“
2
a b
+≤
”教学设计 一． 教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A 版）第三章第4节第一课时，主要
2a b
+≤
的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从
2a b +≤2
a b
+≤的应用，而且在基本不等式
2
a b
+≤的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养．
二．学情分析
学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．
三．目标分析
教学目标：
1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．
2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用．
3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦．
教学重难点：
2
a b +≤的证明过程．
2
a b
+≤
等号成立条件． 四．教学策略
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．
教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合
学法: 自主学习与合作讨论相结合
教学手段: 黑板板书为主结合多媒体辅助教学
五．教学过程
Ⅰ．创设情境 引入课题
填写下表，
【问题12
的大小关系，从中你发现了什么结论？ 猜想得到结论：一般的，如果
+,R ,("")2
a b
a b a b +∈≤
==当且仅当时取号 【问题2】你能给出它的证明吗？ 证法1 用比较法证明：
ab b
a -+2
作差 =()()⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+b a b a 221
22 变形
=()
02
1
2≥-b a 判断符号
当且仅当b a =，即b a =时取""= 取等条件
证法2 用分析法证明：
要证
2
a b
+≥ (1)
只要证 a b +≥ (2)
要证（2），只要证 a b +-≥0 （3）
要证（3），只要证 20≥ （4）
显然，（4）是成立的．当且仅当a b =时，（4）中的等号成立．
设计意图:
通过引导，让学生去证明猜想的结果，进一步巩固比较两个代数式大小的方法，并让学生明白归纳、猜想、证明是我们发现世界、认知世界的重要的思维方法．
师归纳： （1）如果把
2
b
a +看作是正数,a
b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
（2）在数学中，我们称
2
b
a +为,a
b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. Ⅱ．自主探究 深化认识
1.认识基本不等式的几何背景
【问题3】能否给基本不等式一个几何解释呢？ 探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，
AC a =,BC b =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．你能利用这个图形得出基本不等式
2
a b
+≤
的几何解释吗？
易证Rt ACD ∆∽Rt DCB ∆，那么2
CD CA CB =⋅，即CD =
这个圆的半径为
2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b
a ≥+2
， 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.
2
a b
+≤
几何意义是“半径不小于半弦” 设计意图:
通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解．
2.拓广探究
（展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图．它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的．早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一．弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机．
（展示24届国际数学家大会会标）大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标．这个会标设计源于古代弦图．它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献．今天咱们也来研究一下弦图．
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 1． 探究图形中的不等关系
【问题4】请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不 等关系?
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中四个全等的直角三角形．设直角三角形
的两条直角边长为,a b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2
2
a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：
222a b ab +≥．(利用多媒体演示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正
方形的面积．)
【问题5】大家看，这个图形里还真有点奥妙．我们从图中找到了一个不等式．这里a 、b 的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有22
2a b ab +=． 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2
2
号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为 2
22)(2b a ab b a -=-+
当2
2
,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(2
2ab b a ≥+ 师归纳：
（1）从上述两个不等式中，可以发现，如果0,0a b >>, 对于不等式22
()2a b ab +≥，、
代替,a b ，可得a b +≥(a>0,b>0)2
a b
+≤
（2）以上，我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式.可见，数与形是一个事物的两个方面．
