【新教材】2.2基本不等式
教学设计
《基本不等式》在数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
课程目标
1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
数学学科素养
1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；
2.逻辑推理：基本不等式的证明；
3.数学运算：利用基本不等式求最值；
4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；
5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。
重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；
难点：基本不等式的推导以及证明过程．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入：
在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本44-45页，思考并完成以下问题
1. 重要不等式的内容是？
2.基本不等式的内容及注意事项？
3.常见的不等式推论？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.重要不等式
2.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:_____________.
(2)等号成立的条件:当且仅当______
时取等号. 注意：一正二定三等.
3.几个重要的不等式
(1)a 2+b 2
≥______(a,b
∈R). (2) ≥____(a,b 同号). (3) (a,b ∈R).
(4) (a,b ∈R). 4. 设a>0,b>0，则a,b 的算术平均数为___________,几何平均 数为______
，基本不等式可叙述为：_____________________.
四、典例分析、举一反三
题型一 利用基本不等式求最值
例1 求下列各题的最值.
（1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值；
)0,0(2
>>+≤b a b a ab b a a b +2)2(b a ab +≤222)2
(2b a b a +≥+y x z 52
+=a>0,b>0 a=b 2ab 2 a +b 2
√ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
（2）x>0,求 的最小值；
（3）x<3，求 的最大值； 【答案】见解析
【解析】（1） 由x>0,y>0,xy=10.
当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.
(2)∵x>0,
等号成立的条件是 即x=2,
∴f(x)的最小值是12.
(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,
当且仅当 即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.
解题技巧：（利用基本不等式求最值）
(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；
(2)根据已知范围，确定两式的正负符号；
(3)根据两式的符号求积或和的最值.
总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”.
跟踪训练一
（1）已知x>0,y>0，且 求x+y 的最小值； （2）已知x< 求函数 的最大值; x x x f 312)(+=x x x f +-=34
)(.2.210
102105252min =∴=≥+=+z xy x y y x 则,123122312)(=•≥+=∴x x
x x x f ,312x x =,x x -=-334,13)3(3423)]3(34[3)3(3434)(-=+-•--≤+-+--=+-+-=+-=
∴x x
x x x x x x x f ,191
=+y x 54124-+-=x x y ,4
5
（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
【答案】见解析
【解析】
题型二利用基本不等式解决实际问题
例2（１）用篱笆围一个面积为１００m2的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（ ２ ） 用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？
【答案】见解析
【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m,ym ，篱笆的长度为2(x +y )m.
(1)由已知得xy =100.
由x+y 2 ≥√xy ，可得x +y ≥2√xy =20,
所以2(x +y )≥40,
当且仅当x =y =10时，上式等号成立.
(2)由已知得2(x +y )=36，矩形菜园的面积为xym 2.
由√xy ⩽x+y 2 = 182 = 9,可得xy ⩽81， 当且仅当x =y =9时，上式等号成立.
解题技巧：(利用基本不等式解决实际问题)
设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”）
跟踪训练二
1. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB =米，4=AD 米.
（1）要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长应在什么范围？
（2）当DN 的长为多少米时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值.
