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摘要................................................................错误！未定义书签。 ABSTRACT ............................................................错误！未定义书签。第一章绪论. (1)
1.1 引言 (1)
1.2 研究经济问题常采用的方法 (1)
1.3数学思想在经济管理中的应用 (1)
第二章微分在经济管理中的应用 (3)
2.1 需求函数与供给函数 (3)
2.2 总成本函数、总收入函数和总利润函数 (4)
2.3 一元经济函数的边际函数 (5)
2.4 多元经济函数的边际函数 (8)
第三章弹性 (9)
第四章积分的经济应用 (11)
第五章微积分在经济管理中的一些其他应用 (13)
5.1 最小平均成本 (13)
5.2最大利润问题 (14)
5.3 生产两种产品的最大利润 (15)
5.4 根据最大利润原则确定商品价格 (17)
第五章结论 (18)
参考文献 (19)
致谢..................................................................错误！未定义书签。
微积分在经济管理中的应用
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微积分在经济管理中的应用
第一章绪论
1.1 引言
现代化经济理论已经从过去的经济定性分析发展成为量性分析和定性分析相结合。因而高等数学的一些方法如函数理论微积分、矩阵、概率统计、运筹学等知识在经济管理中都有了广泛的应用。
数学是一门高度抽象的理论性学科,又是一门应用广泛的工具性学科,如何将抽象的数学理论应用到具体的实践中去,以使数学这门古老、严谨、深刻的经典科学和现代数学理论找到崭新的应用市场，这在高等数学的教学过程以及经济学的研究过程中,都是至关重要的。实践证明,用数学方法对经济问题所作的定性分析和定量分析是严谨的、慎密的,可信的。
1.2 研究经济问题常采用的方法
随着经济问题的多样化和数学手段的丰富,研究经济问题的方法、方式也各有不同。在定量的描述、研究经济关系和经济规律的方法中,一种简单的流程图为:经济理论→模型→数学型→估计模型、确定模型的未知量→经济结构分析→经济预测→政策评价、调整。其中,结构分析包括:研究分析经济变量之间的内在联系和检验经济理论。经济预测包括:借助于科学的数学方法和技术手段,对未来的发展和状况进行描述、分析,形成科学的假设和判断。政策评价是指决策者从众多的决策中选择一种最优的政策来执行。其中用到弹性函数、乘数、生产技术系数、边际效益等数学概念。
1.3数学思想在经济管理中的应用
在经济活动中生产者与消费者通过市场交换商品, 消费者购买商品是为了得到它的效用, 生产者提供商品为了获取利润, 而市场就是生产者和消费者之间的桥梁我们知道某种商品的市场需求量是商品价格的函数, 一般说来将随着价格的上涨而减少, 即需求量是市场价格的单调减少函数, 与需求函数相反, 供给函数是随着市场价格的上涨而增加。收入是生产者生产的商品售出后的收入, 生产者销售某种商品的总收入取决于该商品的销售和
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微积分在经济管理中的应用
价格,成本函数固定成本厂房设备管理者的固定工资等和变动成本原材料劳动者的工资等, 利润是生产者扣除成本的剩余部分它也是产量的函数。
经济学中的一些问题与导数的联系极为密切,涉及到的有边际成本、边际收益、边际利润、边际需求等.边际问题，边际成本、边际收益、边际利润、边际需求在数学上可以表达为自总函数的导数. 积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数。
为了研究经济变量之间的联系及其内在规律常需要建立某一经济函数及其导数和积分所满足的关系式,并由此确定所研究函数形式,从而根据一些已知的条件来确定该函数的表达式.从数学上讲就是建立微分方程并求解微分方程. 利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量(供给量) 之间的函数关系、预测可再生资源的产量,预测商品的销售量、分析关于国民收入、储蓄与投资的关系问题等。
经济管理是研究人们如何分配有限资源来满足人们需要的一种方法，它的主要作用在于如何用已有的数学方法结合经济中的各种要素来使得人们利用最有限的资源获得最大的利益或者是风险最小的利益。以期满足人们日益增长的物质文化需要。应该用什么合理的方法来解决影响经济管理的各种要素？
在经济管理中我们主要需要知道需求和供给与价格的关系。从经济学中知道，需求是消费者在某一特定时期内在不同的价格水平上愿意并且能够买到的商品量。在经济学中的需求定理指当某种商品的价格下降时，买者对这种商品愿意而且能够购买的数量就会增加；反之，当某种商品的价格上涨时，买者对这种商品愿意而且能够购买到的数量就会减少。
供给是指厂商在某一特定时期内、在不同价格水平上愿意而且能够提供出售的商品量，供给定理是：当某种商品的价格上涨时，卖者对这种商品愿意并且能够提供的数量就会增加；反之，当某种商品的价格下降时，卖者对这种商品愿意并且能够提供的数量就会减少。
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微积分在经济管理中的应用
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第二章 微分在经济管理中的应用
2.1 需求函数与供给函数
2.1.1 需求函数
需求量是指在特定时间内，消费者打算并能够购买的某种商品的数量，用Q 表示，它与商品价格P 密切相关，通常降低商品价格使需求量增加；提高商品价格会使需求量减少。
如果不考虑其它因素的影响（或其它因素不变），则Q 是P 的函数，称为需求函数，记作()Q f P =它通常是一个单调减少函数。
常见的需求函数有以下几种类型：
（1）线性需求函数(0,0)Q a bP a b =+>> （2.1）
（2）二次需求函数2 (0,0,0)Q a bP cP a b c =-->>> （2.2）
（3）指数需求函数(0,0)Q ae bP a b =->> （2.3） 有时也把()Q f P =的反函数()1 P f Q -=也称为需求函数。
2.1.1 供给函数
供给量是指在特定时间内，厂商愿意并能够出售的某种商品的数量，用S 表示，假设除了商品的价格P 外影响供给的其它因素均不变，则S 是P 的函数,()S g P =它通常是一个单调增函数。常见的供给函数有以下几种类型：
（1）线性供给函数(0,0)S a b P
a b =-+*>> （2.4） （2）指数供给函数(0,0)S a P b a b =**>> （2.5） 当 Q S =时，市场的供需处于平衡状态，此时的价格称为均衡价格，需求（或供给）量称为均衡数量.当商品由某厂商独家生产时，厂商是价格的制定者，它自然会考虑消费者对价格的反应,并依需求规律组织生产，其产量即需求量，价格与产量（需求量）的关系由
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需求函数确定，称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势的厂商共同生产时，各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态，此时商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为（改变产量或需求量）不再影响市场均衡，称该商品市场为完全竞争市场。
例 1 当鸡蛋收购价为每公斤4.5元时，某收购站每月能收购5000公斤。若收购价每公斤提高0.1元，则收购时可增加400 公斤，求鸡蛋的线性供给函数。
解 设鸡蛋的线性供给函数为
S c d P =-+* （2.6） 由题意有
5000 4.5c d =-+* （2.7） 5400 4.6c d =-+* （2.8） 解得d 4000=，c 13000=，所求供给函数为
130004000S P =-+*
2.2 总成本函数、总收入函数和总利润函数
在生产和经营活动中,如果投入的各要素价格不变,则成本C 是产量或销售量Q 的函数()C C Q =,称为总成本函数。一般地,总成本由固定成本0C 和可变成本1C 两部分组成
()()01C Q C C Q =+ （2.9）
其中固定成本与产量无关,如厂房、设备的折旧费、企业管理费等,可变成本随产量的增加而增加,如原材料、动力、工人的工资等。常见的成本函数有
()()00C Q C aQ
a =+>
