1
习题一
写出下列事件的样本空间：
(1) 把一枚硬币抛掷一次；
(2) 把一枚硬币连续抛掷两次；
(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；
(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).
解(1) Ω={ 正面，反面} △
{ 正，反}
(2) Ω={( 正、正) ，( 正、反) ，( 反、正) ，( 反、反)}
(3) Ω={( 正) ，( 反，正)，( 反，反，正) ，?}
(4) Ω={ x；0 ≤x≤m}
掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A＝“偶数点”，
B＝“奇数点”，C＝“点数小于5”，D＝“小于5 的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.
解Ω1,2 ,3,4, 5,6 , A 2,4, 6 ,B 1,3, 5 ,C 1,2, 3, 4 , D 2,4 .
A 与
B 为对立事件，即B＝A ；B 与D 互不相容； A D，
C D.
3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，
C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件 B 及B－C 的含义，并且用A i(i＝1，2，3)表示出来. 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务.
B A1 A A A A A
2 2
3 1 3
B－C 表示三个车间都完成生产任务
B A1 A A＋A A A ＋A A A＋A A A
2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
C A1 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B C A1 A2 A3
2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
4. 如图1－1，事件A、B、C 都相容，即ABC≠Φ，把事件A＋B，A＋B＋C，AC＋B，
C－AB 用一些互不相容事件的和表示出来.
解 A B A AB
图1－1
A B C A AB A BC
AC B B ABC
C AB A BC ABC ABC
5. 两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.
解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不
一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事
件，C 与D 是互不相容事件.
6. 三个事件A、B、C 的积是不可能事件，即ABC＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.
解不一定. A、B、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即
两两互不相容.如图1－2，事件ABC＝Φ，但是 A 与B 相容.
7. 事件 A 与B 相容，记C＝AB，D＝A+B ，F＝A－B. 说明事件A、C、D、F
图1－2
的关系.
解由于AB A A+B ，A－B A A+B ，AB 与A－B 互不相容，且A＝AB＋(A－B).
因此有
A＝C+F，C 与F 互不相容，
D A F，A C.
8. 袋内装有 5 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.
解记事件 A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件 A 的样本点数目＃A＝ 1 1
C5 C .而组成试验的样
3
本点总数为＃Ω＝ 2
C ，由古典概率公式有
5 3
2
P(A)＝
#A #
1 1
C C 5 3 2
C
8
15 28
(其中＃ A ，＃ Ω分别表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同 )
9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率 .
解 设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件
B 的样本点数为＃
2
B C .
5
P(B) 1－P(B) 1
2
5 C C 2 8
9
14
10. 抛掷一枚硬币，连续 3 次，求既有正面又有反面出现的概率 . 解 设事件 A 表示“三次中既有正面又有反面出现” , 则 A 表示三次均为正面或三次均为反面出现 . 而抛
掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即＃ Ω＝8，因此
P( A ) 1 P( A ) 1
＃ A #
1 2
8 3 4
11. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率 .
解 设事件 A 表示“门锁能被打开” . 则事件 A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁
.
＃ A P( A ) 1 P( A ) 1
1－ ＃
2 C C
7 2 10
8 15
从 9 题－11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便 .
12. 一副扑克牌有 52 张，不放回抽样，每次一张，连续抽取
4 张，计算下列事件的概率：
(1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色 .
解 设事件 A 表示“四张花色各异” ；B 表示“四张中只有两种花色”
.
4
1
1
1
1
#Ω C 52， # A C C C C
，
13
13 13 13
# 2
1
3
1
2
2 B C （4
C C C ＋C C
2
13
13
13
13
）
P( A )
# # A Ω
4 13
4
C
52
0.105
P(B)
# B # Ω
6（7436 ＋ ） 6048
4 C
52
0.3 00
13. 口袋内装有 2 个伍分、 3 个贰分， 5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚，求总值超过壹角的概率 .
解 设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角” .
#
5 2 3 1 3 1 2 2
C 10
#A C C
C (C C C C Ω
， ＝ ＋ ＋
2 8 2
3
5
3
5
) ＃A
126 P
＝ ＝
( A )＝
0.5 ＃ Ω
252
14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：
△
A＝“三次都是红球”“全红”，B＝“全白”，C＝“全黑”，D＝“无红”，E＝“无白”，
F＝“无黑”，G＝“三次颜色全相同”，
H＝“颜色全不相同”，I＝“颜色不全相同”.
解＃Ω＝33＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1，
＃D＝＃E＝＃F＝2
3＝8，
＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3，
＃H＝3！＝6，＃I＝＃Ω－＃G＝24
3
P( A) P( B) P(C )1 27
P(D) P(E) P(F) 8 27
3 1 6 2 P(G) , P(H ) ,P(I
27 9 27 9 )
24
27
8
9
15. 一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率.
解设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”.
＃Ω＝126，＃A＝ 4 1 2
C6 C 11
12
# A 21780
A)
P( ＝ 6 ＝0.0073
# Ω12
16. 事件A 与B 互不相容，计算P( A B) .
解由于A 与B 互不相容，有AB＝Φ，P(AB)＝0
P(A B) P( A B) 1 P( A B) 1.
17. 设事件 B A，求证P(B) ≥P(A）.