设计意图:
通过问题情境的设计激发学生学习的积极性，培养学生的探究能力；其次，简略介绍中国古代数学家赵爽的生平，渗透数学思想、关注数学文化． Ⅲ．实际运用 强化新知
【例题】（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？
分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大 解：（1）设矩形菜园的长为x m ,宽为y m ,则100,xy = 篱笆的长为2（x y +）m
由
2
x y
+≥
可得 x y +≥2（x
y +）40≥
等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m ．
(2)设矩形菜园的长为x m ,宽为y m ,则2（x y +）=36，x y +=18，矩形菜园的面积为xy
2m ，
由18
9,22
x y +≤
==可得 81≤xy , 可得等号当且仅当9x y x y ===时成立，此时
因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积为812m ．
设计意图:
让学生初步运用基本不等式解决实际问题, 通过对实际问题的解决让学生体会数学来源于生活，同时又服务于生活．
Ⅳ．回顾反思 拓展延伸
1.课堂小结
组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实 现对基本不等式认识的再次深化．
①体会从特殊到一般的研究方法； ②体会数形结合的数学思想； ③体会归纳、猜想、证明的思维方法；
④掌握基本不等式，理解它的几何背景，并能运用它解决实际问题．
设计意图:
小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一方面，更是对 探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训．
2.作业布置
必做题:P.113—1、2、3、4 选做题：
1.已知,x y 都是正数，求证：
（1）如果积xy 是定值P ，那么和x y +有最小值，此时x y =；
（2）如果和x y +是定值S ，那么积xy 有最大值2
4
S ，此时x y =．
2.当a>0,b>02
a b
+≤
成立，若0(1,2,3,,)i a i n >=，则有不等式———————————————
—————————————
成立．
研究性作业：
（1）设00a b ＞，＞，称
2ab
a b
+为,a b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且,AC a CB b ==，O 为AB 中点，以AB 为直径
作半
圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，连结,AD BD ,则图中线段 的长度是,a b 的算术平均数，线段 的长度是,a b 的几何平均数，线段 的长度是,a b 的调和平均数．
（2）已知,a b
都是正数，证明：
2
112
a b
a b
+
≤≤≤
+
．
设计意图:
分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，发挥自己的潜能．
六．教学反思
新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途．教师应该尽力做好学生探究活动的引路人．在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想．在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念．
《基本不等式》教学设计 一、教材分析 1、本节教材的地位和作用 “基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。 ２、教学目标 （1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。 （2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。 （3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。 ３、教学重点、难点 根据课程标准制定如下的教学重点、难点 重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。 难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。 二、教法说明 本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，
使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。 三、学法指导 为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体，教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题，感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。 四、教学设计 ◆运用2002年国际数学家大会会标引入 ◆运用分析法证明基本不等式 ◆不等式的几何解释 ◆基本不等式的应用 1、运用2002年国际数学家大会会标引入 如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好 客。（展示风车） 正方形ABCD 中,AE ⊥BE,BF ⊥CF,CG ⊥DG,DH ⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，Rt △ABE,Rt △BCF,Rt △CDG,Rt △ADH 是全等三角形，它们的面积之和是S ’=＿ 从图形中易得，s ≥s ’,即 问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？ 问题2：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画 Ａ Ｂ Ｃ Ｅ Ｄ Ｇ Ｆ a Ｈ b 22 a + b 222a b ab +≥
