1.将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为 A. {(正，正)，(反，反)，(一正一反) } B . {(反，正)，(正，反)，(正，正)，(反，反) } C . {一次正面，两次正面，没有正面 } D. {先得正面，先得反面} 2.设A 与B 互不相容，且P(A) 0 , P(B) 0则有 【D ] 6.设A,B,C 是三个相互独立的事件，且0 ::： P(C) ：：：1,则下列给定的四对事件中 不独立的是 A. AUB 与 C B. A-B 与 C C. AC 与 C D. AB 与 C 7.设 0 ：： P(A) ::: 1,0 ：： P(B) d,且 P(A| B) P(AB) =1,则 A. P( A) =1 - P( B) C. P(AB) =1 3. 若AB =，则下列各式中错误的是 A . P(AB)_O C. P(A+B)=P(A)+P(B) 4. 若A B 则下面答案错误的是 A. B 未发生A 可能发生 C. P(A)乞 P B D. B 5. 袋中有a 个白球，b 个黑球，从中任取一个 1 A. B. 2 B. P(AB) =P(A)P(B) D. P(AUB)=P(A) P(B) 【C : B. P(AB)乞 1 D. P(A-B)乞 P(A) 【A ] B. P B-A -0 发生A 可能不发生 ,则取得白球的概率是 【C ] 1 a b b A. A 与B 不相容 B. A 与B 相容 C. A 与B 不独立 D. A 与B 独立 8.四人独立地破译一份密码 1111 ,已知各人能译出的概率分别为 ，-，，则密码最终能被译 5 4 3 6 的概率为 【D ] 【D ] A.B
高考数学专题复习事件与概率专项突破真题精选汇编（理，分章节）及详细解答答案 第一部分 第十三章 概率与统计 第一节 事件与概率 一、选择题 1．(2008年广州模拟)下列说法： ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； ②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率m n 就是事件的概率； ③百分率是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离n 次的试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ⑤频率是概率的近似值，概率是概率的稳定值． 其中正确的是( ) A ．①②③④ B ．①④⑤ C ．①②③④⑤ D ．②③ 2．某班有3位同学分别做抛硬币试验20次，那么下面判断正确的是( ) A ．3位同学都得到10次正面朝上，10次反面朝上 B ．3位同学一共得到30次正面朝上，30次反面朝上 C ．3位同学得到正面朝上的次数为10次的概率是相同的 D ．3位同学中至少有一人得到10次正面朝上，10次反面朝上 3．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面 B ．最多1枚正面和恰有2枚正面 C ．至多1枚正面和至少有2枚正面 D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面 4．从一篮鸡蛋中取1 个，如果其质量小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，那么重量不小于30克的概率是( ) A ．0.30 B ．0.50 C ．0.80 D ．0.70 5．(2009年福建)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，
概率部分知识点总结 事件：____________，确定性事件: _____________和____________ 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为() ____P A ? 概率是频率的__________，频率是概率的_________ 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有_________ ② ()() ,__,__P P W F W=F =用和分别表示必然事件和不可能事件则有 ③如果事件() ,:________A B P A B +=和互斥则有 古典概率：① ___________ ② _______________满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是__， 如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()___P A = 求古典概型概率的方法：___________、___________、___________、___________ 几何概型：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()P A =__________（一般地，线段的测度为该线段的长度；平面多变形的测度为该图形 的面积；立体图像的测度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① ____________ ② _______________ 互斥事件：___________________________称为互斥事件 对立事件：____________________________,则称两个事件为对立事件，事件A 的对立事件 记为：A 注意：① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件B A ,是互斥事件，则有()()()B P A P B A P +=+ ⑦ 一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ⑧ ()() A P A P -=1 ⑨ 在本教材中n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个 ⑩在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件 事件A 和事件B 的和：_______________________________________________________
7-9-1.概率 教学目标 “统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容． 1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题． 2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题． 3.理解和运用概率性质进行概率的运算． 知识要点 一、概率的古典定义 如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果； ⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的． 这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：()m P A n =，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m和n需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出． 二、对立事件 对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件 如果事件A和B为对立事件（互斥事件），那么A或B中之一发生的概率等于事件A发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1 P A P B +=． 三、相互独立事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 如果事件A和B为独立事件，那么A和B都发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即：()()() P A B P A P B ?=?． 例题精讲 模块一、概率的意义 【例1】气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________． ①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水． ③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大． 【考点】概率的意义【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯，决赛 【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨． 【答案】④
