弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答
徐芝纶
第一章绪论
【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？
【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？
【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分
方程都简化为线性的微分方程。
方程都简化为线性的微分方程。
【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。
【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。
面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。
正的应力
正的面力
【1-5】试比较l 弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。
【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。
【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。
【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。
变。
正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下，切应力均为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。
【1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。【解答】
正的体力、面力
正的体力、应力
【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。【解答】
【1-9】在图1-3的六面体上，y面上切应力yz的合力与z面上切应力zy的合力是否相等？
【解答】切应力为单位面上的力，量纲为L 1MT 2，单位为N/m2。因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dx×dy×dz，则y面上切应力yz的合力为：
yz dx dz (a)
z面上切应力zy的合力为：
zy dx dy (b)
由式（a）(b)可见，两个切应力的合力并不相等。
【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等，才导出切应力互等性。
第二章平面问题的基本理论
【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。
【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有z xz yz 0，只存在平面应力分量x, y, xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数。可以认为此问题是平面应力问题。
【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。
【解答】板上处处受法向约束时z 0，且不受切向面力作用，则
xz yz 0(相应zx zy 0)板边上只受x，y向的面力或约束，所以仅存
在x, y, xy，且不沿厚度变化，仅为x，y的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。
【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件
M
C
试问将导出什么形0改为对角点的力矩平衡条件，
式的方程？
【解答】将对形心的力矩平衡条件
M
C
改为分别0，
对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方向的尺寸取为单位1。
A
xy xdxdydy
ydx 1 ( x dx)dy 1 ( xy dx)dy 1 dx ydy 1
2 x2 x2
(a)
y dxdydxyx
( y dy)dx 1 ( yx dy)dx 1 dy fxdxdy 1 fxdxdy 1 0 y2 y22
M
B
0 ( x
xdydx
dx)dy 1 ( yx yxdy)dx 1 dy ( y ydy)dx 1 x2 y y2 (b)
dydxdydx
xydy 1 dx xdy 1 ydx 1 fxdxdy 1 fydxdy 1 0
2222
M
D
( y
dxdy
xydy 1 dx xdy 1 yxdx 1 dy
y22
(c)
xdxdydydx
xdx 1 ( x dx)dy 1 fxdxdy 1 fydxdy 1 0 2 x222
dy)dx 1
y
M
E
dxdydx
xdy 1 yxdx 1 dy ydx 1
y222
(d)
dydydx
( x xdx)dy 1 ( xy xydx)dy 1 dx fxdxdy 1 fydxdy 1 0
x2 x22 ( y
dy)dx 1
略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令d2xdy,dxd2y都趋于0），并将各式都除以dxd y后合并同类项，分别得到xy yx。
【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。
【2-4】在图2-3和微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，验证将导出什么形式的平衡微分方程？
【解答】微分单元体ABCD的边长dx,dy都是微量，因此可以假设在各面上所受的应力如图a所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如图（b）所示。为计算方便，单元体在z方向的尺寸取为一个单位。
y
y
各点正应力：C
y
C
(a) (b)
( x)A x；( x)B x
( y)A y ( y)B y
x
dy；y
y y
dy
( x)D x
dx；x
( y)D y
dx x
( x)C x
各点切应力：
x
dx x y；x y
( y)C y
y x
dx
y y
y
( xy)A xy；( xy)B xy
( yx)A yx ( yx)A yx yx y yx x
xy y
dy；
dy
( xy)D xy
