线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
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一 判断题
１．若m ααα,,,21 线性相关，则对于任一组不全为零的数m k k k ,,,21 总有
011=+m m k k αα ( × ) ２．.若m ααα,,,21 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合。( × ) ３．含有非零向量的组向量的最大无关组是唯一； ( × ) ４．.向量组与其自身的任一最大无关组等价。 ( √ ) ５．有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一； （ × ） ６．有无穷多个解的非齐次线性方程组的通解的形式不唯一； （√ ） ７集合},,,032),,{(321321321R x x x x x x x x x V ∈=++=是一个向量空间； （√）
二．选择题
1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ]
（A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关
（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .
解：由相关的充要条件：向量组相关R s(?<稚向量的个数)
2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ]
（A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 解： 由γβα,,线性无关?αβ，无关（整体无关，部分无关），而δβα,,线性相关
?δαβ可由，线性表示，且表示唯一（表示唯一性定理） ?δαβγ可由，，线性表示（只需γ前得系数取0）
3．.设向量组{}m A ααα,,,21 =，则下列说法不正确的是（C ） A 、若m ααα,,,21 中有一个是零向量，则向量组A 线性相关，
B 、若m ααα,,,21 线性无关，则其中任意向量不能由其余向量线性表示
C 、若1α可由m αα,,2 线性表示，则表示式必不唯一
D 、零向量必可由m ααα,,,21 线性表示。
4．设矩阵A n m ?的秩=)(A R n m <，E m 为m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ B ] （A ）A 的任意m 个列向量必线性无关 （B ）A 通过初等行变换，必可以化为（E m 0）的形式 （C ）A 的任意m 阶子式不等于零 （D ）非齐次线性方程组b Ax =一定有无穷多组解
5．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,, （C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 解：A ：（14433221αααααααα++++,,,）= （4321αααα,,,）1K
11
00-11100K =01100
1
1?? ?
? ? ???，10011
0011100010-1
011000110
1
10
0???? ? ?
? ? ? ? ? ?????
， 4321αααα,,,无关，故1234(,,,)αααα可逆，左乘相当于行变换
122334411R(,,R K 4,=α+αα+αα+αα+α（）=3<），故A 相关
同理可得Ｂ，Ｄ相关，而Ｃ无关。（关键看Ｋ矩阵是否可逆）
6．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示 解： 由条件１，12m 12m R (,,,)R (,,,,)ααα=αααβ
由条件２，12m 112m 1R (,,,)R (,,,,)--ααα<αααβ
而12m 111m m 12m R (,,,,k ...k )R (,,,)-αααβ=α++α=ααα
故12m 112m 112m 12m R (,,,)R (,,,,)R (,,,,)R (,,,)--ααα<αααβ≤αααβ=ααα 即m α不能由（Ⅰ）线性表示
12m 111m m 12m 12m R (,,,,k ...k )R (,,,)R (,,,,)-αααβ=α++α=ααα=αααβ ，
即m α可由（Ⅱ）线性表示
7．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 [ C ]
（A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,, 21中无零向量
（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关
8．.若r ααα,,,21 是向量组n r αααα ,,,,21的最大线性无关组，则下列说法不正确的是
（ B ）
A 、n α可由r ααα,,,21 线性表示
B 、1α可由n r r ααα,,,21 ++线性表示
C 、1α可由r ααα,,,21 线性表示
D 、n α可由n r r ααα,,,21 ++线性表示
9.非齐次线性方程组b AX =中，未知数个数为4，方程个数为3，()2R A =，又设3个线性无关的向量 12,,ηηη都是该方程组的解，12,c c 为任意常数，则该方程组的通解为 （ Ｄ ）
A 、11223c c ηηη++
B 、1122123()c c c c ηηη+-+
C 、11322313()()()c c ηηηηηη-+-++
D 、13113223()
()()2
c c ηηηηηη+-+-+
解：通解＝特解（非齐次）＋通解（齐次）
＝
13()
2
ηη+＋113223()()c c ηηηη-+-
131313231323()
()
,-=2
2
()0,()0)
A
b A A ηηηηηηηηηηηη++=-=-=--即
为特解，齐次的基础解系有422个解向量，
，，为基础解系
10..已知21,ββ 是非齐次线性方程组b AX =的两个不同的解，21,αα是对应齐次线性方程组
0=AX 的基础解系，21,k k 为任意常数，则方程 b AX =的通解必是（ Ｂ ）
A 、2
)(2
121211ββααα-+
++k k B 、2
)(2
121211ββααα++
-+k k
C 、2
)(2
121211ββββα-+++k k D 、2
)(2
121211ββββα++
-+k k
三．填空题：
1． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T
),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T
2． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 解： 列摆行变换：
11-111-11
1-11
1-110-401-30
1-30
1-3
20-802-60
000
0k 21
2
k 0
1
k 10
k 20
0????????
