平面与平面平行的判定导学案
【课时目标】 1．理解平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用平面与平面平行的判定定理，证明一些空间面面平行的简单问题．
知识梳理
1．平面α与平面β平行是指两平面________公共点．若α∥β，直线a ?α，则a 与β的位置关系为________．
2．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(M ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为________．
?
????m ?αn ?αm ∥βn ∥β ?α∥β
作业设计
一、选择题
1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( )
A ．0个
B ．1个
C ．0个或1个
D ．1个或2个
2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A ．α内有无数条直线平行于β
B ．α内不共线三点到β的距离相等
C ．l 、M 是平面α内的直线，且l ∥α，M ∥β
D ．l 、M 是异面直线且l ∥α，M ∥α，l ∥β，M ∥β
3．给出下列结论，正确的有( )
①平行于同一条直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若a ，b 为异面直线，则过a 与b 平行的平面只有一个．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且AD /∈α，则( )
A ．α∥平面ABC
B ．△AB
C 中至少有一边平行于α
C ．△ABC 中至多有两边平行于α
D ．△ABC 中只可能有一边与α相交
5．正方体EFGH —E 1F 1G 1H 1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
6．两个平面平行的条件是()
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D．两个平面都平行于同一条直线
二、填空题
7．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为______．
8．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，
则α∥β．其中正确的有________．(填序号)
9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．
11．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD 的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC．
能力提升12．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D．
13．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?
反思提炼：
判定或证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
答案
知识梳理
1．无a∥β2．M，n相交
两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)
●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？
《平面与平面平行的判定》的教学设计 一、教材分析 1.《课标》要求 几何学是研究现实世界中物体的形状，大小和位置关系的数学学科。本教材强调“直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算”是探索和认识空间图形及其性质的主要方法。高一阶段立体几何的学习更注重“直观感知，操作确认”并适度进行“思辨论证”。本节要求通过直观感知，操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理。借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理；直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行的性质与判定，并对某些结论进行论证，通过直观感知、操作确认，归纳出判定定理。 2.地位和作用 本课是在学生学习了平面的性质、线线关系、线面关系之后，且已具备一定数学能力和方法的基础上进行的。两个平面平行的判定定理是立体几何中的一个重要定理。它揭示了线线平行、线面平行、面面平行的内在联系，体现了转化的思想。通过本课的学习，不仅能进一步培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后继的知识学习中去，为以后学习面面垂直打下基础。所以，本课既是前期知识的发展，又是后继课程有关图形研究的前驱，在教材当中起到一个承上启下的作用。 二、教学内容分析: 本节教材选自人教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，类比直线与平面平行的判定定理探究过程，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出平面与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。 三、学情分析： 学生已有一些平面几何基础，在学习了线线、线面关系后，已具备了本节课所需的预备知识，具有一定的分析问题、解决问题的能力，并且空间想象能力，逻辑推理能力已初步形成。也学习了直线和平面平行的判定，本节课与上一节课的研究顺序和方法基本相同，学生也有了一定的研究经验。故在本节课的教学中可以充分利用学生已有的知识和空间构图的想象能力进行教学；但在如何发现判定两个平面平行的判定方法上存在难点，故可以借助教师事务的展示和多媒体课件的演示，使学生在一系列的设问中找到正确的结论 四、设计思想 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出平面与平面平行的判定定理，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的
典型例题一例1：已知正方体ABCD - A1B1C1D1. 求证：平面 AB1D111平面C1BD . 证明：T ABCD - A1B1C1D1 为正方体, ??? D1A//C1B , 又C1B 平面C1BD , 故D1A// 平面 C1BD . 同理D1B1 //平面C1BD . 又D1A D1B1 D1 , ???平面AB1D1// 平面C1BD . 说明：上述证明是根据判定定理1实现的.本题也可根据判定定理2证明，只需连接AC 即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离. 典型例题二 例2:如图，已知// , A a, A 求证：a . 证明：过直线a作一平面，设 b . ?/ // ??? a1 // b 又a//
? a//b 在同一个平面内过同一点A有两条直线a,a1与直线b平行? a与a1重合，即a
说明：本题也可以用反证法进行证明. 典型例题三 例3:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一 个也相交. 已知：如图，// ,1 A. 求证：I与相交. 证明：在上取一点B，过I和B作平面，由于与a有公共点 A , 与有公共点 B . ???与、都相交. 设a, b . ?/ // ? a//b 又I、a、b都在平面内，且I和a交于A . T I与b相交. 所以I与相交. 典型例题四 例4:已知平面// , AB , CD 为夹在a ,间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点. 求证：EF〃, EF // . 证明：连接AF并延长交于G . ??? AG CD F ? AG , CD确定平面，且 DG .
