1．[2020年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学文科第8题，理科第8题] 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）
Ａ．
3
4000cm 3
Ｂ．3
8000cm 3
Ｃ．3
2000cm
Ｄ．34000cm
2．[2020年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学文科第6题，理科第6题] 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ）
A ．9π
B ．10π
C ．11π
D ．12π
3．[2020年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学文科第7题，理科第6题]
将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△CHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为
4．[2020年普通高等学校统一考试（山东卷）数学文科第3题，理科第3题]
下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
E F D
I
A H G
B
C E
F D A
B C
侧视 图1
图2 B
E
A ．
B
E
B ． B
E
C ．
B
E
D ．
正视图
侧视图
俯视图 俯视图 正(主)
视图 侧(左)视图
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④
5、[大连市24中学2020～2020学年度上学期期中考试高三年级数学科试卷第4题] 右图是一个空间几何体三视图，它的主视图、左视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的 直角边长为1，那么这个几何体的体积为
A.1
B.
16 C. 12 D.13
6、[广东广州海珠2020届高三综合测试(文数第4题，理数第2题)]
7、[福建泉州一中08—09学年第一学期期中考试卷高 三 数 学 (理科)第6题] 一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的表面积是
（ ） A ．6+83 B ．12+83 C ． 12+73
D ．18+23
8．[江苏省南京六中2020学年度第一学期期中考试高三年级数学第13题]
已知某个几何体的三视图如下，其中俯视图为正三角形，11B A =2，A A 1 =4。根据图中标出的
①正方形 ②圆锥
③三棱台 ④正四棱锥
俯
侧
3 2 2
第5题
尺寸（单位cm ），可得这个几何题的表面积是 ．
9．[江苏省高邮中学2020学年度第高三数学滚动练习试卷（15）
第10题]
已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 cm 3．
10．[福建省宁德市2020届高三年级第四次月考数学试题(理科)第8题]
已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是
A ．3
3
1cm
B ．
332cm C ．33
4cm D ．338
cm
11、[广东省中山一中2020届高三年级第二次统测试题文科数学（试题卷）第7题]
主视图
左视图
俯视图
A 1
B 1
D
左视图
主视图
俯视图 10
8
12
（第10题） 4
8
如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为 A ． 1
B ．
21
C ．
3
1
D ．6
1
12．[山东省潍坊市2020学年度高三第一学期期末考试数学试题（文科）第5题，（理科）第4题]
三视图如右图的几何体的全面积是 （ ） A ．22+ B ．21+ C ．32+
D ．31+
13、[福建莆田一中2020～2020学年度上学期第一学段高三文科数学试卷第14题] 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . a a a
a a a
正视图 侧视图 俯视图
14、[广东东莞高级中学11月份高三教学监控测试数学试题（理科）第7题]
已知正三棱锥V —ABC 的主视图、俯视图如下图所示，其中32AC ,4VA ==，则该三棱锥的左
正视图 侧视图
俯视图
俯视图
侧视图
正视图
11
b a
6视图的面积为（ ）
A. 9
B. 6
C. 33
D.
39
15．[广东省实验中学2020学年高三第二次阶段测试试卷数学（理科）第12题] 如图所示是三棱锥D-ABC 的三视图，其中△DAC 、△DAB 、△BAC 都是直角三角形，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则在．三棱锥．．．D ．-．ABC ．．．中．AO 的长度为___________；该三棱锥外接球的表面积为________.
16．[宁夏银川一中2020届高三年级第三次月考数学试卷（文科）第11题]
某几何体的三视图如图所示，当b a 取最大值时，这个几何体的体积为
（ ）
A ．6
1 B ．31
C ．
3
2
D ．
2
1
17、[2020年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（理科）第12题]
某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ） A. 22
B. 32
C. 4
D. 52
D
D
A
B
O B
A C
O
1 2 2
主
视图
侧（左）视图
府视图
18．[山东省潍坊市2020学年度高三第一学期期末考试数学试题文科第16题，理科第15题]
已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1， 其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积 V= ；
19、[2020年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（理科）第15题]
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
9
8
，底面周长为3，则这个球的体积为＿＿＿＿＿＿.