? ? ? ?--- ? ? ? ? ? ? ? ?
-- ? ? ? ?+-????????
ｋ－２＝０， 3． 设向量组T
T
T
123(a ,0,c ),(b ,c ,0),(0,a ,b )α=α
=α=
线性
无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠
解：a
b 0a b 0a b 00
c a 0c a 0
c a ,abc 0c 0
b b
c 00
2b 0b a
??
????? ? ? ?
?≠ ? ?
? ? ? ??
???
?-
?
?
无关 方法２：a
b 00
c a 0abc 0c 0
b ??
?
?≠?≠ ? ???
无关 4．已知向量组T T T
123(1,2,1,1),(2,0,t,0),(0,4,5,2)α=-α=α=--的秩为2，则t =
3
5．已知向量组T 1(1,2,3,4)α=，T 2(2,3,4,5)α=，T 3(3,4,5,6)α=，T
4(4,5,6,7)α=，则该
向量组的秩为
2
6.向量组T a ),,(131=α，T
b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T ),,(1324=α的秩为2，
则a =
2 b = 5
7.方程124x x x 1+++= 的通解为 12311110100
00100001c c c ---???????? ? ? ? ? ? ? ? ?+++ ? ? ? ? ? ? ? ?????????
8、设A 为45?的矩阵，方程 0=AX 以T T )2,3,0,1(,)0,0,1,1(21==ζζ 为基础解系， 则 =)(A R ２ .
9、已知T
T
T
123112233
123
(1,0,0),(0,4,0),(2,3,0),L {,,R }α=α=α==λα+λα+λαλλλ∈ 则向量空间L 的维数为 ２ 解： 生成空间的维数为 向量组的秩
10、齐次线性方程组?
??=+-+=-+-+00
32532154321x x x x x x x x x 的解空间
S 的一个基为
123
004
105,,100010001ξξξ-?????? ? ? ? ? ? ?
? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ? ???????
，S 的维数为 3 。 解：211131
110111101100041
1
1
12
1
1
1
30
1
1
50
1
1
5-----????????
? ? ? ?------????????
1515
235235404505x x x x x x x x x x -==????
?-+==-?? 令自由变量3
14
25
1000040,1,0,,,105001x x x x x ????????
????????
? ? ? ?
== ? ? ? ? ? ? ? ?-???????? ? ? ? ?????????
得基本变量 故基础解系（即解空间的基为）123004105,,100010001ξξξ-?????? ? ? ? ? ? ?
? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ? ???????
11.从2R 的基???? ??=011α，???? ??-=112α到基???? ??=111β，???
? ??=212β的过渡矩阵为2
31
2??
?--??
解; 112121212(,)(,)(,)(,)P P ββααααββ-=?=
即12121
11110231023(,,,)0
1
1
20
1
1
20
1
1
2ααββ??????
? ? ?----??????
四．计算题：
1． 设向量()11,1,1T
αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为
何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？
（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？
13212322
2
2
11101
11(,,,)11111111
111
1
0111
,
00
(3)
(12)r r r
λλλαααβλλλλλ
λλλλ
λ
λλλλλλλλ???
