第2课时 分式方程的实际应用
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并解决实际问题．
阅读教材P 152～153，完成预习内容．
知识探究
1．列方程解应用题的一般步骤是
(1)________________；
(2)________________；
(3)________________；
(4)________________；
(5)________________．
2．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是
(1)________________；
(2)________________；
(3)________________；
(4)________________；
(5)________________；
(6)________________．
自学反馈
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖________________，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x 天，那么一天挖________；两台挖土机一天共挖__________；两台一天完成另一半．所以方程为________________；解得x ＝________.经检验：x ＝________是原分式方程的解．
答：乙单独挖需________天．
认真分析题意．根据等量关系列方程．
1．甲乙两人分别从相距36千米的A ，B 两地相向而行，甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即
返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样两人恰好在AB 中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
分析：
路程 速度 时间 甲 18＋1×2 x ＋0.5 18＋1×2x ＋0.5
乙 18 x
18x 等量关系：t 甲＝t 乙．
解：设乙的速度为x 千米/小时，则甲的速度为(x ＋0.5)千米/小时．
根据题意，列方程得
18＋1×2x ＋0.5＝18x
.
解得x ＝4.5.
检验：当x ＝4.5时，x(x ＋0.5)≠0.所以，x ＝4.5是原方程的解．则x ＋0.5＝5.
答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时．
等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1
千米．
2．A 、B 两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度．
解：设大汽车的速度为2x 千米/小时，小汽车的速度为5x 千米/小时． 根据题意，列方程得135－2x×52x ＝135－12×（5x ）5x
. 解得x ＝9.
检验：当x ＝9时，10x ≠0.所以，x ＝9是原方程的解．
则2x ＝18，5x ＝45.
答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时．
等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间． 3．一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？ 解：设规定日期是x 天，则甲队独做需x 天，乙队独做需(x ＋3)天，
根据题意，列方程得2x ＋x x ＋3
＝1. 解得x ＝6.
检验：当x ＝6时，x(x ＋3)≠0.所以，x ＝6是原方程的解．
答：规定日期是6天．
课堂小结
1．列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤．
2．列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可间接设)的前提下找出等量关系．
3．解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系．
4．注意不要遗漏检验和作答．
【预习导学】
知识探究
1．(1)审题设未知数 (2)找等量关系列方程 (3)解方程 (4)检验根是否符合实际意义 (5)作答 2.(1)审题设未知数 (2)找等量关系列方程 (3)去分母化分式方程为整式方程 (4)解整式方程 (5)检验根是否符合实际意义 (6)作答
自学反馈
12÷4＝18 1x 18＋1x 18＋1x ＝12 83 83
3.4.3 分式方程（三） ●教学目标 （一）教学知识点 1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 2.用分式方程来解决现实情境中的问题. （二）能力训练要求 1.经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解 决问题的能力. 2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型. （三）情感与价值观要求 1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣. 2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验. ●教学重点 1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型. 2.根据实际意义检验解的合理性. ●教学难点 寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法. ●教具准备 实物投影仪 投影片三张 第一张：做一做，（记作§3.4.3 A） 第二张：例3，（记作§3.4.3 B） 第三张：随堂练习，（记作§3.4.3 C） ●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程. 接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.
Ⅱ.讲授新课 出示投影片（§3.4.3 A ） ［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元. （1） ［生］还有一个等量关系： 第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数. ［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要. 同学们尽管提出符合情境的问题. ［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？ ［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？ ［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？ ［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x 96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元，根据题意，得 x 102000=x 96000+500 解这个方程，得x=12 经检验x=12是原方程的解，也符合题意. 所以每年各有12间房屋出租. ［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ ［生］根据第一问的答案可计算，得： 第一年每间房屋的租金为 1296000=8000（元）， 第二年每间房屋的租金为12 102000=8500（元）.
