概率论与数理统计教材更正 第5页第4行
A B A
B =
表1-1第9行中边“集合A 与集合B 的和集”中的“和”改为“并”。 第7页同步练习
观察某地区未来5天天气情况，记i A 为事件“有i 天下雨”（i =1，2，3，4，5），已知
0()()i P A iP A =，i =0，1，2，3，4，5．求下列各事件的概率．
第9页例1.8中
A k =2
13C =
13122
?=78，B k =24C =
432
?=6
()()()()P C P A B P A P B ==+
A B k k n
n
=+
78
6
136
136=
+
2134
=
第14页第8行中0.0050.95
0.0050.950.9950.004
??+?应为
0.0050.95
0.0050.950.9950.04
??+?
第17页
倒数第7行应该是“1[1()][1()][1()]P A P B P C =----” 倒数第3行
0()()P A P ABC =，应该是0()()P A P A B C =
倒数第2行应该是“[1()][1()][1()]P A P B P C =---” 第18页第1行1()()P A P A B C AB C A BC =++横线是分开的。 第24页 以后的形如()P 这样的圆括号，除了括号内为A 、B 、C 等字母的都改为花括号
即“{
}P ”
如24页倒数第4行中()k P X x =改为“{}k P X x =” 第30页8(80/0!)e -，应该是08(8/0!)e -
第39页相互独立的定义中{|}{}{}i j i j P X x Y y P X x P Y y =====， 应该是 {,}{}{i j
i
j P X x Y y P X x
P Y y
====
= 第40页第3行
{1, 0}
0.15{1|0} 0.2 ,{0}
0.25
P X Y P X Y P Y =====
=
==
应该是、{1, 0}
0.05{1|0} 0.2 ,{0}
0.25
P X Y P X Y P Y ======
==
第50页中的图应该是
第52页倒数第2行中 “()y b x h x a
-==
，且有，1()h x a
'=
”改为“()y b x h y a
-==
，且有，1()h y a
'=
”
第54页13行中
即103()00Y e y f y y λ-?≥?=??
改为“即103()00
Y e y f y y λ-?≥?=??
当当”
第56页
图3-9中（b ）改为
(c)改为
倒数 第5行
P
{(X ，Y )∈A }＝0.5/（4π）＝1/（8π） 第58页中定义3.7应该是
定义3.7 设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为 f (x , y )，Y 的边缘概率密度为f
Y (y )．若f (x , y
) 在点(x , y ) 处连续, 当 f Y (y ) >0 时，在条件Y y =下的条件分布为：
|(,)(|)
()
X Y Y f x y f x y f y =
；同理，当 f X (x ) >0 时，在条件Y x =下的条件分布为：
|(,)(|) .
()
Y X X f x y f y x f x =
第68页第2行、第3行少了等号
所以 01
()!
!
k k
k
k E X k e
k e
k k λ
λ
λ
λ
∞
∞
--===?
=
?
∑∑
1
1
1
1
(1)!(1)!
k k k k e
e
k k λ
λ
λλ
λ
λ--∞
∞
--==?=
=?--∑∑
1
1.!
m
m m k e
m λ
λ
λλλ∞
-==-?=?=∑
例4.3 密度函数少了绝对值 ||
1() 2x f x e
x -=
-∞<<+∞，，
第69页11行应该是“1 1.2e e --=-” 第71页13行(,)(,)E X Y xyf x y dxdy +∞+∞-∞
-∞
=
?
?
应该是“()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞-∞
-∞
=
?
?
”
第75页倒数第1行2
2
()().12
b a Var X -=应该是“2
()().12
b a Var X -=
”
第76页6,7行中
2
2
()+2
2()
x x u dx μσ
--
∞-∞
=
-?
2
+22
2
2
()/.t
t x u t
dt σ
σσ∞-
-∞
=-=?
应该是
2
2
()+2
2()
x x dx μσ
μ--
∞-∞
=
-?
