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全称量词

1．4.1全称量词

1．4.2存在量词

学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．

知识点一全称量词、全称命题

思考观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m≤5；

Q：对所有的m∈R，m≤5.

(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．

答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．梳理(1)概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．

(2)表示

将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：?x∈M，p(x)，读作“对任意x 属于M，有p(x)成立”．

(3)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，

证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．知识点二存在量词、特称命题

思考观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m>5；

Q：存在一个m0∈Z，m0>5.

(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)

答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．

梳理(1)存在量词：通常指的是短语“存在一个”“至少有一个”，并用符号“?”表示．(2)特称命题：①定义：含有存在量词的命题．②记法：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为：?x0∈M，p(x0)．

(3)特称命题真假判定：要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.

类型一全称命题与特称命题的识别

例1判断下列命题是全称命题，还是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

反思与感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题．

(1)自然数的平方大于或等于零；

(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；

(3)有的函数既是奇函数又是增函数；

(4)对于数列?

???

n n ＋1，总存在正整数n 0，使得0n a 与1之差的绝对值小于0.01.

解 (1)是全称命题，表示为?x ∈N ，x 2≥0.

(2)是特称命题，表示为?(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|

2＝1.

(3)是特称命题，?f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数． (4)是特称命题，?n 0∈N *，0|1|0.01－＜，n a 其中0n a ＝n 0

n 0＋1.

类型二全称命题与特称命题的真假的判断例2 判断下列命题的真假． (1)所有的素数都是奇数； (2)?x ∈R ，x 2＋1≥1；

(3)对每一个无理数x ，x 2也是无理数； (4)存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0； (5)存在两个相交平面垂直于同一条直线．解 (1)2是素数，但2不是奇数．

所以全称命题“所有的素数都是奇数”是假命题． (2)任意x ∈R ，总有x 2≥0，因而x 2＋1≥1. 所以全称命题“?x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题． (3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．

所以全称命题“对每一个无理数x ，x 2也是无理数”是假命题．

(4)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以特称命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0”为假命题．

(5)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直同一条直线，所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题．

反思与感悟判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：

(1)要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可，否则命题为假．

(2)要判定一个全称命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x ，p (x )都成立，但要判定一个全称命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x 0，使p (x 0)不成立即可．跟踪训练2 (1)举反例说明下列命题是假命题． ①?x ∈R ，都有|x |＝x ； ②?x ∈R ，都有x 2＝x ；

③任意一元二次方程都有实数解； ④凡x <2，都有x <1(x ∈R )．

解 ①当x ＝－1时，|x |＝1，而x ＝－1，等式不成立，故为假命题． ②当x ＝－1时，x 2＝1，而x ＝－1，等式不成立，故为假命题． ③方程x 2＋2x ＋2＝0无实数解，故为假命题． ④令x ＝1.5，则x <2，但x >1，故为假命题． (2)判断下列命题的真假： ①有一些奇函数的图象过原点； ②?x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0； ③?x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.

解 ①该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

②该命题是特称命题．

∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0

＋14)2＋78≥78>0， ∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0. 故该命题是假命题． ③该命题是全称命题．

∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π

)≤2恒成立，

∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．类型三依据含量词命题的真假求参数取值范围

例3 (1)已知命题p ：?x ∈R ，ax 2＋2x ＋3≥0是真命题，求实数a 的取值范围；

(2)已知命题q ：?x ∈[0，π]，使得sin x ＋cos x ＝m 有解为真命题，求实数m 的取值范围．解 (1)命题p 为真命题，即ax 2＋2x ＋3≥0在R 上恒成立． ①当a ＝0时，不等式为2x ＋3≥0，显然不能恒成立； ②当a ≠0时，由不等式恒成立可知

????

a >0，Δ＝22

－4×a ×3≤0，即?????

a >0，a ≥13，

∴a ≥13

综上，a 的取值范围为[1

，＋∞)．

(2)命题q 为真，即方程sin x ＋cos x ＝m 在x ∈[0，π]上有解，设f (x )＝sin x ＋cos x ，

∴m 的取值范围就是f (x )＝sin x ＋cos x 在[0，π]上的值域． ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π

4)．

而x ∈[0，π]，∴x ＋π4∈[π4，5

π]，

∴sin(x ＋π4)∈[－2

2，1]，故f (x )∈[－1，2]，

∴m 的取值范围为[－1，2]．

反思与感悟已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．

跟踪训练3 设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，求x 0的取值范围．

解方法一当x 0＝0时，M (0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N (－1,0)或N (1,0)，使

∠OMN ＝45°.

当x 0≠0时，过M 作圆的两条切线，切点为A 、B . 若在圆上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，应有∠OMB ≥∠OMN ＝45°，

∴∠AMB ≥90°，∴－1≤x 0<0或0

方法二过O 作OP ⊥MN ，P 为垂足，OP ＝OM ·sin 45°≤1，∴OM ≤1

sin 45°

，OM 2≤2，

∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，

∴－1≤x 0≤1.

1．下列命题中，不是全称命题的是( ) A ．任何一个实数乘以0都等于0 B ．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

答案 D

解析D选项是特称命题．

2．命题p：?x∈N，x3

A．p假q真B．p真q假

C．p假q假D．p真q真

答案 A

解析∵x3

3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是()

A．a≥0 B．a<0 C．b≤0 D．b>1

答案 B

解析函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：

由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.

4．特称命题“?x0∈R，|x0|＋2≤0”是________(填“真”或“假”)命题．

答案假

解析不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题．

5．若命题“?x0∈R，x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．

答案2≤m≤6

解析由已知得“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是2≤m≤6.

1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．

2判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．

3．判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，

否则命题为假．

一、选择题

1．设非空集合A ，B 满足A ?B ，则( ) A ．?x 0∈A ，使得x 0?B B ．?x ∈A ，有x ∈B C ．?x 0∈B ，使得x 0?A D ．?x ∈B ，有x ∈A 答案 B

解析因为非空集合A ，B 满足A ?B ，所以A 中元素都在B 中，即?x ∈A ，有x ∈B . 2．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(? p )∧(? q ) C ．(? p )∧q D ．p ∧(? q )

答案 D

解析 p 为真命题，q 为假命题，故? p 为假命题，? q 为真命题．从而p ∧q 为假，(? p )∧(? q )为假，(? p )∧q 为假，p ∧(? q )为真，故选D.

3．已知命题“?x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋1

2≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－1,3)

C ．(－3，＋∞)

D ．(－3,1) 答案 B

解析原命题的否定为?x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋1

2>0，

由题意知，其为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×1

2<0，