一、典例分析，融合贯通
典例1 【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线
)>,>(=:00122
22b a b
y －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为 【解法1】直接法
由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，
于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得14922
22=b c －a c ，
在由2
c b a =+22得E 的离心率为
2==
a c
e .
【点睛之笔】直接代入，少走弯路！ 【解法2】通径法
易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以2
2b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222
c a b =+得离心率e 2=或
1
e 2=-
（舍去），所以离心率为 2.e =
【点睛之笔】通径法，此径通幽！
【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！ 【解后反思】
解法1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！ 解法2：利用通径，减少计算量！ 解法3：利用数形结合法，以形助数！
典例2 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线122
22=-b
y a x (a ＞0, b ＞0)的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则
该双曲线的离心率等于（ ）
A.3
B.2
C.5
D.6
【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！ 【解法2】导数法 设切点00(,)P x y
'2,y x =
∴切线斜率02b k x a
== ∴02b x a
=
∴
20022
0,21,2b b y x a a b y a ?==??
????=+ ?????
224b a ∴= .
∴
又2222222
,45c a b c a a a =+∴=+=
c
e a
∴=
=，故选C. 【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！ 【解后反思】
解法1:设而不求法，再也不求人！
解法2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！
3. 典例3双曲线12222=-b y a x 的离心率为e 1,双曲线122
22=-a
x b y 的离心率为e 2, 则
=+22
211
1e e _________, e 1+e 2 的最小值为______. e 1·e 2的最小值为______ . 由双曲线离心率定义知：b b a e a
b a e 2222
21,+=+=
, 故有2212
11
1e e +=.
【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！ 【解法2】换元法
不妨设1,121>=>=y e x e ，则问题相当于：
,11
122=+y
x 求y x +、xy 的最小值。 由均值不等式得：
xy y
x y x 2
1121112
222=?≥+= ，∴ 2≥xy ，等号成立，当且仅当y x = ，即 21e e =，进而推出 ,b a =即122e e ==.而 8
22222)(2
2
2
2
2
2
=?+≥+=++=+xy y x xy y x y x 82222=?+≥，∴ 22≥+y x ，等号成立，当且仅当122e e ==时取等号（由
,11
12
2=+y x 去分母可得：2222y x y x =+） .
故答案依次为：1,22,2 .
【点睛之笔】换元法，换了都说好！ 【解后反思】
解法1：一正二定三相等，解起题来不需等！ 解法2：换元法，越换越简练，越换越明了！ 二、精选试题，能力升级
1.【2018辽宁省八中模拟】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存
在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A. 12e <≤ B. 2e ≥ C. 12e <≤ D. 2e ≥
【答案】B
2.【2018广东省海珠区一模】已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线均与圆
22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为（ ）
A.
63 B. 62 C. 355 D. 5
2
【答案】C
【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b
y x a =±，即0bx ay ±=，圆
22:650C x y x +-+=化为标准方程()()2
234,3,0x y C -+=∴，半径为2，
双曲线
()2222
10,0x y a b a b -=>>的两条渐近线均和圆22
:650C x y x +-+=相切， 22222
32,944b b b a b a =∴=++
222,944b b a =∴=+()222222224,54b a b c a c a a ∴==-∴-=， 223595,5
c a c e a ∴=∴=
=， ∴双曲线离心35
，故选C. 3.【2018广西柳州市一模】若双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形
的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. 51,
2?? ? ?? B. 71,2??
? ?? C. 5,2??+∞????? D. 7,2??+∞?????