证∵B A
∴P(B- A)＝P( B) - P(A)
∵P(B- A)≥0
∴P(B)≥P(A)
18. 已知P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0(b＞0.3 a)，
P(A－B)＝0.7 a，求P(B+ A)，P(B- A)，P( B＋A ).
解由于A－B 与AB 互不相容，且A＝(A- B)＋AB，因此有
P(AB)＝P(A)- P( A- B)＝0.3 a
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7a＋b
P(B- A)＝P(B)- P(AB)＝b- 0.3a
P( B ＋A )＝1- P(AB)＝1- 0.3a
19. 50 个产品中有46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.
解设事件 A 表示“取到废品”，则A表示没有取到废品，有利于事件 A 的样本点数目为＃ A ＝
3
＃A C
46
P(A)＝1- P( A )＝1- ＝1－ 3
＃Ω C
50
3
C ，因此
46
＝0.2255
20. 已知事件B A，P(A)＝lnb ≠0，P( B) ＝lna，求a 的取值范围.
解因B A，故P( B) ≥P( A) ，即ln a≥ln b, a≥b，又因P(A) ＞0，P(B)≤1，可得b＞1，a≤e，综上分
析a 的取值范围是：
1＜b≤a≤ e
21. 设事件 A 与B 的概率都大于0，比较概率P( A) ，P(AB) ，
P( A+ B) ，P( A) +P( B) 的大小( 用不等号把它们连接起来) .
解由于对任何事件A，B，均有
AB A A+B
且P( A+B)＝P( A) ＋P( B) - P( AB) ，P( AB) ≥0，因此有
P( A B) ≤P( A) ≤P( A+ B) ≤P( A) ＋P( B)
22. 一个教室中有100 名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365 天计算).
解设事件 A 表示“100 名学生的生日都不在元旦”，则有利于 A 的样本点数目为＃A＝364
100，而样本空间中样本点总数为
＃Ω＝365
100，所求概率为
4
P( A) 1 P( A) 1
= 0.2399 #
#
A
1
100
364
100
365
23. 从5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.
解设事件 A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则 A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.
P(A) # A
#
Ω
4 1 1 1 1
C C C C C
5 2 2 2 2
4
C
10
80
210
P(A) 1 P( A) 0.62
24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，
从单位中任找一名职工求下列事件的概率：
(1) 该职工至少订阅一种报纸或期刊；
(2) 该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.
解设事件 A 表示“任找的一名职工订阅报纸”，B 表示“订阅杂志”，依题意P( A) ＝0.92，P( B) ＝0.93，
P( B｜A ) ＝0.85
P( A＋B) ＝P( A) ＋P( A B) ＝P( A)＋P( A ) P( B｜A )
＝0.92＋0.08 ×0.85＝0.988
P( A B ) ＝P( A＋B) - P( B) ＝0.988－0.93＝0.058
25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A 表示数学成绩优秀， B 表示外语成绩
优秀，若P(A)＝P(B)＝0.4，P(AB)＝0.28，求P(A｜B)，P(B｜A)，P(A＋B).
P( A B) 0.28
解P( A｜B)＝0.7
P(B) 0.4
P( AB)
P(B｜A) ＝0.7
P( A)
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)- P(AB)＝0.52
26. 设A、B 是两个随机事件. 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，
P(A｜B)＋P( A ｜B )＝1. 求证P(AB)＝P(A)P( B).
证∵P ( A｜B )＋P ( A ｜B )＝1 且P ( A｜B )＋P( A ｜B )＝1
∴P ( A｜B )＝P (A｜B )
P( A B) P(AB) P( A) P( A B)
P(B) P( B) 1 P(B)
P(AB)［1- P(B)］＝P( B)［P( A)- P( AB)］
整理可得
P(AB)＝P( A) P( B)
27. 设A 与B 独立，P( A)＝0.4，P( A＋B)＝0.7，求概率P (B).
解P( A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P( A)＋P( A ) P( B)
0.7＝0.4＋0.6P( B )
P( B )＝0.5
28. 设事件 A 与B 的概率都大于0，如果 A 与B 独立，问它们是否互不相容，为什么?
解因P ( A )，P ( B )均大于0，又因 A 与B 独立，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不
相容.
29. 某种电子元件的寿命在1000 小时以上的概率为0.8，求3 个这种元件使用1000 小时后，最多只坏了一
个的概率.
解设事件 A i 表示“使用 1 0 0 0 小时后第i 个元件没有坏”，i＝1，2，3，显然A1，A2，A3 相互独立，事件 A 表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A＝A1A2A3＋A A2A3
1
＋A1A A3＋A1A2
2 A ，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P(A1)＝P( A2)＝P(A3)＝0.8
3
3 2
P( A)＝P( A1 ) 3 P( A ) P( A1 )
1
5
＝0.8
3＋3×0.82×0.2
＝0.896
30. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何
一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.
解设事件 A 表示“任取一个零件为合格品”，依题意A表示三道工序都合格.
P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.448
31. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话
给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m为任何正整数). 解设事件A i 表示“第i 次能打通”，i＝1，2，?，m，则
P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42
P(A2)＝0.58 ×0.42＝0.2436
m－1
P(A m)＝0.58
×0.42
32. 一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自
己眼镜的概率.
解设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4. P ( A i )＝1，设事件 B 表示“每个人都没有拿到自己的
4
眼镜”. 显然B则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B ＝A1＋A2＋A3＋A4.