基本不等式 学习目标知识 技能 1、学会推导并掌握基本不等式； 2、理解基本不等式的几何意义； 3、掌握不等式中取等号的条件。 过程 方法 利用数形结合的方法证明基本不等式。 情感 态度 从生活实例中抽出数学问题，是学生感觉数学无处不在，培养学生的数学学习的兴趣。 学习重点1、应用数形结合的思想理解基本不等式； 2、从不同角度探索基本不等式。 教学 难点 基本不等式中取等号的条件 研究 媒介 自主思考、小组合作、头脑风暴 主要内容研究 方式 研究过程我的 感悟 基本不等式头脑 风暴 【引入】——走进上海科技馆 问题1、你能理解这幅图所蕴含的数学知识吗？ _______________________________________________________ 问题2、上式能否取到等号？什么时候取等号？ _______________________________________________________ 3a b 问题、上式中、的范围是什么？ _________________________________________________________ 【结论】：对于任意的实数,a b，我们有22 a b 2ab， 当且仅当时，取等号4,? a b a b a b 问题、如果用去替换上式结论中的、，则、需要满足 什么条件？结论是什么？ _______________________________________________________ 问题5、你能从数和形两个角度证明你的结论吗？
小组交流◆数： ◆形 如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，, AC a BC b ==，过点C 作垂直于AB的弦DE，连接, AD BD。 【基本不等式】_________________________________ 当且仅当________时等号成立 ◆均值解释： 2 a b + 叫做,a b的算术平均数；ab叫做,a b的几何平均数。 两个正数的_______平均数不大于它们的______平均数 ◆深度分析：观察基本不等式的结构特征，它可以解决哪些式子的最值问题？ a b +≥______; ab≤ ____________ 当且仅当________时等号成立 ◆自主命题：你能结合基本不等式的结构特征，编一道利用基本不等式解题的题目吗？ （先自主思考，然后就题目、解法和小组的同学讨论完善）
《向量减法运算及其几何意义》学情分析 学生已经学习了不等式基本性质，初中对完全平方公式特别熟悉，具备了一定的逻辑思维能力。这为学习基本不等式打下了很好的基础，但是学生还从未接触过分析法（选修2-2第二章），可能在对基本不等式证明时感到突兀。引导学生自主探索如何通过基本不等式求和、积的最值，基本不等式成立的条件，培养学生的自学能力，激发学生学习热情，提高学生的学习积极性及主动性。 课堂教学效果分析 学生是课堂的主体，通过学生表情的变化、思维的速度，回答问题、练习、测试、动手操作的准确性等信息反馈，可获知教学信息的传输是否畅通，亦可看出新知识新技能的掌握情况。教学任务是否完成不能只看少数尖子学生，大多数中下学生同样也是知识的接受体，从他们身上更能体现教学任务是否完成，以及教师的教学水平、教学质量的高低。 本节课的设计体现学生的主体地位，培养学生科学的探究能力。设计本节课之后，实现学生在知识上掌握基本不等式及重要不等式及其应用，在能力上：培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。通过对例题的分析，使学生掌握解题的思想和方法；对变式训练的思考，使学生巩固知识点的掌握；通过课后拓展提高，开阔学生视野，拓宽知识面。 总之，本节课在教师的引导帮助下，全体学生的潜力得到很大限度的挖掘，程度好的学生吃得饱，中等水平的学生吸收得好，差的学生消化得了，学生人人学有所得。课堂教学中充分体现师生平等、教学民主的思想，师生信息交流畅通，情感交流融洽，合作和谐，配合默契，教与学的气氛达到最优化，课堂教学效果达到最大化。教师教得轻松，学生学得愉快。 《基本不等式》的教材分析 《基本不等式》是人教版高中数学必修5第三章第4节内容。本节课重点探究了基本不等式的证明，并且将之应用于具体实际问题，是理论数学与应用数学结合的良好典范。 教材首先给出重要不等式分析其等号成立的条件，在此基础上得到基本不等式（均值不等式），将均值不等式分别用文字语言、符号语言来表示，然后给出了基本不等式的几何解释，帮助学生认识和理解基本不等式.例1是基本不等式基础上的拓展，目的是让学生认识到：积定和最小、和定积最大，同时感受数学应用于生活。 三维目标 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号"≥"取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
人教A版必修一第二单元第二节《基本不等式》教学设计
2.2基本不等式 【教学目标】 1. 能在具体的情境中，通过抽象概括及逻辑推理获得基本不等式；并认识两个平均数； 2. 掌握不等式成立的条件，掌握不等式取等号成立的条件； 3. 理解不等式的几何意义，体会数形结合的数学思想方法； 4. 掌握基本不等式的多种证法及常见变式；会用基本不等式求某些函数的最值，能用基本不等式解决一些简单的实际问题，体会数学的应用价值； 5. 激发学生的参与意识，提高数学学习的兴趣，培养探索的学习习惯，感悟逻辑推理，数学抽象，数学建模，数学运算，直观想象等核心素养. 【教学重点、难点】 重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。 难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。 【教学过程】 （一）基本不等式的定义 情景引入：通过观看一段微课，让学生对赵爽弦图有充分的了解，并观察弦图回答以下问题 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 学生答：对任意R ∈a,b ，都有ab b a 222≥+. 追问：特别地，如果a >0,b >0,我们用b a ,分别代替上式中的a,b,可以得到怎样的式子？ 学生答：ab b a 2≥+ (0,0)2 a b a b +>>①，当且仅当a =b 时，等号成立，通常我们
称不等式①为基本不等式.其中，“2 b a +”叫做正数a ,b 的算术平均数，”“ab 叫做a ,b 的几何平均数.基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 【设计意图】通过取上一节课得到的不等式ab b a 222≥+的特殊形式，得到基本不等式，同时在两个不等式之间建立联系.通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识. (二) 基本不等式的证明 问题1: 前面，我们通过考察ab b a 222≥+的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？ 师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较法证明上式.教师在肯 定学生的做法之后，给出教科书第44页用分析法证明的过程，同时指出，只要把上述过程倒过来，就能用不等式的性质直接推出基本不等式了. 追问（1) : 上述证明中，每一步推理的依据是什么？ 