【答案】见解析
【解析】（1）设DN 的长为()0x x >米，则4AN x =+米 DN DC AN AM = ()34x AM x +∴= ()234AMPN x S AN AM x
+∴=⋅=
由矩形AMPN 的面积大于50得：()23450x x
+>
又0x >，得：2326480x x -+>，解得：803x <<
或6x > 即DN 长的取值范围为：()80,6,3⎛
⎫+∞ ⎪⎝⎭
（2）由（1）知：矩形花坛AMPN 的面积为：
223(4)32448483242448x x x y x x x x +++===++≥= 当且仅当483x x
=，即4x =时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值48 故DN 的长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为48平方米
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本48页习题2.2
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，先通过几何证明基本不等式，在充分了解基本不等式的含义后，再进一步运用其求最值。切记：利用基本不等式的条件是一正二定三等。
2.2基本不等式 教材分析： “基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质. 教学目标 【知识与技能】 1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】 通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重难点 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】 1.基本不等式等号成立条件； 2.利用基本不等式求最大值、最小值. 教学过程 1.课题导入 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 一般地，，有 a2+b2≥2ab， 当且仅当a=b时，等号成立 特别地，如果a>0，b>0，我们用,分别代替上式中的a，b，可得
① 当且仅当a=b时，等号成立. 通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）.其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 思考:上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 2.讲授新课 1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式 特别的，如果a＞0,b＞0,我们用分别代替a、b，可得， 通常我们把上式写作： 2）从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明： 要 证 （1） 只要证a+b ≥（2） 要证（2），只要证a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证（- ）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
【新教材】2.2基本不等式 教学设计 《基本不等式》在数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。 课程目标 1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。 3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。 数学学科素养 1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程； 2.逻辑推理：基本不等式的证明； 3.数学运算：利用基本不等式求最值； 4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题； 5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。 重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值； 难点：基本不等式的推导以及证明过程． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入： 在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本44-45页，思考并完成以下问题 1. 重要不等式的内容是？ 2.基本不等式的内容及注意事项？ 3.常见的不等式推论？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1.重要不等式 2.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:_____________. (2)等号成立的条件:当且仅当______ 时取等号. 注意：一正二定三等. 3.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2 ≥______(a,b ∈R). (2) ≥____(a,b 同号). (3) (a,b ∈R). (4) (a,b ∈R). 4. 设a>0,b>0，则a,b 的算术平均数为___________,几何平均 数为______ ，基本不等式可叙述为：_____________________. 四、典例分析、举一反三 题型一 利用基本不等式求最值 例1 求下列各题的最值. （1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值； )0,0(2 >>+≤b a b a ab b a a b +2)2(b a ab +≤222)2 (2b a b a +≥+y x z 52 +=a>0,b>0 a=b 2ab 2 a +b 2 √ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
《基本不等式（第一课时）》教学设计 教学目标 (1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释。 (2)过程与方法：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质。 (3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。 教学重点和难点 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2b a a b + ≤的证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 教学方法 引导探究法、讨论法 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑。 教学过程： 1.创设情境，引入新课 如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标 是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止 对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数 和几何是紧密结合、互不可分的． 探究一：你能通过这个简单的“风车”造型中得到一些相等和不等关 系吗? 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角 形．设直角三角形两条直角边长为b a,，
那么正方形的边长为22b a +．于是， 4个直角三角形的面积之和ab S 21=， 正方形的面积222b a S +=． 由图可知12S S >，即ab b a 222>+． 当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有 222a b ab +=。 2．代数证明，得出结论 根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若+∈R b a ,，则ab b a 22 2 >+． 若+∈R b a ,，则2 b a a b +≤ ． 师生活动：学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论： （1）若+∈R b a ,，则ab b a 222≥+；（2）若+∈R b a ,，则2 b a a b +≤ 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）： 0)(2222≥-=-+b a ab b a ab b a 222≥+∴，当b a =时取等号． （在该过程中，可发现b a ,的取值可以是全体实数） 证法二（分析法）：由于+∈R b a ,，于是 要证明 ab b a ≥+2 ， 只要证明 ab b a 2≥+， 即证 02≥-+ab b a ， 即 0)(2≥-b a ，该式显然成立，所以ab b a ≥+2 ，当b a =时取等号．