?/// ，所以AC//DG , ACF GDF , 又AFC DFG , CF DF , ??? △ ACF ◎△ DFG ? ??? AF FG ? 又AE BE , ? EF//BG, BG ? 故EF // ? 同理EF // 说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理. 典型例题六 例6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A1、B1、G、D1，且A、B i、C i、D i互不重合，也无三点共线. 求证：四边形A i B i C i D i是平行四边形. 证明：T AA , DD i ?- AA // DD i 不妨设AA和DD i确定平面 . 同理BB i和 CC i确定平面 又AA i // BB i，且BB i ? AA // 同理AD // 又AA i AD A // A D i, B i C i
2.2.1直线与平面平行的判定 导学案 学习目标：（板书 解读） 知识方面：通过对图片，实例的观察，抽象概括出线面平行的定义，正确理解线面平 行的定义； 能力方面：通过直观感知操作确认归纳线面平行的判定定理，并能运用判定定理证明 一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念； 情感方面:让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 学习重点：通过直观感知和操作确认概括出线面平行的定义及判定定理 学习难点：1、操作确认并概括出线面平行的判定定理 2、反证法的证明方法 学习过程： *导入新课 堂堂趣 (2)判断两条直线平行有几种方法？ *看书做记号（不同笔记，不同符号对重点字词句断题等做记号） 堂堂问 实例探究： 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ (3)门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与门框所在平面具有什么样的位置关系？ (4)课本的对边是平行的，将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 探究思考 (5)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？ 通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素： (6): 如果平面外的直线a 与平面α内的一条直线b 平行，那么直线a 与平面α平行吗？ 如图,直线a 与直线b 共面吗？ 直线a 与平面α 相交吗？ 面平行. 简单概括：线线（内外）平行?线面平行 符号语言： ////a b a a b ααα?? ? ????? 判定定理告诉我们，判定直线与平面平行的条件有三个分别是 (1) a 在平面α外，即a ?α(面外) (2) b 在平面α内，即b ?α(面内) (3) a 与b 平行，即a ∥b(平行) 温馨提示： 作用：判定或证明线面平行。 关键：在平面内找（或作）出一条直线与平面外的直线平行。 思想：空间问题转化为平面问题 线线平行?线面平行
平面与平面平行的判定教案 文昌中学数学组曾叶 教学目标 1.使学生理解和掌握两个平面平行的判定定理及应用； 2.加深学生对转化的思想方法的理解及应用. 教学重点和难点 重点:两个平面平行的判定定理； 难点:两个平面平行的判定定理的证明. 教学设计过程 一、复习提问 师:上节课我们研究了两个平面的位置关系，请同学们回忆一下，两个平面平行的意义是什么？ 生:两个平面没有公共点. 师:对，如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关系呢? 生:平行. 师:为什么? 生:用反证法，假设不平行，则这些线中至少有一条和另一个平面有公共点或在另一个面内，而此两种情况都说明这两个平面有公共点，与两个面平行矛盾. 师:证得很好.反过来，如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行.由以上结论，就可以把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线和另一个平面平行的问题.但要注意:两个平面平行，虽然一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，但
这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线也可能是异面直线，但不可能是相交直线. 〔对旧知识复习，又有深入，同时又点出了“转化”的思想方法，为引入新课作铺垫〕二、新课 师:接下来，我们共同对两个平面平行作定性研究，先来研究两个平面平行的判定——具有什么条件的两个平面是平行的呢? 生:根据两个平面平行的定义，只要能证明一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，就可得出两个平面平行. 师:很好，实质就是由线面平行来得到面面平行.而实际上，判定两个平面平行，并不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面. 下面我们共同研究判定两个平面平行的其它方法，请大家思考以下几个命题. (1)平面α内有一条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? (2)平面α内有两条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? 〔学生讨论回答，并举出反例，得(1)，(2)不对，教师接着问〕 (3)平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? 〔教师对学生的回答，作出适当评述〕 师:以上三个命题均为假命题，那么，怎样修改一下命题的条件，就可得出正确结论? 〔学生讨论后，教师请一名同学回答〕 生:把条件改为:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面. 师:说说你的想法. 生:我想，两条相交直线确定一个平面，若它们分别与另一个平面平行，则所确定的平面也一定与这个平面平行. ［此是学生的猜想，教师给予肯定，并引导学生进行严格论证］ 师:下面我们来证明.先把命题完整的表述出来.