P( B )＝P(A1＋A2＋A3＋A4)
4
＝p( A ( ) ( ) ( 1 )
i ) P A A P A A A P A A A A
i i i j k 2 3 4 i 1
1 i j 4 1 i j k 4
＜＜＜
P(A i A j) P(A i)P(A j｜A i)
1 1 1
= (1 i＜j 4)
4 3 12
P(A i A j A k)= P(A i)P(A j｜A i)P(A k｜A i A j)
= 1 ×
4
1
3
×
1
2
1
24
（1≤i ＜j ＜k≤4）
P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
×P(A4｜A1A2A3)
= 1
4
1
3
1
2
1
1
24
P(B) 4 1
4
2 3
1
C4 C
4
12
1
24
1
24
5
8
P(B) 1 P(B) 3 8
33. 在1，2，?，3000这3000 个数中任取一个数，设A m＝“该数可以被m整除”，m＝2，3，求概率P(A2A3)，
P( A2＋A3)，P(A2－A3).
解依题意P(A2)＝1，P(A
3
)＝
2
1
3
P(A2A3)＝P( A6)＝1 6
P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3)
1 1 1 2
＝
2 3 6 3
P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝1
2
1
6
1
3
34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的
概率：
(1) 只有一人投中；
(2) 最多有一人投中；
6
(3) 最少有一人投中.
解设事件A、B、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A、B、C 相互独立.设A i 表示“三
人中有i 人投中”，i＝0,1,2,3,依题意，
P(A0) P(A B C) P( A) P( B) P(C)
0.2×0.3×0.4×0.024
P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )
= 0.8 ×0.7 ×0.6 0.336
P(A2)= P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)
=0.8 ×0.7 ×0.4＋0.8 ×0.3 ×0.6＋0.2 ×0.7 ×0.6 0.452
(1) P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3)
＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188
(2) P(A0＋A1)＝P( A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212
(3) P(A＋B＋C)＝P( A0 )＝1－P (A0)＝0.976
35. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4 及0.5，问谁先投中的概率较大，为什
么?
解设事件A2n-1B2n 分别表示“甲在第2n－1 次投中”与“乙在第2n 次投中”，显然A1，B2，A3，B4，?相
互独立.设事件 A 表示“甲先投中”.
P( A) P( A1 ) P( A1 B2 A3 ) P(A1 B2 A3 B4 A5 )
2
0.4＋0.6 0.5 0.4＋(0.6 0.5) 0.4＋
0.4 4
1 0.3 7
计算得知P(A)＞0.5，P( A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.
36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占
80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.
解设事件 A 表示“任选一名学生为北京考生”，B 表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P(A)＝0.3，P( A )＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜A )＝0.95. 由全概率公式有
P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P( A )P(B｜A )
＝0.3 ×0.8＋0.7 ×0.95＝0.905
37. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4 ，据统计资料，甲种
疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求 A 地的甲种疾病的发病率.
解设事件A1，A2，A3 分别表示从 A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A1，A2，A3 两两互
不相容，其和为Ω. 设事件 B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：
P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2，
P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P( B｜A3)＝0.005
＝
i 3
1
P(A i )P( B | A
i
)
＝0.45 ×0.004 + 0.35 0×.002 + 0.2 0×.005
＝0.0035
38. 一个机床有三分之一的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件 A 时，停机的概率为0.3，加
工零件 B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.
解设事件 A 表示“机床加工零件A”，则A表示“机床加工零件B”，设事件 B 表示“机床停工”.
P (B) P (A)P (B | A) P ( A ) P (B| A)
0.3 1
3
0.4
2
3
0.37
39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3 个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个 1 号球，1 个2 号球与 1 个3 号球，Ⅱ号袋
内装有两个 1 号球和 1 个3 号球，Ⅲ号袋内装有 3 个1 号球与两个 2 号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球
7
的概率最大，为什么?
解设事件A i 表示“第一次取到i 号球”，B i 表示第二次取到i 号球，i＝1，2，3.依题意，A1，A2，A3 构成一
个完全事件组.
1
P( A1) , P( A2) P( A3
2 )
1
4
1
P(B1 | A1) , P( B2 | A1) P(B3 | A1)
2 1 4
1
P(B1 | A2) , P( B2 | A2 ) P(B3 | A2
2 )
1
4
1 1
P(B1 | A3) , P( B2 | A3 ) , P(B3 | A3)
2 3 1 6
应用全概率公式 3
P(B j ) P(A )P(B | A)可以依次计算出
i j i
i 1
1 13 11
P( B1 ) , P(B2 ) , P(B3) . 因此第二次
2 48 48
取到 1 号球的概率最大.
40. 接37 题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法
未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.
解设事件 A 表示“受检人患有甲种疾病”，B 表示“受检人被查有甲种疾病”，由37 题计算可知P( A)＝0.0035，应用贝叶斯公式
P(A | B)
P( A)
P(
P(B |
A)P(B
|
A) P(
A)
A)
P(B | A) 0.0035 0.95
0.0035 0.95 0.9965 0.01
＋
0.25
41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为 5 : 3 : 2，各机床所加工的
零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲
机床加工的概率.