高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇） 篇一：高中数学教学设计篇一 教学目标 1、明确等差数列的定义。 2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题 3、培养学生观察、归纳能力。 教学重点 1、等差数列的概念； 2、等差数列的通项公式 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教具准备 投影片1张 教学过程 （I）复习回顾
师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。（放投影片） （Ⅱ）讲授新课 师：看这些数列有什么共同的特点？ 1，2，3，4，5，6；① 10，8，6，4，2，…；② 生：积极思考，找上述数列共同特点。 对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6） 对于数列②—2n（n≥1）（n≥2） 对于数列③（n≥1）（n≥2） 共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。 一、定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……
二、等差数列的通项公式 师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得： 若将这n—1个等式相加，则可得： 即：即：即：…… 由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。 如数列①（1≤n≤6） 数列②：（n≥1） 数列③：（n≥1） 由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解 例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项 （2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？ 解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。 （Ⅲ）课堂练习 生：（口答）课本P118练习3
2．2 基本不等式 教材分析： 本单元主要学习基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用． 相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容． 基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关．从数与运算的角度，2 a b 是两个正数a ， b 的“算术平均数”a ，b 的“几何平均数”．因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算．从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解． 基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源．利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等．这些方法也是代数证明和推导的典型方法． 基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n 个正数的几何平均值不大于算术平均值．基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值．同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法．因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题． 学情分析： 由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点．基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点．在进行基本不等式的集合解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解． 此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点． 教学目标：
2.2 基本不等式 学习目标： 1.知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2.过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3.情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性 教学重点：基本不等式的定义，证明方法和几何解释；用基本不等式解决简单的最值问题. 教学难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单最值问题. 教学过程： 教学内容师生活动设计意图 情境导学探新知情境1：展示第24届国际数 学家大会的会标，介绍赵爽 弦图历史渊源. 情境2：介绍知名校友国际数 学新秀韦东奕. 师：展示部分北京数学家大会的 图片，介绍发展史. 生：欣赏和感受数学历史文华,榜 样就在我们身边. 渗透德育，激发学 生的民族自豪感， 调动学生数学学 习积极性. 合作探究释问题1：你能否从数学家的角 度来欣赏会标，由哪些几何 图形构成？蕴含怎样的不等 关系？ 师：提出问题1，留给学生一分钟 时间独立思考. 生：整个图案由正方形和四个全 等的直角三角形构成. 生：大正方形面积不小于四个直 角三角形面积和. 激发学生探究欲 望，引导学生从几 何图形出发抽象 出重要不等式，为 接下来基本不等 式做铺垫，体会数
疑 难 重要不等式： 222 a b ab +≥ 当且仅当a b =时，等号成立. 师：设直角三角形的直角边分别 为a,b,如何表示上述不等关系？ 师：观察数学模型，当a,b,满足 什么条件时，大正方形面积等于 四个直角三角形面积和？ 生：a b =时取得相等 学建模，数形结合 的思想. 合作探究释疑难问题2：由重要不等式出发， 如何才能得到两个正数和与 积的不等关系？ 基本不等式：0,0 a b >> 2 a b ab + ≥ 当且仅当a=b时取得等号. 2 a b + 是两个正数a,b的算 术平均数，ab是两个正数 a, b的几何平均数 师：重要不等式体现了平方和与 积的关系，你能想到哪些方法使 其转变成两个正数和与积的关 系？ 生：小组交流讨论，时长3分钟. 生：可用正数,a b代替原式 中的a,b,即得到 2 a b ab +≥ 生：原不等式两边同时加 2ab 2224 a b ab ab ++≥ 即()24 a b ab +≥ 即2 a b ab +≥ 师：何时取等？ 生：当且仅当a b =等号成立. 师：板书基本不等式 体会代换方法在 数学学习中的作 用，感受数学知识 间的联系，通过分 析基本不等式的 结构特征得到基 本不等式的代数 解释，加深对基本 不等式的认识，多 种方法下，培养学 生的发散思维. 合问题3：是否还有其它方式证 明 师：有哪些方式可以比较两个代 数式的大小？ 从几何和代数两 个角度实现基本
第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（共2课时） （第1课时） 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。 1.教学重点：的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值； 2.教学难点：基本不等式 ab b a ≤+2 等号成立条件； 多媒体 2 a b +新人教A 版 必修第一册
