将军饮马问题
类型一、基本模式
类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）
2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上
的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．
【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河
OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．
3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?
4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小
5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）
A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24
6. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.
7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.
8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.
练习
1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．
2、 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓
库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？
a
B
3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．
4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2D M =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．
N
M
D C
B A
5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。
6、如图，直角坐标系中有两点A 、B,在坐标轴上找两点C 、D,使得四边形ABCD 的周长最小。
7、如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？
8、4)9(122+-++=
x x y ,当x 为何值时，
y 的值最小，并求出这个最小值.
9、在平面直角坐标系中，A(1，-3)、B(4，-1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形PABN 的周长最小时，求a 的值.
10、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E 、F 是底边AD 与BC 的中点，连接EF ，在线段EF 上找一点P ，使BP+AP 最短．
练习
1、观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．平行四边形 3、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们
把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．
．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )
(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分 (C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行
6、对右图的对称性表述，正确的是（ ）．
A ．轴对称图形
B ．中心对称图形
C ．既是轴对称图形又是中心对称图形
D ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
7、如图，△A ′B ′C ′是由△ABC 经过变换得到的，则这个变换过程是
（A ）平移 （B ）轴对称 （C ）旋转 （D ）平移后再轴对称
C
B
A
B ′B
A ′B
C ′
8、如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段
BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－1
2
x＋b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S关于b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，9、探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
【答案】（1）由题意得B（3，1）．
若直线经过点A（3，0）时，则b＝3 2
若直线经过点B（3，1）时，则b＝5 2
若直线经过点C（0，1）时，则b＝1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤3
2
，如图25-a，
此时E（2b，0）
∴S＝1
2
OE·CO＝
1
2
×2b×1＝b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即3
2
＜b＜
5
2
，如图2
此时E（3，
3
2
b ），D（2b－2，1）
∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE
)
＝ 3－[
12(2b －1)×1＋12×(5－2b )·(52b -)＋12×3(32
b -)]＝252b b -
∴23
125352
22
b b S b b b ?
<≤
??
=?
?-<
（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC
的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。
本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！
由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，∠MED ＝∠NED
又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ， 由题易知，tan ∠DEN ＝
1
2
，DH ＝1，∴HE ＝2， 设菱形DNEM 的边长为a ，
则在Rt △DHM 中，由勾股定理知：2
2
2
(2)1a a =-+，∴54
a = ∴S 四边形DNEM ＝NE ·DH ＝
54
∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为
54
．
10．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点的坐标分别为A （0,1），B （-1,1），C （-1,3）。
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点C 1的坐标；
（2）画出△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标；， （3）将△A 2B 2C 2平移得到△ A 3B 3C 3，使点A 2的对应点是A 3，点B 2的对应点是B 3 ，点C 2的对应点是C 3（4，-1），在坐标系中画出△ A 3B 3C 3，并写出点A 3，B 3的坐标。
【答案】
（1）C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)
11、分别按下列要求解答：
（1）在图1中,将△ABC 先向左平移5个单位,再作关于直线AB 的轴对称图形,经两次变
换后得到△A 1B 1 C 1.画出△A 1B 1C 1；
（2）在图2中,△ABC 经变换得到△A 2B 2C 2.描述变换过程.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12
11 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
A
B
C
A 2
B 2
C 2
【答案】
(1) 如图．
(2) 将△ABC 先关于点A 作中心对称图形,再向左平移
2个单位,得到△A 2B 2C 2．（变换过程不唯一）
12、(1)观察发现
如题26(a)图，若点A ，B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP+BP 的值最小．
做法如下：作点B 关于直线l 的对称点B '，连接AB '，与直线l 的交点就是所求的点P 再如题26(b)图，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小．
做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这 点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为 ．
题18(a)图 题18(b)图
(2)实践运用
如题26(c)图，已知⊙O 的直径CD 为4，AD 的度数为60°，点B 是 AD 的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值．
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12
11 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
A
C
题18(c)图题18(d)图
(3)拓展延伸
如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留
作图痕迹，不必写出作法．
【答案】解：（1
（2）如图：
作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是 AD的中点，
所以∠AEB=15°，
因为B关于CD的对称点E，
所以∠BOE=60°，
所以△OBE为等边三角形，
所以∠OEB=60°，
所以∠OEA=45°，
又因为OA=OE，
所以△OAE为等腰直角三角形，
所以AE=
（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，
13、如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，（Ⅰ）要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。（Ⅱ）桥建在何处才能使AB两村到桥的距离相
等？
将军饮马问题讲 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
将军饮马问题 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB 上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短． 3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短? 4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小 5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.