15.3 分式方程 第1课时分式方程及其解法 【知识与技能】 1.理解分式方程的意义； 2.掌握解分式方程的基本思路和解法； 3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法. 【过程与方法】 通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识. 【情感态度】 在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重点】 解分式方程的基本思路和解法. 【教学难点】 理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义. 一、情境导入,初步认识 问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？ 【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”. 思考 (1)方程 9060 3030 v v = +- 与以往学过的方程有什么不同之处？ （2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？ （3）怎样解分式方程 9060 3030 v v = +- 呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析. 二、思考探究,获取新知 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程90603030v v =+-. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v ）,得 90(30-v)=60（30+v ）. 解得v=6. 检验：将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解. 试一试 解方程2110525 x x =-- . 思考 上面两个分式方程中,为什么 90603030v v =+-去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而2110525 x x =--去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生先独立解决问题,然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时,教师可参与交流,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并让学生明白解分式方程时一定要验根. 【归纳结论】 一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0,则整式方程的解不是原分式方程的解,它是原分式方程增根,原分式方程无解. 三、典例精析,掌握新知 例1解方程233x x =- . 解：方程两边同乘以x(x-3),得 2x=3(x-3). 解得x=9. 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0,∴x=9是原分式方程的解. 例2解方程() 31112x x x x -=--+（） . 解：方程两边同乘以（x-1）(x+2),得 x （x+2）-（x-1）(x+2)=3 化简,得x+2=3. 解得x=1.
3.4.2 分式方程（二） ●学习目标 1.通过讨论交流说出解分式方程的步骤，并解分式方程。 2.小组交流讨论得出解分式方程验根的必要性及出现增根的原因。 ●学习重点 通过讨论交流熟练解分式方程，并说出解分式方程的步骤。 ●学习难点 小组交流讨论得出解分式方程验根的必要性及出现增根的原因。 ●学习过程 一.提出问题，引入新课 1、当 x 时，分式 无意义。 2、下列方程是分式方程的是（ ） 二自主学习 目标：1.同桌间相互交流得出解分式方程的一般步骤 2.小组内讨论交流得出验根的必要性及方程出现增根的原因。 52433.=+x x A 775.-=x x B 2351.+=+x x C 2)1(3 1.=+x D 32--x x
内容：课本88-89页 方法：（1）自学例1，例2，自己总结得出解分式方程的一般步骤，同桌之间可互相交流。（2）自学议一议，说出分式方程出现增根的原因，不懂得地方在小组长的带领下进行交流。 时间：8分钟 三：合作交流 1：课本中出现的疑问。 2：分式方程出现增根的原因。 四：检测题 1.解方程： （1）13-x =x 4;（2）1210-x +x 215-=2. ［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题. 解：（1）13-x =x 4 去分母，方程两边同乘以x （x －1），得 3x=4（x －1） 解这个方程，得x=4 检验：把x=4代入x （x －1）=4×3=12≠0， 所以原方程的根为x=4. （2）1210-x +x 215-=2
去分母，方程两边同乘以（2x －1），得 10－5=2（2x －1） 解这个方程，得x=4 7 检验：把x=47代入原方程分母2x －1=2×47－1=25≠0. 所以原方程的根为x=47. 五：小结 解分式方程一般需要经过哪几步骤？ （1）在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）解这个整式方程。 （3）验根。 简记：一去分母-----乘以最简公分母。 二解整式方程。 三验根 六：反馈练习