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 （一）、情景导学 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。 弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 思考1：这图案中含有怎样的几何图形？ 思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ （二）、探索新知 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边 长为a,b （a ≠b ）, 那么正方形的边长为． 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为． 由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积， 我们就得到了一个不等式：． 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时， 正方形EFGH 缩为一个点， 这时有．（通过几何画板演示当a=b 时的图像） 2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数a,b ，我们有 ，当且仅当a=b 时，等号成立。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为 通过介绍第24届国际数学家大会会标 的背景，进行设 问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。 通过图形得到了重要不等式的几何 解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的 大体过程，培养和发 展数学抽象和逻辑 推理的核心素养，增 强数形结合的思想 2 2 b a +2 2b a +ab b a 22 2≥+22 2a b ab +=22 2a b ab +≥()2 222b a ab b a -=-+a b
专题2：基本不等式 1．≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0 ； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 注意：(1)a ＋b 2和ab 分别叫a ，b 的算术平均数和几何平均数 ； (2)两种重要变形：①a ＋b ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ； 2．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果积xy 是定值p ，则x ＋y x ＝y 时，和x ＋y 有最小 值2p .(简记：积定和最小 ) (2)如果和x ＋y 是定值p ，则xy ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大 值p 24.(简记：和定积最大 ) 3．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋a b ≥2 (a ，b 同号 )； (3)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b (a >0，b >0)． ※考点自测 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × ) (2)当x ＞1时，函数y ＝x ＋1x 的最小值等于2.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × ) 2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C 3．若函数y ＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 答案 C 4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 答案 25 m 2 5．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案 116 ※题型讲练 题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法求最值 例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为________． (2)函数y ＝x 2＋2x －1 (x >1)的最小值为________． 答案 (1)1 (2)23＋2
《基本不等式》教学设计 一、教学对象 高一三班，班级学生基础稍微薄弱，通过本节课学生能掌握基本不等式的基本应用及其变形，锻炼学生数形结合不同角度的理解能力. 二、教材分析 本节选自《普通高中教科书·数学必修第一册（人教A版）》的第二章2.2基本不等式，本节课主要是先利用初中学过的完全平方得到基本不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，引导学生给出基本不等式的代数证明和几何解释；与此同时让学生学会简单应用.算术平均数与几何平均数是不等式这一章的核心，对于不等式的证明及利用基本不等式求最值等应用问题都起到工具性作用.通过本章的学习有利于学生对后面不等式的证明及函数最值、值域的进一步研究，起到铺垫的作用，因此决定了它的重要地位. 三、教学目标 本节课本着新高考评价体系的“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心立场，提出如下教学目标： 必备知识：1.知道基本不等式的几何背景，能结合具体实例解释基本不等式成立的条件，会运用所学知识证明基本不等式，并能在证明过程中分析不等式成立的条件. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会不等式成立时的三个限制条件（一正、二
定、三相等）在求解实际问题的最值中的作用. 关键能力：1.用基本不等式数学模型解决实际问题的能力. 2.通过适当引导，进一步提高学生独立思考、分析问题、解决问题的能力. 学科素养：1.从几何和代数两角度论证基本不等式，培养学生数形结合的思想、直观想象的学科素养. 2.结合具体实例，培养学生逻辑推理的数学素养. 3.通过解决实际问题，培养学生数学建模和数学抽象的数学素养. 核心价值:通过适当引导，加强学生社会主义核心价值体系教育，增强学生社会责任感，形成正确核心价值观. 四、教学重点、难点 重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题. 难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题. 五、教学方法与手段 教学方法：诱思探究教学法. 学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结. 教学手段：多媒体辅助教学. 六、教学过程 （一）基本不等式的定义导入 以线段a ,b的和为直径作圆，过点C作垂直于直径AB的弦DE，依
2.2 基本不等式（第1课时）教案 （一）课时教学内容 本节课的主要教学内容有：基本不等式的定义；基本不等式的证明；基本不等式的几何解释；运用基本不等式求最值；基本不等式求最值的两种模型. （二）课时教学目标 1.理解基本不等式，发展逻辑推理素养； 2.了解基本不等式的几何解释； 3.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养. （三）教学重点与难点 教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题. 教学难点为：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值. （四）教学过程设计 1.基本不等式的定义 导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题.
追问2：上述证明中，每一步推理的依据是什么？ 师生活动：学生分别回答由⑤→④，由④→③，由③→②，由②→①的依据. 追问3：上述证明叫做“分析法”.你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？ 师生活动：学生讨论后回答.教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 追问4：你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？ 师生活动：学生思考后回答.教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”. 追问5：基本不等式成立的条件是什么？如果a<0或b<0基本不等式是否成立？ 师生活动：学生通过证明发现，a,b均为非负数，如果a,b存在负数时，该不等式不成立.教师指出基本不等式的定义要求a,b均为正数. 设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.