（2.10） 以总成本除以产量,得平均成本函数
)()()
()
()(1010
Q C Q C Q Q C Q C Q Q C Q C +=+== 其中0
0()C C Q Q =与11()()C Q C Q Q =分别称为平均固定成本与平均可变成本。
厂商销售Q 单位的商品所得收入为()R R Q =,称为总收入(益)函数.设商品的价格为 P ,则总收入函数为
()R Q PQ = （2.11）
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若商品的需求函数为1()P f Q -=,且产销均衡,则总收入函数为
()1()R Q PQ Q f Q -==
（2.12） 总利润L 是总收入R 与总成本C 之差, 故总利润函数为
)()()(Q C Q R Q L -=
例2 生产某产品的固定成本为1万元,可变成本与产量(单位:吨)的立方成正比,已知产量为20吨时,总成本为1.004万元.求总成本函数和平均成本函数。
解 总成本函数
()()301 1C Q C C Q kQ =+=+
将C (20)=1.004代入上式,得k =7105-?,则总成本函数为
3
71051)(Q Q C -?+=
平均成本函数为
2
71051
)
()(Q Q Q Q C Q C -?+==
2.3 一元经济函数的边际函数
经济学上将函数的导数称为边际函数.以总成本函数()C C Q =为例,其导数
Q C Q C Q ???0lim
)(→='
称为边际成本函数,也记为MC ,显然()0C Q '>。
C
Q ??为在Q 到Q Q +?产量间隔内的平均成本,当Q ?很小时
Q Q C dC C ??)('=≈
取1Q ?=±(经济学上通常认为1个单位已经相当小了),则
)()()1(Q C Q C Q C C '±≈-±=?
说明在产量为Q 时,生产最后一个单位的产品花费的成本()(1)C Q C Q --约为()C Q ',或者说在产量为Q 时, 再生产一个单位的产品花费的成本(1)()C Q C Q +-约为()C Q '。
下面讨论边际成本与平均成本的关系.平均成本函数为
Q Q C Q C )
()(=
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6 )]()([1)()(1)()()()(2Q C Q C Q Q Q C Q C Q Q Q C Q C Q Q Q C Q C -'=??
????
-'=-'='???? ?
?='
由于产量0Q >,则当()()C Q C Q '<时,()0C Q '<,此时增加产量将使平均成本减少；当()()C Q C Q '>时,()0C Q '>,故增加产量将使平均成本增加。
例如 某电视机厂生产5万台电视机，在成本为6000万元，平均成本为每台1200元。当它生产第50001台时，如其成本(即边际成本)也是1200元，则平均成本不变；若此台电视机的成本为1150元，即边际成本小于平均成本，则多生产此台电视机使平均成本下降；若此台电视机的成本为1250元，即边际成本大于平均成本，则多生产此台电视机使平均成本增加。
总收入函数()R R Q =的导数()R Q '称为边际收入函数，也记为M R ，是企业在产量为Q 时，再生产一个单位的产品增加的收入的近似值，也是销售最后一个单位的产品所得到的收入的近似值，即最后哪个单位产品的售价。
总利润函数()L L Q =的导数()L Q '称为边际利润函数，是企业销售最后一个单位的产品所得到的利润的近似值，或多销售一个单位的产品所得到的利润的近似值。由于()()()L Q R Q C Q =-，则有
)
()()(Q C Q R Q L '-'=' 即边际利润等于边际收入与边际成本之差。
效用函数()U f x =的导数()/f x 称为边际效用函数，记作M U ，表示消费者消费第
x 单位的商品所获得的效用，效用函数为为增函数，则()/0f x >。边际效用
()/f x 为单调减函数，称为边际效用递减规律。若()f x 的二阶导数存在，则()//0f
x <。 设消费函数与储蓄函数分别为()C C Y =与()S S Y =，dC
dY 称为边际消费倾向，记为
M PC ，表示收入增加一单位时消费相应的增加量，即这一单位收入中被用来消费的部分dS
dY 称为边际储蓄倾向，记为M P S ,表示收入增加一单位时储蓄的增加量,由变量的实际含
义及三者之间的关系不难得到
,0dY dC <1 微积分在经济管理中的应用 7 例3 某商品由一企业垄断生产，产品的需求函数为120.5Q P =-。 (1)计算需求的变化速度并说明其意义； (2)计算5,6,7Q =时，企业的边际收入。 解 (1)需求的变化速度0.5Q '=-为常数，说明价格每上涨1单位，需求量将减少0.5单位。 (2)总收入函数为()2242R Q PQ Q Q ==-，边际收入()/244R Q Q =-。当5,6,7Q =时，边际收入分别为()/54R =，()/ 60R =，()/746R Q =-<时，()/0R Q >， 此时增加产量将使总收入增加，6Q >时，()/0R Q <，此时增加产量总收入反而减少， 由此可见，在6Q =时，总收入最大，此时价格为12P =。由总收入函数()2242R Q Q Q =-的图形亦可得相同结论。 例4 某酸乳酪商行发现它的收入函数和成本函数分别为 3 12)(Q Q Q R -=，)30(34)(≤≤+=Q Q Q C Q 的单位为千升，()()R Q C Q 、以千元计。 边际成本3 ()2C Q Q '=，它随Q 的增大而减少，即产量越高，单位产品成本越 低.()1 1.5C =，表明在生产１千升的基础上，再多生产１升，约需成本 1.5元(由()()1.00110.00149 1.49C C -==千元元可看出与实际值非常接近)，()/40.75C =，表明在生产4千升的基础上，再多生产１升，只需成本0.75元。那么是否生产越多，赚钱就越多呢？ 解 边际收入3(4) ()2Q R Q Q -'=，(4)0R '=，说明在生产4千升的基础上，再多生产 １升，总收入几乎无变化。到底生产多少赚钱最多?这要从边际利润来讨论。 边际利润3(3) ()()()2Q L Q R Q C Q Q -'''=-=。当3Q <时，()0L Q '>，每多生产1 升，总利润将增加；3Q =时，(3)0L '=，再多生产1升，总利润几乎无变化；当3Q >时，()0L Q '<，生产越多，总利润反而减少，这是由于产量增大导致价格下跌所至。由此可见,在生产3千升时，商行赚钱最多。 如果经济量y 是时间t 的函数()y f t =，则其导数()f t '表示t 时刻经济量的绝对变化速度，即单位时间内经济量变化值的近似值。 微积分在经济管理中的应用 8 2.4 多元经济函数的边际函数 与一元经济函数的边际函数类似，多元经济函数的偏导数有其相应的经济意义。 设需求函数为()1,,Q f P P M =，这里Q 为商品的需求量，P 为该商品的价格，1P 为与此商品有关的另一商品的价格,M 为消费者的收入。偏导数1,,Q Q Q P P M ??????分别称为价格P 的边际需求、相关价格1P 的边际需求和收入M 的边际需求。在全微分 11Q Q Q d Q d P d P d M P P M ???=++???中，令11,0dP dP dM ===，即相关价格和收入不变，商品自身价格上涨1单位，则Q Q dQ P ??≈= ?，即在相关价格和收入不变，商品自身价格上涨1单位时，需求量近似减少Q P ?- ?单位(因0Q P ? P ?>?，说明两商品是相互竞争的(也称相关商品为替代品),如果10Q P ? 是相辅的(也称相关商品为互补品)。如果 0Q M ?>?，说明需求量与收入同方向变化，商品为正常品，如果0Q M ? 说明商品为劣质品。 若厂商生产,A B 两种产品, 产量分别为12,Q Q 。总成本函数为12(,)C Q Q ，其偏导数 12,C C Q Q ????分别称为两种产品的边际成本，记作,A B M C M C 其中A M C 表示在原有生产规模 下，B 产品的产量不变，多生产1单位的A 产品所增加的成本，B M C 有类似意义。称总 收入函数12(,)R Q Q 的偏导数12,R R Q Q ????为两种产品的边际收入，记为,.A B M R M R 分别表 示在另一产品产量不变时，多生产一个单位的产品所引起的收入的改变量。 生产函数(),Q f K L =的偏导数,Q Q K L ????分别称为资本K 的边际产量和劳动L 的边际产量，分别记为K M P 与L M P ，表示在另一投入要素不变时，单位要素对产量的贡献。 效用函数(),U f x y =的偏导数,U U x y ????分别为两商品的边际效用,记为,M U M U 表示在另一商品的消费量不变时，多消费一个单位的商品所增加的效用，通常情况下 微积分在经济管理中的应用 9 0M U >。 