2.2.3直线与平面平行的性质 2．2.4平面与平面平行的性质 课前自主预习 知识点一直线与平面平行的性质定理 1．定理：一条直线与一个平面平行，则□1过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． 2．符号表示：若□2a∥α，a?β，α∩β＝b，则□3a∥b. 3．作用：□4证明或判断线线平行． 知识点二平面与平面平行的性质定理 1．定理：如果两个平面平行，那么其中一平面内的□1任一直线平行于另一平面． 2．符号表示：若□2α∥β，a?α，则□3a∥β. 3．作用：□4证明或判断线面平行． 知识点三平面与平面平行的性质定理 1．定理：如果□1两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线□2平行． 2．符号表示：若□3α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则□4a∥b. 3．作用：□5证明或判断线线平行． 1．定理使用条件 (1)直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可 ①直线a和平面α平行，即a∥α. ②平面α和平面β相交于直线b，即α∩β＝b. ③直线a在平面β内，即a?β.
(2)平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可 ①两个平面平行，即α∥β. ②第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a. ③第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b. 2．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示： 3．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段． 1．(教材改编，P61练习)判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．() (2)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．() (3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.() 答案(1)×(2)×(3)× 2．(教材改编，P62，T2)做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是________． (2)平面α∥平面β，直线l∥α，则直线l与平面β的位置关系是________． (3)正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面B1AC与平面A1C1的交线
线面平行、面面平行的证明导学案 <一>、知识点梳理 (1)线面平行的判定定理: ααα////,,a b a b a ???. (2)线面平行的性质定理: b a b a a //,,//?=??βαβα. (3)面面平行的判定定理: βαααββ////,//,,,?=???b a P b a b a (4)面面平行判定定理推论：βαβα////,//,,,,,,?=?=???d b c a Q d c P b a d c b a (5)面面平行判定定理推论：βαγβγα////,//? (6)面面平行的性质定理: b a b a //,,//?=?=?γβγαβα. (7)面面平行的证明还有其他方法: βαβα//,,?⊥⊥a a . [基础自测] 1．(教材习题改编)若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是( ) A ．a 平行于α内的所有直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 垂直 2．设m ，l 表示直线，α表示平面，若m ?α，则 l ∥α是l ∥m 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(教材习题改编)已知不重合的直线a ，b 和平面α， ①若a ∥α，b ?α，则a ∥b ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ③若a ∥b ，b ?α，则a ∥α；④若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b ?α， 上面命题中正确的是________(填序号)． <二>、例题分析 考点1：线面平行 例1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P —ABCD 中，点 E 是 PD 的中点. 求证：PB//平面 AEC ； 变式练习1： (2012·东北三校联考)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为棱AB 的中点 (1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；
25 A 1 《平面与平面平行的判定》同步练习 一、选择题； 班级 姓名 1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( ) ①l ?α,m ?α,且l ∥β,m ∥β；②l ?α,m ?α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥m A 1个 B 2个 C 3个 D 0个 2． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则 下面成立的是（ ） A P ?Q ，P ?Q B P ?Q ，P ?Q C P ?Q ， D P ?Q ， P ?Q 3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ） ①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ； A ① B ② C ①② D 无 4．下列命题中为真命题的是（ ） A 平行于同一条直线的两个平面平行 B 垂直于同一条直线的两个平面平行 C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行． D 若三条直线a 、b 、c 两两平行，则过直线a 的平面中，有且只有—个平面与b ，c 都平行． 5．下列命题中正确的是( ) ①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一直线的两个平面平行； ④与同一直线成等角的两个平面平行 A ①② B ②③ C ③④ D ②③④ 二、填空题； 6． 下列命题中正确的是 （填序号）； ①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ③平行于同一直线的两个平面一定相互平行； ④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ； 7． 若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 ； 8． 如右图,点P 是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所 在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化. 三、解答题； 9. 如图：直三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 中，1==CB CA ，?=∠90BCA ，棱 21=AA ，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点 求证：平面A 1NC ∥平面BMC 1