xy x
dx；
( yx)D yx
dx
( xy)C xy
xy x
dx
xy y
dy；
( yx)C yx
yx x
dx
yx y
dy
由微分单元体的平衡条件Fx 0, Fy 0,得
1 x x x x 1
dy dy x dx x dx dy dy x x
2 y2 x x y
yx yyx yx yx 1 1
dx dx yx dy yx dx dy dx fxdxdy 0 yx yx+
2 x2 y x y
1 y y y y
dx dx y dy y dx dy dx y y
2 x2 y x y xy xy xy xy 1 1
dy dy xy+dx xy+dy dx dy fydxdy 0 xy xy+ y x y x 2 2
以上二式分别展开并约简，再分别除以dxdy，就得到平面问题中的平衡微分方程：
x yx
fx 0;y xy fy 0 x y y x
【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。【2-5】在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？
【解答】(1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体的连续性和小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。
(2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假定，即理想弹性体假定。同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件。
【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？
【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。
【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于E为GPa级别的量，而泊松比取值一般在（0，0.5），故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/E要大于平面应变问题的系数
1 /E。因此，平面应力问题情况下应变要大，故钢圆环变形大。
2
【2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问题的应力分量x，y和xy 均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？
【解答】(1)应力分量：两类平面问题的应力分量x，y和xy均相同，但平面应力问题
z yz xz 0，而平面应变问题的xz yz 0, z x y 。
（2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相同，故应变分量xz yz 0, xy相同，而x, y, z不相同。
（3）位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面问题也不同。【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB边界上的x, y, xy
之间的关系式
【解答】由题可得：
l cos ,m cos 90 sin x AB 0,y AB 0
将以上条件代入公式（2-15），得：
图2-16
( x)AB yx tan
y
AB
AB
tan2
【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
x
M
图2-17
图2-18
【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。
【解答】图2-17：
上（y=0）
0 -1
左(x=0) -1 0
右（x=b）
1 0
l m
fx s g y h1
g y h1
fy s
代入公式（2-15）得
gh1
①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：
x x 0 g(y h1), xy x 0 0; x x b g(y h1), xy x b 0;
②在小边界y 0上，能精确满足下列应力边界条件：
y
gh, xy
y 0
③在小边界y h2上，能精确满足下列位移边界条件：
u y h
时，可求得固定端约束反力分别为：
2
0, v y h 0
2
这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1 Fs 0,FN ghb1,M 0
由于y h2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：
b dx gh1b 0yy h2 b
0 y y h2xdx 0
b
dx 0 0xyy h2
⑵图2-18
①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）
l
m
-1 1
fx(s)
0 -q1
fy(s)
q
y
h 2hy
2
( y)y -h/2 q，( yx)y -h/2 0，( y)y h/2 0，( yx)y h/2 q1
②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有
h/2( )dx F
S
h/2xyx 0 h/2
h/2( x)x 0dx FN h/2 ( )ydx M h/2xx 0
③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件ux l 0,vx l 0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。
首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：
y
x
q1l FN q1l FN 0,FN FN
M
0,FS FS ql 0 FS ql FS
q1lh121ql2
MA 0,M M' FSl 2ql 2q1lh 0 M 2 M FSl 2
由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故
h/2( )dy F ql F
N1N
h/2xx l q1lhql2 h/2
M FSl h/2( x)x lydy M 22
h/2( )dy F ql F
xyx lSS
h/2
