集合与常用逻辑语
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第一章集合与常用逻辑用语
一、章节结构图
二、复习指导
1.新课标知识点梳理
在高中数学中,集合的初步知识与常用逻辑用语知识,与其它内容有着密切联系,它们是学习、掌握和使用数学语言的基础,准确表述数学内容,更好交流的基础.集合知识点及其要求如下:
1.集合的含义与表示
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受
集合语言的意义和作用.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
常用逻辑用语知识点及其要求如下:
(1)命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系.
(2)简单的逻辑联结词
通过数学实例,了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
(3)全称量词与存在量词
①通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
2.方法观点阐述
集合的初步知识重点是有关集合的基本概念,难点是有关集合的各个概念的含义及这些概念相互间的区别与联系.
常用逻辑用语知识重点是四种命题的相互关系和充要条件,难点是对一些含一个量词命题的否定.
这一章概念多、符号多、专用字母多、概念与概念间逻辑性强,要在理解要领基础上熟记集合符号,反复地通过对概念的分析,结合适当例题、习题加深理解基本概念,提高使用数学符号、数学语言、数学方法进行推理判断的能力.避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释,不要求使用真值表.
1.1集合的概念及其运算(一)
(一)复习指导
本节主要内容:理解集合、子集、交集、并集、补集的概念,了解空集和全集的意义,了解属于、包含、相等关系的意义,会用集合的有关术语和符号表示一些简单\的集合.高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查.因此,复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上.
1.集合的基本概念
(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合.集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素是确定的、互异的,又是无序的.
(2)不含任何元素的集合叫做空集,记作.
(3)集合可分为有限集与无限集.
(4)集合常用表示方法:列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法.
(5)元素与集合间的关系运算;属于符号记作“∈”;不属于,符号记作“?”.
2.集合与集合的关系
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,就说集合B包含集合A,记作A?B(读作A包含于B),这时也说集合A是集合B的子集.也可以记作B?A(读作B包含A)
①子集有传递性,若A?B,B?C,则有A?C.
②空集是任何集合的子集,即?A ③真子集:若A ?B ,且至少有一个元素b ∈B ,而b ?A ,称A 是B 的真子集.记作A B (或B ?A ).
④若A ?B 且B ?A ,那么A =B
⑤含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是:n n n n n n
C C C C 2210=++++Λ个. (二)解题方法指导
例1.选择题:
(1)不能形成集合的是( ) (A)大于2的全体实数
(B)不等式3x -5<6的所有解
(C)方程y =3x +1所对应的直线上的所有点 (D)x 轴附近的所有点
(2)设集合62},23|{=≥=x x x A ,则下列关系中正确的是( ) (A)x A
(B)x ?A
(C){x }∈A
(D){x }A
(3)设集合},2
1
4|{},,412|{Z Z ∈+==∈+==k k x x N k k x x M ,则( ) (A)M =N (B)M N (C)M N
(D)M ∩N =
例2.已知集合}68
{N N
∈-∈=x
x A ,试求集合A 的所有子集.
例3.已知A ={x |-2<x <5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},B ≠,且B ?A ,求m 的取值范围.
例4*.已知集合A ={x |-1≤x ≤a },B ={y |y =3x -2,x ∈A },C ={z |z =x 2,x ∈A },若C ?B ,求实数a 的取值范围.
(三)体会与感受 1.重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2.问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
1.2集合的概念及其运算(二)
(一)复习指导
(1)补集:如果A?S,那么A在S中的补集s A={x|x∈S,且x≠A}.
(2)交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}
(3)并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}这里“或”包含三种情形:
①x∈A,且x∈B;②x∈A,但x?B;③x∈B,但x?A;这三部分元素构成了A∪B
(4)交、并、补有如下运算法则
全集通常用U表示.
(A∩B)=(U A)∪(U B);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
U
(A∪B)=(U A)∩(U B);A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
U
(5)集合间元素的个数:
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集,解析几何中曲线间的相交问题等结合,体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用,因此集合关系运算也是高考常考知识点之一.
