线性代数练习题 第四章 线性方程组
系 专业 班 姓名 学号 第一节 解线性方程组的消元法
一．选择题：
1．设A 是n m ?矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ?矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解
3．设A 是n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：
设????? ??-+=21232121a a A ，????
?
??=031b ，????? ??=321x x x x
（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则 31a a ≠≠-或 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = 1=- 三．计算题：
1． 求解非齐次线性方程组??
?
??=--+=+-+=+-+122241
2w z y x w z y x w z y x
21
3122211112111121001421120011000110211110002000020121122000
.2000r r r r r r y
x x y y x
z w z z w w w --+--??????
? ? ?-???→-???→- ? ? ? ? ? ?----??????
-?=?+==-?????
-=∴==??????-===???
?
或
3．λ取何值时，非齐次线性方程组???
??=++=++=++2
321
3213211λλλλλx x x x x x x x x ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解
321
1
1
132(1)(2)
1
1
1
1111
11
1100
0111000111111212212124003λ
λ
λλλλλ
λλλ=-+=-+≠????
?
?
→ ? ? ? ????
?
????
?
?
--→-- ? ? ? ?-?
???
当1,-2时，方程有唯一解11当=1时10，有无穷多解；10-22
当=-2时1
1
，方程组无解。10
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
系 专业 班 姓名 学号 第四节 线 性 方 程 组 的 解
一．选择题：
1．设A 是45?矩阵，),,,(4321αααα=A ，已知T
),,,(40201=η，T
)4,5,2,3(2=η是0=Ax 的基础解系，则 [ D ] （A ）31αα,线性无关 （B ）42αα,线性无关 （C ）1α不能被43αα,线性表示 （D ）4α能被32αα,线性表示
2．设A 是45?矩阵，若b Ax =有解，21ηη,是其两个特解，导出组0=Ax 的基础解系是21αα,，
则不正确的结论是 [ B ] （A ）b Ax =的通解是12211ηαα++k k （B ）b Ax =的通解是)(212211ηηαα+++k k （C ）b Ax =的通解是22122211/)()(ηηααα++++k k
（D ）b Ax =的通解是211222112ηηαααα-+-++)()(k k
3．设321ααα,,是四元非齐次线性方程组b Ax =的三个解向量，且3=)(A R ，T
),,,(43211=α，
T ),,,(321032=+αα，C 表示任意常数，则线性方程组b Ax =的解是 [ C ]
（A ）T
T
C )1,1,1,1()4,3,2,1(+ （B ）T
T
C )3,2,1,0()4,3,2,1(+ （C ）T
T
C )5,4,3,2()4,3,2,1(+ （
D ）T
T
C )6,5,4,3()4,3,2,1(+
4．齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00321
3213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵0≠B 使得
0=AB ，则 [ C ]
（A ）2-=λ且0=B ， （B ）2-=λ且0≠B （C ）1=λ且0=B （D ）1=λ且0≠B 二．填空题：
1． 设????? ??-+=21232121a a A ，????? ??=321b ，=x ???
?
?
??321x x x
（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则a 31≠-， （2）非齐次线性齐次组b Ax =无解，则a = 31-或 三．计算题：
1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且
T )5,4,3,2(1=η，23(1,2,3,4)T ηη+=，求该方程的通解
1231231231231,(2)2020()431,03243(2).5465Ax b A A A b
A b b b Ax n R A Ax Ax b k k ηηηηηηηηηηηηη====--=--=--=-=-==???? ? ? ? ?=--+=+ ? ? ? ?????
解：设方程为 则那么故是的解.
又故的基础解系只有一个向量所以的通解为
2．求非齐次线性方程组???
??-=+++-=-++=-+-6
2421635113254321
43214321x x x x x x x x x x x x 的一个解及对应齐次方程组的基础解系。
12342341234234152311152311152311:53611028414560142728242160142728000001523112,024*********
2427x x x x x x x x x x x x x x ------?????? ? ? ?--→--→-- ? ? ?
? ? ?---??????
?? ?-+-=-? ?? ?-+=-?
???
-+-=-+解原方程组化为求出一个解为
另外34120917211,,.,72011091172112.
72001010x x k k ??=?
????- ? ? ? ?
???? ? ?
- ? ? ?
????? ? ?
? ? ?