例5 ___C D 生产函数为0.40.610Q K L =，求8,20K L ==时资本和劳动的边际产量。 解 资本和劳动的边际产量分别为 =??K Q 6.06.04L K -，=??K Q 4.04.06-L K 在8,20K L ==时 =??)20,8(K Q 93.6)20()8(46.06.0≈- =??)20,8(K Q 16.4)20()8(64.04.0≈- 第三章 弹 性 商品价格的提高或降低会引起需求量的减少或增加，但价格变化以后，需求量所作出的反应或增减变化程度，不同的商品时不同的，同一种商品在不同的价格水平上也是不同的。所以需求的弹性可以用来衡量价格变动的比率所引起的需求量变动的比率，也就是两者之间的灵敏程度。 在经济学中，弹性可以理解为：它是一个因变量的相对变动和一个自变量的相对变动之比，以E 来表示弹性系数，即： 如果设数量变动的百分比为2，价格变动的百分比为1，则弹性系数为 （3.1） 函数()()E y x f x E x f x '=称为()f x 的弹性函数，()f x 在0x 处的弹性为其弹性函数在 0x 处的函数值.在0x >，()0f x >时，ln () ln Ey d f x Ex d x =。 设需求函数为()Q f P =，定义需求价格弹性 微积分在经济管理中的应用 10 )()(P f P f P dP dQ Q P E P '== （3.2） 表示在价格为P 时，价格上涨(或下跌)1%需求量约减少(或增加)%.0P P E E -<，表明需求 与价格反方向变化。 若1P E <-，表示需求量的相对变化率高于价格的相对变化率，需求对价格的反应较 强，价格变化1%，需求量的变化将超过1%，称为弹性需求或富有弹性，一般高档消费品属此类。 若10P E -<<，表示需求量的相对变化率低于价格的相对变化率，需求对价格的反应 较弱，价格变化1%，需求量的变化将小于1%，称为非弹性需求或缺乏弹性，一般生活必需品多属此类。许多商品在不同的价位上，需求价格弹性的性态是不同的，一般当价格较低时是非弹性需求，当价格较高时是弹性需求。 若1P E =-，表示需求量的相对变化率与价格的相对变化率相同，需求对价格的反应 按相同比例反方面进行，称为单位弹性需求。 0P E =时，价格的任何变动都不会改变需求量，这样的商品并不多见，E p →-∞时， 价格的微小变化将会引起需求的巨大变化，这样的商品也不多见。但在完全竞争市场上，单个厂商的价格变化，在其余厂商作出反应之前，它面临的需求曲线具有无穷大的弹性。 对其余一元经济函数，可类似地定义其弹性，如供给弹性、成本弹性等。 设某商品的需求函数为()Q f P =，这里Q 为商品的需求量，P 为该商品的价格，若该商品是完全垄断的，生产商的产销均衡，则厂商的销售收入为 () R P Q P f P =*=* ) 1()1() ()(P E Q dP dQ Q P Q dP dQ P Q dP PQ d dP dR P R +=+=+===' 其中P E 为需求价格弹性。 当1P E <-时，()0R p '<，此时涨(降)价会使总收入减少(增加)。 当10P E -<<时，()0R p '>，此时涨(降)价会使总收入增加 (减少)。 当1P E =-时，()0R p '=。此时涨(降)价，总收入几乎无变化。由可导函数取极值的 必要条件，在R (P )的驻点唯一时，单位弹性可使总收入最大。 收入的价格弹性为 微积分在经济管理中的应用 11 ()(1)1p p ER P P R P Q E E EP R PQ '==+=+ 在价格变化很小时 R E R R P E P P ?≈? R ER P R EP P ??≈ 边际收入与弹性的关系为 () ()1(1)(1)p dR d P Q dP R Q P Q dQ dQ dQ Q dP P P P dQ E '===+=+=+ 第四章 积分的经济应用 积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数。 设总量函数()P x 在区间I 上可导，其边际函数为()P x '，[],a x I ∈，则总有函数 ()()()x a P x P u du P a '=+? （4.1） 当 x 从a 变到b 时，()P x 的改变量为 ()()P P x P a ()x a P u du '?=-=? （4.2） 将x 改为产量Q ，且a 0=时，将()P x 代之以总成本()C Q 、总收入()R Q 、总利润()L Q ， 可得 0()()(0)Q C Q C x dx C '=+? （4.3） 其中即为(0)C 固定成本，0 ()Q C x dx '?为可变成本 0(0)()(R (0)=0)Q R R x dx '=?因为 0()()(0)Q L Q L x dx C '= -? 微积分在经济管理中的应用 12 某商品的边际利润函数为3()6L Q Q Q '=-，Q 为该商品的销售量，销售此商品的盈亏平衡点为3Q =，求总利润函数。 解 322()()(6)33Q L Q L Q dQ Q Q dQ Q c '==-=-+?? 因商品的盈亏平衡点为3Q =，则()30L =，代入上式可得18c =-，故总利润函数为 32()3183Q L Q Q =-- 设总量函数()P x 在区间I 上可导，其边际函数为()P x '，[],a x I ∈，则有总量函数 ()()()x a P x P u d u P a '=+? 当x 从a 变到b 时，()P x 的改变量为 ()()()b a P P b P a P x dx '?=-=? 将x 改为产量Q 且0a =时，将()P x 代之以总成本()C Q ，总收入()R Q ，总利润()L Q ，可得 0()()(0)Q C Q C x dx C '=+? 其中()0C 即为固定成本，0 ()Q C x dx '?为可变成本. 0()()((0)0)Q R Q R x dx R '==?因 0()()(0)Q L Q L t dt C '=-? 例 经济学家研究一口新油井的原油生产速度R (t ),并建议用以下模型： )2sin()(t Be A t R t π-+= 这里t 的单位为年,A 是平均速度(常数),而B 是“变率”系数(常数).求出开始N 年内生产的石油的总和(取N 为整数); 解 设开始N 年内生产的石油的总和为()Q N ,由于(0)0Q =,则 ?=N dt t R N Q 0)()( ?-+=N t dt t Be A 0)]2sin([π ?-+=N t dt t e B AN 0)2sin(π 其中 微积分在经济管理中的应用 13 =?-N t dt t e 0)2sin( π?--N t de t 0 )2sin(π ?--+-=N t t dt t e N t e 0)2cos(20) 2sin(πππ ?--=N t de t 0)2cos(2ππ ?----=N t t dt t e N t e 02)2sin(40) 2cos(2ππππ ?----=N t N dt t e e 02)2sin(4)1(2πππ 则 ?-N t dt t e 0 )2sin(π241)1(2ππ+-=-N e 因此有 241)1(2)(ππ+-+=-N e B AN N Q 第五章 微积分在经济管理中的一些其他应用 5.1 最小平均成本 设成本函数为2 ()9000400.001C Q Q Q =++,求平均成本最小时的产量、边际成本及最小平均成本。 解 平均成本函数为 () 9000 ()400.001C Q C Q Q Q Q '==++ 29000 ()0.001C Q Q '=-+ 令()0C Q '=得唯一驻点3000(3000)Q =-不合题意，舍去，又因为 318000()0C Q Q ''=> 则在Q =3000时，平均成本最小，最小平均成本为 微积分在经济管理中的应用 14 9000 (300)400.0013000463000C =++?= 边际成本函数为 ()400.002C Q Q '=+ 在3000Q =时，(3000)400.002300046C '=+= 。 一般地,若成本函数为()C C Q =，则平均成本函数为 () ()C Q C Q Q = 令 2()()()()1[()()]0C Q Q C Q C Q C Q Q Q C Q C Q Q ''??-'== ???'=-= 得()()0C Q C Q '-=，故平均成本在0Q 处最小的必要条件为0Q 处的平均成本等于边际成 本 00()()C Q C Q '= 又因为 2()()()1 (()2())d Q C Q C Q C Q dQ Q C Q C Q Q '??-''= ???'''=- 在驻点0Q 处，0(0)C Q '=, 则000 ()()C Q C Q Q ''''=,则0()0C Q ''>等价于0()0C Q ''>，从而平均成本在0Q 处最小的充分条件为0Q 为唯一正驻点且0()0C Q ''>。 