师生活动：学生分别回答教科书第44页的证明过程中，由①⇒①, 由①⇒①, 由①⇒①, 由①⇒①的依据. 追问（2) : 上述证明方法叫做“分析法”.你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？ 师生活动：学生讨论后回答.教师总结：分析法是一种“执果索因” 的证明方法，即从要证 明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 【设计意图】根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略. （三）基本不等式的几何解释 问题2 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ，BC =b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD .2 +a b 的线段，得出基本不等式的几何解释吗？
“基本不等式”评课与反思 近来，本人在平沙校区上了一节“基本不等式”的交流课。根据因材施教的原则，我做了充足的准备。课后听课教师做了认真、细致的评课，我也做了课后反思，总结如下。 一、听课教师的评课 平沙校区的几位数学教师听了本节课授课，她们根据这一节课的上课状况做出了评课。 （一）教师基本功好 1.语言风趣，语速恰当，吐字清晰，抑扬顿挫； 2.教态自然，很有亲和力，很得学生的喜欢； 3.肢体语言运用合理，手势可以感招，眉目可以传情； 4.板书有序工整，板画自然得体，总体设计合理。 （二）教学设计得当 1.得到基本不等式的过程简朴且顺理成章。 2.用几何措施展示不等式的一种几何意义显示了数学的美。 3.从基本不等式的变式得到最值定理（用基本不等式求有关式子最值）过渡自然。 4.例题与变式及提高试题的设计由简到繁，适合学生思维的发展。 （三）课堂应变能力强
1.学生对初中所学的射影定抱负不起来，教师并不急于写出，而是慢慢推导，表面上是挥霍了时间，其实是遵循了教学规律。 2.提问学生时，能根据学生回答的状况对所学知识予以解说，认真聆听的同步，能给出较好的意见。 3.例2的教学给出了用二次函数的措施，能启发学生思维，突破局限。 （四）局限性 1.基本不等式的几何解释，校区的学生可以掌握的不多。 2.本节课的知识容量比较大，相对于校区学生也许会消化不良。 二、我的课后反思 （一）备课的反思 一节课的准备总的来讲是两个方面：备课和教学。备课的内容重要：备学生，备教材，备课堂。备学生与备教材这两方面是密不可分的。通过与校区教师的联系，我理解到，校区的学生和本部的学生在认知能力上是有一定的差距的。因此，我对教材做了充足的研究后，没有采用教材中的“赵爽弦图”提炼出基本不等式，而是运用类比的思想提炼出的基本不等式。我在准备教案时，例题与课堂小试身手都做了简化，学案上的习题设计也是从简朴到复杂，让学生有一种循序渐进，慢慢吸取掌握的过程，以期不断地提高学
§3.4 教学设计： 一、教学策略： 坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，采用“1+4”教学模式。学生课前完成预习案，课堂先进性小组交流探究，加深对一些相关问题的认识。通过学生的展示，教师的点评，师生互动，纠正错误认识，加深对知识的理解、掌握。然后，通过学生对例题的展示，纠正学生存在的问题，规范解题的步骤，在教师引导、学生总结的基础上达成共识，找到解决相关题目的一般解法。通过课堂检测，巩固知识、方法。最后，师生一同回顾本节所学知识、基本题型、用到的数学思想、数学方法，从而对本节课有一个较为全面的认识。作业的布置，是对本节课的进一步巩固，也为下节课的学习做了铺垫。 一、知识与技能 1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式； 2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程； 3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件. 二、过程与方法 1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学； 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用； 3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣. 三、情感态度与价值观 1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯； 2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量； 3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣. 教学过程 导入新课
课题3．4 基本不等式（1） 课型新授课编定人时间 教学目标 1、学生会推导不等式 2 a b ab + ≤,初步掌握作差法推导不等式； 2、学生知道算术平均数、几何平均数的概念；理解不等式的几何意义； 3、学会用基本不等式求最值； 4、熟悉应用基本不等式求最值的的三个基本条件. 重点应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程。 难点基本不等式成立时的三个限制条件 教学过程 赵爽弦图引入情境引入,引发学 生对知识的探究欲 【自主探究，合作交流】 A D C B H F G E 问题组一： 1、图中正方形ABCD的面积S= 四个直角三角形的面积和S，= S与S,有什么关系？ 2、该结论成立的条件是什么？ 3、式中等号成立的条件是什么？ 结论： 【深入思考能力提升】 问题组二 1.如果用a,b去替换上述结论中的a,b能得到什么结论？此时a,b 需要满足什么条件？ 小结：基本不等式 2.你能给出代数证明吗？学生立足问题，围绕目标，先独立思考，归纳概括，尝试知识建构，并提出自主学习中的疑难问题。然后小组讨论. 教师巡视答疑 借助多媒体投影，进行结果展示,提高学生的数学表达能力和交流能力 类比推理,质疑和补充，提出基本不等式概念 学生板书解答过程教师纠错，完善解题过程，提出作差法
本节课是在学生系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。要进一步