解设事件A1，A2，A3 分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B 表示“废品”，应用贝叶斯公式有
P(A
1
| B)
i
P(A )P(B | A )
1 1
3
P( A i )P(B | A
i
1
)
0.5 0.06 3 0.5 0.06 0.3 0.1 0.2 0.05 7
＋＋
P( A1 | B) 1 P(A1 | B) 4 7
42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车 4 种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，
乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.
解设事件A1，A2，A3，A4 分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表示“外出人如期到达”.
P(A
2 |B)
P(A )P( B | A
)
2 2
4
P( A i )P(B | A
i
)
i 1
0.15 0.3
0.05 0 0.15 0.3 0.3 0.4 0.5 0.1
=0.209
43. 接39 题，若第二次取到的是 1 号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.
8
解39 题计算知P(B1)＝
1 ，应用贝叶
斯公式
2
1 1
P(A
1
| B )
1
P( A )P(
B
1
1
P(B )
1
| A )
1
2
2
2
1
1
2
44. 一箱产品100 件，其次品个数从0 到2 是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10 件，如果发现有
次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表示一箱中有i 件次品，i＝0, 1, 2. B 表示“抽取的10 件中无次品”，先计算P ( B )
P(B)
i 2
P(
10 10
1 C C
99 98 )
A )P(B| A ) (1
i i C
3 C
10 10
100 100
P( A0 | B)
1
3P(B)
0.37
45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为
n
p n e n=0, 1, 2, ?
n!
其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p(0＜p＜1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少?
解设事件A n＝“一个虫产下几个卵”，n＝0，1，2?.B R＝“该虫下一代有k 条虫”，k＝0，1，?.依题意n
P(A
n ) p
n n!
e
P(B
k | A )
n
k
C
n
p k q n
k 0
k
＞
k
n
n
其中q=1－p. 应用全概率公式有
P(B k ) P(A )P(B | A ) P(A )P(B | A )
n k n n k n
n 0 n k
n l
n
n !
e
n ! k !(n k) !
k
p q
n k
( p) k ! k
e
n k
(
(n
n
q)
k)
k
!
n k n k
( q) ( q)
由于q
e
(n k) ! (n k) !
n k n k 0 ，所以有
k p
( p) ( p)
q p
P(B ) e e e k
k
k ! k
0, 1,2,
9
习题二
1. 已知随机变量X 服从0－1 分布，并且P{ X≤0＝}0.2，求X 的概率分布.
解X 只取0 与1 两个值，P{X＝0} ＝P{ X≤0} －P{X＜0} ＝0.2，P{X＝1} ＝1－P{X ＝0} ＝0.8.
2. 一箱产品20 件，其中有 5 件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X
的概率分布.
解X 可以取0, 1, 2 三个值. 由古典概型公式可知
P X m
m 2 m
C C
5 m
15
(
2
C
20
0,1, 2)
依次计算得X 的概率分布如下表所示：
X 0 1 2
P 21
38
15
38
2
38
3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率
分布.
解X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结
果互不影响，应用伯努利公式有
2
3 9
P X 0
4 16
P X 1 1 2
C 1
4
3
4
6
16 2
1 1
P X 2
4 16
4. 第2 题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X 的概率分布.
解X 可以取1, 2, ?可列个值. 且事件{ X = n} 表示抽取n 次，前n－1 次均未取到优质品且第n 次取到优
n 1
质品，其概率为 3 1
. 因此X 的概率分布为
4 4
n 1
1 3
P X n n 1, 2,
4 4
5. 盒内有12 个乒乓球，其中9 个是新球， 3 个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，
求下列随机变量的概率分布.
(1) 抽取次数X；
(2) 取到的旧球个数Y .
解(1)X 可以取1, 2, 3, 4 各值.
P X
3
1 P X
4
2
3
12
9
11
9
44
P X 3
3
12
2
11
9
10
9
220
P X 4
3
12
2
11
1
10
9
9
1
220
(2) Y 可以取0, 1, 2, 3 各值.
P Y 0 P X 1 3 4
10
P Y 1 P X 2 9 44
P Y 2 P X 3
9 220
P Y 3 P X 4
1 220
6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X 的概率分布. 解X 可以取0, 1, 2, 3 各值.
P X 0
3
C
C
3
3
12
1
220
P X
1 2
C C
9 3
1 3
C
12
27
220
P X 2
2 1
C C
9 3
3
C
12
108
220
P X 3
3
9
3
C
C
12
84
220
n，n＝1, 2, 3, ?, 求p 的值.
7. 已知P{ X＝n} ＝p
解根据P X n ＝1 , 有
n 1
1
n
n
P
1 1
p
p
解上面关于p 的方程，得p＝0.5.
n，n＝2, 4, 6, ?，求p 的值.
8. 已知P{ X＝n}= p
2
p
2 4 6
解p p p 1
2
1 p
解方程，得p= 2 /2
9. 已知P{ X＝n}= cn, n=1, 2, ?, 100, 求c 的值.
100
解
1 cn c ( 1
2 100 )＝5050 c
n 1
解得c＝1/5050 .
＿2，n=1, 2, ?, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?
10. 如果p n＝cn
解 1 ,
p c 由于级数
n 2
n
n 1 n 1
是一个离散型概率分布.
1
2
n
n
1
1
收敛,若记
2
n n
1
=a, 只要取 c 1
a
, 则有
n 1
p =1, 且p n＞0. 所以它可以
n
11. 随机变量X只取1, 2, 3 共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X 的概
率分布.