7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______. 练习 1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P 在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由． 2、如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓 库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？ 3、已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|| -最小． AM BM 4、如图，正方形ABCD中，8 AB=，M是DC上的一点，且2 DM=，N是AC上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值． 5、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。 6、如图，直角坐标系中有两点A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。
将军饮马问题 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河." 诗中隐含着一个有趣的数学问题? 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营. 请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走 才能使路程最短？从此，这个被称为”将军饮马”的问题广泛流传? 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓 轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以 快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。 5?如图，点A是/ MON 外的一点，在射线ON上作点P, 使PA与 点P到射线0M的距离之和最小
6..如图，点A是/ MON 内的一点，在射线 常见问题 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。 1. 怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或 者说只有定点才可以去作对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点 首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是 动点所在直线。 2. 对称完以后和谁连接？ 一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。 3. 所求点怎么确定？ 首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线 的交点。 下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题： 1.如图，抛物线y=ax+bx+c 经过A( 1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC勺周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由. 11 C V L 【分析】(1)设交点式为y=a (x- 1) (x- 4),然后把C点坐标代入求出a亠，于是得到抛 4 物线解析式为y=—x2-——x+3; 4 4 (2)先确定抛物线的对称轴为直线x&，连结BC交直线x一于点P,如图，利用对称性 得到PA=PB所以PA+PC=PC+PB=BC艮据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC勺周长最小，然后计算出BC=5,再计算OC+OA+B即可.
轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习 一、两定点一动点 1、答案：D 分析： 解答：∵点B和B’关于直线l对称，且点C在l上， ∴CB=CB’， 又∵AB’交l于C，且两条直线相交只有一个交点， ∴CB’+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边． 2、答案：B 分析： 解答：MN是正方形ABCD的一条对称轴， ∴PD=AP， 当PC+PD最小时，即点P位于AC与MN的交线上， 此时∠PCD=45°． 3、答案：C 分析： 解答：当PC+PE最小时，P在BE与AD的交点位置， 如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵D、E分别是边BC，AC的中点， ∴P为等边△ABC的重心， ∴BE⊥AC， ∴∠PCE=1 2 ∠ACB= 1 2 ×60°=30°， ∴∠CPE=90°-∠PCE=90°-30°=60°，
选C． 4、答案：作图见解答． 分析： 解答：如图所示： 5、答案：作图见解答． 分析： 解答：所作图形如图所示： 6、答案：（1）画图见解答．（2）画图见解答． （3）P（0，4）． 分析： 解答：（1）
（2） （3）过点A作AM⊥x轴于M， ∵A（2，6）， ∴M（2，0），AM=6， 又∵B（4，0）， ∴点B关于y轴的对称点B’（-4，0）， ∴B’M=6=AM， ∴△AB’M为等腰直角三角形， ∴∠P’BO=45°， ∴△P’BO也为等腰直角三角形， ∴B’O=PO=4， ∴P（0，4）． 7、答案：（1）画图见解答． （2）画图见解答． 分析： 解答：（1）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反． （2）作C关于y轴的对称点C1，连接C1B，交y轴于点P．连接PB，PC，此时△PBC周
类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚 上的某一位置 Q ,然后立即返回校场 Q ）,使得总路程 MP +PQ + QN 最短. OB 上的某一位置 Q .请为将军设计一条路线 （即选择点P 和Q ）,使得总路程 MP +PQ 最短. 3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将 军从马棚M 出发到达队头P,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N .请问：在什么位置列队（即 将军饮马问题 fl M 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0B N .请为将军重新设计一条路线 （即选择点P 和 【变式】如图所示，将军希望从马棚 M 出发, 先赶到河OA 上的某一位置P ,再马上赶到河 A OA 边的距离之和最小 P 到
练习 1、已知点A 在直线 直线I 上运动时，点 请说明理由. I 外，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点 B ，当点P 在 P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在， 5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM , ON 的对称点分别是 百和均,分别交OM, ON 于点A 、B,已知耳时=15,则^ PAB 的周长为（ 6. 已知/ AOB ,试在/ AOB 内确定一点 P ,如图，使 P 到OA 、OB 的距离相等，并且到 N 两点的距离也相等. 7、已知/ MON = 40°, P 为/ MON 内一定点，OM 上有一点 A , ON 上有一点B ,当△ PAB 的周长取最 小值时， A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 求/ APB 的度数 . 8.如图，在四边形 ABCD 中，/ A = 90°, AD = 4,连接 BD , BD 丄 CD,/ ADB =/ C 若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为