【答案】C
4.【2018湖南省永州市一模】已知点P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上一点， 12,F F 分别为双
曲线的左右焦点，点I 为12PF F ?的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12121
2
IPF IPF IF F S S S ???-≥成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A. (]1,2 B. ()1,2 C. (]0,2 D. (]
2,3 【答案】A
【解析】
如图，设圆I 与12F F ?的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点,,E F G ，连接IE 、IF 、IG ，则
1212,,IE F F IF PF IG PF ⊥⊥⊥，它们分别是1212,,IF F IPF IPF ???的高
12112211,2222IPF IPF r r S PF IF PF S PF IG PF ??∴=??==??=， 121212
122
IF F r
S F F IE F F ?=??=其中r 是12PF F ?的内切圆的半径，因为121212IPF IPF IF F S S S ???-≥所以1212224
r r r
PF PF F F -≥，两边约去
2r 得1212121211
,22
PF PF F F PF PF F F =+∴-=，根据双曲线定义，得12122,2PF PF a F F c -==， 2a c ∴≥?离心率为2c
e a
=≤，双曲线的离心率取值范围为(]1,2，故选A.
5.【2018陕西西工大附中六模】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线2
8y x =-的
准线分别交于,A B 两点， O 为坐标原点，若ABO ?的面积为43，则双曲线的离心率为( ) A.
7
B. 2
C. 13
D. 4 【答案】B
6.【2013课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C ：22
22=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52C 的渐近线方
程为( )．A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1
2
x ± D ．y ＝±x
【答案】：C
【解析】：∵52c e a ==，∴ 222222
54c a b e a a +===.∴a 2＝4b 2，1=2b a ±.∴渐近线方程为12
b y x x a =±±. 7.【2011全国新课标，理7】设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，
B 两点，|AB |为
C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )
A ．
2
B 3
C ． 2
D ． 3
【答案】B 【解析】
8.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2
212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是( )
（A ）（-
33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（2323
） 【答案】A
【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，2
2
0012
x y -=，所以12MF MF ?= 0000(3,)(3,)x y x y --?- =222
0003310x y y +-=-<，解得03333
y -
<<，故选A. 9.【2018湖南两市九月调研】已知F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴
的一个端点，过,F A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲
线的离心率为__________． 【答案】
43
10.【2008全国1，理21】双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点
F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、
、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于 二、利用平面几何性质 例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。 三、利用数形结合 例3 （同例2） 四、利用均值不等式 例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，| PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。 五、利用已知参数的范围 例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线 段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4 332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。 九、利用双曲线性质 例9.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是
椭圆、双曲线离心率难题专题 1. （2018学年杭高高三开学考15）已知1F ，2F 分别是椭圆()22 22133 x y a a +=>的左右焦点，A 是椭圆上 一动点，圆C 与1F A 的延长线以及线段2AF 相切，若()2,0M 为一切点，则椭圆的离心率为 ． 2. （2018学年杭十四中4月月考2）已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y ，则双曲线的 离心率为（ ） A B C D 3. （2018学年浙江名校协作体高三上开学考2）双曲线2 213 x y -=的焦距为（ ） A ．2 B ． C ． D ．4 4. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考12）已知直线l 为双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的一条 渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，点1F 关于直线l 的对称点在双曲线C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的渐近线的斜率为 ，离心率e 的值为 ． 5. （2018学年浙江重点中学高三上期末热身联考3）已知双曲线2 221y x a -=的一条渐近线方程为y =， 则该双曲线的离心率是（ ） A ． 3 B C ．2 D 6. （2019届超级全能生2月模拟16）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆
上点P 满足122PF PF =，射线PM 平分12F PF ∠，过坐标原点O 作PM 的平行线交1PF 于点Q ，且 121 4PQ F F =，则椭圆的离心率是 ． 7. （2019届慈溪中学5月模拟6）若椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点 的 曲线，且都过点B ，它们的离心率分别是1e ，2e ，则2212 11 e e +=（ ） A ． 32 B ．2 C ．3 D ． 52 8. （2019届杭二仿真考16）存在第一象限的点()00,M x y 在椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点,02c ?? ??? （c 为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取 值范围是 ． 9. （2019届杭州4月模拟10）已知椭圆()22 22:10x y a b a b Γ+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点， 以线段MN 为直径的圆经过原点．若椭圆Γ ，则a 的取值范围为（ ） A ．( B ．? C ．? ?? D ．? ?? 10. （2019届湖州三校4月模拟17）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个顶点()(),0,0,A a B b ，过,A B 分别作AB 的垂线交该椭圆于不同的顶点C ，D 两点，若23BD AC =，则椭圆的离心率是 ． 11. （2019届稽阳联谊4月模拟16）已知,C F 分别是椭圆22 22:1x y a b Γ+=的左顶点和左焦点，,A B 是椭圆 的下、上顶点，设AF 和BC 交于点D ，若2CD DB =u u u r u u u r ，则椭圆Γ的离心率为 ．
离心率的求法 椭圆的离心率10<
1 双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a => ，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43 y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -= (a >)的两条渐近线的夹角为3 π,则双曲线的离心率为 . 3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 . 4．设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ?是直角三角形，则双曲线的离心率=e . 5．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 . 6．设1a >，则双曲线22 221(1) x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 . 8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 . 10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．