分式方程教学设计 一、教学内容分析：本节“分式方程”是人教版八年级下册第16章第3节的内容，是继一元一次方程，二元一次方程组之后，初中阶段所讲授的又能一种方程的解法。本节课是在继分式的内容及分式的四则混合运算之后所讲述的一个内容，其实际上就是分式与方程的综合。因此本节课可以看作是一个综合课，同时分式方程的解法也是初中阶段的一个重点内容，要求学生必须掌握。 二、学情分析：在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路(使方程逐步化为x=a 的形式)已经比较熟悉，而分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，需通过转化思想，化分式方程为整式方程。 三、教学目标： 1、明确什么是分式方程?会区分整式方程与分式方程。 2、会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根。 四、教学重点：分式方程的解法。 教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。 五、教学流程 1、忆一忆
(1)什么叫方程?什么叫方程的解? (2)什么叫分式? (3)结合具体例子说出解一元一次方程的步骤。 设计意图：让学生由旧知识的回忆自然引出新知识便于学生理解接受。 2x-(x-1)/3=6 3x/4+(2x+1)/3=0 2、猜一猜 板书课题“分式方程”，让学生猜一猜其概念，结合分式和方程的特点学生易得出：分母中含有未知数的方程叫分式方程。 设计意图：采用这种形式引入今天的话题，让学生觉得不是在上数学，而象是在拉家常，让学生没有负担，另外，学生在前面的回忆的基础上很容易猜出来分式方程的概念。这样使学生感受到数学的简单，从而树立学好数学的信心。 3、辨一辨 判断下列方程是不是分式方程，并说出为什么? 1/(x-2)=3/x x(x-1)/x=-1 (3-x)/=x/2 2x+(x-1)/5=10 3/x=2/(x-3) (2x+1)/x+3x=1 指出：分式方程与整式方程的区别(分母中含不含未知数) 设计意图：学生说出来了分式方程的概念还远远不够，通过这道题使学生更进一步的巩固分式方程的概念。
2019版八年级数学上册第二章《分式与分式方程》分式方 程（3）教案鲁教版五四制 课题分式方程 课 型审核签 字 序 号 学习目标与重难点1、使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式 方程. 2、使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 重点难点： 1、了解分式方程必须验根的原因； 2、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。 恰当具 体可测 媒体 运用多媒体整合点准确恰当 教学 思路练习巩固，拓展提高具体明晰 导语设计解分式方程的方法是什么？ 如何验证分式方程的增根？ 精炼灵 活紧扣 学习目 标 板书设计 知识结 构纲要 化分式整式 去分母 目标 x＝a 解整式方程
“幸福课堂”模式教学过程 研讨修改 一．复习引入 解方程： （1）5 1 144x x x --=-- 解： 5 1 14 4 x x x -+= -- 方程两边同乘以 ， 得 ． ∴ 检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0 所以，x =5是原方程的解. （2） 22162 242 x x x x x -+-= +-- 解：方程两边同乘以 ，得 ， ∴ ． 检验：把x =2代入 x 2 —4，得x 2 —4=0。 所以，原方程无解。. 思考：上面两个分式方程中，为什么(1)去分母后所得整式方程的解就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？ 学生活动：小组讨论后总结 a 是分式方程的解 a 不是分式方程的解 检验 最简公分母不为0 最简公分母为0
二．总结 （1）为什么要检验根？ 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）。对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解。 （2）验根的方法 一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。 三．应用 例1 解方程 x 3 3x 2=－ 解：方程两边同乘x （x －3），得 2x ＝3x －9 解得 x ＝9 检验：x ＝9时 x （x －3）≠0，9是原分式方程的解。 例2 解方程 ) 2x )(1x (3 11x x +-=－－ 解：方程两边同乘（x －1）（x ＋2），得 x （x ＋2）－（x －1）（x ＋2）＝3 化简，得 x ＋2＝3 解得 x ＝1