?????????
- ? ??? ? ? ?- ? ? ?
-++ ? ? ? ? ? ?
? ??? ? ?
????
10设()分别为解01所以通解为
线性代数练习题 第四章 线性方程组
系 专业 班 姓名 学号
第四节 克拉默法则
一、选择题：
1．若方程组30
4050x ky z y z kx y z +-=??
+=?
?-+=?
有非零解，则k （A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）3=k
3．设21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的解，21,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的解，则[ C ] （A ）112ηξ+为0=Ax 的解 （B ）21ηη+为b Ax =的解 （C ）21ξξ+为0=Ax 的解 （D ）21ηη-为b Ax =的解
二、填空题：
2. 若方程组??
?
??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx
仅有零解，则2k =
三、计算题
1．计算A 是秩为3的5×4矩阵，321,,ααα是非齐次线性方程组b Ax =的三个不同的解，若
1232(2,0,0,0)T ααα++=，T )8,6,4,2(321=+αα，求方程组b Ax =的通解。
解：因A 是秩为3的5×4矩阵，431n r -=-=,故对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系为ξ.
1231212312[(2)(3)]23230
A A A A A A b b b b b αααααααααα++-+=++--=++--=12312[(2)(3)](2,0,0,0)(2,4,6,8)(0,4,6,8)T T T ξααααα=++-+=-=---是对应齐次线性
方程组0Ax =的基础解系. 又123123
[(2)(3)]4304
A b b ααααα++-
+=-=， 123123312[(2)(3)](2,0,0,0)(2,4,6,8)(,3,,6)4429
T T T ηααααα=++-+=-=---是非齐次线
性方程组b Ax =的特解。
方程组b Ax =的通解为12(0,4,6,8)(,3,,6)29
T
T
x C C ξη=+=---+---.
四、用克拉默法则解方程组1234124234
1234
258
3692254760
x x x x x x x x x x x x x x +-+=??--=?
?
-+=-??+-+=?
解：2
151130*********
476
D ---=
=≠--,方程组有唯一解。
181
5193068152120476
D ---=
=---,22
8511906108051
21076D --=
=----
32181139
62702521
4
6D --=
=--42
15813
09270215
1
4
7
0D --=
=---
方程组有唯一解为118121D x D ==,2210821D x D ==-
,339
7D x D ==-,4497
D x D ==.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！ 线性代数期末考试试卷及答案 号 位 座 注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚； 线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。 题号一二三四五总分 业得分 专 评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。 题 封 答1．设矩阵A为2 2矩 阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是 院 不 内 【】学 线 封 密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓
C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是 【 】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有 【 】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是 【 】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系， 则下列向量组中也为该方程 组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解， 也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是 【 】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2
设有三元非齐次线性方程组 线性方程组解的几何意义 ???????=++=++=++,,,)1(22221111m m m m d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义.
2) 有唯一解这时方程组(1) 中的m 个方?? ???=+--=--=+,423, 32,123z y x y x z x 该方程组有唯一解.817,21,4 7??? ??--则方程组(1) 的解有以下三种情况: 1) 无解这时方程组(1) 中的m 个方程所表示的平面既不交于一点, 也不共线、共面. 程所表示的平面交于一点. 例如
其几何意义如图3 -11 所示. 2x-y=-3 3x+2z=-1 x-3y+2z=4 图3-11
交直线所确定.3) 有无穷多组解 这时又可分为两种情形:情形一自由变量, 基础解系中有两个向量，其一般解的形式为 γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0(c 1, c 2为任意常数).这时方程组的所有解构成一个平面, 而这个平面是由过点γ0且分别以η1、η2为方向向量的两条相A 的秩=A 的秩= 1 .此时，有两个γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0 称为平面的参数方程.
