y＝2或y＝﹣2的直线上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为y＝nx，于是得到结论．
【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，
∴C（5，3），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴3＝5k，
∴k＝3
5
，
∴直线OC的解析式为y＝3
5 x，
∵点P在矩形的对角线OC上，
∴设P（m，3
5 m），
∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴1
2
?5×
3
5
m＝
1
3
?3×5，
∴m＝10
3
，
∴P（10
3
，2）；
（2）∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴设点P的纵坐标为h，
∴1
2
h×5＝
1
3
3
??5，
∴h＝2，
∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），
连接OE 交直线y ＝2于P ，则此时PO +PB 的值最小，
设直线OE 的解析式为y ＝nx ， ∴4＝5n ， ∴n ＝
45
， ∴直线OE 的解析式为y ＝4
5
x ， 当y ＝2时，x ＝52
， ∴P （
5
2
，2）， 同理，点P 在直线y ＝﹣2上， P （
5
2
，﹣2）， ∴点P 的坐标为（52，2）或（﹣5
2
，2）． 【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P 在位置是解题的关键．
2．（1）证明见解析；（2）62BE =3）证明见解析． 【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等； （2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得1
2
AE DG CG
CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；
（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AD//BC ， ∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ， ∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，
∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ， ∵//EH AC ，AB//CD ， ∴四边形ACGE 是平行四边形， ∴AE=CG ，
∴△AEF ≌△CGH （AAS ）； （2）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AB=CD ， ∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ， ∵F 是AD 的中点， ∴AF=FD ，
∴△AEF ≌△DGF （AAS ）； 由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）； ∴△DGF ≌△CGH, ∴1
2
AE
DG CG
CD , ∵ACD ?是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴2422
AB
CD
AD ,
∴22AE =， ∴62BE AB BE =+=； （3）如下图，
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，
∵ACD ?是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ， ∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==
2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==， 且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=, ∴22222()AC BD AB BC +=+ 【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角
形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE是平行四边形证明AE=CG；（2）得=是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键．
出DG CG
3．（1）证明见解析；（2）平行四边形，理由见解析；（3）45°
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；
（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；
（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AOF＝90°，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴AB∥EF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC
∴AC＝2，
∴OA＝1＝AB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BF＝DF，
∴△BFD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高），
∴∠BOF＝90°，
∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，
等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO 是等腰直角三角形是解本题的关键．
4．（1）5EF =；（2）见解析；（3）5BE = 【分析】
（1）先用SAS 证ABG ≌ADF ，可得AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，又可证∠EAG=∠EAF ，故可用SAS 证GAE ≌FAE ，EF=GE ，即EF 长度可求；
（2）在DF 上取一点G ,使得DG=BE , 连接AG ，先用SAS 证ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，又可证∠EAF=∠GAF ，故可用SAS 证AEF ≌AGF ，可得EF=GF ，且DG=BE ，故EF=DF-DG=DF-BE ；
（3）在线段DF 上取BE=DG ，连接AG ，求证∠ABE=∠ADC ，即可用SAS 证ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，又可证∠EAF=∠GAF ，故可用SAS 证AEF ≌AGF ，可得EF=GF ，设BE=x ，则CE= 7+x ，EF=18-x ，根据勾股定理：
222CE CF =EF +，即可求得BE 的长度． 【详解】
解：（1）证明：如图1所示，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°， 在ABG 和ADF 中，
AB=AD ABG=ADF BG=DF ??
∠∠???
∴ABG ≌ADF （SAS ）， ∴AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，
又∵∠DAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=90°，且∠EAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°=∠EAF ， 在GAE 和FAE 中，
AG=AF GAE=FAE AE=AE ??
∠∠???
∴GAE ≌FAE （SAS ）， ∴EF=GE=GB+BE=2+3=5；
（2）如下图所示，在DF 上取一点G ,使得DG=BE , 连接AG ，
∵四边形ABCD 是正方形，故AB=AD ，∠ABE=∠ADG=90°， 在ABE 和ADG 中，
AB=AD ABE=ADG=90BE=DG ??
∠∠????
∴ABE ≌ADG （SAS ）， ∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，
∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°， ∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°， 在AEF 和AGF 中，
AE=AG EAF=GAF=45AF=AF ??
∠∠????
∴AEF ≌AGF （SAS ）， ∴EF=GF ，且DG=BE ， ∴EF=DF-DG=DF-BE ； （3）BE=5，
如下图所示，在线段DF 上取BE=DG ，连接AG ，
∵∠BAD=∠BCD=90°，故∠ABC+∠ADC=180°，且∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ABE=∠ADC ， 在ABE 和ADG 中，
AB=AD ABE=ADG BE=DG ??
∠∠???
∴ABE ≌ADG （SAS ）， ∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，
∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°， ∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°， 在AEF 和AGF 中，
AE=AG EAF=GAF=45AF=AF ??
∠∠????