方法二、构造,a c 的齐次式，解出e 1．过双曲线22 221x y a b -=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________． 2．设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________． 3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________． 方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形 1．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 2．双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________． 3．设12,F F 分别是双曲线22 221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________． 4．双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________． 5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ?是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
巧解双曲线的离心率 离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。 1、求离心率的值 （1）利用离心率公式a c e =，先求出c a ,，再求出e 值。 （2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出a b ，再求出e 值。 例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3 4=，则双曲线的离心率为__________. 分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得3 4=a b 解答：由已知可得3 4=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e . （3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。例如：010222=-+?=-+e e a ac c 例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。 解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--?-=?=?-=-?e e a c c a b c b a b 所以2 15+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围 求离心率的取值范围关键是建立不等关系。 （1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。 例3 若双曲线22 221x y a b -=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________. 分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=?>>?>>a b e a b b a
一、典例分析，融合贯通 典例1 【2016年山东卷理科第13题】已知双曲线 )>,>(=:00122 22b a b y －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为 【解法1】直接法 由题意c 2=BC ，所以3c =AB ， 于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得14922 22=b c －a c ， 在由2 c b a =+22得E 的离心率为 2== a c e . 【点睛之笔】直接代入，少走弯路！ 【解法2】通径法 易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以2 2b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222 c a b =+得离心率e 2=或 1 e 2=- （舍去），所以离心率为 2.e = 【点睛之笔】通径法，此径通幽！ 【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！ 【解后反思】 解法1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！ 解法2：利用通径，减少计算量！ 解法3：利用数形结合法，以形助数！
典例2 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线12222=-b y a x (a ＞0, b ＞0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该 双曲线的离心率等于（ ） A.3 C.5 D.6 【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！ 【解法2】导数法 设切点00(,)P x y '2,y x = ∴切线斜率02b k x a == ∴02b x a =
∴ 2 002 2 , 2 1, 2 b b y x a a b y a ? == ? ? ? ?? ?=+ ? ??? ? 22 4 b a ∴= . ∴又2222222 ,45 c a b c a a a =+∴=+= 5 c e a ∴==，故选C. 【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！ 【解后反思】 解法1:设而不求法，再也不求人！ 解法2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！ 3.典例3双曲线1 2 2 2 2 = - b y a x 的离心率为e1,双曲线1 2 2 2 2 = - a x b y 的离心率为e2, 则= + 2 2 2 1 1 1 e e _________, e1+e2的最小值为______. e1·e2的最小值为______ . 由双曲线离心率定义知： b b a e a b a e 2 2 2 2 2 1 , + = + = , 故有 22 12 11 1 e e +=. 【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！ 【解法2】换元法
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】 1.e＝c a ＝1－ b2 a2 (0
22 22 1(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ） 1 3 （B ） 12 （C ） 23 （D ） 34 例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直 线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5， 则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ???0， 32 B.????0，34 C.??? ?3 2，1 D.???? 34，1 例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与 C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点 D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】 1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆 上，则椭圆的离心率是________． 2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2 n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A. 33 B.22 C.14 D.1 2 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使 a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1 ，则椭圆的离心率的取值范围为______． 4.过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条 渐近线交于点B ，若FB →＝2F A → ，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 5.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．
今天我们研究构造齐次方程求双曲线的离心率。双曲线的几何性质中，离心率问题是重点。根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 先看例题： 例：已知1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2 c -，由焦半径公式a ex PF p --=1， 即a c a c c -??? ??-?-=2，得0222=-?? ? ??-??? ??a c a c ，解得 31+==a c e （31-舍去），故选D 整理：
用齐次方程的方法求双曲线的离心率： 列出关于a ，b ，c 的方程， 222b c a -＝消去b 转化成关于e 的齐次方程求解. 再看一个例题，加深印象： 例：设双曲线122 22=-b y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 4 3，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 332 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得 c b a ab 432 2=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得() 4222316c a c a =-，整理得 01616324=+-e e ， 得42=e 或342 =e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==a b a b a a c e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A 总结： 1.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系.