(二)解题方法指导
例1.(1)设全集U={a,b,c,d,e}.集合M={a,b,c},集合N={b,d,e},那么(U M)∩(U N)是( )
(A)(B){d} (C){a,c} (D){b,e}
(2)全集U={a,b,c,d,e},集合M={c,d,e},N={a,b,e},则集合{a,b}可表示为( )
(A)M∩N(B)(U M)∩N(C)M∩(U N) (D)(U M)∩(U N)
例2.如图,U是全集,M、P、S为U的3个子集,则下图中阴影部分所表示的集合为( )
(A)(M∩P)∩S(B)(M∩P)∪S
(C)(M∩P)∩(U S) (D)(M∩P)∪(U S)
例3.(1)设A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax=1},若A∪B=A,则实数a的取值集合为____;
(2)已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=M,则实数a的取值集合为____.
例4.定义集合A-B={x|x∈A,且x?B}.
(1)若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6}则N-M等于( )
(A)M(B)N(C){1,4,5 } (D){6}
(2)设M、P为两个非空集合,则M-(M-P)等于( )
(A)P(B)M∩P(C)M∪P(D)M
例5.全集S={1,3,x3+3x2+2x},A={1,|2x-1|}.如果sA={0},则这样的实数x是否存在?若存在,求出x;若不存在,请说明理由.
(三)体会与感受
1.重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2.问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3.经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
1.3简单的逻辑联结词
(一)复习指导:
学习常用逻辑用语知识,主要是为了培养学生进行简单推理的技能,发展学生的思维能力主要内容与要求:了解命题的构成,会分析四种命题的相互关系,了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,正确地表达相关的数学内容,能理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
(二)解题方法指导:
例1.用“p或q”、“p且q”或“非p”填空,
①命题“矩形的对角线互相垂直平分”是________形式
②命题“π ?Q是____形式
③命题“1≥2”是____形式.
其中真命题的序号为____.
例2.给出下列命题:
①“若k>0,则关于x2+2x-k=0的方程有实根”的逆命题;
②“若a>b,则2a>2b-1”的否命题;
③“若A∪B=B,则A?B”的逆否命题;
④命题p:“x,y∈R,若x2+y2=0,则x,y全为0”的非命题
其中真命题的序号是____.
例3.若命题“p或q”是真命题,命题“p且q”是假命题,则( )
(A)命题p是假命题(B)命题q是假命题
(C)命题p与命题q真值相同(D)命题p与命题“非q”真值相同
例4.(1)命题p:“有些三角形是等腰三角形”,则?p是( )
(A)有些三角形不是等腰三角形(B)有些三角形可能是等腰三角形
(C)所有三角形不是等腰三角形(D)所有三角形是等腰三角形
(2)已知命题p:?x∈R,sin x≤1,则( )
(A)?p:?x∈R,sin x≥1 (B)?p:?x∈R,sin x≥1
(C)?p:?x∈R,sin x>1 (D)?p:?x∈R,sin x>1
小结:标准只要求理解和掌握含有一个量词的命题.不要求理解和掌握含有两个或两个以上量词的命题.对于命题的否定,只要求对含有一个量词的命题进行否定.通过分析,同学可以总结出常见关键词及其否定形式的表:
关键词否定词关键词否定词
等于不等于大于不大于
能不能小于不小于至少有一个一个都没有至多有一个至少有两个都是不都是是不是
没有至少有一个属于不属于
逻辑题,比较抽象,同学们在有些问题的看法上常出现一些自己也说不清道不明的疑惑,但要依据具体的规则进行详细的处理.
(三)体会与感受 1.重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2.问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3.经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
1.4 充分条件、必要条件与命题的四种形式
(一)复习指导:
如果一个命题是“若p 则q ”的形式,其中p 称为命题的前件、q 称为命题的后件,(1)若p ?q ,且q ≠>p ,则p 是q 的充分且不必要条件,q 是p 的必要不充分条件;(2)若q ?p ,p ?/q ,则p 是q 的必要且不充分条件,q 是p 的充分不必要条件;(3)若p ?q ,且q ?p ,则p 是q 的充要条件(q 也是p 的充要条件);(4)若p ?/q ,且q ?/p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.这四种情况反映了前件p 与后件q 之间的因果关系,在判断时应:(1)确定前件是什么,后件是什么;
(2)尝试从前件推导后件,从后件推导前件;(3)确定前件是后件的什么条件.
证明p 是q 的充要条件,既要证明命题“p ?q ”为真,又要证明命题“q ?p ”为真,前者证的是充分性,后者证的是必要性.