++??
?
?=+???→+ ? ? ? ?++?
?
?
?
??
+ ???→→-- ? ?-+--??
解
因为
2
2
2
11
1
0,00
(3)
(12)λλ
λ
λλλλλλλλ??+ ?→-- ? ?-+--?
?
123123123(1)03,(,,,)(,,)3,
,,,;
R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一
123123123(2)0,(,,,)(,,)13,
,,,;
R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一
123123123(3)3,(,,,)3(,,)2,
,,.
R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示
2．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，T
d ),,,(262=β
（1）试求4321αααα,,,的最大无关组，把不是最大无关组的向量用最大无关组表示
（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的最大无关组线性表示，并写出表达式
134321
31
351
23
12343(1)53215111211221122(1)(,,,)1112321554
3
954
3
911121112001000100121012101210
011120121?---?--????? ? ? ? ?=???→ ? ? ? ?????
??
?? ? ? ? ????→
???→ ? ?--- ? ?---??
??
???→r r r r r r r r r r r r r αααα解：32
4143424312312312123123400100
00(,,)3,,,.,,,,,32123212
3212
112611261126
1112111200145
4
3
1
10-----?? ? ? ? ???
==+??
??
? ? ? ????→???→ ? ?
-- ? ?
--??
??r r r r r r r r r r R d d αααααααααααααααα4因为则线性无关，且故为的一个最大无关组.(2)()12312312341231230
66(,,,),,3,,,,,,321201041126
1002001400140
00
0244.
?? ? ? ?
?-??===-???? ? ? ? ???→ ? ?---- ? ???
??
-+r d d R R αααβαααβαααααααβααα只有时即可由的极大无关组表示.所以=
3. .??
?
??=++=-+=++的基础解系求齐次方程组
0005433
2152
1x x x x x x x x x
分析：求基础解系分三步：系数矩阵行变换到最简，写出通解方程组，自由变量
取定值。
.
10101,00011,10,01;0.,,235)(01
10100
10011
~01
10100
10011~11
1
000111
1001121524
5
35
2152???????
? ??--=???????? ??-=???
?
??????
??=???? ?????
??==--==-=-????
?
??????? ??--????? ?
?-ξξ则基础解系为通解方程组为：自由变量为解：x x x x x x x x x x A R n
4、方程组 ???
??=+++=-+=++++3
6224215432
52154321x x x x x x x x x x x x λ何时有解，并求其通解（用向量形式表示）。
1
11111101152(A ,b )2
1004012263,101
2
2
6
300
1----????
? ?=-λ→?λ=- ? ? ? ?λ+?
??
?
当时，有解，：
??
?+---=-++=3
6222
554325431x x x x x x x x 令345x 0x 0x 0???? ? ?= ? ? ? ?????，得12x 2x 3-???? ? ?
= ? ?
? ????? ，即特解为：23.000-?? ?
? ?η= ? ? ???
1345
2345x x x 5x x 2x 2x 6x =++??=---?对应的齐次方程组为
令：34
5
x 100x 0,1,0x 001???????? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?????????，得12x 115x 2,2,6????????
? ? ? ?=--- ? ? ? ? ? ? ? ??
???????
即得到基础解系：123115226,,100010001?????? ? ? ?--- ? ? ?
? ? ?ξ=ξ=ξ= ? ? ? ? ? ? ? ? ???????
即通解为：.0003210065010210012132154321?
????
???
??-+???????? ??-+???????? ??-+???????? ??-=???????
? ??k k k x x x x x
五、证明题：
1、设向量组m ααα,,,21 线性无关，用三种方法证明：向量组
m m m m m m m αβααβααβααβ=+=+=+=--,,,,112211 线性无关。
证明：法一：定义法
令1122m m k k ...k 0β+β++β=，只需证明系数全为零 112
21m m
k k
...(k ...k )0
?α+α++++α= 由克拉默法则1001011D 010
1
=
≠ ，有唯一零解
故命题得证 法二：方程组法
1m 1m 1
0000
10
(,...,)(,...),B =A 1
1K 01
?? ?
