高三数学专题立体几何复习教案
一、教学目标
1、掌握以三视图为命题载体，熟悉一些典型的几何体模型，如长(正)方体、三棱柱、三棱锥等几何体的三视图，与学生共同研究空间几何体的结构特征（数量关系、位置关系）.
2、外接球问题关键是找到球与多面体的联系元素，如球心与截面圆心的关系即“心心相映法”，线面垂直的多面体可补成直棱柱再找外接球球心即“补体法”，进而构建球半径R、截面圆半径r、球心到截面距离d三者之间的勾股定理。
3、在三视图与直观图的互换过程中，培养学生养成构建长方体为“母体”的解题意识，通过寻找外接球球心问题，引导学生更好地理解球与多面体的关系，培养学生的分割与补形的解题意识，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力、计算能力和动手操作能力，体现化归与转化的基本思想.．
二、学情分析
立体几何是培养学生空间想象力的数学分支，根据学生实际学情，依据考纲依靠课本，在立体几何的复习过程中要想办法让学生建立起完整的知识网络，要突出这门学科的主干，让学生多一点思考,少一点计算。高考立体几何试题一般是两小题一大题, 其中三视图与直观图、多面体与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点，要注意重视空间想象，会识图会画图会想图,提高识图、理解图、应用图的能力，解题时应多画、多看、多想，这样才能提高空间想象能力和解决问题的能力，突出转化、化归的基本思想．三、重点：三视图与直观图的数量、位置的转化；多面体与球相关的外接与内切问题；
难点：化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法；
四、教学方法：问题引导式
五、教学过程
专题：立体几何
问题1：三视图
1．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(
)
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）
D. 3
问题2：球与多面体
4.（2016厦门3月质检15）已知四棱锥P ABCD
-的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为28π，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则a=▲．
延伸1：已知四棱锥P ABCD
-的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为π
24，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是等腰直角三角形，PA⊥AB，则a=▲．
延伸2：已知四棱锥P ABCD
-的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为π
24，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是等腰直角三角形，PA⊥PB，则a=▲．
延伸3：已知四棱锥P ABCD
-的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为240π，△PAB 是等腰三角形，PA=PB=2a，平面PAB⊥平面ABCD，则a=▲．
延伸4：已知四棱锥P ABCD
-的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为π
24，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB中，PA = 2a，PB= a2，则a=▲．
延伸5：：已知四棱锥P ABCD
-，底面ABCD是AB=a，BC=2a的矩形，其外接球的表面积为28π，△PAB 是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则a=▲．
延伸6：在三棱锥P ABC -
中，PA =2PC =
，AB =，3BC =，2
ABC π
∠=
，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）
问题3：立体几何与空间向量
1.平行垂直的证明主要利用线面关系的转化 线∥线线∥面面∥面
判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面
←→?←→??→??←→?←→?
←???←→?←→?
2.空间向量在几何中的应用
1.线线角：设直线a ，b 的方向向量为a ，b
，其夹角为θ，则
22
22
22
21
21
21
2
12121cos cos z
y x z y x z z y y x x ++?++++=
=
<=θ
2.线面角：设直线
l 的方向向量为, 平面α的法向量为n
，直线l 与平面a 所成的角为θ，则有
22
22
22
21
21
21
2
12121cos sin z
y x z y x z z y y x x ++?++++=
=
<=θ
3.面面角：平面α的法向量为
1n ，平面β的法向量为2n ，平面α与平面β的夹角为θ，则有
2
2
22222121212
121211cos cos z
y x z y x z z y y x x n ++?++++=
=
<=θ
4.点面距离：
22
22
22
2
12121cos z
y x z z y y x x PA d ++++=
=
5.如图，四棱锥
P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且?=∠60DAB ，侧面
PAD 为等边三角形，且与底面ABCD 垂直，M 为PC 的中点． （1）求证：PA||平面BDM （2）求证：AD ⊥PB ；
（3）求直线AB 与平面BDM 所成角的正弦值． (4)求二面角A －BD －M 的余弦值
C
A
题目背景变换为以下几种，如何建立坐标系？
延伸1: 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB||CD,AB=4,CD=2,?=∠60DAB ，侧面PAD 为边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直．
延伸2: 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB=4,AD=2,且?=∠60DAB ，侧面PAD 为等边三角形，且与底面ABCD 垂直．
限时训练
1.某几何体三视图如图一所示，则该几何体的体积为( )
A ．8－2π
B ．8－π
C ．8－π2
D ．8－π
4
2.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA ⊥
平面A BC ，若2AB =，AC =2
BAC π
∠=，则棱PA 的长为（ ）
A ．
3
2
B C ．3 D ．9 3.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则
能得到的最大球的半径等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．若三棱锥S A B C 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB SA SB SC =