常用逻辑用语的重点内容是有关“充要条件”、命题真伪的试题.主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解,试题以选择题、填空题为主,难度不大,要求对基本知识、基本题型,求解准确熟练.
(二)解题方法指导:
例1.设集合 ?<-=?
??
???<+-=}|1||{,011a x x B x x x
A “a =1”是“A∩B≠”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
例2.(1)条件p :“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴的截距的2倍”;条件q :“直线l 的斜率是-2”,则p 是q 的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(2)“,2
1
=m ”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m -2)x +(m +2)y -3=0相互垂直”的
( )
(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 例3.下列各小题中,p 是q 的充分必要条件的是
①p :m <-2,或m >6;q :y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点
②1)
()
(:=-x f x f p ; q :y =f (x )是偶函数 ③p :cos α=cos β; q :tan α=tan β ④p :A ∩B =A ;
q :U B ?U A
(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④
例4.已知?p是q的充分不必要条件,则p是?q的( )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(三)体会与感受
1.重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2.问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3.经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
例 题 解 析
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念及其运算(1)
例1分析:(1)集合中的元素是确定的、互异的,又是无序的;(2)注意“∈”与“?”以及x 与{x }的区别;(3)可利用特殊值法,或者对元素表示方法进行转换.
解:(1)选D .“附近”不具有确定性.(2)选D .(3)选B .
方法一:
N M ??2
1,21故排除(A)、(C),又N ??43
,43M ,故排除(D).
方法二:集合M 的元素.),12(41
412Z ∈+=+=k k k x 集合N 的元素=+=2
14k x
Z ∈+k k ),2(4
1
.而2k +1为奇数,k +2为全体整数,因此M N . 小结:解答集合问题,集合有关概念要准确,如集合中元素的三性;使用符号要正确;表示方法会灵活转化.
例2分析:本题是用{x |x ∈P }形式给出的集合,注意本题中竖线前面的代表元素x ∈N . 解:由题意可知(6-x )是8的正约数,所以(6-x )可以是1,2,4,8; 可以的x 为2,4,5,即A ={2,4,5}.
∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}.
小结:一方面,用{x |x ∈P }形式给出的集合,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ;另一方面,含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是:
+++210n n n C C C n n n C 2=+Λ个.
例3分析:重视发挥图示法的作用,通过数轴直观地解决问题,注意端点处取值问题. 解:由题设知??
?
??<-->+-≤+512211
21m m m m ,
解之得,2≤m <3.
小结:(1)要善于利用数轴解集合问题.(2)此类题常见错误是:遗漏“等号”或多“等号”,可通过验证“等号”问题避免犯错.(3)若去掉条件“B ≠”,则不要漏掉?A 的情况.
例4*分析:要首先明确集合B 、C 的意义,并将其化简,再利用C ?B 建立关于a 的不等式.
解:∵A =[-1,a ],
∴B ={y |y =3x -2,x ∈A }, B =[-5,3a -2]
??
?
??≥<≤<≤-=∈==∴1],,0[10],1,0[01],1,[}.,|{222a a a a a C A x x z z C
(1)当-1≤a <0时,由C ?B ,得a 2≤1≤3a -2无解; (2)当0≤a <1时,1≤3a -2,得a =1; (3)当a ≥1时,a 2≤3a -2得1≤a ≤2 综上所述,实数a 的取值范围是[1,2].
集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1.集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中. (2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (3)元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. (4)五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B (或B ?A ). (2)真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ,A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B . 两集合相等:A =B ?? ???? A ? B , A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性. (4)空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}.
3.集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A ∩B ,即A ∩B ={x |x ∈A ,且x ∈B }. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x |x ∈A ,或x ∈B }. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (2)已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中 元素的互异性可知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.
集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一)集合 1.基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用 . 2.集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ; ②空集是任何集合的子集,记为A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ,同时A B ,那么A=B. 如果C A C B B A ,那么,. [注]:①Z ={整数}(√)Z ={全体整数}(×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例: S=N ;A=N , 则C s A={0}) ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A =,C A B =C S (C A B )=D (注:C A B =). 3.①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R 二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R }一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例:1323 y x y x 解的集合{(2,1)}.