解设P{ X＝2} ＝a，P{ X＝1} ＝a－d, P{ X=3}= a+d. 由概率函数的和为1，可知a=
需大于零,
1
, 但是a－d 与a+d 均 3
因此｜d｜＜1
3
, X 的概率分布为
X 1 2 3
P 1
3
－d
1
3
1
3
+d
1
其中 d 应满足条件：0＜｜d｜＜
3
m
cλ
, m =1, 2, ?, 且λ＞0, 求常数 c.
12. 已知P X m e
m!
11
解 1
m
c
p X m
m m!
1 m 1
m m
e
由于
m 0 m
1
! m 1 m!
e ,所以有
m
c
e c(e 1)e c(1 e ) 1 m !
m 1
解得 c
1 1 e
13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4 及
0.5，求：
(1)二人投篮总次数Z 的概率分布；
(2)甲投篮次数X 的概率分布；
(3)乙投篮次数Y 的概率分布.
解设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中，j 表示在第j 次投篮中乙投中，i =1, 3, 5, ?, j=2, 4, 6,?,且A1, B2, A3,
B4，?相互独立.
(1) P Z 2k 1 p A1 B1 A2 k 3 B2k 2 A2 k 1
(0.6×0.5) k 1·0.4
= 0.4(0.3) k1 k= 1, 2, ?
P Z 2k p( A1 B A k B k A k B k
1 2 3 2 1
2 2
2
k =0.3k
1
0.5×0.6×(0.6×0.5)
)
k= 1, 2, ?
(2) P X n p A1 B1 A2n 3 B2 n 2 A2n 1
(
p
0.6
A
B
1
1
0 .5)
n
A n
B A B
2 3 2 n 1
2n 2 2 n
1
( 0.4 0.6 0.5)
0.7 n
0.3 1
n 1,2,
(3) P Y 0 P(A1 ) 0.4
P Y n P A1 B A n B n P A B A n B n A n
1 2 1 1 1 2 1 2
2 2
1
(0.6 n
0. 5)
1 0.6 (0.5 0.5 0.4)
0.42 n
0.3 1
n 1,2，
14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺
利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布(不计其他因素停车).
解X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .
P { X＝0 } ＝0.4 P { X＝1 } ＝0.6 ×0.4＝0.24
2
P { X＝2 } ＝0.6 ×0.4＝0.144
P { X＝3 } ＝0.6
3×0.4＝0.0864 4＝
0.1296
P { X＝4 } ＝0.6
15. f (x) s in
0 , x,x [ a
,
b]
，
.
其他
问f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果
π 3
(1) a 0 , b ; (2) a 0 ,bπ; (3) a π, b π.
2 2
解在［0, π
］与［0, π］上，sinx≥0,但是0 sin xdx 1,
0 x x
π
2
π
3
2
0 sin xdx 1,而在π, π上,sin x≤0.因此只有(1)中的a, b 可以使 f (x)是一个概率密度函数.
2
12
x c e
2
x
2c
,
x＞0
，
16. f (x)
0 , x 0 .
其中c＞0，问f(x)是否为密度函数，为什么?
解易见对任何x∈(－∞, ＋∞), f ( x ) ≥0，又
x
2
x c
2
e dx
c
1
f( x)是一个密度函数.
17. f (x) 2x ,
，
a＜x
＜a
.
其他
2.
问f ( x )是否为密度函数，若是，确定 a 的值；若不是，说明理由.
解如果 f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a≥0，但是，当a≥0 时，
a a 2 x x2 a 2 a
2 d | 4
a
4 4
由于 f (x) dx 不是1，因此 f ( x )不是密度函数.
18. 设随机变量X～f ( x )
f ( x ) ( 1
π
2
2
x )
, a＜x＜,
0 , .
其他
确定常数 a 的值，如果P { a ＜x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.
2 2 2 π
解arctan )
2
dx arctan x ( a
a π(1 x ) π a
2
解方程2
π
π
－
arctana
2
=1
得 a = 0
P
2
b b
0 ＜x ＜b 0 f ( x ) dx arctan x |0
π
2
arctanb
π
解关于 b 的方程：
2
arctanb=0.5 π
得b=1.
19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量，概率密度为
f ( x ) 100
2
x
x 100 ,
x＜
0 , 100 .
3 个这种元件串联在一个线路中，计算这 3 个元件使用了150 小时后仍能使线路正常工作的概率.
解串联线路正常工作的充分必要条件是 3 个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件 A 表示“线路正常工作”，则
P ( A ) [ P ( X ＞150) 3 ]
100 P X ＞150 ＝150 2 dx
x 2 3
8 P ( A )
27
－|x|，确定系数A；计算P { |X|≤ 1 }.
20. 设随机变量X～f ( x )，f ( x )＝Ae
| x|d 2 e d 2
x
解 1 Ae x A x A
1
解得A＝
2
P
1
1 1
| x | x | X | 1 e dx e dx
1 0
2
13
1
1 e 0.632
2＋4xY+Y+2=0 有实数根的概率. 21.
设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的二次方程4x
2+4 x Y+Y+2=0. 有实根的充分必要条件是
解4x
△＝b
2－4ac =16 Y2－16(Y+2) =16Y2－16Y－32≥0
设事件P(A)为所求概率.则
P(A) P 2 Y P Y P Y
16Y 16 32 0 2
1
=0.6
22. 设随机变量X ～ f ( x )，
c
, | |＜1，
x
2
f (x) 1
x
0 , 其他.