例如, 设保留方程组为 x + y + z = 3, 则可求得其通解为 . 11110101121???? ? ??+????? ??-+????? ??-=c c x
则过点P (1,1,1) 分别以(1,-1,0)T , (1,0,-1)T 为方向,1 10111:,0 11111:21--=-=--=--=-z y x L z y x L 则这两条相交直线L 1, L 2所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为 为x + y + z = 3 . 如图3-12
《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()；
6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。
(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。
《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（）
西南大学线性代数作业答案
第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式25 11 22 14--x 中，x 的代数余子式是 — 5 。 6．计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 811411 02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）× （—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。
3．(7分)已知0010413≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
线性代数作业提示与答案 作业（1） 一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．??? ??? ???==--=++=24 13212 211,757975,767171k x k x k k x k k x 三．1．阶梯形（不唯一）：????? ? ???? ??---140 10612 0071210 02301 ，简化阶梯形?????? ? ????? ????- 10000 02 1 100 00 01002 7 01 秩为4； 2．简化阶梯形为单位矩阵. 四．1．其系数矩阵的行列式值为 2 )1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定） 当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解， 当2-=λ时，通解为=x ???? ? ?????111k ； 当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-； 2．?? ?? ???? ??? ???? ? -++-- - -2200123 23012 1211~2 λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解； 当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x T T k ],,[],,[022111+.
作业(2) 一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-120 4. ()() !) 1(2 21n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12 二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到 333 33 32222221 11111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=23 2 3 3221 11c b a c b a c b a 3． 0； （注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．12 2 2 +++γβα 作业(3) 一．1．c; 2. d ; 3.a 二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ n i i a x 1 ，得到(∑=+ n i i a x 1 )1-n x . 2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ． 3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到 .)1(0 1 00001011 111 22 1 2) 1(n n n n n n --=-- 4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+ 三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
学习中心 姓 名_____________ 学 号 西安电子科技大学网络教育 2014学年上学期 《线性代数》期末考试试题 （综合大作业） 考试说明： 1．大作业于2014年06月17日下发，2014年06月29日交回。 2．试题必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计。 3. 试题须手写完成，不能提交打印稿和复印稿，否则计零分。 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1．向量组1α=(),0,0,1T 2α=(),0,2,1T 3α=()T 5,0,0是线性 ； ()A 相关； ()B 无关； ()C 表示； ()D 组合． 2．设有向量1α=()T k ,3,1,4-，2α=,41,43,41,1T ??? ??- 当k = 时，1α，2α为线性相关； ()A 1； ()B －1； ()C 3； ()D －4． 3．行列式8 76 54321 0000 00 00a a a a a a a a 中元素7a 的代数余子式为 ； ()A 542632a a a a a a - ()B 542631a a a a a a - ()C 632542a a a a a a - ()D 854863a a a a a a -． 4．设 10010020 000 1000 -=a a ，则a = ； ()A 21- ； ()B 21； ()C －1； ()D 1．
5．设??????????=1011α，??????????=0102α，??????????=1003α，向量???? ? ?????--=011β可表示为321,,ααα的线性 组合：321αααβc b a ++=，则 ； ()A 1,1,1-=-=-=c b a ； ()B 1,1,1-=-==c b a ； ()C 1,1,1-==-=c b a ； ()D 1,1,1=-=-=c b a ． 6．设有矩阵23?A ,32?B ,33?C ,下列矩阵运算可行的是 ； ()A AC ； ()B ABC ； ()C C B T ； ()D BC AB -． 二、填空题：（每小题3分，共21分） 1．设34?A ·5?B k = C n m ?， 则 k = ，m = ，n = ； 2．设A =??????-432101，B =?? ????065231，则T AB = ； 3．设A =???? ? ?????--c b c a b c 000，则A 2= ； 4．设A =??????????--210413161，B =???? ??????--121312510， 则 （1）A +B 2= ， （2）A 2－B = ； 5．排列534162的逆序数()=534162 t ； 6．非齐次线性方程组x A =b 有解的充要条件是 。 三、计算题：（共20 分） 1．4 1111411 1141 1114 ===