2020年高中数学 2.2.3 直线与平面平行的性质(1)配套导学案 新 人教A 版必修 一、温故思考【自主学习·质疑思考】 仔细阅读课本58-60页，结合课本知识，完成下述概念.课件1内容 1.直线与直线平行的定义：直线与直线没有——————； 直线与平面平行的定义：直线与平面没有————————. 平面与平面平行的定义：两个平面没有————————. 2.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面——————. 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面——————. 二、新知探究【合作探究·展示能力】 看书两分钟，了解直线与平面平行的性质定理； 出示课件2-1 平面与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线——————. 定理解读 : 例1. 下列命题，其中真命题的个数为 . ①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α; ③若直线a ∥b ,直线b ?α,则a ∥α； ④若直线a ∥b ,b ?α,那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线. 例2. 如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、P C 的中点，平面 PAD 平面PBC l =． 求证：BC l //．
三、总结检测【归纳总结·训练检测】 ◆挑战题 题目：已知：E 、F 、G 、H 分别是三棱锥D-ABC 边AD 、AB 、CD 、BC 上的点，且四点共面， E 是AB 的中点，且直线E F //平面BCD 求证： GH //BD 四、作业项目【课外作业·开展项目】 课后完成作业：课后习题61页2.2A 组第6题B 组1、2小题写在作业本上.同时思考今天的拓展问题，将你的答案写在作业本上. 预习下一课时《平面与平面平行的性质》 F E D C B A G H
《平面与平面平行的判定》同步练习 一、选择题；班级姓名 1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有( ) ①l?α,m?α,且l∥β,m∥β；②l?α,m?α,且l∥m；③l∥α,m∥β,且l∥m A 1个 B 2个 C 3个 D 0个 2．已知：命题：P：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q：α∥β，则下面成立的是（） A P?Q ，P?Q B P?Q，P?Q C P?Q， D P?Q，P?Q 3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（） ①α，β分别过两条平行直线；②a，b为异面直线，α过a平行b，β过b平行a； A ① B ② C ①② D 无 4．下列命题中为真命题的是（） A 平行于同一条直线的两个平面平行 B 垂直于同一条直线的两个平面平行 C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行． D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行． 5．下列命题中正确的是( ) ①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行 A ①② B ②③ C ③④ D ②③④ 二、填空题； 6．下列命题中正确的是（填序号）； ①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
C M B A 1 B 1 C 1 A ③平行于同一直线的两个平面一定相互平行； ④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ； 7． 若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 ； 8． 如右图,点P 是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在 平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化. 三、解答题； 9. 如图：直三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 中，1==CB CA ，?=∠90BCA ，棱 21=AA ，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点 求证：平面A 1NC ∥平面BMC 1 10．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，P 为AC 上一点，且AP ： PC=2：1，求证：（1） BD ∥面CMN ；（2）平面MNP//平面BCD. C D A M N P
第二章 2.2.1 直线与平面平行的判定与性质 【学习目标】 1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景； 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行. 3. 掌握直线和平面平行的性质定理； 4. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化 【学习重点】 1.如何判定直线与平面平行. 2.直线与平面平行的性质定理. 【知识链接】 1.直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. 2.空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面. 3.用三种语言描述直线与平面平行的性质定理. 【基础知识】 1.若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置平行或异面. 2.直线与平面平行的判定定理： （1）文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简记：线线平行，线面平行） （2）符号语言为： （3）图形语言为： A.上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？ B.如果要证明这个定理，该如何证明呢？ 3.判定直线与平面平行通常有三种方法： ⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明. ⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等. ⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到) 4.直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行. （简记：线面平行，线线平行） A.反思：定理的实质是什么？ B.运用线面平行的性质定理证题，应把握以下三个条件①线面平行，即a∥α；②面面相交，即αβ=b； ③线在面内，即bβ ?. 【例题讲解】 例1 如图1，空间四边形ABCD中，,E F分别是, AB AD的中点，求证：EF∥平面BCD. （教材） 例2 如图2，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG. 证明：连接AC、BD、EF、FG、EG. 在△ABC中， ∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.