【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？
【解答】由于h
2
qb212
l，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，
写出三个积分的应力边界条件：
(a)上端面OA面上面力x 0,y
x
q b
图2-19
由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有bbxqb b
dx dx qdx 0y 0b 0 y y 0
2
bbx bqb2 b
b 212
b
0 yx y 0dx 0
(对OA中点取矩)
(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则
qb b
dx F N 0 y y 0
2
qb2 b
0 y y 0xdx M 12
b dx 0 0 xy y 0
综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。
【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】（1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在s 上用位移表示的应力边界条件式（2-19）；（3）在su上的位移边界条件式（2-14）；对于平面应变问题，需将E、μ作相应的变换。
【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。【2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】（1）在区域A内的平衡微分方程式（2-2）；
1.弹性力学是研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、形变和位移。 2外力分为体积力和面积力。体力是分布在物体体积内的力，重力和惯性力。体积分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。面力是分布在物体表面上的力，面力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 3内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。 3弹性力学中的基本假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性，小变形假定。凡是符合连续性、完全弹性、均匀性、各向同性等假定的物体称之为理想弹性体。连续性，假定整个物体的体积被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。完全弹性，指的是物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变。均匀性，整个物体时统一材料组成。各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。 4求解弹性力学问题，即在边界条件上，根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。弹性力学、材料力学、结构力学的研究对象分别是弹性体，杆状构件和杆件系统。解释在物体内同一点，不同截面上的应力是不同的。应力的符号不同：在弹性力学和材料力学中，正应力规定一样，拉为正，压为负。切应力：弹性力学中，正面沿坐标轴正方向为正，沿负方向为负。负面上沿坐标轴负方向为正，沿正方向为负。材料力学中，所在的研究对象上任一点弯矩转向顺时针为正，逆时针为负。 5.形变：所谓形变，就是形状的改变。包括线应变（各各线段每单位长度的伸缩，即单位伸缩和相对伸缩，伸长时为正，收缩时为负）；切应变（各线段直接直角的改变，用弧度表示，以直角变小时为正，变大为负） 6试述弹性力学平面应力问题与平面应变问题的主要特征及区别：平面应力问题：几何形状，等厚度薄板。外力约束，平行于板面且不沿厚度变化。平面应变问题：几何形状，横断面不沿长度变化，均匀分布。外力约束，平行于横截面并不沿长度变化。 7.主应力：设经过P点的某一斜面上的切应力等于0，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力；应力主向：该斜面的法线方向称为该斜面的一个应力主向。 6. 平衡微分方程表示的是弹性体内任一点应力分量与体力分量之间的关系式。在推导平衡微分方程时我们主要用了连续性假定。 7几何方程表示的是形变分量与位移分量之间的关系式。当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定，反之，等形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。在推导几何方程主要用了小变形假定。 8．在平面问题中，为了完全确定位移，就必须有3个适当的刚体约束条件。为什么？既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定形变时，由于约束条件的不同，他可能具有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完确定的，在平面问题中，常数U0 V0 W的任意性就反应位移的不确定性，而为了安全确定位移，就必须有三个何时得刚体约束来确定这三个常数。 9.物理方程表示的应力分量与应变分量之间的关系式。两种平面问题的物理方程是不一样的，然而如果在平面应力问题的物理方程，降E换为E/1-μ2，将μ换为μ/1-μ，就可以得到平面应变问题的物理方程。推导物理方程时，主要用了完全弹性、各向同性以及均匀性（此处写小变形假定也可以）等假设。 10.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它可以分为应力边界条件、位移边界条件以及混合边界条件。
《弹性力学》课程考试大纲 课程编号：0807030040101 总学时数：32学时（其中理论教学32学时，实验或实践教学0学时） 学分：2.5学分 一、考试对象： 修完本课程所规定的岩土专业学生。 二、考试目的 本课程考试目的是通过本课程的教学，为后续课程以及学生毕业后从事结构设计和科研工作打下坚实的基础，培养学生理论联系实际、学以致用的能力。 三、考试要求 本课程是一门专业性很强的学科，要求学生对基本理论的了解和掌握，同时具备较强的分析和解决工程实际结构的能力。 四、考试内容与要求 考试的内容指教学大纲中要求教师讲授的全部内容。上述内容要求按章分为认识、记忆、理解、应用、分析、综合、评价七个层次进行说明，考核知识点应针对不同专业、不同层次的培养目标有所侧重，在突出重点的同时，要注意内容的覆盖面。理论课程和实训课程都应详细列出本课程各章节考试内容的范围，考试的目标和要求，并标明试题分值范围。 第一章绪论4-10分值 1、考试内容：①体力；②正应力与剪切应力的方向确定。 2、考试要求：能准确确定正应力与剪切应力的方向。 第二章平面问题的基本理论20-30分值 1、考试内容：①平面应力与平面应变；②应力函数、相容方程③圣维南原 理④应力和位移边界条件 2、考试要求：熟练掌握平面应力与平面应变的判别。