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
一，填空题 1 已知四维向量α，β满足3α+4β＝()2112T ，2α+3β＝()12 31T -，则向量α＝________，β＝_____ 2 有三维列向两组1α＝()100T ，()2110αT ＝，()3111αT ＝，()123βT ＝，且有112233βχαχαχα++＝，则123χχχ＝_____ ，＝_____，＝_____ 3.若向量组123,,ααα线性无关，则向量组122331,,αααααα+++是线性____。 4若n 个 n 维列向量线性无关，则由此n 个向量构成的矩阵必是______ 矩阵。 5若R )(1234,,,4αααα=，则向量组123,,ααα是线性________。 6若向量组)()()()( 12341,1,3,2,4,5,1,1,0,2,2,6,αααα===-=则此向量组的秩是______，一个极大无关组是______。 7已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩为2，则t ＝____. 8已知方程组12312112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解，则a ＝_____。 二，选择题 1.向量组()()()()12341,1,2,0,1,1,2,3,5,2,2,4αααα==-==的极大无关组为（ ） （A ）12,;αα （B ）13,;αα （C ）123,,;ααα （D ）23,;αα 2.若A ＝12421110λ?? ? ? ??? 为使矩阵A 的秩有最少值，则λ应为（ ） （A ）2； （B ）－1; (C)94; (D)12 ; 3. n 元齐次线性方程组AX=0有非零解时，它的每一个基础解系中所含解向量的个数等于（ ） （A ）R )(A -n ； （B ）)(R n A + （C ）)(n R -A ; (D))( n R +A 4.设123412342 34234355222χχχχχχχχχχχλ+-+=??+-+=??+-=? 当λ取（ ）时，方程组有解。 （A ）-12 (B) 12 (C)1- (D)1
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
数值线性代数实验 大报告 指导老师：赵国忠 姓名：1108300001 刘帅 1108300004 王敏 1108300032 郭蒙
一、实验名称：16题P75上机习题 二、实验目的：编制通用的子程序，完成习题的计算任务 三、实验内容与要求： P75上机习题 先用熟悉的计算机语言将算法2.5.1编制成通用的子程序，然后再用所编制的子程 序完成下面两个计算任务： （1） 估计5到20阶Hilbert 矩阵的无穷范数条件数。 （2） 设A n = 1 1...111... .......... ... 1-1 (01) -- 先随机地选取x ∈R n ，并计算出b=A n x;然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为∧x .试对n 从5到30估计计算解∧ x 的精度，并且与真实的相对误差作比较。 四、 实验原理： （1）矩阵范数（martix norm ）是数学上向量范数对矩阵的一个自然推广。利用for 循环和cond （a ）Hilbert 求解Hilbert 矩阵的无穷范数，再利用norm(a,inf)求矩阵的无穷范数条件数。 （2）本题分为4步来求解。先运用rand 随机选取x ∈R n ，输入A n 矩阵，编制一个M 文件计算出b 。第二步用列主元高斯消去法求解出方程的解X2。第三步建立M 文件: soluerr.m 估计计算解∧x 的精度。第四步, 建立M 文件: bijiao.m ,与真实相对误差作比较。 五、 实验过程： (1)程序： clear for n=5:20
for i=1:n for j=1:n a(i,j)=1/(i+j-1); end end c=cond(a); f=norm(c,inf); fprintf('n=%3.0f\nnorm(c,inf)%e\n',n,f) end 运行结果： n= 5 norm(c,inf)4.766073e+005 n= 6 norm(c,inf)1.495106e+007 n= 7 norm(c,inf)4.753674e+008 n= 8 norm(c,inf)1.525758e+010 n= 9 norm(c,inf)4.931542e+011 n= 10 norm(c,inf)1.602467e+013 n= 11 norm(c,inf)5.224376e+014 n= 12 norm(c,inf)1.698855e+016 n= 13 norm(c,inf)3.459404e+017 n= 14 norm(c,inf)4.696757e+017 n= 15 norm(c,inf)2.569881e+017 n= 16 norm(c,inf)7.356249e+017 n= 17 norm(c,inf)4.362844e+017 n= 18 norm(c,inf)1.229633e+018 n= 19 norm(c,inf)9.759023e+017 n= 20 norm(c,inf)1.644051e+018 （2）程序：
最速下降法求解线性代数方程组要求：对于给定的系数矩阵、右端项和初值，可以求解线性代数方程组 一、最速下降法数学理论 PP?tX?Xf(X)的负梯中，在基本迭代公式每次迭代搜索方向取为目标函数kk1kkk?t)X??f(P?取为最优步长，由此确定的算法称为最速度方向，即，而每次迭代的步长kkk下降法。 X)Xminf(kk。现在次，获得了第，假定我们已经迭代了为了求解问题个迭代点k X出发，可选择的下降方法很多，一个非常自然的想法是沿最速下降方向（即负梯度方从k X邻近的范围内是这样。因此，去搜索方向为 )进行搜索应该是有利的，至少在向k P???f(X). kk P k?1进行一维搜索，由此得到第为了使目标函数在搜索方向上获得最多的下降，沿k个跌带点，即 X?X?t?f(X)，kk1k?k t按下式确定其中步长因子k f(X?t?f(X))?minf(X?t?f(X))， kkkkkk X?ls(X,??f(X)). （ 1） k1k?k X X,XX,, ,,?k0,12是初始点，由计算就可以得到一个点列,显然，令其中0210{X}f)X(X)(f 的满足一定的条件时，由式（）所产生的点列必收敛于者任意选定。当1k极小点。 二、最速下降法的基本思想和迭代步骤 ???,)(Xf(X)g. ，终止限已知目标函数及其梯度和321Xf?f(X),g?g(X)k?0. ，计算；置（1）选定初始点00000X?ls(X,?g)f?f(X),g?g(X). （2）作直线搜索：；计算 k?1kk1?k1k?kk?1?1(X,f(X))k?k?1，置，结束；用终止准则检验是否满足：若满足，则打印最优解否则，1k?1?k转（2） （3）最速下降法算法流程图如图所示.