八（上）数学专题复习______将军饮马问题 傅苏球 2013年12 月25日 一、任务一-------------阅读理解 1、问题提出 1111、一 一， 早在古罗 马时代， 传说亚历 山大城有 一位精通 数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马 将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解 的问题:将军每天从军营B出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的A地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它． 2、解决办法
如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上， 取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B， 所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点 C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是， AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB．可见，在C点外任何 一点C'饮马，所走的路程都要远一些． 这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段 AA'的中垂线，所以AD=A'D,AC=A'C。（2）由上一条知：将军 走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点确定一线，所 以C点为最优。 思考:解题思路是 _______________________________________________ 3、将军饮马问题的应用 如图，有A、B两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站， 已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流 的距离BE是3km，DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得 费用最少，为多少？ 解：如图所作，C点为水泵站的位置。 依题意，得：所铺设的水管长度就是AC+BC，即：A'C+BC=A'B的长度。 因为EF=A'D=AD=1km, 所以BF=BE+EF=4km 又A'F=DE=3km 在Rt△A'BF中，A'B2=A'F2+BF2 所以：解得：A'B=5km 所以总费用为：5×1000×100=500000（元） 二、任务二-----------将军饮马问题在几何中的应用 1、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．
第1讲将军饮马模型 ?知识点睛 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 一、定直线与两定点 模型作法结论 A、在直线l异侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA+最小. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA+最小. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最大. PB A、在直线l异侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最大. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最小. PB
二、角到定点 模型 作法 结论 点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得 PCD ?周长最小. 点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得 MN PN +最小. 点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小. 点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小. 点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.
点Q P 、分别在AOB ∠的边 OB OA 、是，在OA 上找一点 M ，在OB 上找一点N ,使得 MQ MN PN ++最小. 二、两定点一定长 模型 作法 结论 如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =. 如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为 d ，在21l l 、上分别找N M 、两 点 ， 使 1 l MN ⊥，且 NB MN AM ++最小.
将军饮马问题 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.
3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。 4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。 6. 如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小。 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB=6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE=2，求EM+EC 的最小值。 2．如图，在锐角△ABC 中，AB=42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ____。 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值。 Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。 2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．23 B．26 C．3 D．6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。 4. 如图，点 边的距离之和最小 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚 M 出发，先赶到河 OA 上的某一位置 P ，再马上赶到河 OB 上 的某一位置 Q ，然后立即返回校场 N ．请为将军重新设计一条路线 （即选择点 P 和 Q ）， 使得总路程 MP ＋ PQ ＋QN 最短． 3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示 ） ：队伍长为 a ，沿河 OB 排开（从点 P 到点 Q ）；将 军从马棚 M 出发到达队头 P ，从 P 至 Q 检阅队伍后再赶到校场 N ．请问：在什么位置列队 （即 选择点 P 和 Q ），可以使得将军走的总路程 MP ＋PQ ＋ QN 最短? 将军饮马问题 变式】如图所示，将军希望从马棚 OB 上的某一位置 Q ．