2
+22
2
2
()/.t
t x t
dt μσ
σσ∞-
-∞
=-=?
第77页倒数第2行“单位”后面加一个“圆”字。 第83页倒数第1行中的“区间”改为“点”
第84页倒数第6行
{}
2
1 ,P X n
σ
με-<≥-
改为“{}
22
1 ,P X n σ
μεε
-<≥-
”
第86页定理5.5的运用中要说明：为了提高精度一般将区间扩大0.5 例5.1 改为
例5.1某病的患病率为0.005，现对10000人进行检查，试求查出患病人数在（45,55]
内的概率.
解：设患病人数为X,则X~B(10000,0.005). 由定理5.5得 {4555}{55}{45}P X P X P X <≤=≤-≤
≈Φ-Φ (0.71)(0.71)2(0.71)1=Φ-Φ-=Φ-
20.761110.5222=?-=。
第86页例5.3解答改为
(26)P X ≤
≤=Φ-Φ
(0.45)( 1.79)=Φ-Φ-0.6736(10.9633)0.6369=--=
2）设每箱中应多装k 只元件，则不合格品数X~B(1000+k ,0.005) ，由题设，应有
()0.99P X k ≤≥，因而可得
()0.99(2.326)P X k ≤=Φ≥=Φ
于是k
2.326≥
解之，有11k ≥
第93页倒数11行
双侧分位数α＝/2{Z }P X α>1{||Z }P X α=-<2[1(Z )]α=-Φ． 改为
双侧分位数α＝/2{Z }P X α>/21{||Z }P X α=-
性质4 2 χ分布分位数
对于给定的α∈(0，1)，称满足条件
{}2
2
2
()
()() ()n P n n f x dx α
αχ
χχα+∞
>=
=?
的点 2 ()χn α为 2
()χn 分布的上(右) 侧α分位数．
95页例6.2改为例6.3第6章例子以后序号加1 96页第1行 改为 故112
C =
，则有
112
Y 2
~(2)χ
98页性质4 改为 11() .
(,)
F m ,n F n m αα-=
113页第8行改为
因
22
2
1
1
ln ()0,n
i i d
L x d λλ
λ
==-
<∑
119页第2行改为
2
2{}1P X α
αμα-
≤≤=-
120页倒数第6行置信区间改为[46.08，53.92] 124页倒数第4行“查附表3”改为“查附表4” 132页第6行中“所以由”中“由”改为“有” 第133页例8.5中对例3应该是例8.3
138页
2. 在22212σσσ==，2σ未知情况下，
改为“（2） 在22212σσσ==，2σ未知情况下，”不用黑体 139页
3.单侧经验改为2.单侧经验
4.单侧经验改为3.单侧经验 150习题解答 习题1 7（2）
58
改为34
153页 习题3
7 应该是（1）0.8185；（2）0.9772；（3）0.9987。 10. 应该是
2()2)p y y =
<<
11. 应该是2
1
11,0(,)2
0x e y F x y x
?≤≤≤≤?
=???