1
确定常数c，计算P| X | .
2
c
1
1
解 1 1 dx c arcsin x | cπ
1
2
1 x
c = 1π
P | X | 1
2
1
1 2
21 2 x x
d arcsin
1 x
2
1
2
1
3
23. 设随机变量X 的分布函数 F ( x )为
0 , x 0
＜，
F (x) A x , 0＜x＜1,
1, x 1.
确定系数A，计算P0 X 0.25 ，求概率密度 f ( x ).
解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数， F ( 1 ) ＝F (1－0)，有A＝1.
1
, 0＜x 1,
＜
f ( x )
2
x
0 , .
其他
P 0 X 0.25 F ( 0.25 ) F ( 0 ) 0.5
24. 求第20 题中X的分布函数 F ( x ) .
1
x |t |
解 F x P X x t
( ) e d
2
当 t ≤ 0 时，
x
t
x
1 1 F ( x ) e dt e
2 2
当 t ＞0 时，
F ( x ) x 1
2 e | t | dt
0 1 2 e t dt x 0 1 2 -t
e dt 1 1 1 (1 e ) 1
x
e
x
2 2
2
25. 函数 (1+ x
2
)－
1 可否为连续型随机变量的分布函数，为什么 ?
解 不能是分布函数，因
F (－∞)＝ 1 ≠ 0.
26. 随机变量 X ～f ( x )，并且
a f ( 2
,确定 a 的值；求分布函数 F ( x )；计算P | X |＜1 .
π( 1 x )
x )
14
a a
解x a
1 2 dx arctan
ππ
( 1 x )
因此 a =1
1 1
x
F (x) 2 dt arctant
(1t )
ππ
x
1 2 1
arctan
π
x
1 1 1
1
P | X |＜1 1 2 dx 2 dx
0 2
ππ
( 1 x ) (1x )
2 1 arctan x
0 π1 2
27. 随机变量X 的分布函数 F ( x ) 为：
F (x) 1
A
2
x
, x＞
2
，0 , x 2 .
确定常数 A 的值，计算P 0 X 4 .
解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得
A
1 0 , A
4
4
P 0 X 4 P 0＜X 4 F ( 4 ) F ( 0 )
0.75
A 确定A的值；求分布函数 F ( x ) . 28. 随机变量X～f ( x )，f ( x )＝,
x x
e e x
A e
解 1 x dx A 2 dx
x x
e e 1 e
A x a r c e t a n πA 2
因此A＝2
，
π
x
2 2
t
F ( x ) t dt arctan e
t
π( e e ) π
x
2 arctan π
x e
29. 随机变量X～f ( x )，
f ( x ) 2x
2
π
, 0＜x a
＜0 , .
其其他他
确定 a 的值并求分布函数 F ( x ) .
解 1
2
a
2x x a
dx
0 2 2 0
2
2
a
π
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
工程硕士《应用概率统计》复习题 考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。 解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。 解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（） （而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其
4．设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。 解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+，而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ，从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 习 题 一 解 答 １. 设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来： (1) Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生； (2) Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生； (3) Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生； (4) 三个事件中至少有两个事件发生； (5) 三个事件中最多有两个事件发生； (6) 三个事件中只有一个事件发生． 解：（1）C B A (2)C AB (3)()C B A ? (4)BC A C AB ABC ?? (5)ABC (6)C B A C B A C B A ?? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ２. 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａi 表示“第i 次取到白球”（i ＝1，2，3，4 ），Ｂ表示“至少有 3 次取到白球”． 试用文字叙述下列事件： (1) 41 ==i i A A ， (2) A ,(3) B ， (4) 32A A ． 解：（1）至少有一次取得白球 （2）没有一次取得白球 （3）最多有2次取得白球 （4）第2次和第3次至少有一次取得白球 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ３. 设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系． (1) Ａ Ｂ＝Ａ （2）ＡＢ＝Ａ 解：（1）A B ? (2)A B ? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ４. 设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤 ，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事 件： (1) AB ， (2) BC ，(3) C B ，(4)C D B )( ，(5)C B A ． 解：(1)[]450,200; (2)[]300,200 (3)[]450,0 (4)[]300,200 (5)[]200,0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ５. 在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”， Ｃ表示“ 1970 年后出版”．问： (1) ＡＢＣ表示什么事件？ (2) 在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？ (3) C ?Ｂ表示什么意思？ (4) 如果A ＝Ｂ，说明什么问题？ 解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书 （2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书 （3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书 （4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ６. 互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系． (1) X ＜ 20 与X ≥ 20 ； (2) X ＞ 20与X ＜ 18 ； 宁波电大07秋《经济数学基础(综合)》作业1 参考答案 第一篇 微分学 一、单项选择题 1. 下列等式中成立的是(Ｄ)． A ． e x x x =+ ∞ →2)11(lim B ．e x x x =+∞→)2 1(lim C ．e x x x =+ ∞ →)211(lim D ． e x x x =++∞→2)1 1(lim 2. 下列各函数对中,( B )中的两个函数相等． A ．2)(,)(x x g x x f = = B ．x x g x x f ln 5)(,ln )(5== C ．x x g x x f ln )(,)(== D ．2)(,2 4 )(2-=+-= x x g x x x f 3. 下列各式中，（ Ｄ ）的极限值为１ ． A ．x x x 1sin lim 0 → B ．x x x sin lim ∞→ C ．x x x sin lim 2 π→ D ． x x x 1 sin lim ∞→ 4. 函数的定义域是5arcsin 9 x 1 y 2x +-= （ B ）． A ．[]5,5- B ．[)(]5,33,5U -- C ．()()+∞-∞-,33,U D ．[]5,3- 5. ()==??? ??=≠=a ,0x 0x a 0 x 3x tan )(则处连续在点x x f （ B ） ． A ． 3 1 B ． 3 C ． 1 D ． 0 6. 设某产品的需求量Q 与价格P 的函数关系为则边际收益函数为,2 p -3e Q =（ C ）. A ．2p -e 2 3- B ．23p Pe - C ．2)233(p e P -- D ．2)33(p e P -+ 7. 函数2 4 )(2--=x x x f 在x = 2点（ B ）. A. 有定义 B. 有极限 C. 没有极限 D. 既无定义又无极限 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 经济数学基础形成性考核册及参考答案(二) （一）填空题 1.