②点集与数集的交集是.(例:A={(x ,y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =) 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n -1个.③n 个元素的非空真子集有2n -2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例:①若325b a b a 或,则应是真命题. 解:逆否:a =2且b =3,则a+b =5,成立,所以此命题为真. ②,且21y x 3y x . 解:逆否:x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分,又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3.例:若255x x x 或,. 4.集合运算:交、并、补. 5.主要性质和运算律 (1)包含关系:,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C (2)等价关系:U A B A B A A B B A B U I U U C (3)集合的运算律: 交换律:. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律:,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律:. ,A A A A A A 求补律:A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律:C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义:有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数,记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式: (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”; (为了统一方便)
知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】 一、集合及其运算 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N+)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A,则x∈B) A?B (或B?A) 真子集集合A是集合B的子集,且集合B中 至少有一个元素不在集合A中 A?B (或B?A) 集合相等集合A,B中的元素相同或集合A,B 互为子集 A=B 3.集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn图 交集由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合 A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合 A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合 ?U A={x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1. 2.A?B?A∩B=A?A∪B=B. 3.A∩(?U A)=?;A∪(?U A)=U;?U(?U A)=A. 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ,则p 是q 的充分条件,同时q 是p 的必要条件; (2)如果p ?q ,但q p ,则p 是q 的充分不必要条件; (3)如果p ?q ,且q ?p ,则p 是q 的充要条件; (4)如果q ?p ,且p q ,则p 是q 的必要不充分条件; (5)如果p q ,且q p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 【知识拓展】 1.两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. 2.若A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},则 (1)若A ?B ,则p 是q 的充分条件; (2)若A ?B ,则p 是q 的必要条件; (3)若A =B ,则p 是q 的充要条件; (4)若A ?B ,则p 是q 的充分不必要条件; (5)若A ?B ,则p 是q 的必要不充分条件; (6)若A B 且A ?B ,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 【易错提醒】 1.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:{x |y =lg x }——函数的定义域;{y |y =lg x }——函数的值域;{(x ,y )|y =lg x }——函数图象上的点集. 2.易混淆0,?,{0}:0是一个实数;?是一个集合,它含有0个元素;{0}是以0为元素的单元素集合,但是0??,而??{0}. 3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性. 4.空集是任何集合的子集.由条件A ?B ,A ∩B =A ,A ∪B =B 求解集合A 时,务必分析研究A =?的情况. 5.区分命题的否定与否命题,已知命题为“若p ,则q ”,则该命题的否定为“若p ,则q ?”,其否命题为“若p ?,则q ?”. 6.对充分、必要条件问题,首先要弄清谁是条件,谁是结论.
专题一 集合与常用逻辑用语 第二讲 常用逻辑用语 2019年 1.(2019全国Ⅱ理7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 2.(2019北京理7)设点A ,B ,C 不共线,则“ 与 的夹角是锐角”是“AB AC BC +>”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.(2019天津理3)设x ∈R ,则“2 50x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2010-2018年 一?选择题 1.(2018北京)设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2018天津)设x ∈R ,则“11 ||22 x - <”是“31x <”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2018上海)已知a R ∈,则“1a >”是“ 1 1a <”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 4.(2018浙江)已知平面α,直线m ,n 满足m α?,n α?,则“m ∥n ”是“m ∥α”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2017新课标Ⅰ)设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数1z ,2z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为 A.1p ,3p B.1p ,4p C.2p ,3p D.2p ,4p 6.(2017浙江)已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >” 是“465+2S S S >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2017天津)设θ∈R ,则“ππ||1212θ- <”是“1 sin 2 θ<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2017山东)已知命题p :0x ?>,ln(1)0x +>;命题q :若a b >,则2 2 a b >,下列命题为真命 题的是 A.p q ∧ B.p q ?∧ C.p q ?∧ D.p q ??∧ 9.(2017北京)设m , n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0? 