《2.2基本不等式》单元-课时教学设计 一.内容和内容解析 1. 内容 （1）本节的知识结构框图（梅州教研活动作者放“2（3）内容地位与作用”） （2）本节的知识内容：基本不等式的含义（概念、证明、几何解释）及其应用。 2. 内容解析 （1）内容的本质 “基本不等式”是求最值的常用方法之一，是两个量（正数）的“算术平均数”与“几何平均数”之间的大小关系，也可称为“均值不等式”（其实，可以推广到多个量）。 “基本不等式”体现“加法”与“乘法”两种运算之间的一种区别。 “基本不等式”在几何意义上，是“直径为最长弦长”。 （2）蕴含的数学思想方法 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法： ①在基本不等式的证明和运用基本不等式时的转化思想； ②在基本不等式的几何解释时的数形结合思想； ②在解决实际问题中的建模思想。 （3）知识的上下位 “基本不等式”是前面学习完不等式性质之后的第一个具体且重要的不等式（定理），在此章与“二次函数与一元二次方程、不等式”有着并列的地位，属于预备知识，为后面研究函数做好必要知识的铺垫。 （4）育人价值 本节教科书充分关注了与实际问题的联系，体现数学应用的价值。例如，教科书从“北京举办的24届国际数学大会”“篱笆围菜园”“建造长方体形无盖贮水池”等实际生活中的问题，有利用学生更好地感受“数学来源于生活、服务于生活”，促进学生关心生活、关注社会，增强社会责任意识，所以在教学中，我们结合具体的实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值。 ①通过基本不等式的几何解析，可以培养学生“直观想象”的素养，并从中感受“数形一致”的数学魅力。 ②通过严谨的证明活动，发展学生“逻辑推理”的素养。 ③通过具体运用基本不等式求解相关函数最值时，培养学生数学运算素养 ④通过建立数学模型，并利用基本不等式求解最优化等实际问题，发展学生“数学建模”素养。 （5）教学重难点 重点：基本不等式含义的理解与证明。 难点：利用基本不等式求最值的基本方法及实际应用。 二.目标和目标解析 基本不等式 证明 含义 应用 概念 几何解释 数学应用 实际应用
《基本不等式 2 a b ab +≤（第1课时）》教学设计 “基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质． 1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．通过实例探究抽象基本不等式； 3．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣． 【教学重点】 2 a b ab +≤的证明过程； 【教学难点】 a b ab +≤ 等号成立条件 1．课题导入 2 a b ab +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，来源于生活． ◆ 教学过程 ◆ 教学重难点 ◆ ◆ 教学目标 ◆ 教材分析
2．讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2 2 a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2 22a b ab +≥． 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a =b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有 222a b ab +=． 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当2 2 ,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2 ≥-b a ，即.2)(2 2 ab b a ≥+ 4．（1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2 a b ab +≤ 特别的，如果a >0，b >0，我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2 a b ab +≤ （2）从不等式的性质推导基本不等式2 a b ab +≤ 用分析法证明： 要证 2 a b ab +≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的．当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立． （3）理解基本不等式2 a b ab +≤的几何意义 探究：
基本不等式教学设计 一．学情分析 1.学生已经掌握了不等式以及一些不等关系的相关知识，特别是必修一p39页探究题，学生对于重要不等式已经有了初步了解； 2.对于基本不等式的学习,学生的认知困难主要在两个方面: (1)什么是基本不等式？学生对新概念的理解和接受是比较困难的; (2)如何用数形结合的思路理解基本不等式？应该重视学生的独立思考和计算，重视课 堂问题的讲解设计,引导学生掌握。 二．教材分析 在前面的学习中,同学们已经基本掌握了一些常见不等式及不等式证明方法,本节内容一定程度上是前面学习的运用,也是后面系统学习不等式证明的基础。基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁,放缩法证明不等式会经常用到基本不等式。另一方面, 基本不等式作为求极值的的一种方法,经常运用于实际问题,而且是高考常考的知识点,通过基本不等式,常常可以将一些较为复杂的求极值的问题化为简单问题,在化归方法中起着重要的承接作用。 通过对这一节内容的学习,学生可以较为真切的体会到数形结合法的神奇之处,也 加强了数学联系生活这一重要的数学观。在学习过程中,要用心体会数学思想方法,为以后抽象数学思想方法做好铺垫。 三．教学目标 1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2,基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力。 3.基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题。 四．教学重难点 1、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式。 2、难点：基本不等式的推导及证明过程。 五．教学方法 情境教学、讲授法 六．教学过程 (一)创设情景，导入新课