了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。但学生此时尚未学习不等式的严格证明，对于作差法等方法没有认识，在证明不等式时会有困难，易犯的错误就是采用了分析法的思路，但没有分析法的逻辑，所以授课时要加以引导，为后续的不等式证明打下基础。 本节课学习中，学生的学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。 检测反馈： 1.学生板演：扮演学生为班级中游偏上学生，检测结果良好。本节内容节本掌握，但细节 如定义域，解答规范性等有待完善。 2.学生学案解答：通过巡视，发现大多数学接受良好，因为所给二题的条件齐备，应用基 本不等式没有遇到障碍，个别学习困难学生给予单独指导。 3.课堂反馈尝试将基本不等式知识与指对运算结合，但基本不等式涉及内容简单，学生在 涉及本节内容部分接受良好。说明本节课的学习效果较好。设计目的是使学生有成就感，充分巩固基本不等式基础知识，（3）的设计是为下节课的变式训练做好铺垫，相比前两题难度大，学生需要小组讨论后解决。 4.《4》为实际应用为题，亦是课标提出的对实际问题的解决能力的培养，学生解题细节 的完善。 1.教材的地位和作用 “基本不等式”是必修5的重点内容，必修五的课本封面上就体现出来了。本节内容是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。 2．教学目标 （1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；多角度认识基本不等式 会用基本不等式解决最值问题。 （2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
《基本不等式》的教学实践反思 第一篇：《基本不等式》的教学实践反思 编号：570041 《基本不等式》的教学实践反思 三亚榆林八一中学 王 海 本学期学习必修5《基本不等式》，我上完这节课后感触颇深，在教材的处理和学生的互动方面有所收获，我将这些经验总结起来，供各位同行参考，希望大家提出宝贵意见。 一、教学目标 本小节的内容包括基本不等式的证明及其意义；正数a，b的几何平均数的两种解释；一个不等式链a+b222≥a+b2≥ab≥21a+1b；培养了学生发散的思维能力和数学探究能力，使他们对数学能保持浓厚的兴趣。 二．本小节的教学重点是理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义；难点是利用基本不等式推导不等式ab≥21a+1b；关键是对基本不等式的理解掌握。 三．教材处理及教学设计 1、证明均值不等式 教材上：x，y∈R，(x－y)≥0⇒2x+y2222≥xy, 当且仅当x=y时，等号成立。 令 x=a, y=b, 所以等号成立。 x+y22≥xy⇒a+b2≥ab,当且仅当a=b时，接下来提问学生能否有别的方法证明该不等式，没想到学生思维活跃，提出了两种证法，令我始料不及，收获很大。 证法２：当a>0,b>0时，有(a－b)2≥0 ⇒a2+b2≥2ab ⇒(a+b)2 ≥4ab ⇒ a+b≤－２ab(舍去)或 a+b≥２ab ⇒a+b2≥ab 当且仅当a=b时，等号成立
证法３：当a>0,b>0时，(a—b)2≥0⇒ a+b－２ab≥0 编号：570041 第二篇：《基本不等式》教学反思 本节课，教师能较好的分析把握教学内容，教学设计新颖合理，教学组织合理有效，较好的达成了教学目标，教学效果良好。本节课有如下主要亮点： 第一，教学线索清晰。教学中以基本不等式的获得和应用为明线，以数学思想方法的渗透和体会为暗线。在本节课的学习和教学中，明暗线索交相呼应，学生不断的在知识学习的过程中体会数学思想方法的作用，甚至能在例题教学中尝试让学生运用思想方法策略性的思考和学习，学生在知识学习的同时更有对数学认识上的提升，这就使得学生的学习过程自然流畅。 第二，注重知识的本质认识和理解。本节课，就基本不等式这一核心知识而言，教师通过对教学材料的有效处理，为学生呈现了多角度认识知识的机会，特别是设计了基本不等式和重要不等式关系的认识和思考环节，使得学生认识到本节课的两个不等式的和谐、一致。这样的设计促进了学生对基本不等式的本质的认识，利于学生理清本节课的核心知识，而教师在轻松自然间不着痕迹的很好的突出了教学重点，同时也为广大教师提供了一些如何认识基本不等式的新视角。 第三，注重学生参与的实质性、坚持知识获得的生成性。整堂课，教师始终做到学生知识的获得来自于实质的数学活动和生成的深刻性。在本节课，我们可以从学生的情感参与、行为参与、认知参与三个维度观察到，通过学生参与真实意义的数学活动，保证了学生生成的自然合理，并将生成成为知识获得的前提，这样的学习是科学有效的。 当然本节课也还存在一些不足： 整堂课表现出缺少引导学生适时对学习进行反思，这样就失去了一些能让学生体会或可能形成学习策略的机会。尽管教师在核心知识的教学中已经较重视知识的本质认识和理解，但在教学过程中的某些时刻还是表现稍有急躁，没有将知识获得的过程持续完美。从整体上看，整节课的探究水平还是显得稍低尚处于引导探究层次。究其原因，
基本不等式教学设计 1课题引入：生活中存在着大量的数量关系，而有些数量关系在生活生产学习过程中有很大的用处，因此值得我们去学习，今天我们将学习一个重要的不等关系：基本不等式 接下来就让我们一起来感受这个不等式的神奇魅力吧！ 让学生提前折好纸，两份：四个全等的直角三角形（直角边相等和不等相等）； 让学生拼接一下四个全等的三角形，观察一下四个三角形的面积和拼接成的正方形的面积之间的关系，并用数学符合语言表达这种这种关系；同时拼接第二组，结合这两组，能获取怎样的数量关系； 2通过对a,b 的代换或者对边长的不同赋值，得到基本不等式；ab b a b a 22=⋅≥+ 并进步完善不等式，a>0,b>0,a=b 时等号成立。 3如何证明这个不等式呢？ 比较大小，作差。（学生板演，教师完善） 4过渡到ab b a ≥+2 讲明原因：左端是算术平均数，右端是几何平均数；古代数学书上 矩形的面积通常转化为正方形的面积 5该不等式的几何背景 给出图形，让学生发现结论，一个是直角三角形，一个是圆；拓展 6总结对该不等式的认知： 7通过a,b 的代换得到新的不等式； 8把b 代换成a 1，代换成a -1，为利用不等式求最值做好铺垫！ 我们还有一个意外惊喜！求最值！ 只要肯努力就能得到更多的回报！ 基本不等式学情分析 在此之前，学生具备了圆和三角的基本知识，熟知了三角函数的定义，了解了不等式的基本性质和比较法证明不等式。但由于没有基础，学生会对分析法比较陌生，加上基本不等式的几何证明中线段关系比较隐蔽，学生不易证明，因此本节的难点是不等式的证明. 基本不等式效果分析
