集合与常用逻辑部分
一、集合与元素
(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
?表示.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法.
(4)常用数集:自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数
集Q;实数集R.
(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无
限集、空集.
二、集合间的基本关系
1、子集、真子集及其性质
对任意的x∈A,都有x∈B,则A?B(或B?A).
若A?B,且在B中至少有一个元素x∈B,但x?A,则 _ (或 ).?A;A A;A?B,B?C?A C.
若A含有n个元素,则A的子集有个,A的非空子集有个,
A的非空真子集有个.
2、集合相等 若A ? B,B ?A 则A=B
三、集合的运算及其性质
1、集合的并、交、补运算 并集:A ∪B ={x |x ∈A ,或x ∈B }; 交集:A ∩B = ; 补集:?U A = .
U 为全集,?U A 表示A 相对于全集U 的补集.
例1、(安徽2004年)设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A ∩(
U B )=______.
例2、(安徽2005年)(1)设I 为全集,321S S S 、、是I 的三个非空子集,且I
S S S =??3
21,则下面论断正确的是( )
(A )Φ=??
)(321S S S C I (B )123I I S C S C S ??() (C )Φ=??)321S C S C S C I I I
(D )123I I S C S C S ??()
例3、(安徽2006年)(1)设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =,集合{1,3,5}S =,{3,6}T =,
则()U C S T ?等于( )
A .?
B .{2,4,7,8}
C .{1,3,5,6}
D .{2,4,6,8}
2、集合的运算性质 并集的性质:
A ∪?=A ;A ∪A =A ;A ∪
B =B ∪A ;A ∪B =A ?B ?A .
交集的性质:
A ∩?=?;A ∩A =A ;A ∩
B =B ∩A ;A ∩B =A ?A ?B .
补集的性质:
A ∪(?U A )=U ;A ∩(?U A )=?;?U (?U A )=A .
例4、(安徽2007年)1.若{}2
1
A x x ==,
{}2
230
B x x x =--=,
则A B = ( ) A.{}3
B.{}1
C.? D.{}1-
例5、(安徽2008年)(1).若A 为全体正实数的集合,{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是( ) A .}{2,1A B =-- B .
()(,0)
R A B =-∞ e
C .(0,)A B =+∞
D .
}{()2,1R A B =-- e
3、正确区分?,{0},{?}
?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素0的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合.??{0},??{?},?∈{?},{0}∩{?}=?.
题型一、集合的基本概念
例6 (1)已知A ={a +2,(a +1)2,a 2+3a +3},且1∈A , 求实数2013a 的值;
(2)x ,x 2-x ,x 3-3x 能表示一个有三个元素的集合吗?
变式1:若集合A ={x |ax 2-3x +2=0}的子集只有两个,则实数a =_______
题型二:集合的基本关系
例7:设关于的不等式的解集为,不等式
的解集为.
(Ⅰ)当时,求集合;(Ⅱ)若,求实数的取值范围.
x (1)0()x x a a --<∈R M 2
230
x x --≤N 1a =M M N
?a
例8、 已知集合A ={x |0 /2 2 x x ?- <≤?? (1)若A ?B ,求实数a 的取值范围; (2)若B ?A ,求实数a 的取值范围; (3)A 、B 能否相等?若能,求出a 的值;若不能,试说明理由. 例9、已知集合A ={x |log 2x ≤2},B =(-∞,a ),若A ?B ,则实数a 的取值范围是(c ,+∞),其中c =________. 题型三、集合的基本运算 例10、(2012山东理)已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==, 则()U C A B U 为( ) A .{}1,2,4 B .{}2,3,4 C .{}0,2,4 D .{}0,2,3,4 例11、(2012浙江理) 设集合A ={x |1 A ∩(C R B )= A .(1,4) B .(3,4) C .(1,3) D .(1,2) 例12、【2012韶关第一次调研理】若集合是函数的定义域, 是函数的定义域,则M∩N 等于( ) 例13、(安徽2009年)(2)若集合A={X ∣(2x+1)(x-3)<0}, {,5, B x N x =∈ ≤ 则A ∩B 是( ) M lg y x = N y = 例14、(安徽2010年)(1)若A={}|10x x +>,B={}|30x x -<,则A B = _______ 例15、(安徽2011年)(2)集合}{,,,,,U =123456,}{,,S =145,}{,,T =234,则()U S C T I 等于_______ 例16、安徽2012年)(2)设集合A={3123|≤-≤-x x },集合B 为函数 )1lg(-=x y 的定义域,则 A ?B= ________ 四、1.命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的,能够 的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 例17、(2012湖南理)命题“若α=4 π ,则tanα=1”的逆否命题是( ) A .若α≠4 π ,则tanα≠1 B .若α=4 π ,则tanα≠1 C .若tanα≠1,则α≠4 π D .若tanα≠1,则α=4 π (2)四种命题间的逆否关系 (3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有 的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 没有关系. 充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ,则p 是q 的 充分条件 ,q 是p 的必要条件; (2)如果p ?q ,q ?p ,则p 是q 的 充要条件 . 用集合的观点,看充要条件 设集合A ={x |x 满足条件p },B ={x |x 满足条件q },则有: (1)若A ?B ,则p 是q 的充分条件,若A ___B ,则p 是q 的充分不必要条件; (2)若B ?A ,则p 是q 的必要条件,若B ____A ,则p 是q 的必要不充分条件; (3)若A =B ,则p 是q 的充要条件; (4)若A ?B ,且B ?A ,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 题型一四种命题的关系及其真假判断 例18、 以下关于命题的说法正确的有_______ (填写所有正确 命题的序号). ①“若log 2a >0,则函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1)在其定义域内是减 函数”是真命题; ②命题“若a =0,则ab =0”的否命题是“若a ≠0,则ab ≠0”; ③命题“若x ,y 都是偶数,则x +y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若a ∈M ,则b ?M ”与命题“若b ∈M ,则a ?M ” 等价. 答案:(2)、(4) 例19:有下列四个命题: ①“若x +y =0,则x ,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若q ≤1,则x 2+2x +q =0有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 例20、【2012三明市普通高中高三上学期联考】下列选项叙述: ①.