?ββ=αα ? ???
即， 1m (,...,)ββ无关B x=0?有唯一零解
(AK )x A(Kx)0?==，
而m ααα,,,21 线性无关Ay 0y K x=0?=?=有唯一零解
又|K |11
00001001
1
1
0=
=≠ ，由克拉默法则x =0?
即B x=0有唯一零解，1m (,...,)ββ无关 方法三：矩阵的秩法
1m 1m 10000
10
(,...,)(,...),B =A 1
1K 01
?? ?
?ββ=αα ? ???
即， 又|K |11
00001001
1
1
0=
=≠ ，Ｋ可逆，Ｋ在右边相当于列变换
故R(B)=R(A)=m ，1m (,...,)ββ无关
2、设A 为n 方阵，且A A =2，试证：n E A R A R =-+)()(. 证明：2
A A A (A E )0R (A )R (A E )n =?-=?+-≤
R -A +A E)R(E)=n n R -A +A E)R (A )R (A E)R (A )R (A E)-=?=-≤-+-=+-（（ R (A )R (A E)n ?+-=
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！ 线性代数期末考试试卷及答案 号 位 座 注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚； 线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。 题号一二三四五总分 业得分 专 评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。 题 封 答1．设矩阵A为2 2矩 阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是 院 不 内 【】学 线 封 密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓
C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是 【 】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有 【 】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是 【 】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系， 则下列向量组中也为该方程 组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解， 也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是 【 】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()；
6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。
(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。
《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（）
第四章 二 次 型 练习4、1 1、写出下列二次型的矩阵 （1）),,(321x x x f =32312 221242x x x x x x -+-； （2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。 解：（1）因为 ),,(321x x x f =),,(321x x x ????? ??---01211020 2??? ?? ??321x x x , 所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：??? ? ? ??---01211020 2。 （2）因为 ),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ?? ? ?? ?? ??010********* 1110 ?????? ? ??4321x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：?? ? ? ? ? ? ? ?010********* 1110。 2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：
（1）??? ??? ?? ??--- - 22 2 12021 212 11； （2）?????????? ? ??---1212102102112121 12101210。 解：（1）设T 321),,(x x x X =，则 ),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ?????? ? ? ?? --- - 22 2 12021212 11????? ??321x x x =3231212 32142x x x x x x x x -+-+。 （2）设T 4321),,,(x x x x X =，则 ),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ????????? ? ? ? ?---121210 210211************??????? ??4321x x x x =43423231212 4222x x x x x x x x x x x x +++-++-。 练习4、2 1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。 （1）),,(321x x x f =32212 221442x x x x x x --+； （2）),,(321x x x f =322122x x x x -； （3）),,(321x x x f =32212 322214432x x x x x x x --++。
总结§4.1—§4.3 一、线性表示 1. 向量β可由向量组m ααα ,,21线性表示 ?存在数m k k k ,,,21 使得，m m k k k αααβ ++=2211 ?方程组βααα=++m m x x x 2211有解（即是β=Ax 有解） ? ()=m R ααα ,,21()βααα,,,21m R （即是()()β,A R A R =） 2. 向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()=m R ααα ,,21 ()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()(),R A R A B =） 向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()12,,l R βββ≤ ()12,,m R ααα （即是()()R B R A ≤） 3. 向量组m ααα ,,21与向量组12,,l βββ 等价?()=m R ααα ,,21 ()12,,l R βββ =()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()()(),R A R B R A B ==） 二、线性相关与线性无关 1. 向量组m ααα ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21 使得， .02211=++m m k k k ααα ?方程组02211=++m m x x x ααα 有非零解. ?0=Ax 有非零解. ?()m R m <ααα ,,21 ?()m A R < 其中()m A ααα ,,21= 2. 向量组m ααα ,,21线性无关?如果,02211=++m m k k k ααα 则有 .021====m k k k ?方程组02211=++m m x x x ααα 只有零解 ?0=Ax 只有零解 ?()m R m =ααα ,,21 ?()m A R = 其中()m A ααα ,,21=
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
1 习题4.1（线性方程组解的结构） 一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ 分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ； 解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。 （2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。 二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。 解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数） 原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈）