若 c x x x f x ++=? 22d )(，则___________________)(=x f .答案：22ln 2+x 2. ? ='x x d )sin (________.答案：c x +sin 3. 若 c x F x x f +=?)( d )(，则(32)d f x x -=? .答案：1 (32)3 F x c -+ 4.设函数___________d )1ln(d d e 12 =+?x x x .答案：0 5. 若t t x P x d 11)(02 ? += ，则__________)(='x P .答案：2 11x +- （二）单项选择题 1. 下列函数中，（ ）是x sin x 2 的原函数． A ． 21cos x 2 B ．2cos x 2 C ．-2cos x 2 D ．-2 1cos x 2 答案：D 2. 下列等式成立的是（ ）． A ．)d(cos d sin x x x = B ．)d(22 ln 1 d 2x x x = C ．)1d(d ln x x x = D ． x x x d d 1= 答案：B 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）． A ．?+x x c 1)d os(2， B ．? -x x x d 12 C ．? x x x d 2sin D ．?+x x x d 12 答案：C 4. 下列定积分计算正确的是（ ）． A ． 2d 21 1 =? -x x B ．15d 16 1 =? -x C ． 0d sin 22 =?- x x π π D ．0d sin =?-x x π π 答案：D 5. 下列无穷积分中收敛的是（ ）． A ． ? ∞ +1 d 1x x B ．?∞+12d 1x x C ．?∞+0d e x x D ．?∞+0d sin x x 答案：B (三)解答题 1.计算下列不定积分 作业三 （一）填空题 1.设矩阵???? ??????---=161223235401A ，则A 的元素__________________23=a .答案：3 2.设B A ,均为3阶矩阵，且3-==B A ，则T AB 2-=________. 答案：72- 3. 设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件 是 .答案：BA AB = 4. 设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解______________=X . 答案：A B I 1 )(-- 5. 设矩阵??????????-=300020001A ，则__________1=-A .答案：??????? ?????????-=31000210001A （二）单项选择题 1. 以下结论或等式正确的是（ ）． A ．若 B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若A C AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵 D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠答案C 2. 设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，且乘积矩阵T ACB 有意义，则T C 为（ ）矩阵． A ．42? B ．24? C ．53? D ．35? 答案A 3. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）． ` A ．111)(---+=+ B A B A ， B ．111)(---?=?B A B A C ．BA AB = D ．BA AB = 答案C 4. 下列矩阵可逆的是（ ）． A ．??????????300320321 B ．???? ??????--321101101 C ．??????0011 D ．?? ????2211 答案A 5. 矩阵???? ??????---=421102111A 的秩是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案B 三、解答题 1．计算 （1）????????????-01103512=?? ????-5321 （2）?????????? ??-00113020??????=0000 （3）[]???? ? ???????--21034521=[]0 第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =； （4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___--=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为 问若标准差不改变，总体平均值有无显着性变化（α=） 【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0，认为总体平均值有显着性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为： 设含镍量服从正态分布，问在α=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为. 【解】设 0010 /20.005 0.005 : 3.25;: 3.25. 5,0.01,(1)(4) 4.6041 3.252,0.013, (3.252 3.25) 0.344, 0.013 (4). H H n t n t x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-== == - === < 所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为. 3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=）. 【解】设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常. 4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时，标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地 第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对 值大于1的概率. X 解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ： 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1)，故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X ： 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值，S 为样 本方差，问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2)， 2 ~ 2(1)。 1 —n 7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S ； 0)。 解： S2 P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01 【经济数学基础】形考作业一答案： （一）填空题 1._________ __________sin lim =-→x x x x 答案：0 2.设 ? ?=≠+=0 ,0, 1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：1 3.曲线x y = 在)1,1(的切线方程是 .答案：2 121+ =x y 4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2 5.设x x x f sin )(=，则__________ )2π (=''f 2 π- （二）单项选择题 1. 函数+∞→x ，下列变量为无穷小量是（ D ） A ．)1(x In + B ．1/2+x x C ．2 1x e - D ． x x sin 2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.1lim =→x x x B.1lim 0 =+ →x x x C.11sin lim 0 =→x x x D.1sin lim =∞ →x x x 3. 设y x =lg 2，则d y =（ B ）． A ． 12d x x B ． 1d x x ln 10 C ． ln 10x x d D ．1 d x x 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的． A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0 ，但)(0x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.若x x f =)1 (，则()('=x f B ） A ．1/ 2x B ．-1/2x C ．x 1 D ． x 1- (三)解答题 1．计算极限 （1）2 11 23lim 22 1 - =-+-→x x x x （2）2 18 665lim 2 2 2 = +-+-→x x x x x 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白 球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； 第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。 