∴AEF ≌AGF （SAS ）， ∴EF=GF ，
设BE=x ，则CE=BC+BE =7+x ，EF=GF=DC+CF-DG= DC+CF-BE=18-x ， 在直角三角形ECF 中，根据勾股定理：222CE CF =EF +， 即：222(7+x)5=(18-x)+，解得x=5， ∴BE=x=5． 【点睛】
本题主要考察了全等三角形的证明及性质、勾股定理，解题的关键在于添加辅助线，找出全等三角形，并用对应边/对应角相等的定理，解决该题． 5．（1）26 （2
）22 （3）2或22或4 【分析】
（1）由勾股定理可求出答案；
（2）延长AF ，过点D 作射线AF 的垂线，垂足为H ，设AH ＝DH ＝x ，在Rt △AHD 中，得出x 2+x 2＝42，解方程求出x 即可得出答案；
（3）分AF ＝DF ，AF ＝AD ，AD ＝DF 三种情况，由正方形的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【详解】
解：（1）当t ＝1时，AE ＝1， ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AG ＝FG ＝AE ＝1，∠G ＝90°， ∴BF ＝22FG BG +＝2215+＝26，
（2）如图1，延长AF ，过点D 作射线AF 的垂线，垂足为H ，
∵四边形AGFE 是正方形， ∴AE ＝EF ，∠AEF ＝90°， ∴∠EAF ＝45°， ∵DH ⊥AH ，
∴∠AHD ＝90°，∠ADH ＝45°＝∠EAF ， ∴AH ＝DH ， 设AH ＝DH ＝x ，
∵在Rt △AHD 中，∠AHD ＝90°， ∴x 2+x 2＝42，
解得x 1＝﹣22（舍去），x 2＝22， ∴D 、F 两点之间的最小距离为22；
（3）当AF ＝DF 时，由（2）知，点F 与点H 重合，过H 作HK ⊥AD 于K ，如图2，
∵AH ＝DH ，HK ⊥AD ，
∴AK ＝
2
AD
＝2， ∴t ＝2．
当AF ＝AD ＝4时，设AE ＝EF ＝x ， ∵在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°， ∴x 2+x 2＝42，
解得x 1＝﹣2（舍去），x 2＝2， ∴AE ＝2， 即t ＝2．
当AD ＝DF ＝4时，点E 与D 重合，t ＝4， 综上所述，t 为2或2或4． 【点睛】
本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． 6．（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析 【分析】
（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得
α=∠DCE =30°．
（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ?-∠-∠=?.
（3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得
△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论． 【详解】
（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD , 又∵BE =CE , ∴BE =CE =BC ,
∴△BEC 是等边三角形， ∴∠BCE =60°. 又∵∠BCD =90°, ∴α=∠DCE =30°.
（2）∠BEF 的度数不发生变化. 在△CED 中，CE =CD , ∴∠CED =∠CDE =
180902
2
?-α
α?-
， 在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α?-, ∴∠CEB =∠CBE =
1804522
BCE α
?-∠=?+,
∴∠BEF =18045CED CEB ?-∠-∠=?.
（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I
易知四边形AGFH 是平行四边形， 又∵BF ⊥DF ，
∴平行四边形AGFH 是矩形. ∵∠BAD =∠BGF =90°， ∠BPF =∠APD ， ∴∠ABG =∠ADH .
又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ， ∴△ABG ≌△ADH . ∴AG =AH ，
∴矩形AGFH 是正方形. ∴∠AFH =∠FAH =45°， ∴AH =AF
∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90° ∴∠DAH =∠CDI
又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ， ∴△AHD ≌△DIC ∴AH =DI ， ∵DE =2DI ，
∴DE =2AH AF
【点晴】
本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．（1）见解析；（2）120；（3）90；（4）72；（5）360
n
. 【分析】
（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC ，∠ACB=∠ABC ，从而得到△ACN ≌△CBM. （2）利用全等三角形的性质得到∠CAN=∠BCM ，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解.
（3）利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC ，∠ABC=∠BCD ，从而判断出△DCN ≌△CBM ，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM ，再利用内角和定理即可得到答案.
（4）由（3）的方法即可得到答案.
（5）利用正三边形，正四边形，正五边形，分别求出∠CPN 的度数与边数的关系式，即可得到答案. 【详解】
（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴BC=AC ，∠ACB=∠BAC=∠ABC=60?， ∴∠ACN=∠CBM=120?， 在△CAN 和△CBM 中，
CN BM ACN CBM AC BC =??
∠=∠??=?
， ∴△ACN ≌△CBM. （2）∵△ACN ≌△CBM. ∴∠CAN=∠BCM ，
∵∠ABC=∠BMC+∠BCM ，∠BAN=∠BAC+∠CAN ， ∴∠CPN=∠BMC+∠BAN =∠BMC+∠BAC+∠CAN =∠BMC+∠BAC+∠BCM
=∠ABC+∠BAC =60?+60?, =120?， 故答案为：120.