. 第二章 点、直线、平面平行的判定及其性质 §2.2.2 平面与平面平行的判定 1．知识与技能：理解平面与平面平行的判定定理，并会初步运用； 2．过程与方法：以实物为媒体，启发、引导学生逐步经历定理的直观感知过程, 对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识、发现问题、教师予以指导，帮助学生合情推理、澄清概念、加深认识、正确运用； 3．情感、态度与价值观：通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识； 理解平面与平面平行的判定定理的含义； 能应用直线、平面平行的判定定理判断或证明线面、面面平行； 一、目标展示 二、复习回顾 1.直线与平面平行的判定定理 2.证明直线与平面平行的关键是什么？具体方法有哪些？ 三、自主学习 请同学们自主学习课本第56—57页内容，交流解决下列问题： 1. 平面与平面平行的判定定理是什么？如何分别用文字语言、图形语言、符号语言来描述？ 2. 平面与平面平行的判定定理的作用有哪些？ 一、文字语言描述：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 二、图形语言描述： 三、符号语言描述：,,,,a b a b P a b ββαααβ???=////?// 四、作用：证明两个平面平行 四、合作探究 问题 1．(1)若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？ 答：不一定，这两个平面平行或者异面.
. (2)若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？ 答：不一定，这两个平面平行或者异面.（注：同一平面内的这两条直线必须是相交的直线） 问题 2．设直线l, m,平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( A ) ①l ?α，m ?α，且l ∥β，m ∥β； ②l ?α，m ?α，且l ∥m ，l ∥β，m ∥β； ③l ∥α，m ∥β，且l ∥m ； ④ l ∩m ＝P, l ?α，m ?α，且l ∥β， m ∥β. A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 五、精讲点拨 例1．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面； [解答](1)因为G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，所以GH 是△A 1B 1C 1的中位线，所以GH ∥B 1C 1.又因为B 1C 1∥BC ，所以GH ∥BC ，所以B ，C ，H ，G 四点共面． (2)平面EFA 1∥平面BCHG . [解答] (2)因为E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以EF ∥BC .因为EF ?平面BCHG ，BC ?平面BCHG ，所以EF ∥平面BCHG .因为A 1G ∥EB ，A 1G ＝EB ，所以四边形A 1EBG 是平行四边形，所以A 1E ∥GB . 因为A 1E ?平面BCHG ，GB ?平面BCHG ，所以A 1E ∥平面BCHG .因为A 1E ∩EF ＝E ，所以平面EFA 1∥平面BCHG . 练习：如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， M ，N ，P 分别是C 1C ，B 1C 1，D 1C 1的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1BD . 例2．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 为DD 1上一点，且D 1G ∶GD ＝1∶2，AC ∩BD ＝O ， 求证：平面AGO ∥平面D 1EF .