分式方程（2） 〖教学目标〗 ◆1、掌握用分式方程解应用题的一般方法和步骤． ◆2、理解公式变形的实质就是简单的字母分式方程，其在变形过程中的方法和分式方程的解法一致，但应注意谁是常量，谁是变量． ◆3、掌握简单的公式变形方法，在实际应用中能基本变形． 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：利用分式方程解应用题和公式变形是本节重点． ◆教学难点：公式变形中用到字母分式方程的知识，学生较难理解，是本节难点． 〖教学过程〗 （一）：1：复习用一元一次方程解应用题的一般步骤 ① 理解问题，搞清未知和已知，分析数量关系 ② 制订计划，考虑如何根据等量关系设元，列出方程 ③ 执行计划，列出方程并求解 ④ 回顾，检验答案的正确性及是否符合题意 2：用分式方程解应用题的一般步骤和一元一次方程类似。 例1：工厂生产一种电子配件，每只成本为2元，毛利率为25%，后 来该工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，问这种配件每只的成本降低了多少元？（精确到0.01元） 分析：这道题主要弄清楚一个分式，毛利率=100%-?售价成本成本
解：设这种电子配件每只的成本降低了X 元，改进工艺前，每只售 价为2(125%) 2.5?+=元，由题意得2.5(2)25%15%2x x --=+- 解这个方程约x=314 0.21≈（元） 经检验：314 x =是方程的根，且符合题意 答：每只成本降低了0.21元。 （二）：分式变形：公式变形其实就是解字母方程，注意把要表示的字母当成 未知数，其余的当成已知数。 例2：把公式111f u v =+ 变为已知f 、v ，求u 的公式 111v f u f v fv -=-= fv u v f ∴= - ②当堂训练：已知商品的买入价为a ，售出价为b ，毛利率b a p a -= （b>a ）把这个分式变形成已知p 、b ，求a 的分式 解：pa=b-a pa+a=b (p+1)a=b 1b a p =+ (三)：课内练习：见书本习题 （四）：作业：见作业题 教学反思: 这个内容是要我们掌握用分式方程解应用题的一般方法和步骤．理解公式变形的实质就是简单的字母分式方程，其在变形过程中的方法和分式方程的解法
初中数学《分式方程》教案 3．4分式方程(第1 课时) 教学目标 1．经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用． 2.经历实际问题－分式方程方程模型的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识。 3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值. 教学重点： 将实际问题中的等量关系用分式方程表示 教学难点： 找实际问题中的等量关系 教学过程： 情境导入： 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000 kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。你能找出这一问题中的所有等量关系吗？(分组交流) 如果设第一块试验田每公顷的产量为kg，那么第二块试验田每公顷
的产量是________kg。 根据题意，可得方程___________________ 二、讲授新课 从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600 km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。 这一问题中有哪些等量关系？ 如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为h，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________h。 根据题意，可得方程_ _____________________。 学生分组探讨、交流，列出方程. 三.做一做： 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程？ 四.议一议： 上面所得到的方程有什么共同特点？ 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2019版八年级数学下册第5章分式与分式方程第2节分式 的乘除法教案新版北师大版 课题 5.2《分式的乘除法》 课 型 教学目标 （一）教学知识点 1、分式乘除法的运算法则， 2、会进行分式的乘除法的运算. （二）能力训练要求 1、类比分数乘除法的运算法则,探索分式乘除法的运算法则. 2、在分式乘除法运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力. 3、用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识. （三）情感与价值观要求 1、通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成就感. 2、培养学生的创新意识和应用数学的意识. 重点让学生掌握分式乘除法的法则及其应用. 难点分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算 教学用具二次备课 课程讲授一、创设情境引入新课 Ⅰ、请同学们观察下列运算，： 3 2 × 5 4 = 5 3 4 2 ? ? , 3 2 ÷ 5 4 = 3 2 × 4 5 = 4 3 5 2 ? ? , 填一填： 7 5 × 9 2 = 52 79 ? ? ； 7 5 ÷ 9 2 = 7 5 × 9 2 = 59 72 ? ? . 猜一猜 a b × c d =? a b ÷ c d =?