（3）将等边三角形换成正方形， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC=DC ，∠ABC=∠BCD=90?， ∴∠MBC=∠DCN=90?， 在△DCN 和△CBM 中，
DC BC DCN MBC CN BM =??
∠=∠??=?
， ∴△DCN ≌△CBM ， ∴∠CDN=∠BCM ， ∵∠BCM=∠PCN ， ∴∠CDN=∠PCN ，
在Rt △DCN 中，∠CDN+∠CND=90?， ∴∠PCN+∠CND=90?， ∴∠CPN=90?， 故答案为：90.
（4）将等边三角形换成正五边形， ∴∠ABC=∠DCB=108?， ∴∠MBC=∠DCN=72?， 在△DCN 和△CBM 中，
DC BC DCN MBC CN BM =??
∠=∠??=?
， ∴△DCN ≌△CBM ，
∴∠BMC=∠CND ，∠BCM=∠CDN ， ∵∠BCM=∠PCN ， ∴∠CND=∠PCN ，
在△CDN 中，∠CDN+∠CND=∠BCD=108?， ∴∠CPN=180?-(∠CND+∠PCN) =180?-(∠CND+∠CDN) =180?-108?， =72?， 故答案为：72.
（5）正三边形时，∠CPN=120?=360
3
， 正四边形时，∠CPN=90?=360
4， 正五边形时，∠CPN=72?=360
5
， 正n 边形时，∠CPN=360
n
， 故答案为： 360
n
. 【点睛】
此题考查正多边形的性质，三角形全等的判定及性质，图形在发生变化但是解题的思路是不变的，依据此特点进行解题是解此题的关键.
8．（1）作图见解析；（2）①见解析；②数量关系为：2NQ MQ =或NQ MQ =．理由见解析； 【分析】
（1）按照题意，尺规作图即可；
（2）连接PE ，先证明PQ 垂直平分BE ，得到PB=PE ，再证明60APE ∠=?，得到
30AEP ∠=?，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答；
（3）NQ=2MQ 或NQ=MQ ，分两种情况讨论，作辅助线，证明ABE FQP ???，即可解答. 【详解】
（1）如图1，分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ；
图1
（2）①连接PE ，如图2，
图2
点M 是BE 的中点，PQ BE ⊥
∴PQ 垂直平分BE ．
∴PB PE =，
∴90906030PEB PBE AEB ∠=∠=?-∠=?-?=?， ∴60APE PBE PEB ∠=∠+∠=?， ∴90906030AEP APE ∠=?∠=?-?=?， ∴60APE PBE PEB ∠=∠+∠=?，
∴90906030AEP APE ∠=?∠=?-?=?， ∴2BP EP AP ==．
②数量关系为：2NQ MQ =或NQ MQ =． 理由如下，分两种情况：
I 、如图3所示，过点Q 作QF AB ⊥于点F 交BC 于点G ，则QF CB =．
图3
正方形ABCD 中，AB BC =，
∴FQ AB =．
在Rt ABE △和Rt FQP 中，
BE PQ
AB FQ =??
=?
∴()ABE FQP HL ≌．
∴30FQP ABE ∠=∠=?．
又
60MGO AEB ∠=∠=?，
∴90GMO ∠=?，
CD
AB ．∴30N ABE ∠=∠=?．
∴2NQ MQ =．
Ⅱ、如图4所示，过点Q 作QF AB ⊥于点F 交BC 于点G ，则QF CB =．
图4
同理可证ABE FQP ≌． 此时60FPQ AEB ∠=∠=?． 又
FPQ ABE PMB ∠=∠+∠，30N ABE ∠=∠=?．
∴30EMQ PMB ∠=∠=?． ∴N EMQ ∠=∠，∴NQ MQ =．
【点睛】
本题为正方形和三角形变化综合题，难度较大，熟练掌握相关性质定理以及分类讨论思想是解答本题的关键.
9．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CN=25. 【解析】 【分析】
(1)如图，延长EF 交CD 延长线于点Q ，先证明CQ=CE ，再证明△FQD ≌△FEA ，根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ ，再根据等腰三角形的性质即可得CF ⊥EF ；
(2)分别过点F 、H 作FM ⊥CE ，HP ⊥CD ，垂足分别为M 、P ，证明四边形DFHP 是矩形，继而证明△HPC ≌△FMK ，根据全等三角形的性质即可得CH=FK ；
(3)连接CN ，延长HG 交CN 于点T ，设∠DCF=α，则∠GCF=α， 先证明得到FG=CG=GE ，∠CGT=2α，再由FG 是BC 的中垂线，可得BG = CG ， ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，再证明HN ∥BG ，得到四边形HGBN 是平行四边形，继而证明△HNC ≌△KGF ，推导可得出HT=CT=TN ，由FH-HG=1，所以设GH=m ，则BN=m ，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，继而根据
22222BC CN BN CE BE =-=-，可得关于m 的方程，解方程求得m 的值即可求得答案.