===，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
图一
A ．
83π B
C ．43π
D ．163
π
5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
6.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在
A 1
B 1，D 1
C 1上，A 1E =
D 1F = 4，过点
E ，
F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。
D
D 1
C 1
A 1 E
F
A B
C
B 1
2019年高三数学知识点总结：立体几何 由查字典数学网高中频道提供，2019年高三数学知识点总结：立体几何，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
人教版高中数学必修1精品教案(整套) 课题：集合的含义与表示(1) 课型：新授课 教学目标： （1）了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征； （2）理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系； （3）掌握常用数集及其记法； 教学重点：掌握集合的基本概念； 教学难点：元素与集合的关系； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学
（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数； （2）我国的小河流； （3）非负奇数； （4）方程 的解； （5）某校2007级新生； （6）血压很高的人； （7）著名的数学家； （8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9）全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a A 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A 4 A，等等。 6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 ７．常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；
2012届高三数学二轮专题复习教案：算法初步 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1．算法的特征 （1）确定性：算法的确定性是指一个算法中每一步操作都是明确的，不能模糊或有歧义，算法执行后一定产生明确的结果； （2）有穷性：算法的有穷性是指一个算法必须能够在有限个步骤之内把问题解决，不能无限的执行下去； （3）可行性：算法的可行性是指一个算法对于某一类问题的解决都必须是有效的，切实可行的，并且能够重复使用． 2、程序框图 基本的程序框有起始框，输入、输出框，处理框，判断框．其中起始框是任何流程都不可缺少的，而输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置．程序框图中的图框表示各种操作，图框内的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序． （1）顺序结构 顺序结构描述的是最自然的结构，它也是最基本的结构， 其特点是：语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺 序进行，不能跳跃，不能回头，如图1表示的是顺序结构的 示意图，它的功能是：A和B两个框是依次执行的，只有在 执行完A框后，才能接着执行B框． （2）选择结构 选择结构是依据指定条件选择不同的指令的控制结构．选择结构和实际问题中的分类处理与数学思想中的分类讨论思想是完全对应的．
两种常见的选择结构如图2和图3所示． 图2的功能是先判断P是否成立，若成立，再执行A后脱离选择结构． 图3的功能是根据给定的条件P是否成立而选择A框或B框，特别注意，无论条件P 是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A框、B框都不执行，无论执行哪条路径，在执行完A框或B框之后，脱离本选择结构．（3）循环结构 循环结构就是根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构．它的特点是：从某处开始，按照一定的条件反复执行某一处理步骤，其中反复执行的处理步骤称为循环体． 两种常见的循环结构如图4和图5所示． 图4的功能是先执行A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P条件不成立，再执行A，然后再对P条件作判断，如果P条件仍然不成立，又执行A，…，如此反复执行A，直到给定的P条件成立为止，此时不再执行A，脱离本循环结构（又称直到型循环）．图5的功能是先判断条件P是否成立，若成立，则执行A框，再判断条件P是否成立，若成立，又执行A框，…，直到不符合条件时终止循环（又称当型循环），执行本循环结构后的下一步程序． 3、基本算法语句 算法是计算机科学的基础，本部分要学习的算法语句，是为了将算法转换为计算机能够理解的程序语言和能在计算机上实现的程序所需要的语句，其作用就是实现算法与计算机的转换． （1）赋值语句 赋值语句是用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句．赋值语句的一般格式为：变量名=表达式． 赋值语句还应注意以下几点：①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式；②赋值号左右不能对换；③不能利用赋值语句进行代数式（或符号）的演算（如化简、因式分解等）； ④赋值号与数学中的等号的意义不同． （2）输入语句
2015届高三数学立体几何专题训练 1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 解析：选A. 原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋1 2 π×22×4＝16＋8π. 2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析：选A. 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝1 2 ×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5， ∴V 球＝43π×53＝500π 3 (cm 3)． 3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ?α，l ?β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 解析：选D. 根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l ，故选D. 4．