第三章平面问题的直角坐标解答20-40 分值 1、考试内容：①逆解法与半逆解法；②简支梁受均布荷载。③楔形体受重 力和液体压力 2、考试要求：熟练掌握逆解法与半逆解法与楔形体受重力和液体压力 第四章平面问题的极坐标解答4-8 分值 1、考试内容：①极坐标中的平衡微分方程；②极坐标中的应力边界条件 2、考试要求：熟练极坐标中的应力边界条件。 第九章薄板弯曲问题10 分值 1、考试内容：①弹性曲面的微分方程；②边界条件。 2、考试要求：熟练掌握薄板弯曲的边界条件。 五、考试方式及时间 本课程的考核方式为闭卷理论考；考试所需时间120分钟。 六、考试题型结构及分值分布 填空题：10～20% 简答题：10～20% 判断题：10% 选择题：10～20% 计算题：40～45% 七、成绩综合评定办法 学生最后总成绩由平时成绩+理论闭卷考试成绩的总和确定。 八、教材及主要参考书 1、选用教材： 《弹性力学简明教程》，徐芝纶主编，高等教育出版社，2009年。普通高等教育“十一五”国家级规划教材，ISBN978-7-04-010719-7，定价：25.4元 2、主要参考书： （1）《弹性力学》，吴家龙主编，高等教育出版社，2001年。 （2）《弹性力学》徐芝纶主编，高等教育出版社，2006年。 执笔人：唐小林系室审核人：甘元初
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体〃什么是非均匀的各向同性体＜【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定〃但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体〃就是不满足均匀性假定〃但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材〃木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体＜一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体＜ 【分析】能否作为理想弹性体〃要判定能否满足四个假定：连续性〃完全弹性〃均匀性〃各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用＜ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的〃也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满〃不留下任何空隙。引用这一假定后〃物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此〃建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的〃即物体在对应形变的外力被去除后〃能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定〃还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义〃亦即两者之间是成线性关系的〃即引用这一假定后〃应力与形变服从胡克定律〃从而使物理方程成为线性的方程〃其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的〃即整个物体是由同一材料组成的〃引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性〃所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的〃因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的〃即物体的弹性在所有各个方向都相同〃引用此假定后〃物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即〃假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸〃而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时〃就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时〃它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计〃使得弹性力学中的微分 方程都简化为线性的微分方程。 方程都简化为线性的微分方程。 【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别＜试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。 【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时）〃这个面上的应力（不论是正应力还
弹性力学简明教程 第一章绪论1-1 弹性力学的内容1-2 弹性力学中的几个基本概念1-3 弹性力学中的基本假定习题 第二章平面问题的基本理论2-1 平面应力问题与平面应变问题2-2 平衡微分方程2-3 平面问题中一点的应力状态2-4 几何方程刚体位移2-5 物理方程2-6 边界条件2-7 圣维南原理及其应用2-8 按位移求解平面问题2-9 按应力求解平面问题相容方程2-10 常体力情况下的简化应力函数习题 第三章平面问题的直角坐标解答3-1 逆解法与半逆解法多项式解答 .3-2 矩形梁的纯弯曲3-3 位移分量的求出3-4 简支梁受均布荷载3-5 楔形体受重力和液体压力习题 第四章平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程4-2 极坐标中的几何方程及物理方程4-3 极坐标中的应力函数与相容方程4-4 应力分量的坐标变换式4-5 轴对称应力和相应的位移4-6 圆环或圆筒受均布压力4-7 压力隧洞4-8 圆孔的孔口应力集中4-9 半平面体在边界上受集中力4-10 半平面体在边界上受分布力习题