与同伴交流 Ⅱ、如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法. 引出课题：分式的乘除法 Ⅰ、分式乘除法的法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分 母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. Ⅱ、分式乘除法法则的运用。 1、 出示例1： 计算：（1）68a y ·2 223y a （2） 22-+a a ·a a 212+ 解：（1）原式＝2 26283a y y a ?? ＝2y a （2）原式=) 2()2(2+??-+a a a a =a a 212- 当分子、分母中含有多项式时，先对其进行因式分解，再进行约分。 分式乘法的一般计算方法： （1）将算式按照分式乘法法则进行计算； （2）进行约分（多项式的项进行因式分解），使运算结果化为最简分式或整式。
5.4《分式方程》教学设计 第3课时 一、教学目标 1.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识． 2.会用分式方程解决简单的实际问题． 二、教学重点及难点 重点：分式方程的应用． 难点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果． 三、教学用具 多媒体课件 四、教学过程 【问题导入】 教师提出问题：列方程的步骤是什么？ 引导学生归纳列方程的基本步骤： 一审：审清题意，弄清已知量与未知量之间的数量关系和相等关系． 二设：设未知数． 三列：列代数式，列方程． 【探究新知】 某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元． （1）你能找出这一情境中的等量关系吗? （2）根据这一情境你能提出哪些问题? （3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 答案：（1）等量关系包括：第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500；第一年出租房 屋的间数=第二年出租房屋的间数；出租房屋的间数=所有出租房屋的租金 ．每间房屋的租金 （2）求出租房屋的总间数；分别求出两年每间房屋的租金． （3）解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为(x＋500)元． 由题意得96000102000 500 x x = + ．
方程两边乘x (x ＋500)，得 96(x ＋500)＝102x ． 解这个方程，得x =8000． 经检验x =8000是原方程的根，所以x ＋500=8500． 因此第一年每间房屋的租金为8000元，则第二年每间房屋的租金为8500元． 设计意图：引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识． 【典例精讲】 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨3 1，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格． 分析：此题的主要等量关系是： 小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5 m 3． 所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出． 解：设该市去年居民用水的价格为x 元/m 3．则今年的水价为11+3x ? ? ??? 元/m 3，根据题意，得 30155113x x -=??+ ??? ． 解这个方程，得32x =． 经检验32 x =是所列方程的根． 311223???+= ??? （元/m 3）． 所以该市今年居民用水的价格为2元/m 3． 首先，老师询问学生家中的每月用水情况，要求学生能关心家庭生活，又得到了节约用水的教育．学生根据一个月的总水费等于每一吨水费乘以一个月的用水的总吨数，再根据“小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米”这一条件，列出等量关系式，从而列出分式方程，有了前面的基础，学生能很快和老师一起完成上述过程． 设计意图：引导学生一起完成“设未知数——分析等量关系——列代数式——列出方程——解
2019版八年级数学下册第5章分式与分式方程复习教案新版北师大版课题5分式与分式方程总复习课型 教学目标（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2）提高学生分式的基本运算技能； （3）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（4）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力。 重点建立知识框架难点 教学 用具 教学环节本节课设计了七个教学环节：回顾——想一想——做一做——试一试— —再想一想——反馈练习——课后练习． 二次备课 复习新课导入 课程 讲授第一环节回顾 活动内容： 1、分式的基本性质是什么？举例说明！ 2、分式的乘除法的法则是什么？举例说明！ 3、同分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！ 4、异分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！ 活动目的： 通过学生的回顾与思考，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识． 教学效果： 有了前几节课的学习，学生对分式的基本性质及分式的运算等知识有了较清楚的认识与理解．