平面与平面平行的判定 【教学目标】 1．掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义； 2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化。 【教学重点】 两个平面平行的判定定理、性质定理 【教学难点】 两个平面平行的判定定理、性质定理的应用 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习引入： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α?，a A α=，//a α。 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 推理模式：,,////l m l m l ααα???。 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾， ∴//l α。 a α a α
3． 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 推理模式：//,,//l l m l m αβα β?=?。 证明：∵//l α，∴l 和α没有公共点， 又∵m α?，∴l 和m 没有公共点； 即l 和m 都在β内，且没有公共点，∴//l m 。 二、讲解新课： 1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。 2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的。 3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行。 推理模式：：a β?，b β?，a b P =，//a α，//b α//βα?。 分析：这个定理从正面证(用定义)比较困难，所以考虑用反证法。 启发：（1）如果平面α和平面β不平行，那么它们的位置关系怎样？ （2）如果平面α和平面β相交，那么交线c 和平面β中的直线a 与b 各有怎样的位置关系？ （3）相交直线a 与b 都与交线c 平行，这合理吗？为什么？ 证明：假设c βα=， ∵a β?，//a α， ∴//a c ，同理//b c 。 即在平面β内过点P 有两条直线与c 平行，与公理4矛盾， ∴假设不成立，∴//βα。 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。 推理模式： ,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=??=???。 4．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 推理模式：//,,//a b a b αβγ αγβ==?。 证明：∵//,,a b αβαβ??，∴,a b 没有公共点， 又∵,a b γγ??，∴//a b 。 β α m l c P b a β α γ b a β α
课题 平面与平面平行的性质 班级：_______姓名：_______ 自学导航 学习目标： 1`．通过图形探究面面平行的性质定理。２．熟练掌握面面平行的性质定理的应用。 ３．进一步培养学生的空间想象能力，以及逻辑思维能力。 重点：面面平行的性质。 难点：面面平行性质的应用。 学法指导： 平行是一种非常重要的位置关系，不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。面面平行的性质定理给出了由面面平行．．．．转化为线线平行．．．． 的方法。 自主学习 知识链接：平面与平面平行的判断方法有 自主探究： 预习教材60页至61页，找出疑惑之处，并完成下列问题： 问题提出 1.平面与平面平行的判定定理是什么？ 2.平面与平面平行的判定定理解决了平面与平面平行的条件问题，反之，在平面与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？ 思考1:若α∥β，l ?α，则直线l 与平面β的位置关系如何？ 思考2：若α∥β，直线l 与平面α平行，那么直线l 与平面β的位置关系如何？ 思考3:若α∥β，直线l 与平面α相交，那么直线l 与平面β的位置关系如何？ 思考4:若α∥β，平面α与平面γ相交，则平面β与平面γ的位置关系如何？ 思考5:若α∥β，平面α、β分别与平面γ相交于直线a 、b ，那么直线a 、b 的位置关系如何？为什么？ 由下图反映出来的性质就是一个定理，分别用文字语言和符号语言可以怎样表述？ 思考6:如果两个相交平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线的位置关系如何？ γβα b a
思考5:若平面α、β都与平面γ平行，则平面α与平面β的位置关系如何？ 小组交流、展示提升 例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 例2 在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，点M 在CD BD 的位置关系，并说明理由. 例3 如图，已知AB 、CD 是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M 、 N 分别为AB 、CD 的中点，求证：MN ∥平面β.