当其他
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB） 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
= 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计初步综合练习 一．填空题 1设事件A 、B 、C , 则三个事件中至少有一个事件发生表示为 2. 设()3.0=A P ，()15.0=AB P ，且A 与B 相互独立，则()=?B A P ____________ 3. 设]5,1[~U X ，则X 落入[2，4]的概率为 4. 若).(~p n B X ，且 2=EX ， 2.1=DX ， =n 5. 已知()2=X E ，() 52=X E ，()=+12X D _____________。 6. 设1X ，2X ，……，n X 是总体()2 ,σμN 的样本，X ，2 S 分别是样本平均值和样本方 差， 则 n S X μ -服从 分布 二．选择题 1. 将一枚硬币连掷三次, 至少出现一次正面的概率为 ( ) A. 21 B. 43 C. 87 D 3 2 2 )(x F 是分布函数，则)2 3(F = （ ） A.0.1 B.0.3 C.0.6 D.1 3. 二维离散型随机变量 X 与Y 相互独立同分布, 且已知其边缘分布律为 {}{ }2111=-==-=Y P X P , {}{ }2 1 11====Y P X P 则 ==+)0(Y X P （ ） A. 21 B. 4 1 C.1 D .0 4. 如果X 与Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则必有（ ） A. Y X 与独立 B. Y X 与不相关 C. 0(=） Y D D. 0)()(=Y D X D 5. 21,X X 为取自正态总体()2 ,~σμN X 的一个样本以下四个关于μ的无偏估计量中，方 差最小的是 （ ） A. 1X B. ()2121 X X +, C. 214341X X + D. 213 132X X + 6. 设总体X 服从正态分布，E(X)=2,E(X 2 )=8, X 1,X 2,…,X n 是X 的样本，1 1n i i X X n ==∑,则X 的分布为（ ） A. 4(2,)N n B. (2,1)N C. 2(,4)N n D. 24(,)N n n 三．计算题1. 两台车床加工同样的零件，第一台加工的废品率为0.05，第二台加工的 废品率为0.06，加工出来的零件放在一起，已知这批零件中，由第一台车床加工和由第二台加工的各占一半，从这批零件中任取一件。 求：（1）取到合格品的概率。（2）取到的合格品是由第一台车床加工的概率。 设随机变量X 的密度函数?????=0 )(2x k x f 其他2 1< 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 《概率论与数理统计》课程自学指导书 前言 . . 《概率论与数理统计》是城市规划专业和地理信息系统专业的专业必修课。《概率统计》教材系统阐述了概率论和数理统计的基本内容、理论和应用方法。概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科，它的应用非常广泛，并具有独特的思维和方法。通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。通过本课程的学习，能够为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。其内容可分为三大部分。第一部分概率论部分，包括第一、二、三、四、五章。作为基础知识，为读者提供了必要的理论基础。第二部分数理统计部分，包括第六、七、八、九章，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析。第三部分随机过程部分，主要讨论了平稳随机过程，还介绍了马尔可夫过程。 本指导书是作为函授学员在集中授课后，指导自学而编制的。内容较为简明扼要。主要是为了让学员能够抓住要领，掌握重点，理解难点，从而达到能够融会贯通、灵活掌握概率统计的基本概念、基本理论从而解决实际问题的目的。 本指导书的主要参考书目： 1． 景泰等编。概率论与数理统计.上海科学技术文献出版社,1991. 2． 玉麟主编。概率论与数理统计.复旦大学出版社，1995。 3．大茵，陈永华编。概率论与数理统计。浙江大学出版 社.1996 本课程的考核内容以教学大纲为依据，注重基本概念、基本理论的掌握和应用的考核。主要考核方式为笔试。 第一章概率论的基本概念 一、内容概述 # 本章介绍了概率论的基本概念：随机试验、样本空间、随机事件、频率与概率，讨论研究等可能概型问题、条件概率及独立性问题。 二、教学目的要求 # （1） 理解并掌握概率论的基本概念。 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) 《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了 《概率论与数理统计》教学大纲 编写人：刘雅妹审核：全焕 一、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质，它是为培养我国现代建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。 二、教学基本要求 本课程按要求不同，分深入理解、牢固掌握、熟练应用，其中概念、理论用“理解”、“了解”表述其要求的强弱，方法运算用“会”或“了解”一词表述。 〈一〉、随机事件与概率 ⒈理解随机实验，样本空间和随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。 ⒉理解概率的定义，掌握概率的基本性质，能计算古典概型和几何概型的概率，能用概率的基本性质计算随机事件的概率。 3.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式。 ⒋理解全概率公式和贝叶斯公式，能计算较复杂随机事件的概率。 ⒌理解事件的独立性概念，能应用事件的独立性进行概率计算。 6.理解随机实验的独立性概念，掌握n重贝努里实验中有关随机事件的概率计算。 〈二〉、一维随机变量及其概率分布 ⒈理解一维随机变量及其概率分布的概念. 2.理解随机变量分布函数的概念,了解分布函数的性质,会计算与随机变量有关的事件的概率. 3.理解离散型随机变量及概率分布的概念.掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其它们的应用。 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其它们的应用。 5.会求简单的随机变量的函数的分布。 〈三〉、二维随机变量及其分布 ⒈了解二维（多维）随机变量的概念。 ⒉了解二维随机变的联合分布函数及其性质；了解二维离散型随机变的联合概率分布及其性质；了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数及其性质，并会用这些性质计算有关事件的概率。 3．掌握二维离散型与二维连续型随机变量的边缘分布的计算，了解条件分布及其计算。 4．理解随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量独立性进行概率计算。 第一章：概率论初步 基本概念：随机事件、古典概率、条件概率、事件的独立性 事件的关系与运算(结合集合论和文氏图来学习) 子事件(子集)、积事件(交集)、和事件(并集)、对立事件AB A B ∪A (补集)、 差事件 ;A B AB A AB ?==? 互斥事件 AB =Φ 事件发生：事件A 中至少有一个样本点出现. 处理技巧：把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和 []A B A B A =?∪∪运算规律：德摩根律 ; AB A B A B AB ==∪∪ 加法原理：(分类)，乘法原理：12m n n n +++ 12m n n n ??? (分步) 排列： 全排列：； 组合：,m m n n A P ,!n ,! m m m n n n P C C C m n m n ?== 古典概型： 满足以下两个特点的随机试验 ()A n P A n Ω = 1. 试验的样本空间中有有限的样本点； 2. 每个样本点发生的可能性是相等.(对称性和均衡性) 例题1 计算下列概率题 (求概率前先设事件) 1. 抛两颗骰子，观察他们点数出现的情况， (1) 写出试验的样本空间； (2) 设两颗骰子点数相同，:A :B 两颗骰子点数和为5，求 (),().P A P B 2. 袋子中有a 只白球，b 只红球，2个人依次在袋子中取一球， (1) 做有放回的抽样，求第二个人取得白球的概率；()a P A a b =+ (2) 做无放回的抽样，求第二个人取得白球的概率； 1(1)()11()(1)b a a a a b a a P A a b a b a b a b a b a b a b () ?+?= ?+?==++?++?++?+ 注：当箱子中奖券足够多时，摸奖不分先后； 概率的公理化定义 设E 是一个随机试验，S 是它的样本空间，对于E 中的每一个事件A 赋予一个实数，记为，称为事件的概率，如果他满足下列的假设： ()P A A (1) (2) 对于0()P A ≤≤1;S 有()1;P S = (3) 设 两两互不相容，则有 12,,,,n A A A 1212()()()n n P A A A P A P A P A =+++∪∪ ∪∪ () 概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用 姓名： 学号： 专业：电子信息工程 摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与 数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。 关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） 1.1.2 概率的一些重要性质 （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率） （vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=? 一、第六章习题详解 6.1 证明（6.2.1）和(6.2.2)式. 证明： (1) ∑∑∑===+=+==n i i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 1 11)(1 )(11 b X a b X n a n i i +=+=∑=1 )1( (2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Y b X a b aX n Y Y n S 1 212 2 )]()[(1)(11 221 2212)(1)]([1X n i i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑== 6.2设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。证明与2 (),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =12121 1 1 [()]()()n n E X X X E X X X n n n n μμ++ = ++== ()Var X =22 1212221 1 1[()]()()n n Var X X X E X X X n n n n n σσ++ =++ == 6.3 设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本,2 21 1()1n i i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2 S =)(11 21 2X n X n n i i --= ∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i i n i i X X X X n X X n S 1 2212 2 )2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑= )(1121 2X n X n n i i --=∑= . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域） 概率论与数理统计知识点汇总(详细) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P概率论与数理统计课程教学大纲
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