本节课采取了我校推行的“三步骤四环节和谐高效课堂”教学模式，通过学案导学，多媒体展示，师生互动，生生互动。学生基本能掌握均值不等式以及其成立的条件；能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。但用均值定理求函数最值时要注意“一正、二定、三相等”，说起来容易做起来难，学生还得通过反思和课后训练进一步体会。 我的说课到此结束，恳请各位评委和老师们批评指正，谢谢！ 基本不等式教材分析 均值不等式又称基本不等式，选自普通高中课程标准实验教科书(人教B 版) 必修5 第三章第3节内容。是不等式这一章的核心，在高中数学中有着比较重要的地位。对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等实际问题都起到工具性作用。通过本节的学习有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值值域进一步研究，起到承前启后的作用。 基本不等式评测练习 练习： 1.咱班的同学手拉起手来一共有60m 长，想要围成一个矩形的形状，问矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大.最大面积是多少？ 2.用篱笆围成一个面积为100m 2矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？ 3.判断下列说法是否正确. （1）当0>x 时，x x y 1+ =的最小值是2. （2）当0 基本不等式（二）教学设计 一、教学目标 ( 一) 知识与技能 学生在学会推导并掌握基本不等式, 理解几何意义, 掌握不等式成立的条件基础上, 进一 步掌握基本不等式 2b a a b + ≤，用此不等式求某些函数的最值; 能用基本不等式解决一些 简单的实际问题。 ( 二) 过程与方法 通过实例探究抽象基本不等式; 通过三个例题的研究, 掌握基本不等式 2b a a b + ≤, 并 会用基本不等式求某些简单函数的最大值、最小值。 ( 三) 情态与价值 通过本节的学习, 体会数学基本不等式的工具性, 以及与其它知识点的联系, 提高学习数学的兴趣。发展创新精神, 培养实事求是、处理问题从大局入手的科学态度。 二、教学重难点 ( 一) 教学重点 掌握基本不等式 2b a a b + ≤, 会用来求某些简单函数的最值。( 二) 教学难点 利用基本不等式 2b a a b + ≤求最大值、最小值时所需要注意的要求。 三、教学策略选择与设计 ( 一) 教学导图 基本不等式定义回顾→基本不等式的三个注意点→应用举例→课堂练习→课后作业 ( 二) 教法 引导探究法, 本节课的教学设计意在让学生通过对基本不等式应用的学习, 自主探索与合作交流获得新知。所以, 在教学过程中, 安排学生经历思考、解答、归纳的完整数学思维过程,结合多媒体及相关的实例达到让学生掌握基本不等式简单应用的目的。让学生在独立思考的基础上进行交流活动, 并注重合情推理能力的培养. ( 三) 学法自主探究、合作交流。 四、教学过程 ( 一) 复习引入 到目前为止, 我们已经学习了很多不等式, 一元一次、一元二次、绝对值不等式等等, 而现在我们又学习了基本不等式, 大家能找到它们之间的区别吗? 它又有哪些简单的应用呢? 设计意图: 通过对相关知识的回顾, 然后提出问题, 如何能够用好基本不等式进行简单的证明和求值, 让学生对问题起兴, 从而达到、疑神、点题的作用。 ( 二) 新课讲解 问题1: 由 2b a a b + ≤这个不等式, 当某一边成定值时, 大家能得到怎样的结论?它与最 大值、最小值问题有联系吗? 设计意图: 通过这个问题的设置, 让学生自己体会基本不等式的作用, 使我们对用基本不等式求最值变得自然, 不僵化, 也能使学生更加容易接受。 问题2: 大家从中能得出用基本不等式求最值的要求吗? 《基本不等式（第一课时）》教学设计 教学目标 (1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释。 (2)过程与方法：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质。 (3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。 教学重点和难点 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2b a a b + ≤的证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 教学方法 引导探究法、讨论法 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑。 教学过程： 1.创设情境，引入新课 如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标 是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止 对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数 和几何是紧密结合、互不可分的． 探究一：你能通过这个简单的“风车”造型中得到一些相等和不等关 系吗? 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角 形．设直角三角形两条直角边长为b a,， 那么正方形的边长为22b a +．于是， 4个直角三角形的面积之和ab S 21=， 正方形的面积222b a S +=． 由图可知12S S >，即ab b a 222>+． 当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有 222a b ab +=。 2．代数证明，得出结论 根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若+∈R b a ,，则ab b a 22 2 >+． 若+∈R b a ,，则2 b a a b +≤ ． 师生活动：学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论： （1）若+∈R b a ,，则ab b a 222≥+；（2）若+∈R b a ,，则2 b a a b +≤ 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）： 0)(2222≥-=-+b a ab b a ab b a 222≥+∴，当b a =时取等号． （在该过程中，可发现b a ,的取值可以是全体实数） 证法二（分析法）：由于+∈R b a ,，于是 要证明 ab b a ≥+2 ， 只要证明 ab b a 2≥+， 即证 02≥-+ab b a ， 即 0)(2≥-b a ，该式显然成立，所以ab b a ≥+2 ，当b a =时取等号． 基本不等式教学设计 一、学生课前准备： 《基本不等式》为人教A版教材必修5的内容，学生课前自习复习课本并重做课本上例题和相关练习. 二、课堂教学设计： 目标展示 1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会高考题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后反思，培养解题反思习惯；通过改编题目，培养探索研究精神；通过解答高考题，培养面对高考的自信心. 环节一：展示高考题，分析题型以及考察形式. 环节二：知识梳理 基本不等式：当且仅当时，等号成立. 其中称为正数a,b的 , 称为正数a,b的 . 