5.2最大利润问题 一玩具经销商独家销售某种玩具，经销商的的收入函数为 2()7.20.001(06000)R Q Q Q Q =-≤≤ 其中Q 为销售量。成本函数为 微积分在经济管理中的应用 15 2() 2.40.0002(06000)C Q Q Q Q =-≤≤ 求该经销商的最佳销售方案及最大利润。 解 总利润函数 222()()()() 7.20.001(2.40.0008)4.80.0008(06000) L Q R Q C Q P Q C Q Q Q Q Q Q Q Q =-=-=---=-≤≤ 令() 4.80.00160L Q Q '=-=得唯一驻点3000Q =。又因为()0.00160L Q ''=<则在销售量为3000时，总利润最大。最大利润为()30007200L =。 一般地,因为()()()L Q R Q C Q '''=-，则在Q 0处利润最大的必要条件为Q 0处的边际收入等于边际成本 00()()R Q C Q ''= 由边际收入与需求价格弹性的关系1()(1)p R Q P E =+ 可将上式改写为 00() 1 1p C Q P E '=+ 其中0P 为0Q 处的价格，0Ep 为价格为0P 时的需求弹性。这也是厂商确定商品价格的方法 之一。 由()()()L Q R Q C Q ''''''=-得在0Q 处利润最大的一个充分条件为 00000()()()()()R Q C Q Q R Q C Q ''=??'''' 5.3 生产两种产品的最大利润 某工厂预备生产,A B 两种产品，当产量分别为12,Q Q 时，总成本为 22 12121122(,)400230.01(33)()C Q Q Q Q Q Q Q Q =+++++元 已知两产品售价分别为10元和9元，问两种产品各生产多少时,工厂可获最大利润？最大利润是多少？ 解 总利润函数为 微积分在经济管理中的应用 16 1212122 1212112222121122(,)(,)(,) 109[400230.01(33)]860.01(33)400L Q Q R Q Q C Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q =-=+-+++++=+-++- 令 '112'21280.060.01060.010.060 L Q Q L Q Q ?=--=??=--=?? 解得驻点12120,80Q Q ==.又11220.01,0.06n n A L C L ==-==-0A <且 2 0.00350B A C -=-<,则在两产品分别生产120与80时，工厂可获最大利润.最大利润为()120,80320()L =元. 当企业生产两种产品时，总收入函数与总成本函数分别为()()1212,,,R Q Q C Q Q ,则总 利润函数为 121212(,)(,)(,)L Q Q R Q Q C Q Q =- 令 1112 2200L R C Q Q Q L R C Q Q Q ????=-=??????????=-=????? 得总利润最大的必要条件为 112 2R C Q Q R C Q Q ???=????? ???=???? 即两产品的边际收入分别等于各自的边际成本。 若两产品的市场都是完全竞争市场，其价格分别为常数12,P P ，则两产品的边际收入即 为各自价格，从而总利润最大的必要条件为两产品的边际成本分别等于各自的价格 1122 C P Q C P Q ??=???? ??=??? 此时 22222222221 1221212,,L C L C L C Q Q Q Q Q Q Q Q ??????=-=-=-?????? 微积分在经济管理中的应用 17 则利润最大的充分条件为 121 2,C C P P Q Q ??==?? 2222222211212120(,) C C C C Q Q Q Q Q Q Q ??????>< ??????? 且为唯一驻点 5.4 根据最大利润原则确定商品价格 某商品进价为a (元/件)，根据以往经验，当销售价为b (元/件)时，销售量为c 件，(,,a b c 均为常数,且4 3b a ≥)。市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现 决定一次性降价。试问：当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求最大利润。 解 设P 表示销售价，Q 表示销售量。由题意 0.40.1Q c c b P b -=- 则得线性需求函数 45c Q c P b =- 总利润函数 22()445(5)44(5)5L p P Q aQ c ac cP P ac P b b c ac P c P ac b b =-=- --=- ++- 令84()50c ac L P P c b b '=- ++=得唯一驻点582a P b =+而8()0c L P b ''=-<则5 82a P b =+为极大值点,也是最大值点，因为43b a ≥，故582a b b +≤,故应降价销售，降价幅度为53()8282a a b b b -+=-(元/件)。最大利润为 25()(54)()8216a c L b b a b +=-元 微积分（经管类复习题）2011.5 一、选择题 1. 二元函数) 3ln(1),(2 2 y x y x f --= 的定义域为（ ） .A 222<+y x .B 222≤+y x .C 322<+y x .D 322≤+y x 2. 点),(00y x 使0),(='y x f x 且0),(=' y x f y 成立，则（ ） .A ),(00y x 是),(y x f 的极值点 .B ),(00y x 是),(y x f 的最小值点 .C ),(00y x 是),(y x f 的最大值点 .D ),(00y x 可能是),(y x f 的极值点 3. 级数 ∑∞ =1 n n aq 收敛的充分条件是（ ） .A 1>q .B 1=q .C 1 微积分在经济生活中的应用 人们面对着规模越来越大的经济和商业活动，逐渐转向用数学方法来帮助自己进行分析和决策，而且正越来越广泛地应用数学理论进行经济理论研究．在经济生活中经常涉及成本、收入、利润等问题，解决这些问题与微积分有着紧密联系． 1 导数及微分的应用 导数及微分在经济生活中的应用主要有边际分析与弹性分析等． 1.1 边际问题[1](37)P - 1.1.1 边际成本 边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数． 设成本函数为()C C x =，产量从x 改变到x x +?时，成本相应改变 ()()C C x x C x ?=+?- 成本的平均变化率为 ()() C C x x C x x x ?+?-= ?? 若当0x ?→时，0lim x C x ?→??存在，则这个极限值就可反映出产量有微小变化时，成本的变化情 况．因此，产品在产量x 时的边际成本就是： 00()() ()lim lim x x dC C C x x C x C x dx x x ?→?→?+?-'= ==?? 如果生产某种产品100个单位时，总成本为5000元，单位产品成本为50元．若生产101个时，其总成本5040元，则所增加一个产品的成本为40元，即边际成本为40元． 在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算．当企业的生产能力有剩余时，只要增加产量的销售单位高于单位边际成本，也会使得企业利润增加或亏损减少．或者说，只要边际成本低于平均成本，也可降低单位成本．由上面知当产量100x =时，这时候有 (100)40C '= (100) 50100 C = 即边际成本低于平均成本，此时提高产量，有利降低单位成本． 1.1.2 边际收入 边际收入是指在某一水平增加或减少销售一个单位商品的收入增加或减少的量．实际上就是收入函数的瞬时变化率．而从数学的角度来看，它是一个导数问题． 设收入函数为()R R x =，则边际收入函数就是 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/ef12757591.html, 微积分在生活中的应用 作者：曹红亚 来源：《数学大世界·中旬刊》2020年第01期 【摘要】微积分产生于十七世纪后期，完善于十九世纪。在现代社会中，微积分是高等数学中至关重要的组成部分，在数学领域中扮演着不可替代的角色，与此同时，微积分在现实生活中的应用也越来越广泛。本文将就微积分在生活中的应用进行深入的分析与探究。 【关键词】微积分;现实生活;实际应用 众所周知，微积分建立的基础是实数、函数以及极限。关于微积分的定义，其指的是微分学和积分学二者的总称，其更代表着一种数学思想。微积分的发展与现实生活的发展是密切相关的，现在的微积分已经广泛存在于诸多自然科学当中，如天文学、生物学、工程学以及经济学等等，在现实生活着发挥着越来越重要的作用。