高考冲刺第1讲 集合与简易逻辑 一、知识要点与基本方法: (一)集合的概念 1.集合元素的三大特征:无序、互异、确定 2.集合的表示方法:描述、区间、列举、Venn 3.元素与集合的关系:元素与元素,元素与集合,集合与集合 (二)集合的运算 1.交集 2.并集 3. 补集 4. 集合中所含元素个数及子集个数。 (三)逻辑联结词和四种命题 1. 量词 2. 基本逻辑连接词 3. 真值表 4. 四种命题 (四)充分条件与必要条件 二、典型例题: 例1、设A 、B 是两个集合,对于A B ?,下列说法正确的是( ) A .存在0x A ∈,使0x B ∈ B .B A ?一定不成立 C .B 不可能为空集 D .0x A ∈是0x B ∈的充分条件 例2.设集合{}{} 021x M x x m N y y x R =-≤==-∈,,,若 M N φ= ,则实数m 的取值范围是( ) A .m ≥-1 B .m >-1 C .m ≤-1 D .m <-1 例3.集合M ={x ││x │=1},N ={ x │ax =1},M ∪N =M ,则实数a 的所有可能值的集合为( ) A .{1,-1} B .{1} C .{0,1} D .{-1,0,1} 例4.设集合}|20{},|11{22N q q B N p p A ∈+=∈+=。若M B A = ,则M 中元素的个数为( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、至少3 例5.已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2 ,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A ,若A=B ,则2 2y x +的值是( ) (A )5 (B )4 (C )25 (D )10 例6.下列4个命题 111:(0,),()()23 x x p x ?∈+∞< 2:(0,1),p x ?∈㏒1/2x>㏒1/3x 31p :(0,),()2x x ?∈+∞>㏒1/2x 411:(0,),()32 x p x ?∈<㏒1/3x 其中的真命题是( ) A 13,p p B 14,p p C 23,p p D 24,p p 例7.设集合101 x A x x -=<+{|},B={x ||x -1|<a },若“a =1”是“A ∩B ≠?的( )” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 例8.在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n +k|n ∈Z}, k =0,1,2,3,4。给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数a ,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a -b ∈[0]。 其中,正确结论的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 第一章:集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 (1)集合:集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元素。 (2)常用的集合表示法:①列举法;②描述法;③数轴或图像表示法;④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合,要么不属于,二者必居其一; 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的; 1.判断集合表示是否正确; 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关; 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法: 4.集合间的基本关系 (2)有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集。符号表示为:5.集合的运算 集),写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 (1)元素与集合间关系问题 (2)集合与集合间关系问题 (3)集合的基本运算: ①有限集(数集)间集合的运算; ②无限集间集合的运算:数轴(坐标系)画图、定域、求解; ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A ,y ∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ,则集合M 与P 之间的关系式为( ) 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.(集合的基本运算)已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥,集合{|01}B x x =<<,则() A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2.(集合的基本运算)若集合{}02A x x =<<,且A B B =I ,则集合B 可能是() A.{}0 2, B.{}0 1, C.{}0 1 2,, D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.(集合的基本运算)设集合{}|2M x x =<,{}1,1N =-,则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ,()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0,故个数为1,故选C. 4.(集合间的关系)已知集合 ,若,则() A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5.(充分条件和必要条件)设x R ∈,i 是虚数单位, 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-,得()()2 22332330x x +-=-+?--=,1314x -=--=-. 而由2230{ 10 x x x +-=-≠,得3x =-.所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件.故选C. 2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质课时作业 文 A 组——高考热点基础练 1.(2016·济南3月模拟)函数y =log 32x -1的定义域为( ) A .[1,+∞) B .(1,+∞) C .? ?? ??12,+∞ D .? ?? ??12,1 解析:由log 3(2x -1)≥0得2x -1≥1,x ≥1.因此函数的定义域是[1,+∞),故选A. 答案:A 2.(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )=????? log 12x ,x >0, 3x ,x ≤0, 则f (f (4))的值为( ) A .-1 9 B .-9 C.1 9 D .9 解析:因为f (x )=????? log 12x ,x >0, 3x ,x ≤0, 所以f (f (4))=f (-2)=1 9 . 答案:C 3.(2016·湖南东部六校联考)函数y =lg|x |( ) A .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 解析:因为lg|-x |=lg|x |,所以函数y =lg|x |为偶函数,又函数y =lg|x |在区间(0,+∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称,可得y =lg|x |在区间(-∞,0)上单调递减,故选B. 答案:B 4.函数f (x )=2|log 2x |-? ??? ??x -1x 的图象为( )集合与常用逻辑语句
集合与常用逻辑用语(高三复习、教案设计)
集合与常用逻辑用语练习测试题.doc
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图