【详解】
(1)如图，延长EF 交CD 延长线于点Q ，
∵矩形ABCD ，AB ∥CD ， ∴∠AEF=∠CQE ， ∠A=∠QDF ，
又∵EF 平分∠AEC ，
∴∠AEF=∠CEF，
∴∠CEF=∠CQE，
∴CQ=CE，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
∴△FQD≌△FEA，
∴EF=FQ，
又∵CE=CQ，
∴CF⊥EF；
(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，
∵CQ=CE ，CF⊥EF，
∴∠DCF=∠FCE，
又∵FD⊥CD，
∴FM=DF，
∵FG//AB，∴∠DFH=∠DAC=90°，
∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°，
∴四边形DFHP是矩形，
∴DF=HP，
∴FM= DF=HP，
∵∠CHG=∠BCE，AD∥BC，FG∥CD，
∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH，
又∵∠FMK=∠HPC=90°，
∴△HPC≌△FMK，
∴CH=FK；
(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，∵FG∥CD ，∴∠DCF=∠CFG，
人教版八年级上册数学 三角形解答题易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．（问题探究） 将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处. （1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系； （2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠； （3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明； （拓展延伸） （4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点 A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结 论，并说明理由. 【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+?. 【解析】 【分析】 （1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题， （2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题， （3）运用三角形的外角性质即可解决问题，
（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】 解：（1）如图，∠1=2∠A ． 理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ； ∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ． （2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°， 由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°， ∴∠A′+∠A=∠1+∠2， 由折叠知识可得∠A=∠A′， ∴2∠A=∠1+∠2． （3）如图，∠1=2∠A+∠2 理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2， （4）如图， 根据翻折的性质，()3181201∠=-∠，()4181 2 02∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=?， ∴()()180118023601122 A D ∠+∠+ -∠+-∠=?， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+?． 【点睛】
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）． （1）当点N落在边BC上时，求t的值． （2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值． （3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式． （4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值． 【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4） t=1或 【解析】 试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ； （3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN． （4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值． 试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形， ∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合． ∴DQ=3 ∴2t=3． ∴t=； （2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，
六安数学三角形填空选择易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P 运动的时间是t 秒，那么当t =___________________，△APE 的面积等于6． 【答案】1.5或5或9 【解析】 【分析】 分为两种情况讨论：当点P 在AC 上时：当点P 在BC 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】 如图1，当点P 在AC 上．∵△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，∴CE =4，AP =2t ． ∵△APE 的面积等于6，∴S △APE = 12AP ?CE =12 AP ×4=6．∵AP =3，∴t =1.5． 如图2，当点P 在BC 上．则t ＞3∵E 是DC 的中点，∴BE =CE =4． ∵PE ()43=7-PE t t =-- ，∴S =12EP ?AC =12 ?EP ×6=6，∴EP =2，∴t =5或t =9． 总上所述，当t =1.5或5或9时，△APE 的面积会等于6．故答案为1.5或5或9． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键． 2．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．
【答案】10 【解析】 【分析】 以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答. 【详解】 解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏. 3．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】 延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出 △ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=53°，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】 解：
数学八年级上册 三角形填空选择易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，BE 平分∠ABC，CE 平分外角∠ACD，若∠A＝42°，则∠E＝_____°． 【答案】21° 【解析】 根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得． 解：由题意得：∠E =∠ECD ?∠EBC = 12∠ACD ?12∠ABC =12∠A =21°. 故答案为21°. 2．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。 【答案】45? 【解析】 【分析】 根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+ 由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠= 根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? 易得∠M 的度数。 【详解】 在ABM 中，2∠是ABM 的外角 ∴2M MAB ∠∠∠=+ 由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? ∵BOA 90∠=? ∴OBA OAB 90∠∠+=? ∵MA 平分BAO ∠