第五章用差分法和变分法解平面问题5-1 差分公式的推导5-2 应力函数的差分解5-3 应力函数差分解的实例5-4 弹性体的形变势能和外力势能5-5 位移变分方程5-6 位移变分法5-7 位移变分法的例题习题.. 第六章用有限单元法解平面问题6-1 基本量及基本方程的矩阵表示6-2 有限单元法的概念6-3 单元的位移模式与解答的收敛性6-4 单元的应变列阵和应力列阵6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵6-6 荷载向结点移置单元的结点荷载列阵6-7 结构的整体分析结点平衡方程组6-8 解题的具体步骤单元的划分6-9 计算成果的整理6-10 计算实例6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程习题 第七章空间问题的基本理论7-1 平衡微分方程7-2 物体内任一点的应力状态7-3 主应力最大与最小的应力7-4 几何方程及物理方程7-5 轴对称问题的基本方程习题
第一章习题 1-1试举例证明，什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什么是非均匀的各向异性体。 1.均匀的各向异性体： 如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成，故为均匀的。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。 2.非均匀的各向同性体： 实际研究中，以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的，或者说非均匀各向同性体没有多少可讨论的价值，因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物体非均匀（即点点材性不同），即使各点单独考察都是各向同性的，也因各点的各向同性的材料常数不同而很难加以讨论。 实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体，密度由上到下逐渐加大，非均匀。但任取一点考察都是各向同性的。 再考察素混凝土构件，由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响，则为均匀的，同时也必然是各向同性的。反之，如果构件尺寸较小，粗骨料颗粒尺寸不允许忽略，则为非均匀的，同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸，因此也必然是各向异性体。因此，将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。 3.非均匀的各向异性体： 如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成，故为非均匀。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。 1-2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体 理想弹性体指：连续的、均匀的、各向同性的、完全（线）弹性的物体。 一般的混凝土构件（只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小）可在开裂前可作为理想弹性体，但开裂后有明显塑性形式，不能视为理想弹性体。 一般的钢筋混凝土构件，属于非均匀的各向异性体，不是理想弹性体。 一般的岩质地基，通常有塑性和蠕变性质，有的还有节理、裂隙和断层，一般不能视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。 一般的土质地基，虽然是连续的、均匀的、各向同性的，但通常具有蠕变性质，变形与荷载历史有关，应力-应变关系不符合虎克定律，不能作为理想弹性体。在土力学中有专门研究。 1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途 连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全（线）弹性假定使应力应变关系明确为虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样，可取任一点分析。各向同性使材料常数各方向一样，坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性,
弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案 1. 弹性力学简介 弹性力学是物理学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变 和恢复力的关系。徐芝纶是该领域的知名学者，他的教材《弹性力学》深入浅出地介绍了这一课题。本文将针对徐芝纶教材中的课后习题提 供答案，帮助读者更好地理解弹性力学。 2. 弹性力学习题及答案 2.1 习题一 问题：一根弹性绳两端固定，绳长为L，质量均匀分布。若绳以角 频率ω振动，求各位置的位移函数。 答案：设绳的线密度为ρ，则单位长度上的质量为ρL。考虑到绳在 振动过程中的位移函数y(x, t)，根据弦波方程得到位移函数的表达式为 y(x, t) = A sin(kx - ωt)，其中A为振幅，k为波数。对于长度为L的绳子，首先将其离散化为N个小绳段，每个小绳段的长度为Δx = L/N。 然后利用微元法，对每个小绳段的质点计算其受力和位移，最后将每 个小绳段的位移函数相加即可得到整根绳子的位移函数。 2.2 习题二 问题：一个长为L的均匀杆在一个端点固定，杆的质量为m，细长 处密度均匀。当该杆受到一个力F时，求其在另一端的位移和挠曲角。
答案：设该杆受到的力矩为M，由弹性力学理论可知，弯矩和曲率成正比。具体而言，弯矩M和挠曲角θ之间的关系为M = EIθ，其中E 为材料的弹性模量，I为截面的转动惯量。对于均匀杆，其转动惯量可以通过I = (1/3)mL²求得。由于杆的另一端固定，所以该端点的位移为零。 3. 结语 本文介绍了弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案。弹性力学是物理学中的重要课题，对于理解和应用弹性力学理论具有重要意义。徐芝纶的教材给出了深入浅出的讲解和习题练习，本文提供了部分习题的详细答案，希望能够帮助读者更好地掌握弹性力学的知识。通过刷题和思考，读者可以进一步加深对弹性力学的理解，为解决实际问题提供理论支持。