第二环节 想一想 活动内容： 填空题： （1）如果某商品降价x %后售价为a 元，那么该商品的原价是 元． （2）某人打靶，有m 次均打中a 环，有n 次均打中b 环，则此人平均每次中靶的环数是 ． （3）当x 时，分式x x -+11有意义． （4）当x 时，分式 )3x )(1x (9 2---x 的值为0． 活动目的： 加深学生对分式的一些基本概念的认识． 教学效果： 部分学生对第（4）小题中认为分子x 2 –9的值为0，从而得出x 应为±3，原因是没有注意分母不能为0这一事实，经指点后，均能理解． 第三环节 做一做 活动内容： 1、化简下列各式： （1） abc ac 1222 - （2） a a a 2422 -- （3） 8 2162+-x x （4） 2 22 2444y x y xy x -+- 2、计算： （1）xy xz yz xy 169342 2? （2）3 118222-÷-x x （3）3 210 3243++++-x x x x （4）
课题：分式方程(一) 学习目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习过程： 一、预习新知： 1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。 （3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 如解方程：16 3 242=--+x x 2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系， 得到方程： v v -= +2060 20100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。 分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。未知数在分母的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是整式方程。前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？ 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。 如解方程： v +20100=v -2060 …………………… ① 去分母：方程两边同乘以最简公分母（20+v ）（20-v ），得 100（20-v ）=60（20+v ）……………………② 解得 v=5 观察方程①、②中的v 的取值范围相同吗？ ① 由于是分式方程v ≠±20,而②是整式方程v 可取任何实数。 这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说，使变形时所乘的整式的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。因此，解分式方程必须验根。 如何验根：将整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为0.如果为0即为增根。
第五章《分式与分式方程》 ●教学目标 （一）教学知识点 1.用分式表示生活中的一些量. 2.分式的基本性质及分式的有关运算法则. 3.分式方程的概念及其解法. 4.列分式方程，建立现实情境中的数学模型. （二）能力训练要求 1.使学生有目的的梳理知识，形成这一章完整的知识体系. 2.进一步体验“类比”与“转化”在学习分式的基本性质、分式的运算法则及其分式方程解法过程中的重要作用. 3.提高学生的归纳和概括能力，形成反思自己学习过程的意识. （三）情感与价值观要求 使学生在总结学习经验和活动经验的过程中，体验因学习方法的大力改进而带来的快乐，成为一个乐于学习的人. ●教学重点 1.分式的概念及其基本性质. 2.分式的运算法则. 3.分式方程的概念及其解法. 4.分式方程的应用. ●教学难点 1.分式的运算及分式方程的解法. 2.分式方程的应用. ●教学方法 讨论——交流法 讨论交流本章学习过程中的经验和收获，在反思过程中建立知识体系. ●教学过程 Ⅰ.提出问题，回顾本章的知识. 出示投影片（§5.5 A）
流. （教师可参与于学生的讨论中，注意扫除他们学习中常犯的错误） ［生］实际生活中的一些量可以用分式表示，例如（用实物投影） ［生］我们组来回答此问题，此人晨练时平均每分钟行 n m +米. 我们组也举出一个例子：长方形的面积为8 m 2,长为p m,宽为____________ m. ［生］应为 p 8 m. ［师］同学们举的例子都很有特色，谁还能举. ［生］如果某商品降价x %后的售价为a 元，那么该商品的原价为多少元？ ［生］原价为% 1x a -元.…… ［师］ n m bn am ++,p 8,% 1x a -都是分式.分式有什么特点？和整式有何区别？ ［生］整式A 除以整式B ，可表示成 B A 的形式，如果除式B 中含有字母，则称B A 是分式.而整式分母中不含字母. ［生］实际生活中的一些问题可用分式方程来解决.例如（用实物投影仪）