几个常用的不等式：重要不等式： 环节三：题型讲解 题型一：利用不等式求最值 考查角度一：直接法求最值 利用基本不等式求最值的技巧：用基本不等式求最值要注意三个条件:一正、二定、三相等. “一正”不满足时,需提负号或加以讨论；“三相等”不满足时,可利用函数单调性. “二定”不满足时？ 考查角度二：配凑法求最值 考查角度三：常数代换法求最值 考查角度四：构造不等式或消元法求最值 题型二：利用基本不等式证明 环节四：课堂评测 走进高考 1.(2017文T12）若直线过点(1,2),则2a+b的最小值为 . 2.(2015湖南文7)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为 ( ) A. B.2 C.2 D.4 3.(2019上海7)若x,y∈R+,且+2y=3,则的最大值为 . 4.(2019天津文13)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值 “ 2 a b +≤ ”教学设计 一． 教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A 版）第三章第4节第一课时，主要 2a b +≤ 的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从 2a b +≤2 a b +≤的应用，而且在基本不等式 2 a b +≤的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养． 二．学情分析 学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的． 三．目标分析 教学目标： 1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用． 3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦． 教学重难点： 2 a b +≤的证明过程． 2 a b +≤ 等号成立条件． 四．教学策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点． 教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合 《基本不等式》教学设计 一、教学目标： 知识与技能：能推导并证明基本不等式，会用基本不等式解决简单最值问题； 过程与方法：引导学生经历观察、抽象、类比等过程，学会从不同角度感受与探索基本不等式；同时，培养学生发现、分析和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：体会数形结合的和谐统一，领略数学的应用价值；培养严谨求实的科学态度；激发学习兴趣，增强民族自豪感。 二、教学重、难点： 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从多角度探索其证明过程； 难点：用基本不等式解决简单的最值问题 三、教学方法： 本节主要让学生对基本不等式的证明有所了解并会解决最值问题。 四、教具准备：多媒体 五、教学过程 考情分析、教学目标展示 知识脉络回顾一、基本不等式 1.表格推导基本不等式 2.作差法、分析法证明 3.几何的角度配合学生去理解 4、了解基本不等式的几 何意义从数列的角度 二、重要不等式 1.赵爽的弦图引导学生推出重要不等式 2.重要不等式 与基本不等式之间的关系 三、基本不等式的应用 1. 和为定值时求积的最大值 2．积为定值时求和的最小值 3、通过例题总结出基本不等式求最值时的条件 学生通过板书 向大家展示基 本不等式的证 明过程，代数 的角度包括作 差法、分析法， 几何的角度去 证明基本不等 式的过程，教 师中间进行引 导点拨，学生 进行二次整理 由学生对基本 不等式的证明 过程进行展 示，高该同学 的荣誉感和积 极性；二是给 全班同学树立 学习的榜样； 三是在展示的 过程中学生讲 解能够调动学 生的积极主动 性，更加有默 契 学案易错点点拨问题：观察下图，你能给出基本不等式的几何解释吗？如图, AB是圆的直径, O为圆心,点C是AB上一点, AC=a, BC=b.过 点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. 分析：思考是哪两段线段长度比 较大小？ 针对学生的盲 点进行直接点 拨 对于学生有思 路却出错较高 又找不出哪出 问题的盲点进 行提示，对症 下药 小组讨论PPT展示详细讨论要求： 1.重点题目：基本不等式及重要不等式的证明过程及最值例一 例二 2.思考： （1）证明基本不等式的方法不唯一。 （2）几何法证明基本不等式要思路清晰。 （3）要求语言规范、简练。 3.用到了哪些数学思想方法？ 学生小组合作 讨论 让学生自行解 决相关题目， 并尝试归纳总 结，充分发挥 学生的聪明才 智 展示（一）板演 （二）展示 1.不等式证明 （1）基本不等式的证明过程：代数法、几何法 （2）重要不等式的证明过程：代数法、几何法 （3）基本不等式与重要不等式之间的关系 2.基本不等式求最值 （1）和为定值时求积的最大值 （2）积为定值时求和的最小值 学生说思路， 师生共同点 评，然后在教 师的不断引导 下学生进行题 型、方法的归 纳总结，注重 授之以渔；然 后进行及时的 1.让学生学会 该题的做法； 2.使学生对题 目进行归类， 并进行方法总 结，多题一解， 一题多解；3. 通过变式拓宽 学生的视野， 《基本不等式》 教学设计 数学组 《基本不等式》教学设计 【教学目标】 （1） 知识与技能目标：会用基本不等式求最值。 （2） 过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件（一正二定三相等）；体会基本不等式求最值问题解题策略的建构过程。 （3） 情感态度与价值观目标：通过对利用基本不等式求函数最值的探索，强化学生的探索精神，加强学习数学的兴趣，并且让学生能够体会到一定的成就感，形成数学联系生活这一积极正确的数学观。 【教学重点】 基本不等式成立的三个前提条件 【教学难点】 如何利用基本不等式巧妙的解决函数最值问题，基本不等式求最值问题解题策略的建构 【教具】 交互式电子白板 【课型】一轮复习课 【教学过程】 例1：30,(32)_______2 x y x x <<=-若则的最大值是. 阅读必修五课本97-100页，完成全品108页【知识聚焦】 判断下列说法是否正确，如果不正确请说明原因并改正 1.对于实数x 满足12x x + ≥ ( ) 2.对于实数2x >-，满足122x x + ≥+（ ） 3.函数.y =2（ ） 跟踪练习： 若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝_______ 例2：若x ＞0，则224x x +的最大值为________． 变式：若x ＞0，则 4x x 2 ＋2的最大值为________． 