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析：选A.法一： 如图，连接AC ，交B D 于点O ，由正四棱柱的性质，有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ，所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC ＝C ，所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ，垂足为H ，则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O ＝O ，所以CH ⊥平面B D C 1，连接D H ，则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影，所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2.在Rt △COC 1中，由 等面积变换易求得CH ＝23.在Rt △C D H 中，s in ∠C D H ＝CH CD ＝2 3 . 法二： 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0,0)，C (0,1,0)， B (1,1,0)， C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→ ＝(0,1,2)． 设平面B D C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 n ⊥DB →，n ⊥DC 1→ ，所以有????? x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0， 令y ＝－2，得平面B D C 1的一个法向量为n ＝(2， －2,1)． 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ，则s in θ＝|co s n ，DC → ＝???? ??n ·DC →|n ||DC →|＝23. 5．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
高三数学第二轮专题复习：概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法
知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 ［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下
2017-1018学年下学期教学反思 高考是选拔性的考试，对于数学学科来说，它是在考查学生基础知识的同时，突出能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、实践创新能力）的考查。因此作为高三数学教师在进行高考复习时，在有限的复习时间内立足基础，在能力的提高上有所突破，以达到应试的要求和水平。现结合本人的教学实践，谈几点反思: 一、加强高考研究，把握高考方向 随着数学教育改革和素质教育的深入，高考命题也在逐年探索、改革，命题的方向愈加突出考查能力，所以研究好高考，尤其是把握好高考的新动向，搞好高考复习，不仅能为学生打好扎实的基础，提高学生的整体素质、应试能力和高考成绩，而且也必将提高自己的教学水平，促进素质教育的全面实施。研究高考要研究大纲和考纲，要研究新旧考题的变化，要进行考纲、考题与教材的对比研究。通过对高考的研究，把握复习的尺度，避免挖的过深,拔的过高、范围过大，造成浪费；避免复习落点过低、复习范围窄小，形成缺漏。 二、明确中心思想，做好学习计划 第一轮复习是高考复习的基础，其效果决定高考复习的成败；一轮复习搞的扎实，二轮复习的综合训练才能顺利进行。故制定以下指导思想：全面、扎实、系统、灵活。全面，即全面覆盖，不留空白；扎实，即单元知识的理解、巩固，把握三基务必牢固；系统，即前挂后连，有机结合，注意知识的完整性系统性，初步建立明晰的知识网络；灵活，即增强小综合训练，克服解题的单向性、定向性，培养综合运用、灵活处理问题的能力和探究能力。 第二轮复习是在第一轮复习的基础上，进行强化、巩固的阶段，是考生数学能力及数学成绩大幅度提高的阶段，在一定程度上决定高考的胜败。指导思想是：巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮复习成果，把巩固“三基”放在首位；完善，即通过专题复习，查漏补缺，进一步完善知识体系；综合，即在训练上，减少单一知识点的训练，增强知识的连结点，增强知识交汇点的题目，增强题目的综合性和灵活性；提高，即培养学生的思维能力、概括能力，分析问题、解决问题的能力。 三、重视回归课本，狠抓夯实基础 《考试说明》中强调，数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性、现实性。并明确指出：易、中、难的比例控制在3：5：2左右，即中低档题占总分的80%左右，这就决定了在高考复习中必须抓基础，常抓不懈，只有基础打好了，做中低档题才会概念清楚，得心应手，做难题和综合题才有基本条件。尤其在第一轮复习中应以夯实“三基”为主，对构建的知识网络上每个知识点要弄清概念，了解数学知识和理论的形成过程，以及解决数学问题的思维过程。在第一轮的复习课中，应总结梳理每一章节的数学知识，基本题型和练习，以利于学生进行复习，在梳理中注重由学生自己去推理数学知识的形成的过程。如在两角和与差的三角函数这一章中公式较多，要求学生证明两角差的余弦这一重要公式，并由次推导三角函数的和角、差角、倍角、半角等三角公式，通过这一练习，不但使学生对三角公式之间的联系十分清楚，记忆加深，而且增强了灵活运用公式的能力。在分章节复习时要以课本知识为本，因为课本是知识与方法的重要载体，课本是高考题的主要来源。纵观近几年的新课程高考试题，不难发现，多数试题源于教材，即使是综合题也是课本例习题的综合、加工与拓展，充分体现了课本的基础作用。复习必须紧紧地围绕课本来进行，只有严守课本，才能摆脱“题海”之苦。课本中有基本题，也有综合题，都在课