∴BAO 2MAB ∠∠= 由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=?+ ∵12∠∠= ∴2290BAO ∠∠=?+ 又∵2M MAB ∠∠∠=+ ∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+ ∴90BAO 2M BAO ∠∠∠?+=+ 2M 90∠=? M 45∠=? 【点睛】 本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。 3．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________ 【答案】10 【解析】 【分析】 【详解】 解：本题根据题意可得：（n －2）×180°=4×360°，解得：n=10． 故答案为：10 ． 考点：多边形的内角和定理. 4．有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，则∠ADE 的度数为（ ） A ．144° B ．84° C ．74° D ．54° 【答案】B 【解析】 正五边形的内角是∠ABC = ()521805-?=108°，∵AB =BC ，∴∠CAB =36°，正六边形的内角是∠ABE =∠E =()621806 -?=120°，∵∠ADE +∠E +∠ABE +∠CAB =360°，∴∠ADE =360°–120°–120°–36°=84°，故选B ． 5．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
新数学《三角函数与解三角形》高考知识点 一、选择题 1．在ABC ?中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =?的面积为 1， 则BD 的长为（ ） A ．32 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25 BCD BCD ???∠=∴∠= 2 2 2 2102210425 BD BD ∴=+-??? =∴=,选C 2．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ?的面积25cos S C =，且 1,25a b ==，则c =（ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 【答案】B 【解析】 由题意得，三角形的面积1 sin 25cos 2 S ab C C ==，所以tan 2C =， 所以5cos C = ， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B. 3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至 BC ，在旋转的过程中，记([0,])2 ABP x x π ∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区 域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π?? ∈???? 时，()112y f x tanx ==??; 当,42x ππ?? ∈ ??? 时，()11112y f x tanx ==-??; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】 本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
平行四边形二次达标题 1、等腰三角形中有一条边长为6，其三条中位线长度总和为10，则底边长为 ______ 2.如图，平行四边形ABCD的周长是30cm，△ABC的周长是22cm， 则AC的长为_________ 3.如图，在平行四边形ABCD中，EF过两条对角线的交点O，若AB=4，BC=7，OE=3， 则四边形EFCD的周长是__________ 4.能判定四边形是平行四边形的条件序号是__________ ①一组对边平行，另一组对边相等②一组对边相等，一组邻角相等 ③一组对边平行，一组邻角相等④一组对边平行，一组对角相等 5.平行四边形的两对角线的长度分别为8和6，则其边长a范围为____________ 6、如图，在?ABCD中，AB=，AD=4，将?ABCD沿AE翻折后， 7、在A B C中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D、E、F分别是 AB、BC、AC的中点，则D E F的面积为__________ 8、如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧， 交AD于F，再分别以B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧， 两弧相交于点G，若BF=12，AB=10，则AE的长为_______ 9、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，点 P、Q分别从A、C两点的位置同时出发，点P以1cm/s的速度由 点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动．则 _______秒后四边形ABQP是平行四边形。 10、如图，△ABC的周长为28，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE， 垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10， 则PQ的长为___________
（易错题精选）初中数学三角形经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，在ABC ?中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ??= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论. 【详解】 题干中作图方法是构造角平分线，①正确； ∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30° ∴∠ADC=60°，②正确 ∵∠DAB=∠B=30° ∴△ADB 是等腰三角形 ∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确 在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a 在△ADB 中，DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?，13(CD+DB)22 BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=，④正确 故选：D 【点睛】 本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.
2．AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ） A ．4 B ．3 C ．6 D ．2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果． 【详解】 解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线， ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF=DE ， 又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为：B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 3．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6 B ．8 C 5 D ．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A ＝x ， 则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ， 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°， 解得x ＝30°，