以下笔者结合自己多年的相关实践经验，就此议题提出自己的几点看法和建议。 一、微积分在日常工作中的应用 微积分不仅仅应用在科研领域，其更实实在在地存在于我们的生活当中。例如日常生活中，我们需要装修或者从事装修工作，都需要进行工程预算，这时我们便会不自觉地应用微积分原理，首先将整个装修工程科学划分成为多个小单元，然后对应用到的材料和工时进行计算，最终得出总的造价。再比如，现在很多人特别是年轻人都希望创造一份属于自己的事业，那么其在创业时可能会应用到微积分。如对所选地址处的车流量以及人流量进行了解，在一天的几个时间段，做一分钟的调查，测出经过的人数或车数，再通过计算得出每天或每月的人流量或车流量，这将是我们创业的一个重要参考面。 二、微积分在曲线领域中的应用 在微积分的现实应用中，最具代表性的便是求曲线的长度、切线以及不规则图形的面积。 如在当前社会中，相关数字音像制品或者正流行的数字油画，其都需要将图像和声音分解成为一个个像素或者音频，利用数字的方式来进行记录、完成保存。在重放的时候，再由设备用数字方式来解读还原，使我们听到或看到几乎和原作一模一样的音像。再比如，中央电视台新闻频道的时事报道中常看到地球转向某一点，放大，现出地名，播送最新动态的新闻画面。它的整体概貌是拼装的，是由卫星将地球分成一个个小区域进行拍照，最后拼接成地球的形状，才让我们形象地、跨时空地欣赏新闻报道的同步魅力。 三、微积分在买卖中的应用 一. 单项选择题(共45分,每题3分) 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1. 数列{}n x 有界就是数列{}n x 收敛的( ) A 、 充分条件 B 、 充要条件 C 、 必要条件 D 、 非充分又非必要 条件 2.设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=,则a =( ) A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 -1 3.当1x →时,函数 1 2111 x x e x ---的极限就是( ) A 、 2 B 、 不存在也不就是∞ C 、 ∞ D 、 0 4.如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值,则( ) A 、 0()0f x '= B 、 0()0f x ''< C 、 0()0f x '=且0()0f x ''< D 、 0()0f x '=或0()f x '不存在 5.若两曲线2 y x ax b =++与3 21y xy =-+在点(1,1)-处相切,则,a b 的值为( ) A 、 0,2a b ==- B 、 1,3a b ==- C 、 3,1a b =-= D 、 1,1a b =-=- 6.某商品的价格P 与需求量Q 的关系为100.01P Q =-,则4P =时的边际收益为( ) A 、 300 B 、 200 C 、 100 D 、 0 7.设函数()f x 可导,且0 lim ()1x f x →'=,则(0)f ( ) A 、 就是()f x 的极大值 B 、 就是()f x 的极小值 C 、 不就是()f x 的极值 D 、 不一定就是()f x 的极值 8.设()f x 就是连续函数,则下列计算正确的就是( ) A 、 11 221 ()2()f x dx f x dx -=? ? B 、 131 ()0f x dx -=? 《高等数学》（经管类）考试大纲一、课程性质及设置目的及总体要求 《微积分》课程是经济类专业的一门重要的基础理论课，它是为培养适应我国社会主义现代化建设需要的高质量经济类管理专门人才服务的。 通过本门课的学习，使学生获得微积分方面的基本理论知识、基本运算技能和基本数学方法，其中包括极限理论、一元微积分、二元微积分、级数理论、常微分方程和差分方程等知识，为工作获得必要的数学知识和为后继学习奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。还要培养学生具有抽象概括问题的能力和综合运用知识来分析解决问题的能力。 二、考核内容及考核目标 (一) 函数 1. 理解实数、实数绝对值及邻域的概念。掌握简单绝对值不等式的解法。 2. 理解函数、函数的定义域和值域等概念，知道 函数的表示法。 3. 知道函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性并掌握其图形的特征。 4. 了解反函数的概念，知道函数与反函数的几何关系，给定函数会求其反函数。 5. 理解复合函数的概念，掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。 6. 熟练掌握基本初等函数的性质及图形。 7. 理解初等函数的概念，了解分段函数的概念。 8. 会建立简单应用问题的函数关系。 (二) 极限与连续 1. 理解数列与函数极限的概念。（关于数列与函数极限的分析定义不作过高的要求。） 2. 理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法，了解无穷大量的概念，知道无穷小量与无穷大量之间的关系。 3. 了解两个极限存在的准则，并能用于求一些简单极限的值。 4. 熟练掌握两个重要极限及其应用。 5. 理解函数连续性与间断的概念，掌握函数间断点的分类，掌握讨论分段函数连续性的方法。 6. 了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义 第3章 微积分及其经济学应用 3.1 一元函数和多元函数 在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，对任意给定的x 值，仅存在一个y 值与其对应，则称y 是x 的函数，表示为)(x f y =。 其中x 为自变量，y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域，y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为P ，需求量为D Q ，供给量为S Q 。那么，需求与价格的函数关系可以表示为：)(P f Q D =，)(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此，采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用 ),,,(21n x x x f y =的形式来表示，它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21 的大小。 例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U =，其中U 表示消费者的效用，n x x x ,,,21 是对n 种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样，生产函数常表示为),(K L f y =，y 为产出水平，K 表示资本，L 表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0.5;belta=0.5; 微积分在生活中的应用 （何杰东陈新亮连冠才施楠信工一班北二830） 一.摘要 牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。 微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分最大的奥义。因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。 二．关键词：物理，经济，应用。 三．引言：通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。获取资料的途径主要是互联网。 四（一）在物理中的应用 例1，研究物体做匀变速直线运动位移问题时； 对于匀速直线运动，位移和速度之间的关系我们都清楚,x=vt，但如果物体的速度大小时刻发生变化，那么物体的位移如何求解呢？此时，微积分就成了我们有利工具。我们可以把物体运动的时间无限细分。在每一份时间内，速度的变化量非常小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积； 例2，研究匀速圆周向心加速度的方向问题时； 根据牛顿第二定律，我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心；同时利用极限思想，也可以加速度的方向。