命题“若,则”的逆否命题是“若,则 ” ②.若命题:,则: ③.若为真命题,则,均为真命题 ④.“”是“”的充分不必要条件 其中正确命题的序号有_______ 题型二:充分、必要、充要条件的概念与判断 例21、(2012厦门期末)“φ=”是“函数y=sin(x +φ)为偶函数的”( ) 1x ≠2320x x -+≠2320x x -+=1x =p 2,10x R x x ?∈++≠p ?2,10x R x x ?∈++=p q ∨p q 2x >2320x x -+>2 π A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例22、(安徽2006年)(4)“3 x>”是24 x>“的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 例23、(安徽2007年)6.设t,m,n均为直线,其中m n ,在平面α内,则“lα ⊥”的() ⊥且l n ⊥”是“l m A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 例24、(安徽2008年)(4).0 a<是方程2210 ++=有一个负数根的() ax x A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 例25、(安徽2009年)(4) “a c+>b+d ”是“a>b且c>d ”的( ) (A)必要不充分条件(B)充分不必要条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 题型三:充要条件的证明 简单的逻辑连接词 一、定义 (1)命题中的“”、“”、“”叫做逻辑联结词. 二、全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”、“一切”、“每一个”、“所有的等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等. (3)全称量词用符号“”表示;存在量词用符号“”表示. (4)全称命题与存在性命题 ①含有全称量词的命题叫全称命题. ②的命题叫存在性命题. 三、命题的否定 (1)全称命题的否定是存在性命题;存在性命题的否定是全称命题. (2)“p或q”的否定为:“非p且非q”;“p且q”的否定为:“非p 或非q”. 命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论. 命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系. 题型一:含有逻辑联结词命题的真假判断 题型二:含有一个量词的命题的否定 例26写出下列命题的否定,并判断其真假. ≥0; (1)p:?x∈R,x2-x+1 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,2 x+2x0+2≤0; x+1=0. (4)s:至少有一个实数x0,使3 全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和存在性命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论.而一般命题的否定只需直接否定结论即可. 例27(安徽2010年)(11)命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是例28(安徽2012年)(4)命题“存在实数x,使x> 1”的否定是( ) (A)对任意实数x, 都有x> 1 (B)不存在实数x,使x≤ 1 (C)对任意实数x, 都有x≤ 1 (D)存在实数x,使x≤ 1 例29、写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:?x>0,都有x2-x≤0; (2)q:?x∈R,2x+x2≤1. 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1.集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中. (2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (3)元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. (4)五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B (或B ?A ). (2)真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ,A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B . 两集合相等:A =B ?? ???? A ? B , A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性. (4)空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}. 3.集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A ∩B ,即A ∩B ={x |x ∈A ,且x ∈B }. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x |x ∈A ,或x ∈B }. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (2)已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中 元素的互异性可知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. 集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一)集合 1.基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用 . 2.集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ; ②空集是任何集合的子集,记为A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ,同时A B ,那么A=B. 如果C A C B B A ,那么,. [注]:①Z ={整数}(√)Z ={全体整数}(×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例: S=N ;A=N , 则C s A={0}) ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A =,C A B =C S (C A B )=D (注:C A B =). 3.①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R 二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R }一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例:1323 y x y x 解的集合{(2,1)}. ②点集与数集的交集是.(例:A={(x ,y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =) 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n -1个.③n 个元素的非空真子集有2n -2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例:①若325b a b a 或,则应是真命题. 解:逆否:a =2且b =3,则a+b =5,成立,所以此命题为真. ②,且21y x 3y x . 解:逆否:x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分,又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3.