请为将军设计一条路线 MP ＋PQ 最短． ，再马上赶到河 P 到 5 已知∠ MON内有一点 P，P 关于 OM，ON的对称点分别是和，分别交 OM, ON于点 A、B，已知＝ 15，则△ PAB 的周长为( ) A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知∠ AOB，试在∠ AOB内确定一点 P，如图，使 P 到 OA、OB的距离相等，并且到 M、N 两点的距离也相等 . 7、已知∠ MON＝ 40 ， P为∠ MON内一定点， OM上有一点 A，ON上有一点 B，当△ PAB的周 边上一动点，则 DP长的最小值为 练习 1、已知点A在直线l 外，点P为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，长取最小值时，求∠APB的度数 . 8. 如图，在四边形ABCD中，∠ A＝ 90°， ADB＝∠ C.若 P 是 八年级数学将军饮马问题专题练习汇总 1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。 2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。 3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。 4.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。 5.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______。 6.如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。如果B为反比例函 数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上存在一点P，使PA+PB最小，则P点坐标为_______。 7.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜 相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题 如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 _________。 拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为 _________。 拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 在BC,CD上 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°， 分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ ANM=_______° 将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练知识链接 几何中最值问题的解题思路 轴对称最值图形 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动点， 求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l 上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P 为直线l上的一个动点，求 |AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定直 线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后 作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线 l的对称点 折叠最值图形 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 例题精讲 例、如图，直线y=kx+b交x轴于点A（-1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x 轴于另一点C． （1）直线的解析式为_______； （2）在该抛物线的对称轴上有一点动P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此抛物线的解析式及点P的坐标； （3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 题型强化 1、在平面直角坐标系中，已知 2 12 y x bx c （b 、c 为常数）的顶点为 P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的 坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过 A 、 B 两点，求抛物线的解析式． （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上并沿AC 方向滑动距离为 2时，试证明：平移后的抛物线与 直线AC 交于x 轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为 Q ，取BC 的中点N ，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 《将军饮马问题》教案 一、问题背景： 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？ B·营地 A·山峰 河流 这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了 二、引用“饮马问题”： 将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题： 如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ B·镇 A·镇 L 三、教学方法的探究： 当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。 设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计： 甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。连接A′C与BC，探究： B A L C C′ A′ B′ （1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。 （2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。 （3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。 这样设计探究活动，能充分体现轴对称性质，使复杂问题简单化，难点分解，由浅入深，通过实际生活中的镜面反射原理使得问题通俗化、趣味化，能调动学生学习的兴趣，易于学生掌握和理解。 四、妙用饮马问题： 利用轴对称思想，将该问题转化为“两点间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题。饮马问题可归结为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之和的最小值”问 将军饮马问题一一线段和最短 1.如图，直线I和I的异侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 2.如图，直线I和I的同侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 3.如图，点P 是ZMON内的一点，分别在0M , ON上作点A, B。