当圆周上的两个点无限靠近时，速度变化量也无限的小，因此由VAVB△V围成的等腰三角形的底角接近90，因此速度变化量和速度垂直，而速度又和半径垂直，因此，匀变速圆周运动中，加速度的方向始终指向圆心。 例3.研究变力做功问题时； 对于恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力，我们不能利用公式；这种情况下，我们要借助于微积分，我们可以把位移无限细分，在每一个小位移上，力的变化很小，可以看作是恒力，根据公式算出力所作的功；然后把每一个小位移上的功无限求和，那么就可以求出变力做的总功是多少。 （二）在经济上的应用 1.1 边际分析在经济分析中的的应用 1.1.1 边际需求与边际供给 设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格）， 《高等数学》经管类期末考试 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 一、 填空题（本大题共5题，每题2分，共10分。请直接将正确结果填 入各题的空格处） 1. 函数221y x z --=的定义域 ； 2. 由方程z e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全微分11==y x dz = ； 3. 变换二重积分 ??==b a x a I dy y x f dx I 的积分次序后),( ； 4. 将函数()2cos x x f =展开成x 的幂级数为 ； 5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。 二、 选择题（本大题共5题，每题2分，共10分。每小题有四个选项， 其中有且只有一个选项正确，请将正确选项的代号字母填入括号内） 6. 在空间解析几何中方程422=+y x 表示（ ）。 A ．圆 B ．平面 C ．圆柱面 D ．球 面 7. 设函数22y x z =，则=??22x z （ ）。 A. 22y B. xy 4 C. y 4 D. 0 8. 设(){}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ，则??D dxdy 等于（ ） 。 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 9. 级数∑ ∞=121n n （ ）。 A. 发散 B.收敛，其和为2 C.收敛，其和为1 D.收敛，其和为3 10. 下列方程中，（ ）是二阶线性齐次微分方程。 A ．y y dx y d ='+22 B ．y x y '+=''2)( C ．y y x y '+=''2 D ． x y y y +'=''2)( 三、 计算题（本大题共9题，每题7分，共63分。解答须有主要解题步 骤，说明必要的理由） 11. 设),(v u f z =，y x u 2 =，y x v =，求y z x z ????,。 12. 求函数 122++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。 13. ??D xyd σ，其中D 是由抛物线 x y =2及直线2-=x y 所围成的 闭区域。 14. 计算??D dxdy y 2，其中D 为：4122≤+≤y x 。（要求画草图。提示：在极 坐标下计算） 15. 计算由y x z ++=1，1=+y x ，0=x ，0=y 及0=z 所围成 立体的体积（第一卦限）． 16. 判断级数∑∞ =1 2sin n n n α的敛散性； 17. 求幂级数n n x n ∑∞=11的收敛区间与和函数。 一.教材和大纲（3--6月） 教材往往容易被很多同学忽略，其实教材真的很重要，除非你的基础很好，比如我今年，就只看了一遍陈文灯复习指南，600题都没有做完。 就做了些模拟题。然后就上考场。但是同学们必须知道我08年是怎么复习的。我大概在6月份之前把4本教材和教材的课后习题全部都做了。其实 我想说，很多同学都说自己看了多少书，做了多少题为什么最后考得还是不好。我希望大家能够做到，不是你做了多少题，但是我们做题不能只 做不想，不懂脑。当然做题还是要一定的量，人家政治不也说“量变引起质变”吗。 我想说的是，大家如果有资源的话尽量用起来，有那种数学强人的话，尽量让他们给你们答疑。把你们不会的，全部问清楚，这一点真的很重要。 我男朋友是数学系的，我可以说即使计算不会都问他，因为说不定他们就能说出怎么样计算更简单，更不容易出错。 二。复习指南（7--10月） 其实我觉得复习指南的话，用谁的吧，我不细说，因为每个人的情况不一样，而且基础不同吧。但是还是给个建议吧，如果你的基础还可以的话 ，个人建议用陈文灯的，如果你觉得你的基础一般的话，那还是用李永乐的吧。 我的好多学弟学妹们常问我怎么用复习指南。我个人觉得复习指南吧，一般要看2遍吧。第一遍和第二遍，有一定的笔记差距。我看的时候一般是： 首先，我想说，同学们请你不要看一个题目是怎么做的，而是要你自己去做，因为咱们已经看过一遍教材了，所以我们看书时，把答案先盖住，然后 自己做，做完后看和答案有什么差距，然后调整下自己的思维，希望你在第二次或第三次的时候能会。 第一遍：如果这个题基本不怎么会的话，就用红色笔打上大大的问号，以便第二次的时候可以重点看看。如果是计算错误的话，还是用蓝色的笔标记吧。 也许很多同学都觉得我方法都对了，计算是小问题。那我告诉你，你错了。像我09年数学考134，就是因为忽略了计算。说实话，一般来说， 130和150的区别也许就是谁细心了，实力差距个人觉得不是很大，所以希望同学们不要忽略计算问题。 第二遍：其实做题还是和第一遍一样，盖住答案，多注意下第一遍画红色的部分。蓝色笔的部分，希望大家不要再计算错了。 三。600题和模拟题（11--12月） 希望大家买的600题是那种答案和题目分开比较远那种，不要前面是题，下面就是答案，这样的书不便于同学们去发现自己的弱点。 咱们怎么用这个600题呢，首先，咱们每天规定做30题吧，但是不是连续20天都做题。这里有个建议必须说一下，希望同学们，在做600题的时候， 不要再去翻复习指南了。如果你不会，说明这就是你的弱点了，你是不是该好好地补习下这部分呢。比如说，我先做的60题，发现我自己对间断点的类型 不是很清楚。咱们不会，没有关系，我用红笔在这页的上面写上，间断点的类型。说明这是你的弱点，然后你自己在第二天再看看，做点别的练习，然后 再继续600题。 其实是模拟题。我一般都是采取考试的形式来要求自己，我自己对自己的要求比较高，我 微积分的应用 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛 的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的 微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的 《高等数学》知识在经济学中的应用举例 由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数 学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。 一、复利与贴现问题 1、复利公式 货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。利 息以“期”，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。 如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利”。 下面推出按福利计息方法的复利公式。 现有本金A 0，年利率r=p%，若以复利计息，t 年末A 0将增值到A t ，试计算A t 。 若以年为一期计算利息： 一年末的本利和为A 1=A 0（1+r ） 二年末的本利和为A 2=A 0（1+r ）+A 0（1+r ）r= A 0（1+r ）2 类推，t 年末的本利和为A t = A 0（1+r ）t （1） 若把一年均分成m 期计算利息，这时，每期利率可以认为是 r m ，容易推得 0(1) mt t r A A m =+ （2） 公式（1）和（2）是按离散情况——计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算A t 的复利公式。 若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数m →∞，这时，由于 000lim (1)lim[(1)]m mt rt rt r m m r r A A A e m m →∞→∞+=+= 所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是 0rt t A A e = 高等数学经管类-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一. 