例:若255x x x 或,. 4.集合运算:交、并、补. 5.主要性质和运算律 (1)包含关系:,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C (2)等价关系:U A B A B A A B B A B U I U U C (3)集合的运算律: 交换律:. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律:,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律:. ,A A A A A A 求补律:A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律:C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义:有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数,记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式: (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”; (为了统一方便) 知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】 一、集合及其运算 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N+)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A,则x∈B) A?B (或B?A) 真子集集合A是集合B的子集,且集合B中 至少有一个元素不在集合A中 A?B (或B?A) 集合相等集合A,B中的元素相同或集合A,B 互为子集 A=B 3.集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn图 交集由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合 A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合 A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合 ?U A={x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1. 2.A?B?A∩B=A?A∪B=B. 3.A∩(?U A)=?;A∪(?U A)=U;?U(?U A)=A. 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1.四种命题及相互关系 2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ,则p 是q 的充分条件,同时q 是p 的必要条件; (2)如果p ?q ,但q p ,则p 是q 的充分不必要条件; (3)如果p ?q ,且q ?p ,则p 是q 的充要条件; (4)如果q ?p ,且p q ,则p 是q 的必要不充分条件; (5)如果p q ,且q p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 【知识拓展】 1.两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. 2.若A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},则 (1)若A ?B ,则p 是q 的充分条件; (2)若A ?B ,则p 是q 的必要条件; (3)若A =B ,则p 是q 的充要条件; (4)若A ?B ,则p 是q 的充分不必要条件; (5)若A ?B ,则p 是q 的必要不充分条件; (6)若A B 且A ?B ,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 【易错提醒】 1.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:{x |y =lg x }——函数的定义域;{y |y =lg x }——函数的值域;{(x ,y )|y =lg x }——函数图象上的点集. 2.易混淆0,?,{0}:0是一个实数;?是一个集合,它含有0个元素;{0}是以0为元素的单元素集合,但是0??,而??{0}. 3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性. 4.空集是任何集合的子集.由条件A ?B ,A ∩B =A ,A ∪B =B 求解集合A 时,务必分析研究A =?的情况. 5.区分命题的否定与否命题,已知命题为“若p ,则q ”,则该命题的否定为“若p ,则q ?”,其否命题为“若p ?,则q ?”. 6.对充分、必要条件问题,首先要弄清谁是条件,谁是结论. 专题一 集合与常用逻辑用语 第二讲 常用逻辑用语 2019年 1.(2019全国Ⅱ理7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 2.(2019北京理7)设点A ,B ,C 不共线,则“ 与 的夹角是锐角”是“AB AC BC +>”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.(2019天津理3)设x ∈R ,则“2 50x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2010-2018年 一?选择题 1.(2018北京)设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2018天津)设x ∈R ,则“11 ||22 x - <”是“31x <”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2018上海)已知a R ∈,则“1a >”是“ 1 1a <”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 4.(2018浙江)已知平面α,直线m ,n 满足m α?,n α?,则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2017新课标Ⅰ)设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数1z ,2z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为 A.1p ,3p B.1p ,4p C.2p ,3p D.2p ,4p 6.(2017浙江)已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >” 是“465+2S S S >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2017天津)设θ∈R ,则“ππ||1212θ- <”是“1 sin 2 θ<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2017山东)已知命题p :0x ?>,ln(1)0x +>;命题q :若a b >,则2 2 a b >,下列命题为真命 题的是 A.p q ∧ B.p q ?∧ C.p q ?∧ D.p q ??∧ 9.(2017北京)设m , n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0? 高考冲刺第1讲 集合与简易逻辑 一、知识要点与基本方法: (一)集合的概念 1.集合元素的三大特征:无序、互异、确定 2.集合的表示方法:描述、区间、列举、Venn 3.元素与集合的关系:元素与元素,元素与集合,集合与集合 (二)集合的运算 1.交集 2.并集 3. 补集 4. 集合中所含元素个数及子集个数。 (三)逻辑联结词和四种命题 1. 量词 2. 基本逻辑连接词 3. 真值表 4. 四种命题 (四)充分条件与必要条件 二、典型例题: 例1、设A 、B 是两个集合,对于A B ?,下列说法正确的是( ) A .