椭圆和双曲线的离心率的求值及围求解问题【重点知识温馨提示】 1.e＝c a ＝1－ b2 a2 (0
22 22 1(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ） 1 3 （B ） 12 （C ） 23 （D ） 34 例3 (2015·)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ： 3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆 E 的离心率的取值围是( ) A.? ???0， 32 B.????0，34 C.??? ?3 2，1 D.???? 34，1 例4.(2014·)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】 1. (2015·)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上， 则椭圆的离心率是________． 2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2 n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A. 33 B.22 C.14 D.1 2 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使 a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1 ，则椭圆的离心率的取值围为______． 4.过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条 渐近线交于点B ，若FB →＝2F A → ，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 5.(2015·)过双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于 点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．
努力成就未来，综合文档 双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于 二、利用平面几何性质 例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。 三、利用数形结合 例3 （同例2） 四、利用均值不等式 例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，| PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。 五、利用已知参数的范围 例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线 段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4 332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。 九、利用双曲线性质 例9.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题 【重点知识温馨提示】 1.e ＝c a ＝ 1－ b2a2(0
圆锥曲线中的离心率问题 离心率两大考点：求值、求范围 求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 2. 几何法 3. 与其它知识点结合 、不等关系求解. 求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解 2. 运用数形结合建立a c 3. 利用曲线的范围，建立不等关系 4. 运用函数思想求解离心率 5. 运用判别式建立不等关系求解离心率 一、求离心率的值 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为．
题2：已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为 6 2 题3：设双曲线()222200x y a b a b －＝1＞，＞的渐近线与抛物线2 1y ＝x ＋ 相切，则该双曲线的离心率等于（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 解：由题双曲线()22 2200x y a b a b －＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程 整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即 5522=?=e a c ，故选择C 。 题4：(2009浙江理) 过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）10 2. 几何法 题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是
双曲线离心率求法 一、双曲线离心率的求解 1、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在双曲线中，a c e =>1，c e a ===== 1．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为 2．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 3．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为 4．已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为__________ 5．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是__________ 6．设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ?是直角三角形，则双曲线的离心率=e ________. 7．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 8．设1a >，则双曲线22 221(1) x y a a -=+的离心率e 的取值范围是__________. 9．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 o ，则双曲线C 的离心率为________ 10．已知双曲线的渐近线方程为125 y x =±，则双曲线的离心率为_________ 2、构造a c ，的齐次式，解出e 。 1．已知双曲线22 221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是准线上一点，且P F 1⊥P F 2， ｜P F 1｜?｜P F 2 ｜＝4ab ，则双曲线的离心率是_______ 2．过双曲线22 221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．
圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：c e a =（其中c为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：() 0,1 e∈ （2）双曲线：() 1,+ e∈∞ 2、圆锥曲线中,, a b c的几何性质及联系 （1）椭圆：222 a b c =+， ①2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和： 122 PF PF a += ②2b：短轴长 ③2:c椭圆的焦距 （2）双曲线：222 c b a =+ ①2a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值： 122 PF PF a -= ②2b：虚轴长 ③2:c椭圆的焦距 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,, a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题： 例1：设12,F F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭 圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ． 3 B ．6 C ．13 D ．1 6 思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为 12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角 三角形12PF F