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第五章 分式与分式方程 1．认识分式（一） 知识技能基础目标 学生在小学学过分数，其实分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的．在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系，其中包括整式与分式等数量关系． 过程与方法目标 在整式的学习中，学生初步具备了用整式表示现实情境中的数量关系，建立数学模型的思想．在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力． 情感与价值观目标 从实际生活情景出发，让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程。根据三维教学目标及新课程标准的要求，结合当前学生的心理特点以及现有的认知水平 教学重点 1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别； 2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型． 教学难点 分式有意义、无意义、值为零三者的区别 教学方法 师生共同讨论法。教师引导，主要由学生分组讨论得出结果 教学过程 本节课共设计了 6个教学环节：知识准备——情景引入——自主探索——练习提高——课堂反馈——自我小结 第一环节 知识准备 活动内容：温故而知新 问题：下列子中那些是整式？ a ， -3x 2y 3， 5x -1， x 2+xy +y 2， ab c m a a y xy n m ,3,19,,2--
活动目的： 因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得分式的概念，所以必须熟练掌握整式的概念． 注意事项： 学生能够比较准确的找出哪些是整式，有些学生会简单的认为“分数”形式的代数式不是整式，其实这不是判别的关键，而是看分母中是不是含有字母。 第二环节 情景引入 活动内容： 以一个“土地沙化”的问题情景引入，让学生思考讨论，用式分式表达题目中的数量关系： 问题情景（1）：面对目前严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前完成一原计划的任务。这一问题中有哪些等量关系？ 如果设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要 个月， 实际完成一期工程用了 个月。 问题情景（2）：新华书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a 元，现降 价x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b 元.降价销售开始时，新华书店这种图书的库存量是多少？ 活动目的： 让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程；通过问题情景，让学生初步感受分式是解决问题的一种模型；体会分式的意义，发展符号感． 注意事项：要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导． 第三环节 自主探索 活动内容： 以小组的形式对前面出现的分式进行讨论后得出分式的概念，体会分式的意义． 讨论内容：对前面出现的代数式如下，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？ 活动目的： 让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念． 第四环节 练习提高 x a b x x -+, 32400, 2400
《分式方程教学》教学设计 《分式方程教学》是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。为了更好的将教与学有机结合，提高课堂教学效率，数学网小编与大家分享《分式方程教学》教学设计，希望大家在学习中得到提高。 一、教学内容分析：本节“分式方程”是人教版八年级下册第16章第3节的内容，是继一元一次方程，二元一次方程组之后，初中阶段所讲授的又能一种方程的解法。本节课是在继分式的内容及分式的四则混合运算之后所讲述的一个内容，其实际上就是分式与方程的综合。因此本节课可以看作是一个综合课，同时分式方程的解法也是初中阶段的一个重点内容，要求学生必须掌握。 二、学情分析：在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路(使方程逐步化为x=a 的形式)已经比较熟悉，而分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，需通过转化思想，化分式方程为整式方程。 三、教学目标：1、明确什么是分式方程?会区分整式方程
与分式方程。 2、会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根。 四、教学重点：分式方程的解法。 教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。 五、教学流程 1、忆一忆 (1)什么叫方程?什么叫方程的解? (2)什么叫分式? (3)结合具体例子说出解一元一次方程的步骤。 设计意图：让学生由旧知识的回忆自然引出新知识便于学生理解接受。 2x-(x-1)/3=6 3x/4+(2x+1)/3=0 2、猜一猜 板书课题“分式方程”，让学生猜一猜其概念，结合分式和方程的特点学生易得出：分母中含有未知数的方程叫分式方程。 设计意图：采用这种形式引入今天的话题，让学生觉得不是在上数学，而象是在拉家常，让学生没有负担，另外，学生在前面的回忆的基础上很容易猜出来分式方程的概念。这样使学生感受到数学的简单，从而树立学好数学的信心。 3、辨一辨