八年级数学《三角形》单元经典易错题大全 1. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm ，那么它的第三边长为___cm 。 2. 如图，∠A=32°∠B=45°∠C=38°，则∠DFE=( ） A 、120° B 、115° C 、110° D 、105° 3. 如图所示，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于，点P ，若∠A=500，则∠BPC 等于( ） A 、90° B 、130° C 、270° D 、315° 4. 已知△ABC 的周长为45cm ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ∶b ∶c=4∶5∶6，求三边的长. 5. 如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，求∠ACB 。 南北 E D C B A 6. 等腰三角形底边为4.腰长为b,则b 一定满足( ） A ．b ＞2 B.2＜b ＜4 C.2＜b ＜8 D.b ＜8 7. △ABC 中，∠A=12∠B ＝13 ∠C ，则这个三角形是( ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.含30°角的直角三角
形 8. 已知，如图CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 内任一射线，交CE 于E ．求证：∠EBC ＜∠ACE ． 9. 三角形___ 两边组成的角叫三角形的内角. 10.如图中，BD=DE=EF=FC ，那么_________是△ABE 的中线. A.AD B.AE C.AF D.以上都是 11.如图所示,∠1=_______. 140?80? 1 12. 如图，一面小红旗其中∠A=60°,∠B=30°,则∠BCD=___。 13. 三角形的任何两边的和___第三边. 三角形的任何两边的差___第三边. 14. 如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是( ）
四年级数学三角形考题分析与易错题分析 以盘龙区小学2016学年下学期期末四年级数学试题进行分析：三角形这一单元知识占11%，所考知识点主要有：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等腰三角形等边三角形的定义，三角形三边的关系，高的做法，会求三角形和多边形的内角和。如： 近三年考题分析 4、请你想办法求出下面这个多边形的内角和。
考查目的：三角形内角和和钝角三角形的特征。 15．画出下面三角形指定边上的高。 考查目的：三角形高的含义，会正确画不同三角形指定底边上的高。 掌握高的方法。 16、等腰三角形的一个内角是60°，其他两个内角各是多少度？这是（）三角形。考查目的：综合三角形内角和、等腰三角形的特点及等边三角形的特点解决问题。
三角形单元检测卷 一、填空（40分） 个钝角三角形，（）个等腰三角形。 7、在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是（）三角形，又是（）三角形。 二、选择（18分） 1．下面第（）组中的三根小棒不能拼成一个三角形。 2．一个三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则此三角形的第三边的长可能是（）。 A．3 cm B．4 cm C．7 cm 3．下面各组角中，第（）组中的三个角能组成三角形。 A．60°，70°，90° B．50°，50°，50° C．80°，95°，5° 4．钝角三角形的两个锐角之和（）90°。 A．大于 B．小于 C．等于 5、一个等腰三角形中，其中一底角是75度，顶角是（）。 A、75度 B、45度 C、30度 D、60度 6、下面长度的小棒中（单位：cm），能围成三角形的是（）。 A. 3.5、7.5、4 B . 5、2.8、6 C. 10、4.2、5.6 三、判断（8分） 1、一个内角是80度的等腰三角形，一定是一个钝角三角形。（） 2、等腰三角形一定是等边三角形。（） 3、等腰三角形一定是锐角三角形。（）
【精选】八年级数学三角形解答题易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动． （1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小． （2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． （3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数． 【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】 【分析】 （1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1 ABE ABO 2 ∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=? ，故PAB MBA 270∠+∠=?，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠= ∠，1 ABC ABM 2 ∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知 CDE DCE 112.5∠+∠=?，进而得出结论； （3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知 1EAO BAO 2∠=∠,1 EOQ BOQ 2 ∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】 （1）∠AEB 的大小不变， ∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，
【高中数学】单元《三角函数与解三角形》知识点归纳 一、选择题 1．若,2παπ??∈ ??? ，2cos2sin 4παα?? =- ???，则sin 2α的值为（ ） A ．7 8 - B ． 78 C ．18 - D ． 18 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】 解：因为2cos2sin 4παα?? =- ??? 所以( ) 22 2cos sin sin cos cos sin 4 4 π π αααα-=- 所以()())2cos sin cos sin cos sin 2 αααααα-+= - ,cos sin 02παπαα??∈-≠ ??? Q ， 所以cos sin 4 αα+= 所以()2 1cos sin 8αα+=，即22 1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28 α+= 所以7sin 28 α=- 故选：A 【点睛】 本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题； 2．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102 x << B ． 1 12 x << C ．12x << D ．01x << 【答案】D 【解析】 【分析】
根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】 将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ， 设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则 cos 0A '∠<， 所以()()()()()2222342340x x x x x x x ?+++<+? +++>+??>? ，解得01x <<. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40?的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70?方向的C 处，且A 与C 的距离为15 3千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ） ( ) 7 2.6≈ A ．10分钟 B ．15分钟 C ．20分钟 D ．25分钟 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=?，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】 根据条件可得30BAC ∠=?，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ?=+-??=， 则5713BC =≈（千米），