弹性力学简明教程（第四版）课后 习题解答 徐芝纶 【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时 AB 边界上的 之间的关系式 【解答】由题可得： l cos , m cos 90o sin f X AB 0, f y AB 0 将以上条件代入公式（2-15），得: 2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列 出三个积分的应力边界条件。 图 2-17 图 2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积 分形式，大边界上应精确满足公 式（ 2-15 ）。 【解答】图2-17: 上（y=0） 左(x=0) 右（x=b ） l 0 -1 1 m -1 0 f x s 0 g y h 1 g y h 1 f y s gh 1 代入公式（2-15 ）得 ① 在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件: AB C0S yx AB Sin 0, AB Sin (xy )AB C0S (x ) AB yx AB tan AB tan 2 =o h 1 , 1 g b h 2 y h 2 b 7 【2-9】试列出图 图 2-16
g(y h), xy x b o ； ② 在小边界y 0上，能精确满足下列应力边界条件: y y 0 gh, xy y o 0 ③ 在小边界y h 2上，能精确满足下列位移边界条件： U y h 2 0, V y h 2 0 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚 时，可求得固定端约束反力分别为： F s 0, F N gh i b, M 0 由于y h 2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有: ⑵图2-18 ①上下主要边界 y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式(2-15) (y ) y - h/2 q ， ( yx ) y -h/2 ， ( y ) y h/2 ， ( yx )y h/2 q 1 ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符 号相反，有 h/2 h/2 ( xy )x 0dx F s h/2 h/2 ( x )x °dx F N h/2 h/2(x )x° ydx M ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件 u x I 0,v x l 0这两个位移边界条件也可改用三个 积分的应力边界条件来代替。 g(y h i ), xy 0； =1 xy yh 2dx h 2 xdx gh i b dx y h
第一幸错他 本章学习重点与难点 ■点 一•弹性力学的内容:弹性力学的研究对象■内容和范圈■注意与其它力学在任务•研究 对象和研究方法上的相同点及不同点。 二■弹性力学的基本假定.基本匮和坐标系 1.为简化计算•弹性力学假定所研究的物休处于连续的•完全弹性的•均匀的. 各向同性的•小变形的状态. 2•各种基本联的正负号规定.注意弹性力学中应力分蚩的正负号规定与材料力学中的正 负号規定有何相同点和不同点• 外力（体力、面力）均以沿坐标轴正向为正■面力的正负号与所处的面无关（只与坐标系有关〉•注意与应力分燉正面正向、负面负向约宦的区别" 3.五个基本假定在建立弹力力学基本方程时的用途。 难点 建立正面•负面的概念•确立弹性力学中应力分量的正负号规定• 典型例题讲解 04 1-1试分别根据在材料力学中•和弹性力学中符号的规定•确定图中所示 的切应力Tj .r3 .ri»r（的符号• th
例1 •】图
【解答】（1）在材料力学中规定•凡企图使单元或其局部顺时针转动的切应力为正，反之为负.所以为正为负. （2）在弹性力学中规定,作用于正坐标面上的切应力以正坐标轴方向为正•作用于负坐标面L的切应力以负坐标轴方向为正■相反的方向均为负.所以 «r＜均为负・ 习题全解 试举例说明•什么是均匀的各向异性体•什么足非均匀的各向同性体•什么是非均匀的各向异性体. 【解答】木材、竹材是均匀的各向异性体;混合材料通常称为菲均匀的各向同性体•如沙石混凝土构件•为非均匀的各向同性体F有生物组织如长骨，为菲均匀的各向异性体. [… 1・2 —般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【解答】一般的混凝土构件可以作为理想的弹性体•而俐筋混凝土构件不可以作为理想的弹性体、一般的岩质地基不可以作为理想弹性体•而土质地基可以作为理想的弹性体. 1・3斤个甚本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途? 【解答】（】）连续性假定:引用这一假定以后•物体中的应力、应变和位移等物理虽就可看成是连续的•因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续更数来表示它们的变化规律. （2）完全弹性假定'引用这一完全謀性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程. （3〉均匀性假定：在该假定所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相 同的.因此•反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模馥E和泊松比“等）就不随位置坐标而变化・ （4）各向同性假定:所谓"各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的.进一步地说•就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 （5）小变形假定，我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改 变，而仍然按照原来的尺'f和形状进行计算.同时•在研究物体的变形和位移时・可以将它们的二次系或乘积略去不计，便得弹性力学中的微分方程. 分方程都简化为线性在上述这些假定下•弹性力学问题祁化为线性何题•从而可以应用叠加原理。 1-4应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向.