精品文档 双曲线离心率的求法 、利用双曲线定义 例1.已知椭圆E 上存在点P ,在P 与椭圆E 的两个焦点F 、F 2构成的△ FPF 2中, sin. PF 1F 2 : si n. FfF 2:si n. PF 2F 1 ^7 :10 :11.则椭圆 E 的离心率等于 ________ 二、利用平面几何性质 2 2 例2 设点P 在双曲线 冷-爲=1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两 a b 焦点F 、F 2, I PF I=4| PF 2 I ,求双曲线离心率的取值范围。 三、 利用数形结合 例3 (同例2) 四、 利用均值不等式 2 2 务一笃_1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两焦 a b 六、 利用直线与双曲线的位置关系 2 X 2 例6已知双曲线—-y = 1(a . 0)与直线I : x ? y = 1交于P 、Q a 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 七、 利用点与双曲线的位置关系 2 例7已知双曲线■X 〒一 y 2 = 1(a > 0)上存在p 、Q 两点关于直线 a x - 2y =1对称，求双曲线离心率的取值范围。 八、 利用非负数性质 2 2 例8已知过双曲线 务-花-1(a ■ 0,b . 0)左焦点R ,的直线I 交 a b 双曲线于 P Q 两点，且OP_OQ ( O 为原点)，求双曲线离心率的取值范围。 九、 利用双曲线性质 2 2 例9.已知双曲线务-首-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F i (-c,0), F 2(C ,0) ?若双曲 a b 线上存在点P 使si n PF i F 2朋，则该双曲线的离心率的取值范围是 __________________________ sin /PF 2F 1 c 精品文档 例4已知点P 在双曲线 点为斤、F 2 , |一丄最小值是8a ,求双曲线离心率的取值范围。 |PF 2| 五、利用已知参数的范围 例5已知梯形ABCD 中, |AB | = 2|CD |，点E 分有向线 段AC 所成的比为，，双曲线过 C 、D E 三点，且以 A B 为焦点，当 <3 - 4 <- 求双曲线离心率的取值范围。 D y
双曲线的离心率 1．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为43 y x =，则双曲线的离心率为（ ） 2．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） 3．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆2 224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r ，则双曲线的离心率为（ ） 4．若点(2,0)P 到双曲线22 221x y a b -=(0,0)a b >>，则该双曲线的离心率为（ ） 5．已知12,F F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以点1F 为直角顶点作等腰直角三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 6．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ?为等边三角形，则双曲线的离心率为 7．当双曲线C 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C 的“伴生 8．已知点P 是双曲线()22 221,0,0x y a b a b -=>> 右支上一点， 12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ? 的内心，若121212 IPF IPF IF F S S S ???=+成立，则双曲线的离心率为（ ） 9．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 为双曲线右支上的一点，1PF 与以2F 为圆心，2 OF 为半径的圆相切于点Q ，且Q 恰好是1PF 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） 10．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的渐近线与实轴的夹角为30o ，则双曲线的离心率为（ ） 11．已知A 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12PF F ?的重心，若1GA PF λ=u u u r u u u r ，则双曲线的离心率为
圆锥曲线离心率的求法总结 求离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值. 1.（2016全国丙卷理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆:C 22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦 点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）. A. 13 B. 12 C. 2 3 D. 3 4 2.已知双曲线:E 22 221x y a b -=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______. 【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3, 2c c ?? ??? 在双曲线E 上，代入方程22221x y a b -=，得2222914c c a b -=，再由2 c b a =+22得E 的离心率为 2c e a = =. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值
第30练 双曲线的渐近线和离心率问题 [题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本. 常考题型精析 题型一 双曲线的渐近线问题 例1 (1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1， A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于 B ， C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________. (2)(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 ＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条 渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). ①求双曲线C 的方程； ②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3 2相 交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值. 点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ?x a ±y b ＝0?x 2a 2－y 2 b 2＝0，所 以可以把标准方程x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线 方程.