7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >= 电大经济数学基础作业参考答案一 经济数学基础形考作业（一）参考答案 （一）填空题 1.0sin lim 0 =-→x x x x . 2.设 ? ?=≠+=0,0 ,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则1=k . 3.曲线1 +=x y 在)2,1(的切线方程是032=+-y x . 4.设函数5 2)1(2 ++=+x x x f ，则x x f 2)(='. 5.设x x x f sin )(=，则2 )2π(π -=''f . （二）单项选择题 1. 当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A ．)1ln(x + B ． 1 2+x x C ．2 1 x e - D ． x x sin 2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.1 lim =→x x x B.1 lim 0=+ →x x x C.11sin lim 0 =→x x x D.1sin lim =∞ →x x x 3. 设y x =lg2，则d y =（ B ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d x x 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的． A ．函数 f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0 ，但)(0 x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微 5. 若x x f =)1(.，则=)('x f （ B ） A ．21 x B ．2 1x - C ．x 1 D ．x 1- (三)解答题 1．计算极限 （1） 1 2 3lim 221-+-→x x x x 解：原式2 1 12lim )1)(1()2)(1(lim 1 1 -=--=+---=→→x x x x x x x x （2） 8 665lim 2 22+-+-→x x x x x 解：原式2 1 43lim )4)(2()3)(2(lim 2 2 =--=----=→→x x x x x x x x （3）x x x 11lim --→ 解：原式2 1) 11(lim ) 11()11)(11( lim 0 - =+--=+-+---=→→x x x x x x x x x （4） 4 23532lim 2 2+++-∞→x x x x x 解：原式3 2= 第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。 经济数学基础形成性考核册作业4参考答案 （一）填空题 1、]4,2()2,1( ； 2.、1,1==x x ，小 ； 3、p 2- ； 4.、4 ； 5.、1-≠ （二）单项选择题 1.：B 2.：C 3.：A 4.：D 5.：C （三）解答题 1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y x y +='e 解： y x e e x y =d d ， dx e dy e x y ? ? = - ， c x y +=--e e ， 所求方程的通解为：0=++-c e e y x （2） 2 3e d d y x x y x = 解：dx e x dy y x ??=23 ， c x y x x +-=e e 3， 所求方程的通解为：c x y x x +-=e e 3 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）3 ) 1(1 2+=+- 'x y x y 解：3 )1()(,1 2)(+=+- =x x q x x p ，代入公式得 [] []???+++=++=?? ????+?+?=+-++-+c dx x x c dx e x e c dx e x e y x x dx x dx x )1() 1() 1()1(2 ) 1ln(23 )1ln(21 2 312 所求方程的通解为： )2 1 ()1(22c x x x y +++= （2）3 2x y x y =- ' 解： 3 )(,2)(x x q x x p =-= ，代入公式得 ?? ????+??=-?c dx e x e y dx x dx x 232 [] c dx x x x +=-? 2322 421cx x += 所求方程的通解为：2 42 1cx x y += 3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y x y -='2e ,0)0(=y 解： y x e e x y -=2d d dx e dy e x y 2? ? = ， c x y +=22 1e e ， 把0)0(=y 代入c +=0 2 1e e ，C=2 1， 所求方程的特解为：2 1e 21e + = x y (2)0e =-+'x y y x ,0)1(=y 解：x e 1x = +'y x y ，x e )(,1)(x = = x q x x p ， 代入公式得：?? ????+=???- c dx e x e e y dx x x dx x 1 1??????+=?????? +=??-c xdx x e x c dx e x e e x x x x 1ln ln ， 概率统计课后答案 2 第 一 章 思 考 题 1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很 重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但 你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个 病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ ３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后 七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不 断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士 公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费 林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 675844625664686762609 876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？ ５．两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？ ６．条件概率是否是概率？为什么？ 习题一 1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次 答：样本空间由如下4个样本点组成Ω=正正，正反，反正，反反 {(,)(,)(,)(,)} （2）将两枚骰子抛掷一次 答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6} Ω== i j i j （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 3 概率论与数理统计统计课后习题答案 第二章习题解答 1. 设)(1x F 与)(2 x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(2 1x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ). A . 5 2,53-==b a B . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a 2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数} X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈； 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈； 2215542070{2}0.2167323 C C P X C ===≈； 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈； 041554201{4}0.0010969 C C P X C ===≈. 因此所求X 的分布律为： 3． 5. 解：设X ＝{其中黑桃张数}. 则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5. 051339552 2109 {0}0.22159520C C P x C ===≈； 14 133955227417 {1}0.411466640 C C P x C ===≈； 231339552 27417 {2}0.274399960C C P x C ===≈； 32133955216302 {3}0.0815199920 C C P x C ===≈； 4 11339 552429{4}0.010739984 C C P x C ===≈； 50 133955233 {5}0.000566640 C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为： 6.
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