初中数学三角形易错题汇编及答案 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（） A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据点A，B的坐标求出OA，OB的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC 的长，再比较无理数的大小确定点C的横坐标介于哪个区间． 【详解】 ∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22 = 2+313 ∴AC＝AB13， ∴OC132， ∴点C132，0）， <<， ∵3134 <<， ∴11322 即点C的横坐标介于1和2之间， 故选：B． 【点睛】 本题考查了弧与x轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键． 2．等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm，则这个三角形的周长为（） A．16cm B．21cm 或 27cm C．21cm D．27cm 【答案】D 【解析】 【分析】 分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．
【详解】 解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去； 当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm． 故选D． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键． 3．下列命题是假命题的是（） A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16 C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限 D．若关于x的一元一次不等式组 213 x m x -≤ ? ? +> ? 无解，则m的取值范围是1 m￡ 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题； B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题； C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题； D. 若关于x的一元一次不等式组 213 x m x -≤ ? ? +> ? 无解，则m的取值范围是1 m￡，正确，是真 命题； 故答案为：B 【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组． 4．如图，在ABC ?中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E， 20 DAE ∠=o，则BAC ∠的度数为( )
三角形易错题 一、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为 _________． 2．等腰三角形ABC的周长是8cm，AB=3cm，则BC=_________cm． 3．等腰三角形的周长为20cm，若腰不大于底边，则腰长x的取值范围是_________． 4．如图：a∥b，BC=4，若三角形ABC的面积为6，则a与b的距离是_________． 【 5．小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相距x千米，那么x的取值范围是_________． 6．已知△ABC两边长a，b满足，则△ABC周长l的取值范围是_________．7．若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠A=_________． 8．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3．（若三角形中含有其它三角形则不记入） 、 （1）图2有_________个三角形；图3中有_________个三角形 （2）按上面方法继续下去，第20个图有_________个三角形；第n个图中有_________个三角形．（用n的代数式表示结论） 9．一个三角形两边长为5和7，且有两边长相等，这个三角形的周长是_________． 10．两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是_________cm．
参考答案与试题解析 ： 一、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为8． 考点：多边形内角与外角． 专题：计算题． 分析：根据内角和公式，设该多边形为n边形，内角和公式为180°?（n﹣2），因为最小角为100°，又依次增加的度数为10°，则它的最大内角为（10n+90）°，根据等差数列和的公式列出方程，求解即可． 解答：… 解：设该多边形的边数为n． 则为=180?（n﹣2）， 解得n1=8，n2=9， n=8时，10n+90=10×80+90=170， n=9时，10n+90=9×10+90=180，（不符合题意） 故这个多边形为八边形． 故答案为：8． 点评：本题结合等差数列考查了凸n边形内角和公式．方程思想是解此类多边形有关问题常要用到的思想方法，注意凸n边形的内角的范围为大于0°小于180°． % 2．等腰三角形ABC的周长是8cm，AB=3cm，则BC=2或3或cm． 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系． 专题：计算题． 分析：按照AB为底边和腰，分类求解．当AB为底边时，BC为腰；当AB腰时，BC为腰或底边． 解答：解：（1）当AB=3cm为底边时，BC为腰， ） 由等腰三角形的性质，得BC=（8﹣AB）=； （2）当AB=3cm为腰时， ①若BC为腰，则BC=AB=3cm， ②若BC为底，则BC=8﹣2AB=2cm． 故本题答案为：2或3或． 点评：本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想．关键是明确等腰三角形的三边关系． 3．等腰三角形的周长为20cm，若腰不大于底边，则腰长x的取值范围是5＜x≤．
（第 18） A 1 A 2 A 3 A 4 图7 A D B C E F 易错题测试 1.已知平行四边形的面积是144cm 2，相邻两边上的高分别为8cm 和9cm ，则这个平行四边形的周长为_______ 2. 分别将下列条件中的哪两个条件组合。可以判定四边形ABCD 是平行四边形？ ①AB ∥CD ②AD ∥BC ③AB=CD ④AD =BC ⑤∠A=∠C ⑥∠B=∠D 3.如图，在 ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，分 别连结EF ，EB ，FB ，AC ，AF ，CE ，则图中与△ABE 面积相等的三角形（不包括△ABE ）共有的个数（ ）． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 4.如图7，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图7所示摆放， 点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的对角线的中点，则n 个这样 的正方形重叠部分的面积和为（ ） A ．41cm 2 B ．4n cm 2 C ．41 n cm 2 D ．n 4 1( cm 2 5.如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C 点和A 点重合，则折痕EF=_____． 6.如图，以三角形的一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是（ ） A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形 7.一个等腰梯形的周长是80cm?，?如果它的中位线与腰长相等，?它的高是12cm ，这个梯形的面积_________。 8.如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD, EF 是中位线，EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，若AB=8,CD=6，则MN ＝_______. 9.三角形的周长为a ，分别过它的三个顶点作其对边的平行线，这三条直线围成的三角形的周长为________ 10.如图，杨伯家小院子的四棵小E F G H 、、、刚好在其梯形院子ABCD 各边的中点上，若在四边形EFGH 种上小草，则这块草地的形状是（ ）A ．平行四边形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形 11、如图，在△ABD 中，∠ADB ＝90°，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△DEF 的面积为3.5，则△ABC 的面积为 . Ａ Ｄ Ｈ Ｇ Ｃ Ｆ Ｂ Ｅ 第10题 E F 第5题 第6题 第8题 第11题