跟踪练习： 22(1)_______1 x y x x +=>-函数的最小值是 例3.120,0,1,________y y x y >>+=+已知x 且x 则的最小值为 变式：120,0,1,________y x y >>+=已知x 且 则x+y 的最小值为 跟踪练习： ,35,34_______x y x y xy x y +=+若正数满足则的最小值是 （2010文数）（14）已知,x y R +∈，且满足134 x y +=，则xy 的最大值为 . x 取正数时，最小值为2的是 ( ) A ．y ＝－x －4x B ．y ＝lg x ＋1lg x C ．y ＝x 2＋1＋1x 2＋1 D ．y ＝x 2－2x ＋3 2.设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，则2a ＋3b 的最小值为( ) A.256 B.83 C.113 D ．4 3.2110,() a b a ab a a b >>++-设则的最小值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4．4()2f x x x =++函数的值域是___________. 《基本不等式》教学设计 1、学生课堂表现评价量表 2、学生学习效果评价量表 《基本不等式》学情分析 本课的授课对象是我校高一汽车运用与维修专业普职融通班的 学生，数学基础知识掌握较牢，但知识的灵活应用能力和数学的逻辑推理能力较弱。本节课针对的学生就读时为高一上学期，刚进入高中学习，乐于小组讨论交流，善于运用手机小程序。 在知识基础方面，学生在初中已经学习过完全平方公式，前面也学习了用作差法比较两个代数式大小，为本节课基本不等式的推导打下基础。 在学习难度方面，知识灵活应用能力较好的学生在解决简单的最值问题时可以结合基本不等式进行变式应用，而灵活应用能力较弱的学生可能会遇到阻碍。教学过程中一层层设置台阶，满足基本不等式的应用条件，抓住“积定和最小，和定积最大”，帮助学生增强知识的灵活应用能力。 课前准备方面，让学生以小组为单位搜集赵爽弦图的有关资料，学习数学文化背景的同时提前了解赵爽弦图，有利于基本不等式的几何解释。学生在雨课堂完成三个小题，利用作差法比较两个代数式的大小，通过此题目回顾旧知并为推导新知做铺垫。 课后，所有学生完成基础作业，强化利用基本不等式求最值的问题。有能力的学生完成拓展作业，应用所学建立数学模型解决实际问题。分层提高学生的知识应用能力，让学生感受数学的基础性和工具性。 《基本不等式》效果分析 一、课堂效果分析 本节课首先进行课前反馈，首先让学生介绍搜集到的赵爽弦图的资料，为后面讲解基本不等式的几何意义做准备。然后带领学生进行知识回顾，用作差法比较两个不等式的大小，展示学生平台答题结果统计，引出新知。学生通过自己搜集资料，学习数学文化故事，通过 … 一、明确学习目标 《课程标准》对本节课有以下两个方面的要求： 1．探索并了解基本不等式的证明过程； 2．会用基本不等式解决简单的最值问题； 依据《新标准》对《不等式》学段的目标要求，确定如下目标： 1、知识与能力目标： （1）、理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；（2）、培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。 2、过程与方法目标： （1）、启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法； （2）、通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。 3、情感与态度目标： （1）、通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界， （2）、通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。 二、明确教学方法 《课程标准》要求在教学中应当倡导自主、合作、探究的学习方式，帮助他们树立主体意识，根据各自的特点和需要，探寻适合自己的学习方法和途径。为改变过于强调接受学习、机械训练的状况，特别要注意探究的学习方式。 应该重视问题教学，本节课的所有内容都是教师提出问题、学生自主探究而得到的。不等式的推导过程也很重要，我们不仅要知道它是干什么的，还要知道它是怎么来的。在探究过程中，学生即提高了分析问题、解决问题的能力，又提高了合作意识。教学中，让学生体会数形结合的数学思想，培养学生的抽象能力和推理能力。 … 本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。 在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识.如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提.事实上，该不等式反映了实数的两种运算所引起的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义。因此必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质. 另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的应用. 《基本不等式》评测练习 … 一、填空题 1．已知函数()lg 1x f x x =-，若()()0f a f b +=且01a b <<<，则ab 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝ ⎦ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2．设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(22 2--≥+b a b a ，③2>+a b b a 。上述三个式子恒成立的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若正实数,a b 满足1a b +=，则1a +4b 的最小值是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．9 4．下列结论正确的是( ) A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当 C ．21,2的最小值为时当x x x + ≥ D ．无最大值时当x x x 1,20-≤< D.1 5．若R b a ∈,，且0>ab ，则下列不等式恒成立的是 （ ） A.ab b a 222>+ B.ab b a 2≥+ C.ab b a 221>+ D.2≥+b a a b高中数学_【课堂实录】基本不等式(二)教学设计学情分析教材分析课后反思
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