使△PAB的周长最小。 离之和最小 4.如图，点P, Q为/MON内的两点，分别在OM, ON上作点A, B。使四边形PAQB 的周长最小。 5.如图，点A是/MON外的一点，在射线 离之和最小。 OM上作点P , 使PA与点P到射线ON的距 6.如图，点A是/MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距 、常见题目 Parti、三角形 1.如图，在等边厶ABC中，AB=6 , AD丄BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点, 且AE=2，求EM+EC的最小值 2 .如图，在锐角厶ABC中，AB=42 , Z BAC= 45。，启AC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝V BM+MN的最小值是_____ 。 3 .如图，△ ABC 中，AB=2 , Z BAC=30。，若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN 的值最小，则这个最小值 Part2、正方形1.如图，正方形ABCD的边长为8 , M在DC上，丐DM = 2 , N是AC上的一动点, DN + MN的最小值为_________ 。即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小。 2 .如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P,使PD+ PE的和最小，则这个最小值为（） A. 23 B . 26 C . 3 D . 6 4.如图，点边的距离之和最小 将军饮马问题 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河0A上的某一位置P,再马上赶到河0B上 的某一位置Q,然后立即返回校场N.请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q）, 使 得总路程M卉PQ+ QN最短. 0B上的某一位置Q.请为将军设计一条路线（即选择点P和Q）,使得总路程M卉PQ最短. 3、将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）：队伍长为a,沿河0B排开（从点P到点Q）;将军从马棚M出发到达队头P,从P至Q检阅队伍后再赶到校场N.请问：在什么位置列队（即选择点P和Q）,可以使得将军走的总路程皿卉PQ^ QN最短？ 【变式】如图所示，将军希望从马棚 P 至U 0A A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知/ AOB 试在/ AOB 内确定一点 P,如图，使 P 到OA OB 的距离相等，并且到 M N 两点的距离也相等? 7 、已知 / MON= 40 ° , P 为/ MON 内一定点，OM 上有一点 A , ON 上有一点 B ,当△ PAB 的周 长取最小值时，求/ APB 的度数. 练习 1、已知点A 在直线I 夕卜，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点 B ，当点P 在 直线I 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在， 请说明理由. A ■ 5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM ON 的对称点分别是 丄1和二，分别交OM, ON 于点 8.如图，在四边形 ABCD 中，/ A = 90°, AD= 4,连接 BD, BD 丄CD / ADB=Z C.若 P 是 BC 边上一动点，贝U DP 长的最小值为 _____ A B ,已知 =15,则厶PAB 的周长为（ C 将军饮马题型总结 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。 将军饮马最常见的三大模型 1. 如图，在直线异侧两个点A 和B ，在直线上 求一点P 。使得PA+PB 最短（题眼）。 一般做法：作点A （B ）关于直线的对称点， 连接A ’B ，A ’B 与直线交点即为所求点。A’B 即为最短距离 理由：A ’为A 的对称点，所以无论P 在直线任何位置都能得到AP=A ’P 。所以PA+PB=PA ’+PB 。这样问题就化成了求A ’到B 的最短距离，直接相连就可以了。 2. 如图，在∠OAB 内有一点P ，在OA 和OB 各 找一个点M 、N ，使得△PMN 周长最短（题 眼）。 一般做法：作点P 关于OA 和OB 的对称点 P1、P2。连接P1P2。P1P2与OA 、OB 的交 点即为所求点。P1P2即为最短周长。 理由：对称过后，PM=P1M ，PN=P2N 。所以 PM+PN+MN=P1M+P2N+MN 。所以问题就化 成了求P1到P2的最短距离，直接相连就可以了。 B 3.如图，在∠OAB内有两点P、Q，在OA PMNQ周长最短（题眼）。 一般做法：题目中PQ距离固定。所以只是 求PM+MN+QN的最短距离。最终P’Q’+PQ 即为所求最短周长。M、N即为所求的点。 理由：作完对称后，由于P’M=PM，Q’N=QN， 所以PM+MN+QN=P’M+MN+Q’N。所以就 化成了求P’到Q’的最短距离，所以相连即可。 常见问题 1.怎么对称，作谁的对称？ 2.对称完以后和谁连接？ 3.所求点怎么确定？ 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点， 即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连 线的点。 那么第一个问题，怎么对称。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的 定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不确定的点作对称式没有意义的） 那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。 那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。 接下来对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相连。绝对不能和一 个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。 最后所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交 点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。 将军饮马问题 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计 一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最 短． 3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P 和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短? 4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的 距离之和最小 1 于点和P，P关于OM，ON的对称点分别是，OM, ON分别交5已知∠MON内有一点）、AB，已知＝15，则△PAB 的周长为（ D. 24 B 7.5 C. 10 A. 15 NOB的距离相等，并且到M、到已知∠6. AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使POA、. 两点的距离也相等 的周OM°，P为∠MON内一定点，上有一点A，ON上有一点B，当△PABMON7、已知∠＝40. 的度数长取最小值时，求∠APB BC是若PC.CDBDADA8. 