20．[2020年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学理科第12题]
一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ）
Ａ．3:1:1
Ｂ．3:2:2
Ｃ．3:2:2
Ｄ．3:2:3
21．[浙江诸暨中学2020学年第一学期期中考试试卷高三文科数学第17题，理科数学第16题]
已知ABC ?中，2=AB ，1=BC ，ο
120=∠ABC ，平面ABC 外一点P 满足
2===PC PB PA ，则三棱锥ABC P -的体积是 ▲ .
22．[合肥八中2020届高三第二次月考理第13题]
如图,已知球O 的面上四点,,,A B C D ,DA ⊥平面,,ABC AB BC ⊥
3DA AB BC ===,则球O 的体积等于
23．[2020年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（文科）第12题]
已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，点A α∈，A l ?，直线AB l ∥，直线AC l ⊥， 直线m m αβ∥，∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．
成立的是（ ）
A '
D
B
A
A ．A
B m ∥
B ．A
C m ⊥ C ．AB β∥
D ．AC β⊥
24．[宁夏银川一中2020届高三年级第三次月考数学试卷（理科）第3题]
m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ;
③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α?n n m ,//，则α//m .
其中真命题的序号是 （ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
25．[浙江诸暨中学2020学年第一学期期中考试试卷高三文科数学第4题，理科数学第3题]
已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是
A ．若α⊥m ，β⊥n ，αβ⊥，则m n ⊥.
B ．若α⊥m ，n ∥β，αβ⊥，则m n ⊥.
C ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n .
D ．若m ∥α，n β⊥，αβ⊥，则m ∥n . 26．[山东省枣庄市薛城区2020届高三第一学期期末考试数学试题（文科）第11题]
设α、β、γ为三个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，在命题“α∩β= m ，γ?n ，且 ，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，?n β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，?m γ 可以填入的条件有 （ ）
A ．①或②
B ．②或③
C ．①或③
D ．①或②或③
27、[福建莆田一中2020～2020学年度上学期第一学段高三文科数学试卷第16题]
有下列四个判断：①平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ
②直线a ∥b ，⊥a 平面α，⊥b 平面β
③a 、b 是异面直线，α?a ,β?b 且a ∥β,b ∥α
④平面α内距离为d 的两条平行直线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行直线 其中能推出βα
的条件有 （填写所有正确条件的代号）
28．[宁夏银川一中2020届高三年级第三次月考数学试卷（文科）第16题，（理科）第16题]
如图,正ABC ?的中线AF 与中位线DE 相交于G ,已知ED A '
?是AED ?绕DE 旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:
①动点'
A 在平面ABC 上的射影在线段AF 上; ②恒有平面BCED GF A 平面⊥'
;
③三棱锥FED A ‘
的体积有最大值;
④异面直线E A ’与BD 不可能垂直.
其中正确的命题的序号是 .
29、[大连市24中学2020～2020学年度上学期期中考试高三年级数学科试卷第3题] 已知直线a b 、是异面直线，直线c d 、分别与a b 、都相交，则直线c d 、的位置关系 A.可能是平行直线 B.一定是异面直线
C.可能是相交直线
D.平行、相交、异面直线都有可能
30．[宁夏银川一中2020届高三年级第三次月考数学试卷（理科）第19题]（本小题满分12分）
如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA=AB=1，PD 与平面ABCD 所成角是30°，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.
（Ⅰ）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系,并说明理由； （Ⅱ）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ； （Ⅲ）当BE 等于何值时，二面角P-DE-A 的大小为45°.
31．[厦门六中2020第一学期高三期中试卷（理科）第21题]（本小题满分12分）
一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方 体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼？试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1
的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值.
E
F
P
D
C B
A
正视图
侧视图 俯视图
32 ．[浙江省路桥中学2020学年高三年级第三次月考试卷数学（理科）第20题]（本小题满分14分）
如图多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）。 （1）求证：AE//平面DCF ； （2）当AB 的长为9
2
时,求二面角A-EF-C 的余弦值。
参考答案
1．Ｂ 2．D 3．A 4．D 5．Ｂ 6．C 7．B 8．24+23cm 2
9．640＋80π 10．C 11．C 12．A 13．
3
6
5a 14．B 15．3 ，π9； 16．D 17．C 18．621+
19．43
π 20．Ｂ
21．
65 22．9
2
π 23．D 24．A 25．A 26．C 27．②③
28．①②③. 29．C
30．[宁夏银川一中2020届高三年级第三次月考数学试卷（理科）第19题]（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行. ∵在PBC ?中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点， ∴EF ∥PC
又EF ?平面PAC ，而PC ?平面PAC
∴EF ∥平面PAC . ………4分 （Ⅱ）建立图示空间直角坐标系，则()0,0,1P ， ()0,1,0B ，110,,22F ?? ?