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的 高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不 专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） 高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定 高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部） 目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）…………………………………………………… 21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用……………………………………… 高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 １．数列的概念与表示方法 （１）定义：按照一定顺序排列着的一列数． （２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法． （３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列． （４）n a与n S的关系： 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? - ?≥． 2．等差数列和等比数列的比较 （１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列． （２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，． （３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -* =+-=∈N ，，． （４）性质 等差数列的主要性质： ①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列． ②若 m n p q +=+，则 () m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有 2m n p a a a +=． ③ ()() n m a a n m d m n *-=-∈N ，． ④232k k k k k S S S S S --，，，… 成等差数列． 等比数列的主要性质： ①单调性：当 1001 a q ??>?时，为递增数列；当101a q ?，，，或1001a q >??< 高三数学立体几何专 题 专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号． 2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I) 函数的单调性有广泛的应用，利用它可以解方程与不等式，求最值，求参数的取值范围。也可以证明等式与不等式等问题，其中有些问题的解法巧妙、简捷。现举例如下：1．比较大小 例1．比较与的大小： 解：， 由于及0 证：（反证法）。 令f(x)=x3+x+1，则原方程写为f(x)=0. 设f(x)=0至少有两个实根x1,x2，且x2>x1, ∴ f(x1)=f(x2)=0 (1) ∵ f(x)=x3+x+1在R上是增函数， 又∵ x2>x1, ∴ f(x2)>f(x1) (2) 由(1),(2)知，两者矛盾， 故方程x3+x+1=0至多有一个实根。 4．解不等式 例4．解不等式(2x-1)5+2x-1 高三数学第二轮复习教案 第2讲 数列问题的题型与方法 一、考试容 数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n 项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n 项和公式。 二、考试要求 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题。 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。 三、复习目标 1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和； 3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题； 4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力． 5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力． 6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法． 四、双基透视 1． 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。 (2)通项公式法： ①若 = +（n-1）d= +（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列； ②若 ，则{}n a 为等比数列。 (3)中项公式法：验证 都成立。 专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上,着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算.既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解,考查画图、识图、用图的能力;解答题一般以简单几何体为载体,考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及空间几何量的求解问题,综合考查空间想象能力、推理论证能力与运算求解能力.试题在突出对空间想象能力考查的同时,关注对平行、垂直关系的探究,关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究. 【考点透析】立体几何主要考点就是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图,表面积体积的计算,空间点、直线、平面的位置关系判断与证明,空间向量在平行、垂直关系证明中的应用,空间向量在计算空间角中的应用等.【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积与体积计算 例 1 某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影就是长为6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别就是长为a 与b 的线段,则a b +的最大值为 A. 22 B. 32 C. 4 D. 5 2分析:想像投影方式,将问题归结到一个具体的空间几何体中解决. 解析:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算,如图设长方体的高宽高分别为,,m n k ,由题意得2227m n k ++=,226m k +=1n ?=, 21k a +=,21m b +=,所以22(1)(1)6 a b -+-=228a b ?+=,22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号. 点评:本题就是高考中考查三视图的试题中难度最大的一个,我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影,使问题获得了圆满的解决. 例2下图就是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积就是 A.9π B.10π C.11π D.12π立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编
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