线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）
第一章 1．用消元法解下列线性方程组： （1）??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =，得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： （2）???? ? ??--324423211123． 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ，得 行阶梯形：????? ? ?---0000510402321（不唯一）；行最简形：???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3．用初等行变换解下列线性方程组： （1）?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x
解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M ， 得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x ． （2）??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M ， 得方程组无解． 第二章 1.（2） 2 2 x y x y ． 解 原式()xy y x =-． （2）01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L ． 2.解 原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +-
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
线性代数 大作业（二） 学号：02121443 姓名：惠政 成绩：____________ 1.在钢板热传导的研究中，常常用节点温度来描述钢板温度的分布。假设下图中钢板已经达到稳态温度分布，上下、左右四个边界的温度值如图所示,而T1,T 2,T 3,T 4表示钢板内部四个节点的温度。若忽略垂直于该截面方向的热交换，那么内部某节点的温度值可以近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值，如T 1=(30+40+T 2+T 3)/4，请计算该钢板的温度分布。 (1)根据已知条件可以得到以下线性方程组得矩阵形式:????????? ???-------0114140110414110 ????????????4321T T T T =???? ? ???????70505030 (2)给出方程组的解。 T 1=30。 C,T 2=25。 C,T 3=25。 C,T 4=20。 C A=[0 -1 -1 4;-1 4 0 -1;-1 0 4 -1;4 -1 -1 0]; b=[30;50;50;70]; U=rref([A,b]) U = 1 0 0 0 30 0 1 0 0 25 0 0 1 0 25 0 0 0 1 20 请过这六个点作一个五次多项式函数p 5(x)=5 54 43 32 2 10x x x x x αααααα+++++,并求当x=6时的函数值p 5(6) 。 p 5(6)=3956 x=[0;1;2;3;4;5]; 2030404020C C C C C C
y=[2;6;0;26;294;1302]; A=[x.^0 x.^1 x.^2 x.^3 x.^4 x.^5]; a=A\y; disp('五次多项式系数为：') disp(a); x0=6; y0=a(1)+a(2)*x0+a(3)*x0^2+a(4)*x0^3+a(5)*x0^4+a(6)*x0^5; disp(y0); 五次多项式系数为： 2.0000 5.0000 1.0000 -0.0000 -3.0000 1.0000 3.9560e+003 假设一个城市的总人口数固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有12%的市区居民搬到郊区；而有10%的郊区居民搬到市区。若开始有800000人口居住在市区，200000人口居住在郊区。那么，20年后市区和郊区的人口数各是多少？ 解：设第n 年市区人数和郊区人数分别为x n 和y n ,则第n+1年的市区和郊区为 ???+=+=++n n n n n n y y y x x 9.0x 12.01.088.011，则矩阵表示为??????++11n n y x =? ?????9.012.01.088.0??????n n y x A=[0.88 0.10;0.12 0.90]; x0=[800000;200000]; x20=A^20*x0; disp(x20); 1.0e+005 * 4.5695 5.4305 故20年后市区和郊区的人口数分别为456950,543050。 3.一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它们的具体配方比例如表1所示。 表1 混凝土的配方