??
，
∵PD 与平面ABCD 所成角是ο
30
，∴ο
30=∠PDA ， ∴AD = ∴)
D
.
设BE x =，则(),1,0E x
0)2
1
,21,0()1,1,(=?-=?→
→
x AF PE ∴AF PE ⊥ ………8分
（Ⅲ）设平面PDE 的法向量为(),,1m p q =u r ，由
?
?=
?=?→→→→00PE m PD m ，得：m ?=??u r ，而平面ADE 的法向量为)1,0,0(=→
AP ,∵二面角P DE A --的大小是ο
45,所以
ο45cos =
|||||
|2
2→→→
→
?=AP m AP m
= 得BE x ==或 23+==x BE （舍）. ………………12分
31. [厦门六中2020第一学期高三期中试卷（理科）第21题] 解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥.……………………2分 其中底面ABCD 是边长为6的
正方形，高为CC 1=6，故所求体积是
72663
12
=??=V ……………………4分
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， 故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体。 ……………………5分 其拼法如图2所示. ……………………………6分
证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的 正方形，于是
D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立。……7分
（Ⅲ）方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ， 连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ， 连结HB 1，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与
平面ABC 所成二面角或其补角的平面角.………………9分
在R t △ABG 中，180=AG ，则
5
12180
126=?=
BH ，5
182
121=
+=
BB BH H B ，
3
2
cos 11==
∠HB HB HB B ，…………………………11分 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为3
2
±
.……12分 方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E （0，0，3），B 1（0，6，6），A （6，6，0）.……8分 设向量n =（x ，y ，z ），满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，
于是???=+-=+066036z x z y ，解得??
???-==z y z
x 21.
取z =2，得n =（2，-1，2）. 又=1BB （0，0，6），…………………………10分
3
2
1812|
|||,cos 111==
>=
D 1 A 1 B 1 C 1 图2 A B C D C 1 图1 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为3 2 ± .……………………12分 32 ．[浙江省路桥中学2020学年高三年级第三次月考试卷数学（理科）第20题]（本小题满分14分） 方法一： （1）（7分）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ， 可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形， 所以AD EG ∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．--------------------------------------4分 因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．--------------------------7分 （2）（7分）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结 AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥ 平面BEFC ， 从而AH EF ⊥． 所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角． 在Rt EFG △中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=o ，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==． 于是sin BH BE BEH =∠=g ．-------------------------------11分 因为tan AB BH AHB =∠g ，因为AB =9 2 时 tan AHB ∠=，所以二面角A EF C --的余弦值 1 2 ．---------14分 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 设AB a BE b CF c ===，，， 则(000)C ， ，，)A a ，，0)B ，，0)E b ，，(00)F c ，，． （1）证明：(0)AE b a =-u u u r ，， ，0)CB =u u u r ，，(00)BE b =u u u r ，，， 所以0,0CB CE CB BE ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ． 因为CB ⊥平面DCF ， D A B E F C H G 所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ． （2 ）解：因为(0)EF c b =-u u u r ， ，0)CE b =u u u r ， ， 所以0EF CE =u u u r u u u r g ，||2EF =u u u r ，从而 3()02b c b -+-=?=， ， 解得34b c ==，． 所以0)E ，，(040)F ，，． 设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直，因为92 AB = ， 则0n AE =u u u r g ，0n EF =u u u r g ， 解得n =． 又因为BA ⊥平面BEFC ，9 (0,0,)2 BA =u u u r ， 所以||1 |,2 ||||BA n COS n BA BA n ?<>==?u u u r u u u r u u u r ， 所以当AB 为 92时，二面角A EF C --的余弦值为12 2019年高三数学知识点总结：立体几何 由查字典数学网高中频道提供，2019年高三数学知识点总结：立体几何，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台： 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值 2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点． （1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求证：AE ⊥BD ； （3）求三棱锥D —A 1BA 的体积 ． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ， 将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点， 且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边 形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ； 高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体 的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A （Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E 高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的 2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 （ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是 （2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE （2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.) 高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定 高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN (2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C （2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 高三文科数学专题立体几何 1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线, 题中为真命题的是（） A ?若I ,，则I// C .若I m, // ,m ，则1 【答案】D 【解析】T I ,// ,?- I ,- .■ m D .