离心率的五种求法
椭圆的离心率10<
已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a
c
e =
来解决。 例1：已知双曲线1222
=-y a
x （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心
率为（ ）
A.
23 B. 23 C. 2
6
D. 332
解：抛物线x y 62
-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线2
3122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，
解得2=c ，3=
a ，3
3
2=
=
a c e ，故选D
变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）
A.
43 B. 32 C. 21 D. 4
1 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，
1=c ，所以离心率2
1
==a c e .故选C.
变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）
A.
23 B. 26 C. 2
3 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2
3
==
a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的
光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A
33 B 31 C 22
D 2
1 解：由题意知，入射光线为()32
5
1+-
=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则??
???=+-=0
553
2
c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A
二、构造a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，
若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 324+
B.
13- C.
2
1
3+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2
c
-，由焦半径公式
a ex PF p --=1，
即a c a c c -??? ??-?-=2，得0222
=-??? ??-??? ??a c a c ，解得 31+==a
c
e （31-舍去），故选D
变式练习1：设双曲线122
22=-b
y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到
直线的距离为
c 4
3
，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.
2 D.
3
3
2 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得
c b a ab 4
32
2=
+， 又2
22b a c +=, ∴234c ab =
,两边平方，得()
4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e ，
得42
=e 或3
42
=e ，又b a <<0 ，∴212
2222222>+=+==a b a b a a c e ，∴42
=e ，∴2=e ，故选A 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，0
21120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）
A
3 B
26 C 3
6
D 33
解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则
2221b c MF MF +==，又c F F 221=，
在21MF F ?中， 由余弦定理，得2
12
2
12221212cos MF MF F F MF MF MF F ?-+=
∠,
即(
)(
)
(
)
2
22
22222421b
c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，
∵2
2
2
a c
b -=，∴2122
22-=--a
c a ，∴2223c a =，∴232
=e ，∴26=e ，故选B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ?为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。 解：121
21222222221-=+=+=+===
c
c c
PF PF c a c a c e
四、根据圆锥曲线的统一定义求解
例4：设椭圆122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1
F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是
.
解：如图所示，AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，∵1l AD ⊥于D ，∴AD 为1F 到准线1l 的距离，根据椭
圆的第二定义，2
121
1===
AD AB AD AF e 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的
离心率为（ ） A
2 B
22 C 21 D 4
2
解：2
2
1222=
=
=
AD
AF e 五、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围 例5：设??
?
??∈4,
0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围为（ ） A. 21 B. ???? ??22,21 C. ???
? ??2,22 D. ()+∞,2 另：由1tan cot 2
2
=-θθy x ，??
? ??∈4,
0πθ，得θtan 2=a ，θcot 2
=b , ∴θθcot tan 2
2
2
+=+=b a c ,∴θθθ
θ2222
cot 1tan cot tan +=+=
=a
c e ∵??
? ??∈4,0πθ，∴1cot 2>θ,∴22
>e ，∴2>e ，故选D
例6：如图，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、
E 三点，且以A 、B 为焦点．当
4
3
32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 解：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系
xoy ，则y CD ⊥轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线
的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记()0,c A -，??
?
??h c C ,2，()00,y x E ，其中AB c 2
1
=
为双曲线的半焦距，h 是梯形的高． 由定比分点坐标公式得()()λλλλ+-=+?
+-=
122120c c
c x ，λ
λ+=10
h y ，设双曲线的方程为122
22=-b y a x ，则离
心率a
c
e =，由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得
142222=-b h a c ① 将点E 的坐标代入双曲线方程得
111242
2222
2
=??? ??+-??
?
??+-λλλλb h a c ②
再将a
c
e =①、②得
14222=-b h e ，∴14222-=e b h ③ 111242
2222=??
?
??+-??? ??+-λλλλb h e ④ 将③式代入④式，整理得()λλ214442
+=-e ，∴2
312+-=e λ，由题设4332≤≤λ得： 4
3
231322≤+-≤e ，解得107≤≤e ，所以双曲线的离心率的取值范围为[]
10,7
配套练习
1. 设双曲线12222=-b
y a x （0,0>>b a ）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42
=的准线重合，
则此双曲线的方程为（ ）
A.
1241222=-y x B.
196482
2=-y x C. 13
232
2=-y x D. 1632
2=-y x
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A ．
3
1
B ．
3
3 C ．
2
1 D ．
2
3 3．已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 3
4
=，则双曲线的离心率为（ ）
A
35 B 34 C 4
5
D 23 4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
A
2 B
22 C 2
1
D 42 5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2
1
，则该双曲线的离心率为（ ） A
2
2
B 2
C 2
D 22
6．如图，1F 和2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2?是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A 3
B
5 C
2
5
D
13+
7. 设1F 、2F 分别是椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为c 3（c 为
半焦距）的点，且P F F F 221=，则椭圆的离心率是（ ）
A
213- B 21
C 215-
D 2
2
8．设1F 、2F 分别是双曲线12222=-b
y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使0
2190=∠AF F ，且
213AF AF =，则双曲线离心率为（ ）
A
2
5
B
2
10 C
2
15 D
5
9．已知双曲线12222=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为0
60的直线与双曲线的
右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A []2,1 B ()2,1 C [)+∞,2 D ()+∞,2
10．椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的焦点为1F 、2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若
212F F MN ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．??
? ??21,0
B ．??
? ??22,0 C ．??
?
???1,21
D ．???
?
???1,22
答案：1.由c a
2
1a c =可得 3.a b c ==故选D
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ 2a b =，椭圆的离心率c e a =
=D 。
3.双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得45
,33
b c e a a ===
=可得,故选A
4.不妨设椭圆方程为22221x y a b +=（a >b >0），则有2221b a c a c
=-=，据此求出e ＝22
5.不妨设双曲线方程为22221x y a b -=（a >0，b >0），则有
2221
2b a c a c =-=，据此解得e ＝2，选C 6.解析：如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122
22 b a b
r a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以
1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，
且△AB F 2是等边三角形，连接AF 1，∠AF 2F 1=30°，|AF 1|=c ，
|AF 2|=3c ，∴ 21)a c =，双曲线的离心率为31+，选D 。
7.由已知P （c c a 3,2），所以222
)3()(2c c c a c +-=化简得220222=
=?=-a c e c a ． 8.设F 1，F 2分别是双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90o，且|AF 1|=3|AF 2|，
设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中122||||2a AF AF =-=，2c ==，∴ 离心率
e =
，选B 。 9.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只
有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b a ，∴ b
a
≥3，离心率e 2=
222
22
c a b a a +=≥4，∴ e ≥2，选C 10.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若2||2a MN c =，
12||2F F c =，12MN F F 2≤，则22a c c
≤，该椭圆离心率e ≥22
，选D