第五章分式与分式方程 5．1认识分式 第1课时认识分式 1．理解分式的定义，能根据定义判断一个式子是不是分式． 2．能确定一个分式有意义、无意义、值为零的条件． 3．能用分式表示现实情境中的数量关系． 自学指导：阅读教材P 108～109，完成下列问题． 知识探究 1．式子s a ，v s ，10020＋v ，6020－v 有什么特点？它们与分数的相同点是：形式相同，都有分子和分母； 不同点是：分式中分母含有字母． 它们与整式的相同点是：都是代数式； 不同点是：代数式的分母中不含字母，就是整式；代数式的分母中含有字母，就是分式． 一般地，用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零． 2．思考： (1)分式A B 的分母有什么限制？当B ＝0时，分式A B 无意义；当B ≠0时，分式A B 有意义．(2)当A B ＝0时，分子和分母应满足什么条件？当A ＝0且B ≠0时，分式A B 的值为零．自学反馈 1．独立思考：下列各式中，哪些是分式？ ①2b －s ；②3000300－a ；③27；④V S ；⑤S 32；⑥2x 2＋15⑦45b ＋c ；⑧－5；⑨3x 2－1；⑩x 2－xy ＋y 22x －1 ；5x －7. 解：分式有①②④⑦⑩. 判断分式主要看分母是否含有字母，这是判断分式的唯一条件． 2．当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？ (1)3x ＋2；(2)x ＋53－2x .解：(1)当x ＋2≠0，即x ≠－2时，分式3x ＋2有意义；当x ＝－2时，分式3x ＋2无意义．(2)当3－2x ≠0，即x ≠32时，分式x ＋53－2x 有意义；当x ＝32时，分式x ＋53－2x 无意义． 分母是否为零，决定分式是否有意义．
分式方程 瑞发学校张文娇 一、教学目标 1．使学生理解分式方程的意义． 2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 3．了解解分式方程解的检验方法． 4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点 1．教学重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 2．教学难点：检验分式方程解的原因 3．疑点及分析和解决办法： 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握． 三、教学方法 启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法． 四、教学手段： 演示法和同学练习相结合，以练习为主． 五、教学过程 (一)复习引入 1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有未知数的等式叫做方程．
使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解． (二)新知探索 板书课题：分式方程的定义． 分母中含有未知数的方程叫分式方程（fractional equation ）．以前学过的方程都是整式方程．（课件展示） 1、判断下列各式哪个是分式方程．（课件展示） (1)21-=x (2) 22=-x x (3) 1 21 41 12 -= +- -x x x (4) 05 43 2=---x x 在同学讨论的基础上分析： 由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母． 2、例题精讲 例1 解方程 x x 33 2=-（课件展示完整步骤） 解：方程两边同乘x （x －3），得 2x ＝3x －9 解得 x ＝9 检验：x ＝9时 x （x －3）≠0，9是原分式方程的解。 例2 解方程 ) 2)(1(311 +-= --x x x x 解：方程两边同乘（x －1）（x ＋2），得 x （x ＋2）－（x －1）（x ＋2）＝3 化简，得 x ＋2＝3 解得 x ＝1 检验：x ＝1时（x －1）（x ＋2）＝0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解。 例3 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行
教学设计与反思 课题：北师大版八年级下册第五章分式与分式方程第4节分式方程第二课时 一、学情分析 1、学生基本了解分式方程的概念，如何寻找最简公分母，熟悉等式的性质并能利用等式的性质解一元一次方程，了解一般一元一次方程的解法,去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1,并理解每一步的根据是什么,从而能通过观察类比的方法，探索分式方程的解法并能理解解题步骤的根据. 2、本节课主要采用观察、类比的方法、讨论的形式，学生比较熟悉，能在二元一次方程转化为一元一次方程的基础上，再次体会数学转化思想．． 二、教材分析 1、本节是分式的第4节，这是第二课时，本课时主要研究分式方程的解法，只要求会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）．解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程，在引导学生探索分式方程的解法时，要注意体现这种转化的思想． 2、在上一节课中，学生通过对实际问题的分析，已经感受到分式方程是刻画现实世界的有效模型，本节课旨在学会解分式方程，能从中体会数学转化思想的深刻含义。 三、教学目标 1. 知识与技能：学生掌握解分式方程的基本方法和步骤； 2.过程与方法：经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径. 3.情感态度与价值：培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的学习态度；运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信. 四、教学重点与难点 教学重点：掌握解分式方程的一般步骤 教学难点：体会分式方程到整式方程的转化思想，了解分式方程验根的必要性 教具准备：课件，小黑板