第十一讲 概率与统计 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（重庆卷）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张， 则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） A ． 4 1 B ． 120 79 C ． 4 3 D ． 24 23 解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，1 1 1 532 31031.4 C C C P C ?=-= 选C 2．（辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球 是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码 是偶数的概率是（ ） A ． 122 B ． 111 C ． 322 D ． 211 解： 从中任取两个球共有662 12=C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球 的号码是偶数的取法有122 326=-C C 种取法，概率为 11 266 12= ，选D. 3．(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装 有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示) 解：P= 6 4? 6 1=9 1 4．(上海卷) 在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 （结果用数值表示）． 解： 2 1 233 5310 C C C = =3.0 5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是 12 ，他投球10次， 恰好投进3个球的概率为 ．（用数值作答） 解：由题意知所求概率3 7 310 111522128 p C ???? == ? ????? 6．(全国II) 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2 (1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)， 内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ． 解：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2 ）（σ>0），正态分布图象 的对称轴为x=1，ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在 (1，2)内取值的概率于ξ在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机 变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。 ★★★高考要考什么
随机事件的概率 一、选择题 1．下列试验能够构成事件的是( ) A ．掷一次硬币 B ．射击一次 C ．标准大气压下，水烧至100℃ D ．摸彩票中头奖 2． 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( ) A ．必然事件 B ．不可能事件 C ．随机事件 D ．以上选项均不正确 3． 随机事件A 的频率n m 满足( ) A ． n m =0 B ． n m =1 C ．0
(4)边长为a ，b 的长方形面积为ab A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．下列说法正确的是( ) A ．某厂一批产品的次品率为110 ，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品 B ．气象部门预报明天下雨的概率是90﹪，说明明天该地区90﹪的地方要下雨，其余10﹪的地方不会下雨 C ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈 D ．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5． 一、选择题 1． D 2． C 3． D 4．A 5． C 6．C 7．C 8． D ，9 C 二、填空题 10． 某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表（结果保留两位有效数字）： （1）填写表中的男婴出生频率； （2）这一地区男婴出生的概率约是_______． 答案：1．（1）0.49 0．54 0.50 0.50 （2）0.50 11．对于①“一定发生的”，②“很可能发生的”，③“可能发生的”，④“不可能发生的”，⑤“不太可能发生的”这5种生活现象，发生的概率由小到大排列为(填序号) 。 答案：④⑤③②① 12．已知ABC △1，且sin sin A B C += ． （1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（1）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++= ，
第三节 古典概型与几何概型 引例 一个纸桶中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1—10.把球搅匀, 蒙上眼睛从中任取一球. 因为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的, 所以我们没有理由认为这10个球中的某一个会比另一个更容易抽得, 也就是说,这10个球中的任一个被抽取的可能性均为10 1. 这样一类随机试验是一类最简单的概率模型, 它曾经是概率论发展初期主要的研究对象. 内容分布图示 ★ 引例 ★ 古典概型 ★ 计算古典概率的方法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 几何概型 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3 内容要点: 一、古典概型 我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。 1. 随机试验只有有限个可能的结果; 2. 每一个结果发生的可能性大小相同. 因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为: 在古典概型的假设下,我们来推导事件概率的计算公式. 设事件A 包含其样本空间S 中k 个基本事件, 即 },{}{}{21k i i i e e e A = 则事件A 发生的概率 .)()()(11中基本事件的总数 包含的基本事件数S A n k e P e P A P k j i k j i j j ====∑== 称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题. 二、 计算古典概率的方法 基本计数原理： 1. 加法原理：设完成一件事有m 种方式,其中第一种方式有1n 种方法，第二种方式有
概率统计讲义 一．近5年全国卷高考题回顾 1.（2012?新课标 第11题） 将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 2.（2012?新课标 第18题）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式． 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差； （ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． （1）当时， ， 当 时， ， 得：() *∈?? ?≥≤-=N n n n n y 16 ,8015 ,8010 （2）（ⅰ）X 可取60，70，80。 ， X 的分布列为 ， 。 （ⅱ）购进17枝时，当天的利润为76.4 > 76，从利润角度看，故应购进17枝。 而此时 ，说明购17支在利润相差不大的情况下，其波动较大，故购16支也可。 3.（2013 新课标 第3题）为了解某地区中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理抽样方法是( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 4.（2013 新课标 第19题）.一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任 取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3，再从这批产品中任取4件作
随机事件的概率 进门测 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的．(×) (2)随机事件和随机试验是一回事．(×) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×) (5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√) (6)两互斥事件的概率和为1.(×) 阶段训练 题型一事件关系的判断 例1(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是()
A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③ (2)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 (3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是7 10的事件是( ) A ．至多有一张移动卡 B ．恰有一张移动卡 C ．都不是移动卡 D ．至少有一张移动卡 答案 (1)C (2)A (3)A 解析 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件． (2)若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝7 8，P (B ) ＝1 8 ，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件． (3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件． 思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生． ②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
概率 1、从1、 2、 3、 4、 5、 6、7中任取一个数,求下列事件的概率. (1)取出的数大于3; (2)取出的数能被3整除; (3)取出的数大于3或能被3整除. 2、某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为32,,a a a 1,女生两名,分别记为21,b b ,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛. (1)写出这种选法的样本空间;(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率; (3)求参赛学生中至少有一名男生的概率. 3、甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． 4、在集合{} 40,50),(≤≤≤≤y x y x 内任取1个元素,能使不等式012 19 34≥-+y x 成立的概率是多少?