单项选择题（共45分，每题3分） 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1． 数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的（ ） A. 充分条件 B. 充要条件 C. 必要条件 D. 非充分 又非必要条件 2．设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 3．当1x →时，函数 1 2111 x x e x ---的极限是（ ） A. 2 B. 不存在也不是∞ C. ∞ D. 0 4．如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则（ ） A. 0()0f x '= B. 0()0f x ''< C. 0()0f x '=且0()0f x ''< D. 0()0f x '=或0()f x '不存在 5．若两曲线2y x ax b =++与321y xy =-+在点(1,1)-处相切，则,a b 的值为（ ） A. 0,2a b ==- B. 1,3a b ==- C. 3,1a b =-= D. 1,1a b =-=- 6．某商品的价格P 和需求量Q 的关系为100.01P Q =-，则4P =时的边际收益为（ ） A. 300 B. 200 C. 100 D. 7．设函数()f x 可导，且0 lim ()1x f x →'=，则(0)f （ ） A. 是()f x 的极大值 B. 是()f x 的极小值 C. 不是()f x 的极值 D. 不一定是()f x 的极值 8．设()f x 是连续函数，则下列计算正确的是（ ） A. 1 1 221 ()2()f x dx f x dx -=?? B. 1 31 ()0f x dx -=? C. 0+∞-∞ =? D. 11 221 0()2()f x dx f x dx -=? ? 9．设2sin ()sin x t x F x e tdt π+=? ，则()F x （ ） A. 为正常数 B. 为负常数 C. 恒为零 D. 不为常数 10．设直线1158 :121x y z L --+== -，20:23 x y L y z -=??+=?，则12,L L 的夹角为（ ） A. 6 π B. 4π C. 3 π D. 2 π 11．设()f x,y 在点()a,b 处偏导数存在，则极限()() n f a x,b f a x,b lim x →+∞ +--= （ ） A. ()x f a,b B. ()2x f a,b C. ()2x f a,b D. ()1 2 x f a,b 12．设函数()f x 连续，则22 0()dt x d tf x t dx -=?（ ） A. ()2xf x B. ()2xf x - C. ()22xf x D. ()22xf x - 13．设二次积分2sin 0 d (cos ,sin )d I f r r r r π θθθθ=??，则I 可写成（ ） A. 2 2d (,)d x f x y y -? B. 2 20 d (,)d y f x y x -? C. 2 0d (,)d x f x y y ? D. 2 d (,)d y f x y x ? 14．点(0,0)是函数z xy =的（ ） A. 极大值点 B. 极小值点 C. 驻点 D. 非驻点 1、（10分）计算下列极限 （1）11lim sin n n k k n n π→∞=∑； （2）2 2 222[]lim (2)x u t x e du dt x -→-??； （3）4 2 0sin lim 1n n x dx x π →∞+?. 解：（1）由定积分的定义得11001112lim sin sin cos |.n n k k xdx x n n πππππ→∞===-=∑? （2）由洛必达法则得 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2[]1lim lim lim .(2)2(2)22 x u u x t x x x x e du dt e du e e x x ----→→→==-=---??? （3）4 4 2200sin 120lim lim sin ()arctan lim()014142n n n n n n x dx dx x x π πππ→∞→∞→∞≤≤=?=++??. 或0411lim lim 1sin lim 01 40402=?? ? ??+=≤+≤+∞→∞→∞→??n n n n n n n dx x dx x x ππ π. 或利用积分中值公式 4220sin sin lim lim 0141n n n n n n x dx x π ξπξ→∞→∞==++?,2sin 0sin sin 0,(0,).144 n n n n n n n n ξππξξξ≤≤≤→∞∈+ 2、（20分）计算下列积分 （1）212 1I x =+； （2）22cos(21)I x x dx =+?； （3）() 2287 232 ln(1)sin cos d I x x x x x x π π- =+++?；（4）240 |sin 3|d I x x x π =-? 解：（1）2 222212 tan tan sec tan sec (sec t 1)sec sec 1t I x t tdt t tdt tdt t x ====-+???令 32sec tdt sec sec (tan )sec sec tan tan sec sec tdt td t tdt t t t tdt tdt =-=-=?--?????? 所以 2211111 sec tan sec sec tan ln |sec tan |1ln |12222 I t t tdt t t t t c x x x c =?-=?-++=++++?. 厦门大学微积分（III ）期末考试试卷 2014级经管类试卷（A ） 考试日期2015.1.21 微积分在经济学中的若干应用 微积分在经济学中的若干应用 1微积分的基本思想 微积分是微分论文联盟学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。 1.1微分学的基本思想：微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线--该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。 1.2积分的基本思想：积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。现在我们来举一个例子——物理中运动物体经过的路程：设速度函数已知，求运动物体所经过的路程也是上述两大步骤：（1）“局部求近似”：非均匀量近似于均匀量只有在微小局部才能成立.因此要处理这一非匀速变化的整体量，首先必须划分时间区间为若干小时间区间，再在各小时间区间上以“匀”代“不匀”，因此，这一思想需分为两步来实现：论文网 ①“分割”：将区间任意划分成n份，考察微小区间上的小段； ②“求近似”：在上将运动近似看作匀速运动，用处理相应均匀量的乘法得：，，. （2）“极限求精确”：由于所求的是整体量，因此先将局部的近似值累加起来再向精确值转化（利用极限法实现“精确”的过程），所以实现精确的思想也分为两步： ①“求和”：； ②“求极限”：，其中. 可见，微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：（1）微小局部求近似值； （2）利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。 2微积分在经济学中的基本应用 （1）一般均衡理论中的微积分方法：经济均衡理论是瓦尔拉斯创立的。所谓瓦尔拉斯均衡,就是对每一个商品市场的供给和需求相等的所有均衡条件进行描述。即寻求在经济生活中消费者追求效用最大化,生产者追求利润最大化的过程中,均衡价格体系存在的条件。一般均衡分析是在构建多变量方程组的前提下,运用微积分理论对商品 课程论文专业酒店管理 微积分在生活中的应用 摘要：我们学习了微积分，然而只学习不行的，学了的目的是为了应用，本篇论文主要讲微积分在生活中的应用，有哪些应用，怎么应用的。主要集中几何，经济以及我们在生活中的应用 关键词：微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导 绪论 作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点资料，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。 