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。三国时期吴国的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，创制了一幅“勾股圆方图”，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成。“赵爽弦图”证法的基本思想：图形经过割补后，面积不变，这就是中国古代数学中重要的面积“出入相补”原理.是我国古代数学的特色之一. 你能在这个图中找出一些相等的关系或不等关系吗？ (设计意图：通过情境导入课题，能使学生很快有新内容的学习的抵制状态，进入回忆的兴奋状态，提高学生的学习兴趣。) (二)新课讲授 1、重要不等式 一般地，对于任意实数a, b我们有 a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成立 2、基本不等式 特别地, 若a>0, b>0, 则用√a,√b分别代替a,b,可得： √ab≤a+b 2 当且仅当a=b时，等号成立 上述不等式称为基本不等式，其中(a+b)/2叫做正数a、b的算术平均数,√ab叫做a、b的几何平均数 3、基本不等式的证明 证明方法：作差法、综合法、分析法等 作差法：证明：a>0, b>0 a+b/2−√ab= (√a−√b)2/2 当且仅当a=b时，等号成立 （设计意图：通过复习上一节课重要不等式的内容，利用提问法和引导法学生进行问题的探究，并进行进一步的讨论，进一步证明，理解基本不等式的定义） (三)基本不等式的几何意义
2.2 基本不等式【单元教学设计】（刘迪生） -高中数学新 教材必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案） 【教学目标】 1. 了解基本不等式在解决实际问题中的应用。 2. 理解基本不等式的概念和性质，掌握基本不等式的证明方法 及应用。 3. 能够灵活运用基本不等式解决实际问题。 【教学重点】 掌握基本不等式的概念和性质。 【教学难点】 基本不等式的证明方法及应用。 【教学过程】 1. 导入（5分钟） 教师可通过提问、小测验等方式，复习学生们曾学过的不等式 知识，如：“你们学过什么不等式？不等式的应用有哪些？”然后，引入本单元的学习主题：“我们今天要学习一种非常重要的不等式——基本不等式。” 2. 讲授（40分钟） 1）什么是基本不等式？ 首先，教师可用“两个数的和大于它们的平均数，两个数的积 不小于它们的平方根”的口诀，向学生介绍基本不等式。然后，结 合实际例子，解释一下基本不等式的含义和形式。 2）基本不等式的证明
推导基本不等式的证明方法，是本单元的难点和重点。教师给出证明步骤，解释每一步的逻辑关系，帮助学生理解。 3）基本不等式的应用 基本不等式是解决实际问题中的重要工具。教师可通过讲解例题，帮助学生了解基本不等式在实际应用中的作用。 3. 活动（30分钟） 1）分组讨论 教师让学生分小组，让他们在小组内商讨如何应用基本不等式解决问题，并将解题思路和过程汇报给全班。 2）课堂展示 教师选择一些组进行课堂展示，让全班学生了解不同的解题思路和方法，从而深入掌握基本不等式的应用。 4. 总结（5分钟） 教师对基本不等式的概念、证明和应用进行总结，温习本节课的知识点。并告诉学生“为了提高复习效率，请在课后将本节课的重点内容进行笔记总结。” 【教学方法】 1. 结合实际，解释抽象概念。 2. 通过小组讨论和课堂展示，激发学生学习兴趣，提高课堂互动性。 3. 采用探究性学习法，鼓励学生在实践中学习和探索。 【教学媒体】 1. 教案。 2. 显示器。
人教A版高中数学必修第一册《基本不等式》（第一课时） 单位：山东省单县第五中学 姓名：陈洪飞 时间：2019年9月
2.2基本不等式（第一课时） 教材：人民教育出版社A版必修第一册 课题：2.2基本不等式（一） 一、教学目标 1．通过一个探究实例,引导学生从几何图形中获得基本不等式,了解基本不等式的几何背景,体会数形结合的思想; 2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力; 3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想; 4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过三个探究引导学生 领会运用基本不等式2b a a b + ≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，锻炼学生的交流合作探究能力，体会方法与策略. 以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节. 二、教学重点和难点 重点：1、应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2b a a b + ≤的证明过; 2、熟练掌握基本不等式求代数式的最值; 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式. 三、教学过程： 1、动手操作，几何引入 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角 三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别 等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个
正方形的面积分别为a 和b （b a ≥），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？抽象出不等式. 通过学生动手操作，探索发现：2b a a b +≤ 接着让学生探讨取等号的条件,及a 、b 的取值范围;得出结论,展示课题内容. 根据上述几何背景，初步形成不等式结论： 0,0>>∀b a 有2 b a ab +≤（当且仅当a=b 时等号成立） 深化认识： 称ab 为a 、b 的几何平均数；称2 b a +为a 、b 的算术平均数 基本不等式2 b a ab +≤又可叙述为： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。 变形公式1、2b a ab +≤2、22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a 2．代数证明：让学生证明到黑板板书，可能有多种方法！ 证法（分析法）：由于0,0>>∀b a ，于是 要证明 2 b a ab +≤ ， 只要证明 ab b a 2≥+， 即证 02≥-+ab b a ， 即 ()02≥-b a ，该式显然成立，所以2 b a ab +≤，当a=b 时取等号. 基本不等式: 0,0>>∀b a 有2 b a ab +≤（当且仅当a=b 时，等号成立）.