如图，在四边形ABCD中，∠＝90°，＝4，连接，BD⊥，∠ADB＝∠______. DP长的最小值为边上一动点，则 练习ll在为直线在直线1、已知点外，点，当点上的一个动点，探究是否存在一个定点PABP；若不存在，与上运动时，点直线两点的距离总相等，如果存在，请作出定点、lBPAB请说明理 几何专题1-将军饮马问题 若数轴上A，B两个点分别表示a，b；则AB=；若数轴上存在点P； ①当P在线段AB之间时，PA+PB=AB；②当P在AB延长线或BA延长线上时，|PA-PB|=AB；【考点例解】 模型1：在直线l上求作点P，使PA+PB最小． 知识点：两点之间线段最短（两边之和大于第三边）．当P在线段AB上时，PA+PB最小为AB ． 模型2：在直线l上求作点P，使PA+PB最小． 知识点：对称，同侧转异侧（对称是为了线段相等，异侧是为了动点在线段上），其他同模型1 ． 模型3：在直线l上求作点P，使|PA-PB|最大． 知识点：两边之差小于第三边．当P在线段AB延长线上时，|PA-PB|最大为AB ． 模型4：在直线l上求作点P，使|PA-PB|最大． 知识点：差最大，作对称，异侧转同侧（对称是为了线段相等，同侧是为了动点在延长线上），其他同模型3 ． 总结：动点所在直线为对称轴．简记：之间异侧和最小；之外同侧差最大． 动点P在线段AB上时和最小，不在线段上时，作对称，同侧转异侧时和最小． 动点P在AB或BA延长线上时差最大，不在延长线上时，作对称，异侧转同侧时差最大． 1 2模型5：在OA ，OB 上求作点M ，N ，使△PMN 周长最小． 知识点：作两次对称，两点之间线段最短．同模型1和2 ． 模型6：在OA ，OB 上求作点M ，N ，使四边形PQMN 周长最小． 知识点：P ，Q 分别作对称，两点之间线段最短．同模型1和2 ． 模型7：在OA ，OB 上求作点M ，N ，使①PM+MN 最小；②PN+MN 最小． 知识点：P 连哪个点，就先作关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．①最小为P’N ；②最小为P’M ．模型8：P ，Q 分别为OA ，OB 上的定点，在OA ，OB 上求作点M ，N ，使PN+NM+MQ 最小．知识点：过P ，Q 分别作对称，两点之间线段最短．同模型1和2 ． --------- 最短路径最小值问题专题训练 “将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位罗马将军前来向他求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有很多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。 事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要 遇到这样的问题。古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路。我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题。看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛。这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。下面我就几个例题来具体分析解决。 【典例探究】 （?梧州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标； （3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可； （3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，∴， 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚 M 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0B 上 的某一位置Q,然后立即返回校场 N.请为将军重新设计一条路线 （即选择点P 和Q ）, 使得总路程M 卉PQ+ QN 最短. 0B 上的某一位置 Q.请为将军设计一条路线（即选择点P 和Q ）,使得总路程 M 卉PQ 最短. 3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将 军从马棚M 出发到达队头P ,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N.请问：在什么位置列队（即 选择点P 和Q ）,可以使得将军走的总路程 皿卉PQ^ QN 最短？ 将军饮马问题 【变式】如图所示，将军希望从马棚 4.如图，点 边的距离之和最小 ，再马上赶到河 P 至 U 0A 5已知/ MON内有一点P, P关于OM ON的对称点分别是召和R, 隅分别交OM, ON于点 A B,已知=15,则厶PAB的周长为（ A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知/ AOB试在/ AOB内确定一点P,如图，使P到OA OB的距离相等，并且到M N 两点的距离也相等? 7、已知/ MON= 40 ° , P为/ MON内一定点，OM上有一点A, ON上有一点B,当△ PAB的周长取最小值时，求/ APB的度数. 8. 如图，在四边形ABCD中，/ A= 90°, AD= 4,连接BD, BD丄CD / ADB=Z C.若P是BC 边上一动点，贝U DP长的最小值为_______. 练习 1、已知点A在直线I夕卜，点P为直线I上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在 直线I上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在， 请说明理由. A ■ 《“将军饮马”问题》说课稿 说课者：徐乐乐 各位领导，各位老师大家下午好！ 今天我说课的课题是《“将军饮马”问题》。这是中考考察的热点，连续几年来在填空题、综合与实践部分均有考查。 一、教材分析： 本节课是建立在轴对称的基础上对数学史的一个经典问题——“将军饮马”问题进行设计的。 二、学情分析： 是中考第二轮复习所涉及的内容，因此，学生已经对轴对称等变换进行了复习，具备了基本的知识储备。本班学生，整体基础较好，此前虽有涉及最值问题，但面对具有实际背景的最值问题，仍会感到吃力，个别学生会感到无从下手。 鉴于此，根据初中数学新课标以及八大核心素养要求，我确立以下三维目标及重难点： 三、教学目标： 1、知识与技能目标：掌握“将军饮马”问题的四个基本模型；（这体现了“数学建模”的核心素养）能利用模型灵活解决实际问题。（这体现了“数学抽象”的核心素养） 2、过程与方法目标：学生亲身经历探究解决“将军饮马”问题的过程，体会运用建模、转化思想研究数学问题的方法。（这体现了“逻辑推理、直观想象”的核心素养） 3、情感态度与价值观目标：培养学生严谨科学的学习态度，勇于探索、勇于创新的精神。（这体现了“科学精神、实践创新”的核心素养） 教学重点 利用基本模型解决线段和最小问题。 教学难点 根据实际问题建立数学模型。 四、方法与策略 教师的教法：为增强数学课堂趣味性,整堂课以讲故事的形式对“将军饮马问题”进行改编与设计，相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生熟悉掌握三类基本模型，突出本节课重点内容，为解决实际问题奠定坚实的基础。为突破本节课难点，在每一个模型后立刻跟踪练习，对问题的解读、分析、解答、释疑，教师尽量都以引导者的角色出现，让学生担任主角，在和教师就问题进行辨析和探讨的过程中，感受知识的生成过程，加深对最值问题的理解，力争做到能尽快发现实际问题中的数学模型，从而分析与解决问题。 学生的学法：为突破难点，简单题采用自主探究，主动思考(完整版)将军饮马问题
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