我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。 希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。 一、微积分在几何中的应用 微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！ 1.1求平面图形的面积 (1)求平面图形的面积 由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a ，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。 例如：求曲线2f x 和直线x=l ，x=2及x 轴所围成的图形的面积。 分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。 所以该曲边梯形的面积为 第3章 微积分及其经济学应用 3、1 一元函数与多元函数 在数学上,函数的定义为:如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对任意给定的x 值,仅存在一个y 值与其对应,则称y 就是x 的函数,表示为)(x f y =。 其中x 为自变量,y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量,因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域,y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。 在对经济问题的分析过程中,我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如,在商品的供求关系中,定义某种商品价格为P ,需求量为D Q ,供给量为S Q 。那么,需求与价格的函数关系可以表示为:)(P f Q D =,)(P g Q S =。 然而我们所处的经济环境就是非常复杂的,每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此,采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数就是在一个函数关系中函数值就是由多个变量确定的,用 ),,,(21n x x x f y K =的形式来表示,它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21K 的 大小。 例如在消费理论的基本假设中,每个消费者都同时对多种商品有需求,“效用”取决于所消费的各种商品的数量,效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U K =,其中U 表示消费者的效用,n x x x ,,,21K 就是对n 种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样,生产函数常表示为),(K L f y =,y 为产出水平,K 表示资本,L 表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0、5;belta=0、5; 考研数学之微积分在经济学中的应用 来源：文都教育 这一部分内容，数一和数二都不考，只有数三考试，考试内容比较简单。这一部分和常微分方程联系紧密，只要常微分法方程学的好，这一部分都不会困难，主要是计算量比较大一些。一下是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对数三考生有所帮助。 一、 差分方程 1、定义 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ?, 即t t t y y y -=?+1 或 )()1()(t y t y t y -+=?. 一阶差分的差分称为二阶差分t y 2?, 即 t t t t y y y y ?-?=??=?+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++ 类似可定义三阶差分, 四阶差分,…… ),(),(3423t t t t y y y y ??=???=? 2、差分方程的概念 一般形式：0),,,,,(2=???t n t t t y y y y t F 或.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 特别的，称1(x)y (x)x x y P f ++=为一阶差分方程，同样的，(x)0f ≠为非齐次的，反之为其次的；若为常数，我们称之为一阶常系数差分方程. 3、一阶常系数线性差分方程的解法 一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++， 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，称为一阶非齐次差分方程； 当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐 微积分在实际中的应用 一、微积分的发明历程 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。微积分是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求合”就是积分。微分学包括求导的运算，是一套关于变化的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可以用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念、求面积的无限小方法、积分与微分的互逆关系。前两阶段的工作，欧洲及中国的大批数学家都做出了各自的贡献。 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。 二、微积分的思想 从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述， 与此同时，战国时期庄子在《庄子·天下篇》中说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，体现了无限可分性及极限思想。公元3世纪,刘徽在《九章算术》中 《有机化学》考试大纲 （201409修改） 一、考试目的 有机化学是一门研究有机物的组成、结构、性质、合成以及与此相关的理论、规律的科学。通过考试，使同学们系统地掌握有机化学的基本概念、基本理论，熟练掌握有机化合物分子结构与性质之间的关系，有机化合物的合成及相互转化的方法和规律，具有基本科学的思维方法和理论联系实际独立分析问题解决问题的能力。 二、考试内容 第一章绪论 1．1有机化合物和有机化学 有机化合物的定义 1.2 有机化合物的特征 1.3 分子结构和结构式 短线式、缩简式、键线式 1.4 共价键 1.4.1 共价键的形成 Lewis 结构式、价键理论、轨道杂化（sp、sp2、sp3 杂化） 1.4.2 共价键的属性 键长、键能、键角、键的极性、诱导效应 1.4.3 共价键的断裂和有机反应的类型 均裂（产生自由基）、异裂（形成正、负离子）、自由基反应、离子型反应 1.5 分子间的相互作用力 偶极-偶极相互作用、范德华力、氢键 1.6 酸碱的概念 1.6.1 Br? nsted 酸碱理论 Br? nsted 酸、Br? nsted 碱、共轭酸碱 1.6.2 Lewis 酸碱理论 Lewis 酸、Lewis 碱 1.7 有机化合物的分类 1.7.1 按碳架分类 脂肪族化合物、脂环族化合物、杂环化合物 1.7.2 按官能团分类 官能团 第二章饱和烃：烷烃和环烷烃 烃、脂肪烃、脂环烃、饱和烃 2.1烷烃和环烷烃的通式和构造异构 烷烃：CnH2n+2 环烷烃：CnH2n 构造异构体 2.2 烷烃和环烷烃的命名 伯、仲、叔、季碳原子；伯、仲、叔氢原子；烷基、环烷基烷烃的命名、单环环烃的命名 2.3烷烃和环烷烃的结构 2.3.1 σ键的形成及其特征 2.3.2 环烷烃的结构与环的稳定性 角张力 2.5 烷烃和环烷烃的物理性质 2.6 烷烃和环烷烃的化学性质 2.6.1 自由基取代反应 卤化反应、自由基的稳定性次序、卤素的活性次序 2.6.2 氧化反应 2.6.5 小环环烷烃的加成反应 加氢、加溴、加溴化氢 第三章不饱和烃: 烯烃和炔烃 3.1烯烃和炔烃的结构 碳碳双键的组成、碳碳叁键的组成、π键的特性 3.2烯烃和炔烃的同分异构微积分(经管类复习题)
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