1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题， （1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？ 2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少． 3、将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率. 4、（2008高考江苏卷6）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率．
5、（2008高考宁夏文）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=． （Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 6、甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 7、如图，在等腰三角形ABC 中，∠B =∠C =30°，求下列事件的概率： 问题1 在底边BC 上任取一点P ，使BP ＜AB ； 问题2 在∠BAC 的内部任作射线AP 交线段BC 于P ，使BP ＜AB ． A C P B 第7题
人教版初中数学概率知识点总复习有答案 一、选择题 1．如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形GHEF 部分的概率是（ ） A ．34 B ．14 C ．124 D ．125 【答案】D 【解析】 【分析】 求出ＡＢ,ＨＧ的边长,进而得到正方形GHEF 的面积和四个小直角三角形的面积,求出比值即可. 【详解】 解：∵ＡＨ＝６,ＢＨ＝８, 勾股定理得ＡＢ＝１０, ∴ＨＧ＝８－６＝２,Ｓ△ＡＨＢ＝２４, ∴Ｓ正方形GHEF ＝４,四个直角三角形的面积＝９６, ∴针扎在小正方形GHEF 部分的概率是 100４=125 故选Ｄ. 【点睛】 本题考查了几何概型的实际应用,属于简单题,将概率问题转换成求图形的面积问题是解题关键. 2．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A ．49 B ．13 C ．29 D ．19 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】 画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果， ∴两次都摸到黄球的概率为4 9 ， 故选A． 【点睛】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 3．岐山县各学校开展了第二课堂的活动,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C． 1 6 D． 1 9 【答案】B 【解析】 【分析】 先画树状图（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A、B、C表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式计算即可．【详解】 画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A. B. C表示) 共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3， 所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=31 93 ， 故选B. 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列
我认为概率在初中阶段有三种定义：一种是古典概率，一种是几何概率，另一种是概率的统计定义。对于前两种定义，由于有小学知识的铺垫，学生很容易理解，但恰恰是教材中多为古典概型或几何概型的问题，所以容易造成学生解决概率问题时，默认他是等可能的。所以对于概率的统计定义，学生的理解比较困难。 但对于概率的统计定义的价值以及它和前两种定义的关系可以从以下几个方面来理解。 在相同的条件下做大量重复实验，一个事件 A出现的次数 m和总的实验次数 n之比，称为事件 A在这 n次实验中出现的频率。当实验次数 n很大时，频率将稳定在一个常数附近。 n越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率。 这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的统计定义。这种对概率讨论的对象不再限于随机实验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具有一般性。例如，掷一枚质地不均匀的硬币，硬币正、反两面向上的可能性会不相等，不能用古典概率而只能用统计方法分析这个问题，如果经过大量重复实验，发现随着实验次数不断增加，硬币正面向上的频率越来越稳定在常数 2/3附近，则可以推断事件 A（硬币正面向上）发生的概率为 P ( A ) = 2/3 。随着人们观察对象的广泛化 ,人们越来越认识到 , 对一个随机事件来说 , 它发生可能性大小的度量是由它自身决定的 , 并且是客观存在的 , 就好比一根木棒有长度 ,一块土地有面积一样。它就是频率稳定的中心值。概率的统计定义提供了概率的一个可供想象的具体值 , 并且在实验重复次数 n较大时 , 可用频率给出概率的一个近似值 , 这一点是概率统计定义最有价值的地方。 概率的统计定义突破了古典概率、几何概率中随机实验要满足“结果等可能”的限制，因而具有一般性，其适用范围也更宽泛。从理论上说，古典概率、几何概率的概率也能够通过大量重复实验由频率的稳定性得出，即概率的统计定义的适用范围包括“结果等可能”的随机实验。 对于初中学生，只要知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值即可。为了使高中的学习更轻松，可以设计一些实验，如抛掷瓶盖、硬币、摸球等，使学生从动手实验的过程中体会概率的统计定义。
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容． 1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题． 2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题． 3.理解和运用概率性质进行概率的运算． 一、概率的古典定义 如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果； ⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的． 这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()m P A n = ，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出． 二、对立事件 对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件 如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=． 三、相互独立事件 事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A P B ?=?． 模块一、概率的意义 【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是教学目标 例题精讲 知识要点 7-9-1.概率