一、选择题（每小题5分，共25分。） 1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4 D 的值为【 】A ．3-； B.；5- C.3； D.5. 2．已知n 阶矩阵????? ?? ? ? ?=1. .00... 1. 1. . 101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于 【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩 1r ，则【 】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定. 4．设A 为n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线 性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关. 5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵， 则P A P * 1 -的对应于特征值 λ A 的特征向量是【 】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。） 1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-， 其中??? ?? ??-=20001 2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________ =k . 4． 若线性方程组??? ??=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321 43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -* 的全部特征值为 ___________________. 三 、 计 算 证 明 题 （ 50 分 ） 1 (12 分 ) 求 向 量 组 )1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩. 2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022 =+A A ，已知A 的秩2)(=A r (1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型)0(233232232 22 1>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形 2 3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换. 4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2 ，证明:n E A r E A r =++-)()(.
第四章 向量组的线性相关性（二） 1. 判断下列向量集合在向量加法和数乘运算下是否为向量空间，若是向量空 间，试求其维数，并给出一个基． 1) }0,0,,,,),,,,({322154321543211=+=+∈==x x x x x x x x x x x x x x V ，且R α 2) }1,,,),,,({2121212=-∈==x x x x x x x x V n n ，且R α 3) },,){3213322113R ∈++==k k k k k k V αααα，其中)0,1,1(1=α，)1,0,1(2=α， )1,1,2(3=α
2. 已知三维向量空间3R 的一组基)0,1,1(1-=α，)1,0,1(2=α，)1,1,1(3-=α．试用 施密特正交化方法由321,,ααα构造3R 的一组标准正交基．
3. 已知4维向量空间4R 的两个基 (I) ???????====) 0,0,1,2()0,0,2,3()3,2,0,0()4,3,0,0(4321αααα, (II) ?????? ?====) 0,1,2,1()2,1,1,2()2,2,1,0() 1,0,1,2(432 1ββββ 1) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵； 2) 求)4,3,2,1(=α在基(I)下的坐标； 3) 判断是否存在在两组基下坐标相同的非零向量．
4. 已知向量空间3R 的两个基为(I)321,,ααα和(II) 321,,βββ．设3R ∈α在基(I) 与基(II)下的坐标分别为()T 321,,x x x =x ，()T 321,,y y y =y ，且满足 3211x x x y ++=，212x x y +=，13x y =． 1) 求由基(I)变为基(II)的过渡矩阵； 2) 求31ββα+=在基(I)下的坐标．
习题四答案 (A) 1． 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1) ???? ??--3113 (2) ???? ? ??---122212221 (3) ????? ??----020212022 (4) ???? ? ??--201034011 (5) ????? ??--011102124 (6)???? ? ??----533242 111 解 （1）矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(2(3113 --=--λλλλ， 所以A 的特征值为4,221==λλ． 对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)． 对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解 系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． （2）矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ)3)(1)(1(1 22212 2 21--+=------λλλλλλ， 所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ． 对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)． 对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． 对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)． (3) 矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(1)(2(20212 22--+=--λλλλ λλ， 所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ． 对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．
第四章 向量组的线性相关性 1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T (10 11 01)T (1 0 1)T 3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得 (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示 证明由 知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示 由 知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示 4 已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T
证明A组与B组等价 证明由 知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价 5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明 (1) a1能由a2a3线性表示 (2) a4不能由a1a2a3线性表示 证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示 (2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为 所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为 所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关 7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解以所给向量为列向量的矩阵记为A由 如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案） 8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使 (a1b)2(a2b)0 1