八年级上册三角形填空选择易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________ 【答案】10 【解析】 【分析】 【详解】 解：本题根据题意可得：（n －2）×180°=4×360°，解得：n=10． 故答案为：10 ． 考点：多边形的内角和定理. 2．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ． 【答案】135 【解析】 解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点 O ，∴∠OBC +∠OCB =45°，∴∠BOC =180°﹣45°=135°．故答案为：135°． 点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 3．等腰三角形一边长是10cm ，一边长是6cm ，则它的周长是_____cm 或_____cm ． 【答案】22cm, 26cm 【解析】 【分析】 题目给出等腰三角形有两条边长为10cm 和6cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】 （1）当腰是6cm 时，周长＝6+6+10＝22cm ； （2）当腰长为10cm 时，周长＝10+10+6＝26cm ， 所以其周长是22cm 或26cm ． 故答案为：22，26． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
三角形易错题集锦带答案解析-精品 2020-12-12 【关键字】方法、继续、满足 一、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为 _________． 2．等腰三角形ABC的周长是8cm，AB=3cm，则BC=_________cm． 3．等腰三角形的周长为20cm，若腰不大于底边，则腰长x的取值范围是_________． 4．如图：a∥b，BC=4，若三角形ABC的面积为6，则a与b的距离是_________． 5．小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相距x千米，那么x的取值范围是_________． 6．已知△ABC两边长a，b满足，则△ABC周长l的取值范围是_________． 7．若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠A=_________． 8．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3．（若三角形中含有其它三角形则不记入） （1）图2有_________个三角形；图3中有_________个三角形 （2）按上面方法继续下去，第20个图有_________个三角形；第n个图中有_________个三角形．（用n的代数式表示结论） 9．一个三角形两边长为5和7，且有两边长相等，这个三角形的周长是_________． 10．两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是_________cm． 参考答案与试题解析 一、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为8．考点：多边形内角与外角． 专题：计算题． 分析：根据内角和公式，设该多边形为n边形，内角和公式为180°?（n﹣2），因为最小角为100°，又依次增加的度数为10°，则它的最大内角为（10n+90）°，根据等差数列和的公式列出方程，求解即可． 解答：解：设该多边形的边数为n． 则为=180?（n﹣2）， 解得n1=8，n2=9， n=8时，10n+90=10×80+90=170， n=9时，10n+90=9×10+90=180，（不符合题意） 故这个多边形为八边形． 故答案为：8． 点评：本题结合等差数列考查了凸n边形内角和公式．方程思想是解此类多边形有关问题常要用到的思想方法，注意凸n边形的内角的范围为大于0°小于180°．
1、如图12，在Rt ABC ?中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上的点A 处，折痕为CD ，则∠A DB 的度数为（ ） A40° B30° C20° D10° 2、如图，D 是线段AB 、BC 垂直平分线的交点，若∠ABC ＝150°，则∠ADC 的大小是（ ） A 60° B70° C75° D80° 3、如图，已知ABC ?中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是 BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 于点E 、F ，给出下列四个结论： 1、AE ＝CF ； 2、?EPF 是等腰直角三角形； 3、EF ＝AP; 4 、 S 四边形AEPF ＝2 1abc s ?当∠EP 在ABC ?内绕顶点P 旋转时 （点E 不与A ，B 重合），上述结论中正确的有（ ） A 1 2 3 4 B 1 2 3 C 1 2 4 D2 3 4 ４、已知A （m-1,3）与点B （2，n+1）关于X 的对称轴，则点P （m,n ）的坐标为（ ） 在ABC ?中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ的垂直平分线与ＡＣ所在的直线相交所得到的锐角为５０度，则∠Ｂ等于（ ） 5、如图，在ABC ?中，ＡＤBC ⊥于Ｄ。请你再添一个条件，就可以确定ABC ?是等腰三角形。你添加的条件是（ ） 在线段，直线，射线，角，三角形，不一定是轴对称图形是（ ） 6、如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，分别平行ｘ，ｙ轴的两直线ａ ｂ相交点Ａ（３,４），连接ＯＡ，若在直线ａ上存点Ｐ，使ABC ?是等腰三角形。那么所满足的条件的点Ｐ的坐标是（ ） 7、如图是一块三角形的蛋糕，请将这块蛋糕平均分成两块以便分给小丽和小娜享用，并说明理由。 8、如图，ＡＤ是?ＡＢＣ的一条角平分线，∠Ｂ＝２∠Ｃ。试判断线段ＡＢ、ＡＣ、BD 之间的数量关系，并说明理由。 9、如图，在?ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的平分线，则图中等腰三角形有（ ）角\ A5个 B4个 B 3个 D2个 C A ' B D A B A C D B P A E F C A A A D C B E E C D A B C B
易错题测试 1.已知平行四边形的面积是144cm 2，相邻两边上的高分别为8cm 和9cm ，则这个平行四边 形的周长为_______ 2. 分别将下列条件中的哪两个条件组合。可以判定四边形ABCD 是平行四边形？ ①AB ∥CD ②AD ∥BC ③AB=CD ④AD =BC ⑤∠A=∠C ⑥∠B=∠D 3.如图，在ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，分 别连结EF ，EB ，FB ，AC ，AF ，CE ，则图中与△ABE 面积相等的三角形（不包括△ABE ）共有的个数（ ）． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 4.如图7，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图7所示摆放， 点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的对角线的中点，则n 个这样 的正方形重叠部分的面积和为（ ） A ．41cm 2 B ．4n cm 2 C ．41 n cm 2 D ．n 4 1( cm 2 5.如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C 点和6.如图，以三角形的一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是（ ） A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形 7. 一个等腰梯形的周长是80cm?，?如果它的中位线与腰长相等，?它的高是12cm ，这个梯形 的面积_________。 8.如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD, EF 是中位线，EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，若AB=8,CD=6， 则MN ＝_______. 9.三角形的周长为a ，分别过它的三个顶点作其对边的平行线，这三条直线围成的三角形的 周长为________ 10.如图，杨伯家小院子的四棵小E F G H 、、、刚好在其梯形院子ABCD 各边的中点上， 若在四边形EFGH 种上小草，则这块草地的形状是（ ）A ．平行四边形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形 11、如图，在△ABD 中，∠ADB ＝90°，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点， △DEF 的面积为3.5，则△ABC 的面积为 . Ｆ 第10题 第5题 第6题 第8题 第11题