存在0x A ∈,使0x B ∈ B .B A ?一定不成立 C .B 不可能为空集 D .0x A ∈是0x B ∈的充分条件 例2.设集合{}{} 021x M x x m N y y x R =-≤==-∈,,,若 M N φ= ,则实数m 的取值范围是( ) A .m ≥-1 B .m >-1 C .m ≤-1 D .m <-1 例3.集合M ={x ││x │=1},N ={ x │ax =1},M ∪N =M ,则实数a 的所有可能值的集合为( ) A .{1,-1} B .{1} C .{0,1} D .{-1,0,1} 例4.设集合}|20{},|11{22N q q B N p p A ∈+=∈+=。若M B A = ,则M 中元素的个数为( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、至少3 例5.已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2 ,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A ,若A=B ,则2 2y x +的值是( ) (A )5 (B )4 (C )25 (D )10 例6.下列4个命题 111:(0,),()()23 x x p x ?∈+∞< 2:(0,1),p x ?∈㏒1/2x>㏒1/3x 31p :(0,),()2x x ?∈+∞>㏒1/2x 411:(0,),()32 x p x ?∈<㏒1/3x 其中的真命题是( ) A 13,p p B 14,p p C 23,p p D 24,p p 例7.设集合101 x A x x -=<+{|},B={x ||x -1|<a },若“a =1”是“A ∩B ≠?的( )” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 例8.在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n +k|n ∈Z}, k =0,1,2,3,4。给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数a ,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a -b ∈[0]。 其中,正确结论的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 第一章:集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 (1)集合:集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元素。 (2)常用的集合表示法:①列举法;②描述法;③数轴或图像表示法;④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合,要么不属于,二者必居其一; 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的; 1.判断集合表示是否正确; 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关; 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法: 4.集合间的基本关系 (2)有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集。符号表示为:5.集合的运算 集),写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 (1)元素与集合间关系问题 (2)集合与集合间关系问题 (3)集合的基本运算: ①有限集(数集)间集合的运算; ②无限集间集合的运算:数轴(坐标系)画图、定域、求解; ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A ,y ∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ,则集合M 与P 之间的关系式为( ) 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.(集合的基本运算)已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥,集合{|01}B x x =<<,则() A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2.(集合的基本运算)若集合{}02A x x =<<,且A B B =I ,则集合B 可能是() A.{}0 2, B.{}0 1, C.{}0 1 2,, D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.(集合的基本运算)设集合{}|2M x x =<,{}1,1N =-,则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ,()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0,故个数为1,故选C. 4.(集合间的关系)已知集合 ,若,则() A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5.(充分条件和必要条件)设x R ∈,i 是虚数单位, 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-,得()()2 22332330x x +-=-+?--=,1314x -=--=-. 而由2230{ 10 x x x +-=-≠,得3x =-.所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件.故选C. 2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质课时作业 文 A 组——高考热点基础练 1.(2016·济南3月模拟)函数y =log 32x -1的定义域为( ) A .[1,+∞) B .(1,+∞) C .? ?? ??12,+∞ D .? ?? ??12,1 解析:由log 3(2x -1)≥0得2x -1≥1,x ≥1.因此函数的定义域是[1,+∞),故选A. 答案:A 2.(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )=????? log 12x ,x >0, 3x ,x ≤0, 则f (f (4))的值为( ) A .-1 9 B .-9 C.1 9 D .9 解析:因为f (x )=????? log 12x ,x >0, 3x ,x ≤0, 所以f (f (4))=f (-2)=1 9 . 答案:C 3.(2016·湖南东部六校联考)函数y =lg|x |( ) A .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 解析:因为lg|-x |=lg|x |,所以函数y =lg|x |为偶函数,又函数y =lg|x |在区间(0,+∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称,可得y =lg|x |在区间(-∞,0)上单调递减,故选B. 答案:B 4.函数f (x )=2|log 2x |-? ??? ??x -1x 的图象为( )集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语重要知识点
知识点集合与常用逻辑用语
理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之02常用逻辑用语
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集合与常用逻辑用语(高三复习、教案设计)
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高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图