第一章随机事件的概率 第二节概率的定义及性质 二.概率的几何定义 古典概率的局限性: 基本事件总数有限,各个基本事件发生的可能性相同. 对基本事件总数无限的情形,古典概率就不适用了. 概率的古典定义是以试验的基本事件总数有限和基本事件等可能发生为基础的。对于试验的基本事件有无穷多个的情形，概率的古典定义显然不适用了。为了研究基本事件有无穷多个而又具有某种等可能性这样的一类随机试验，需要用几何方法来引进概率的几何定义。
先从几个简单的例子开始。 例1 某公共汽车站每隔十分钟有某一路公交汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意地.求一个乘客候车时间不超过三分钟的概率. 例2 如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？ 例3 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。 一种相当自然的答案是认为 ；例2中钻到例1所求的概率等于3 10 8；而例3所求的石油的概率等于 10000 1。在求这些概率时，我概率等于 200
们事实上利用了几何的方法，并假定了某种等可能性。 在例1中，乘客候车时间的区间为[0,10]，且取各点的可能性一样； 候车的时间短于3分钟，也就是候车时间的区间为[0,3]，相应的概率应是310 。 在例2中，由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮藏油域的面积与整个海域面积之比，即等于1000085000040=。 同样地，例3中由于取水样的随机性，所求概率等于水样的体积与总体积之比 20014002= 。
概率教师版 一.选择题 1.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算|x﹣4|，则其结果恰为2的概率是（）A．B．C．D． 1【解答】解：∵|x﹣4|=2，∴x=2或6．∴其结果恰为2的概率==．故选C． 2同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（）A．B．C．D． 2【解答】解：由题意可得，所有的可能性为： ∴至少有两枚硬币正面向上的概率是：=，故选D． 3.不透明的袋子中装有性状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（） A摸出的是3个白球B摸出的是3个黑球C摸出的是2个白球、1个黑球D摸出的是2个黑球、1个白球3【解析】∵袋子中有4个黑球，2个白球，∴摸出的黑球个数不能大于4个，摸出白球的个数不能大于2个。A选项摸出的白球的个数是3个，超过2个，是不可能事件。答案：A 4.下列说法中正确的是（） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．“x2＜0（x是实数）”是随机事件 C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上 D．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查 4解：选项A中的事件是随机事件，故选项A错误； 选项B中的事件是不可能事件，故选项B错误；选项C中的事件是随机事件，故选项C正确；选项D中的事件应采取抽样调查，普查不合理，故选D错误；故选C．
5在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（）A．B．C．D． 5【解答】解：根据题意可得：口袋里共有12只球，其中白球2只，红球6只，黑球4只，故从袋中取出一个球是黑球的概率：P（黑球）==，故选：C． 6.东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是( ) A．1 5B．3 10C． 2 5D． 1 2 6共设有20道试题，其中创新能力试题4道，所以从中任选一道试题，选中创新能力试题的概率是4 20＝ 1 5.故 选择A. 7.一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D． 7解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，∴朝上一面的数字是偶数的概率为：=．故选：C． 8三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3 的概率是（）A．B．C．D． 8解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况， ∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率==．故选A． 二、填空题 1.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球，3个白球，2个绿球，则摸出绿球的概率是 ．
【通用版】高中数学重点难点突破：专题14 古典概率与几何概率【重难点知识点网络】： 【重难点题型突破】： 重难点01 简单的古典概型 例1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（） A．1 5 B． 1 3 C． 3 5 D． 2 3 【变式训练1】．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（） A．4 27 B． 1 3 C． 1 27 D． 1 9 【变式训练2】．（2020届山西省大同市第一中学高三一模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）．
A ．15 B ． 25 C ． 310 D ． 14 重难点02 与其他知识交汇的古典概型 例2．（2020届河南省郑州市高三第二次质量预测）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线 0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________. 【变式训练1】．（广东广雅中学2019届模拟）设平面向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1，2，3，4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.1 8 B.1 4 C.13 D.12 【变式训练2】．（福建三明一中2019届模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋ by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________. 重难点03 与长度有关的几何概型 例3．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．1 2 B ． 13 C ． 24 D ． 23