若I , // ,m ，则I m 2. （2013东城二模）给出下列命题： ①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交； ②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行； ③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ； ④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n 则真命题的个数是（） A . 3 B . 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】只有②为真命题. 3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则// C .若1 ,I// ，贝U // D .若,I// ，则I 【解析】B 4. (2013 东莞 -模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点. （1）求证：BD 平面CDE ; （2）求证：GH //平面CDE ; （3）求三棱锥D CEF的体积. C 是不重合的两个平面，则下列命 B.若I// , ，则I// 【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD , ?/ ED AD , ? ED 平面 ABCD , ?- ED BD ? 又 BD CD , ?- BD 平面 CDE . (2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点, ??? EAB 中，GH//AB , 又 AB//CD , ? GH // CD , ? GH // 平面 CDE ? (3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ， 是棱PA 上的动点. (1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQ CQ ； (2) PC , PB PD ，求证：BD 解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图: 若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD 即：点C 到平面 DEF 的距离为 … V D CEF V C DEF _3 2 _3 3 5.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 高三数学立体几何专 题 专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号． 立体几何(高考真题+模拟新题)专题训练 1、[2011·四川卷]l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面 2、[2011·南京质检]平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ?α，a ∥β C ．存在两条平行直线a 、b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α D ．存在两条异面直线a 、b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α 3、[2011·北京崇文一模] 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的为 ( ) A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n 4、[2011·宁波二模]已知a ，β表示两个互相垂直的平面，a ，b 表示一对异面直线，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ∥α，b ⊥β B ．a ∥α，b ∥β C ．a ⊥α，b ∥β D ．a ⊥α，b ⊥β 5、[2011·泸州二诊] 如图K40－4，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面C 1AB 的距离为( ) A.34 B.12 C.3 2 D ．1 6、[2011·大连一模]已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( ) A.32 B.12 C.33 D.36 7、 [2011·深圳调研] 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 8、 [2011·沈阳模拟] 设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC → ＝0，AD →·AB →＝0，则△BCD 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．无法确定 9、大纲理数11.G8[2011·全国卷]已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π 10、大纲文数12.G8[2011·全国卷] 已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π 11、课标文数7.G8[2011·湖北卷] 设球的体积为V 1，它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是( ) A ．V 1比V 2大约多一半 B ．V 1比V 2大约多两倍半 C ．V 1比V 2大约多一倍 D ．V 1比V 2大约多一倍半 12、大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷]已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足．点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33 C.6 3 D ．1 12、[2011·全国卷] 已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则CD ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 13、课标理数4.G5[2011·浙江卷] 下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 14、大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷]已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足．点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33 C.6 3 D ．1 15、大纲理数9.G11[2011·重庆卷] 高为2 4 的四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，点 S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( ) A.24 B.2 2C ．1 D. 2 16、大纲理数16.G11[2011·全国卷]已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1 上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________． 17、课标理数12.G8[2011·辽宁卷] 已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C. 3 D ．1 18、课标理数15.G8[2011·课标全国卷] 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，B C ＝23，则棱锥O －ABC D 的体积为________． 18、大纲文数15.G8[2011·四川卷] 如图1－3，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________． 4 19、[2011·北京卷] 如图，在四面体P ABC 中，PC ⊥AB ，P A ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点． (1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形； (3)是否存在点Q ，到四面体P ABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． 20、[2011·北京卷] 如图1－6，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°. 专题五 立体几何 第一讲 空间几何体 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何 问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ③圆台的表面积S ＝π(r ′2 ＋r 2 ＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2 . (2)体积公式 ①柱体的体积V ＝Sh ； ②锥体的体积V ＝1 3 Sh ； ③台体的体积V ＝1 3(S ′＋SS ′＋S )h ； ④球的体积V ＝43 πR 3 . 1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 答案 B 解析 由三视图知四棱台的直观图为 由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3. 2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( )高三数学知识点总结：立体几何
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