3.2.2基本不等式的应用 学习目标核心素养1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多 元最值．(重点) 2．会利用基本不等式求参数的取值X围．(重点) 3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点) 1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？ 1．利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路 (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解． 常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等． (2)条件变形，进行“1〞的代换求目标函数最值． 2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类) (1)合理选择自变量，建立函数关系； (2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值) (3)解题注意点 ①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． ②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． ③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值X围内求解．
1．a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，那么y ＝1a ＋4 b 的最小值是( ) A ．72 B ．4 C ．92 D ．5 C [∵a ＋b ＝2，∴ a ＋b 2 ＝1． ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52 ＋22a b ·b 2a ＝92 (当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立．) 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92 ．] 2．假设x >0，a >0 且a 为正常数，且x ＋a x 的最小值为4，那么a ＝ ． 4[因为x >0，a >0所以x ＋a x ≥2 x ·a x ＝2a ＝4，解得a ＝4．] 3．直角三角形ABC 的斜边AB ＝4，那么△ABC 的面积的最大值为 ． 4[设直角三角形ABC 的另外两条直角边分别为a ，b 那么a 2 ＋b 2 ＝42 ＝16，所以△ABC 的面积S ＝12ab ≤a 2 ＋b 2 4 ＝4当且仅当a ＝b ＝22时取等号．] 利用基本不等式求条件最值或多元最 值 [例1] (1)a ＞0，b ＞0,2a ＋b ＝1，那么1a ＋2 b 的最小值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．9 (2)设a ＞b ＞0，那么a 2 ＋1ab ＋ 1 a a －b 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
《2.2基本不等式》教学分析课题 2.2基本不等式 学情分析本课是在了解了等式的性质和不等式性质之后的一节课，在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要不等式——基本不等式，这对初入高中阶段的学生要求较高，教师需详细讲解。 教学目标1.推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是，当且仅当两个数相等。 2.通过实例探究抽象基本不等式，体会并掌握基本不等式。 3.积极倡导同学们几何与代数的结合运用，发现各实物之间的普遍联系。 教学重难点 1.重点：探究基本不等式 2 a b ab + ≤的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值。 2.难点：基本不等式 2 a b ab + ≤等号成立条件。 教学设计 教学内容师生活动设计意图 一、情景引入，温故知新 情景：我们都知道赵爽弦图是赵爽为了证明勾股定理而绘制的，它既标志着中国古代的数学成就，又像是一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。生1：初中就已验证过的勾股定理 22=2 a b ab +。 师追问：从面积方面能得到什么不 等关系吗？ 生2：由正方形面积大于四个全等直 角三角形面积得出 222 1 42 2 c a b ab ab =+≥⋅=，即 222 a b ab +≥。 师：事实上在上一节中我们也可由 问1意图在 于利用图中 相关面积间 存在的数量 关系，抽象 出不等式 222 a b ab +≥ 。在此基础 上，引导学 生认识基本 不等式。
问1：你能在这个四边形ABDE 中找出一些相等关系或不等关系吗？ 问2：你能给出相应的证明吗？ 完全平方式得出。我们把它叫做重要不等式。（板书： 22,2,a b R a b ab ∀∈+≥、有当且 仅当a b =时，等号成立。） 生3：黑板板书 教学内容 师生活动 设计意图 二、1、归纳新知 问3：特别地，当a>0,b>0时，在不等式 222a b ab +≥中，以a b 、分别代替a 、b ，得到什么？ 教师板书，总结归纳：我们把2 a b ab +≤称 为基本不等式，其中 2a b +叫做正数a b 、的算术平均数，ab 叫做正数a b 、的几何平均数。 归纳：两个正数的算术平均数不小于它 们的几何平均数。 教师抽学生上黑板板书： 22()()2a b ab +≥ 并讲解得出：2 a b ab +≤注意： 等号成立条件是当且仅当a b =。 师生共研，提高学生解决问题的能力。类比是学习数学的一种重要方 法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点。