直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一 直线与平面平行的判定定理 思考 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二 平面与平面平行的判定定理 思考 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？ 答 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一 直线与平面平行的判定定理的应用 例1 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 求证：(1)EH ∥平面BCD ； (2)BD ∥平面EFGH . 证明 (1)∵EH 为△ABD 的中位线， ∴EH ∥BD . ∵EH ?平面BCD ，BD ?平面BCD ，
∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两 点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB1綊BD， 所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B. 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，
数学导学案 15.3平行四边形的性质(1) 一、学习目标： 1．理解平行四边形的对边、对角相等的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关 的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、学习重点、难点： 1.重点：平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2.难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、学习过程： （一）复习引入： 说出平行四边形的定义所包涵的两层涵义: （二）探索新知： 活动一：（合作探究，引入新课） 你们能用两张全等的三角形纸片，拼出四边形吗？ 合作一：小组拼图,在同一平面内，用两张全等的三角形纸片拼四边形,有哪几种情况?。 合作二：根据拼图，小组讨论：这些四边形都有什么突出的特征?请说明理由。 活动二：（观察猜想，发现新知） （1）发现: （2）猜想: (3)论证:已知：如图ABCD ， 求证：AB ＝CD ，CB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠BAD ＝∠BCD ． 356356
D A 由此得到平行四边形的性质： 平行四边形性质1 平行四边形性质2 ． 符号语言： 证明线段、角相等的新的方法： . 活动三：（学以致用，再现新知）： 例1、算一算：在□ABCD 中，已知∠A=140°，则∠B 的度数为_______，∠C 的度数为_______。 变式1：若改变条件为“∠A-∠B=100°”，则∠B 的度数为_______，∠C 的度数为_______。 变式2：若改变条件为“添加一个合适的条件”，并求∠B 和∠C 的度数。 例2、如图，已知E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，且 AE=CF ，求证：BE=DF ； 思考:(1)由此题你还能得到哪些结论,并说明理由. (2) 若已知条件E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点不变,请你改变其他条件和结论自编一道题目给大家讲解 活动四：智慧乐园（联系生活，应用新知） 为了美化校园，学校要在一块□ABCD 的草地上， 设计一条道路BEDF ，设计方案如下： 在AD 边上量取AF=AB ，在CB 边上量取CE=CD ，并连 结BF ，DE ，请同学们在课堂练习纸上画出图形，并判 断这条道路的形状？证明你的判断．
【关键字】高一 河北省邯郸市临漳县第一中学高一数学直线与平面垂直的判定学案 一、学习目标: 知识与技能：理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义, 并会应用性质解决问题 过程与方法：能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面、平面与平面的性质定理二、学习重、难点 学习重点: 直线与平面、平面与平面平行的性质及其应用 学习难点: 将空间问题转化为平面问题的方法， 三、学法指导及要求: 1、注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。 四、知识链接： 1.空间直线与直线的位置关系 2.直线与平面的位置关系 3.平面与平面的位置关系 4.直线与平面平行的判定定理的符号表示 5.平面与平面平行的判定定理的符号表示 五、学习过程： A问题1： 1）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？ （观察长方体） 2）如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行？ （可观察教室内灯管和地面） A问题2: 一条直线与平面平行，这条直线和这个平面内直线的位置关系有几种可能？ A问题3：如果一条直线与平面α平行,在什么条件下直线与平面α内的直线平行呢？ 由于直线与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线的某一平面，若与平面α相交，则直线就平行于这条交线 B自主探究1：已知：∥α，β，α∩β＝b。求证：∥b。 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号语言： 线面平行性质定理作用：证明两直线平行 思想：线面平行线线平行 例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将
平面与平面平行的判定与性质 、选择题 1平面a//平面3,点A、C € a,点B、D € 3,则直线AC //直线BD的充要条件是（） A . A B // CDB . AD // CB C．AB 与CD 相交D．A、B、C、D 四点共面 2. "内存在着不共线的三点到平面3的距离均相等"是“a 3的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要的条件 3.平面a//平面3,直线a i,a P€ 3,则过点P的直线中（） A ?不存在与a平行的直线 B ?不一定存在与a平行的直线 C.有且只有一条直线与a平行 D.有无数条与a平行的直线 4.下列命题中为真命题的是（） A ?平行于同一条直线的两个平面平行 B .垂直于同一条直线的两个平面平行 C.若一个平面内至少有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. D .若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b, c均平行. 5.已知平面a//平面3且a 3间的距离为d , I l,a l '则3与I之间的距离的取值范围为（） A . （d,?B. （d,+ ? C. {d} D . （0, s） 6.已知直线a、b、c i ,a且a// 3、b // 3 c// 3,贝U “、b、c到平面3的距离均相等"是“a 3的（）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件D .既不充分也不必要的条件 7.给出以下命题： ①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小； ②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行； ③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等； ④在过定点P的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离 也为d 其中假命题共有（） A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 个 &设％// 3, P€ a, Q€ 3当P、Q分别在平面％、3内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X （）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 A .不共面 B ?当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面