, 7-9-1.概率 教学目标 “统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象 兼有应用性和趣味性，其内容及延 伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容． 1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题． 2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题． 3.理解和运用概率性质进行概率的运算． 知识要点 一、概率的古典定义 如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果； ⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的． 这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件 A ，它的概率定义为： P (A ) = m ， n 表示该试验中 n 所有可能出现的基本结果的总数目， m 表示事件 A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于 古典概率．其中的 m 和 n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出． 二、对立事件 对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件 如果事件 A 和 B 为对立事件（互斥事件），那么 A 或 B 中之一发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率之和，为 1，即： P (A ) + P (B ) = 1． 三、相互独立事件 事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 如果事件 A 和 B 为独立事件，那么 A 和 B 都发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率之 积，即： P (A ? B ) = P (A )? P (B ) ． 例题精讲 模块一、概率的意义 【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是 80%”．对此信息，下列说法中正确的是________． ①本市明天将有 80%的地区降水． ②本市明天将有 80%的时间降水． ③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大． 【考点】概率的意义 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，决赛
古典概型与几何概型专题训练 1.在集合{} 04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B. 14 C. 12 D. 34 答案及解析： 2.考虑一元二次方程2 0x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A. 3619 B.187 C.94 D.36 17 答案及解析： 3.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形， 直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为 A . 117 B .217 C .317 D .4 17 答案及解析：3.B . 因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以 小花朵落在小正方形内的概率为42 3417 P = =.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式 ()= A P A 构成事件的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 求解．所以本题求小花朵落在小正 方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积. 4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（ ）
当前 形势 概率与统计在近五年北京卷（理）考查13-18分 高考要求 内容 要求层次 具体要求 A B C 统 计 随机 抽样 简单随机抽样√理解随机抽样的必要性和重要性．分层抽样和系统抽样√ 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样 本；了解分层抽样和系统抽样方法 用样 本估 计总 体 频率分布表，直方图、 折线图、茎叶图 √ 了解分布的意义和作用，会列频率分布 表，会画频率分布直方图、频率折线图、 茎叶图，理解它们各自的特点．样本数据的基本的数 字特征（如平均数、标 准差） √ 理解样本数据标准差的意义和作用，会 计算数据标准差．能从样本数据中提取基 本的数字特征（如平均数、标准差），并作 出合理的解释． 用样本的频率分布估 计总体分布，用样本的 基本数字特征估计总 体的基本数字特征 √ 会用样本的频率分布估计总体分布，会 用样本的基本数字特征估计总体的基本 数字特征，理解用样本估计总体的思 想．会用随机抽样的基本方法和样本估计 总体的思想解决一些简单的实际问题．变量 的相 关性 线性回归方程√ 会作两个有关联变量的数据的散点图，会 利用散点图认识变量间的相关关系． 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线满分晋级 新课标剖析 第9讲概率与统计 考点归纳 概率与统计5级 典型分布 概率与统计6级 概率与统计考点归纳 概率与统计7级 与计数原理相关 的概率问题 1 第1讲·尖子班·教师版
2 第 1讲·尖子班·教师版 性回归方程系数公式建立线性回归方程． 概率 事件与概率 随机事件的概率 √ 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别． 随机事件的运算 √ 两个互斥事件的概率 加法公式 √ 了解两个互斥事件的概率加法公式． 古典概型 古典概型 √ 理解古典概型及其概率计算公式． 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 几何概型 几何概型 √ 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．了解几何概型的意义． 北京 高考 解读 2009年 2010年（新课 标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标） 第17题13分 第17题13分 第17题13分 第2题5分 第17题13分 第16题13分 知识切片 9.1统计及其应用 寒假知识回顾