古典型概率几何型概率专题典型例题练习
题
概率
1、从1、
2、
3、
4、
5、
6、7中任取一个数,求下列事件的概率. (1)取出的数大于3; (2)取出的数能被3整除;
(3)取出的数大于3或能被3整除.
2、某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为32,,a a a 1,女生两名,分别记为21,b b ,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛.
(1)写出这种选法的样本空间;(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率; (3)求参赛学生中至少有一名男生的概率.
3、甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
4、在集合{}40,50),(≤≤≤≤y x y x 内任取1个元素,能使不等式012
19
34≥-+y x 成立的概率是多少?
1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题，
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？
2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少．
3、将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.
4、（2008高考江苏卷6）在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ．
5、（2008高考宁夏文）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．
（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
6、甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.
7、如图，在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=30°，求下列事件的概率：
问题1 在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；
问题2 在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB．
A
B
C
第7题
概率经典测试题及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是 () A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式 B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4 C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1 D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案． 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误； B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误； C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确； D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误； 故选：C． 【点睛】 此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（） A．2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团， 于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种， 所以，所求概率为31 93 ，故选C．
统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的
高中古典概率中等题目精选(附答案)
第4n+1次家教材料，编辑了我觉得很好的又很基本的题目. 一、选择题（11分，每题一分） 1、从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( ) A 、 2 1 B 、 10 3 C 、 5 1 D 、 5 2 2、将8个参赛队伍通过抽签分成A 、B 两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为( ) A 、 74 B 、 21 C 、 72 D 、 53 3、袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( ) A 、 11 1 B 、 33 2 C 、 33 4 D 、 33 5 4、将4名队员随机分入3个队中，对于每个队来说，所分进的队员数k 满足0≤k≤4，假设各种方法是等可能的，则第一个队恰有3个队员分入的概率是( ) A 、 8116 B 、 8121 C 、 818 D 、 81 24 5、将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是( ) A 、 9 1 B 、 4 1 C 、 36 1 D 、9 6、下列事件中，随机事件的个数为( ) (1)物体在重力作用下会自由下落、 (2)方程x2+2x+3＝0有两个不相等的实根、 (3)某传呼台 每天的某一时段内收到的传呼要求次数不超过10次、 (4)下周日会下雨、 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、下列试验能构成事件的是( ) A 、掷一次硬币 B 、射击一次 C 、标准大气压下，水烧至100℃ D 、摸彩票中头奖 8、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的各个面分别是标有点数1， 2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为,x y ，则2log 1x y 的概率为（ ） Ａ．16 Ｂ． 5 36 Ｃ．112 Ｄ．12
【经典例题】 【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ????0≤x≤4， 0≤y≤4，满足条件的关系式 为－2≤x－y≤2.
【经典例题】 【例1】（2012）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 1 2 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为 扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选 A ． 【例2】（2013）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012）节日前夕，小在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4秒任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ??0≤x ≤4， 0≤y ≤4，满足条件的关系 式为－2≤x －y ≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，
概率 1、从1、 2、 3、 4、 5、 6、7中任取一个数,求下列事件的概率. (1)取出的数大于3; (2)取出的数能被3整除; (3)取出的数大于3或能被3整除. 2、某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为32,,a a a 1,女生两名,分别记为21,b b ,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛. (1)写出这种选法的样本空间;(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率; (3)求参赛学生中至少有一名男生的概率. 3、甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． 4、在集合{} 40,50),(≤≤≤≤y x y x 内任取1个元素,能使不等式012 19 34≥-+y x 成立的概率是多少?
1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题， （1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？ 2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少． 3、将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率. 4、（2008高考江苏卷6）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率．
5、（2008高考宁夏文）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=． （Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 6、甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 7、如图，在等腰三角形ABC 中，∠B =∠C =30°，求下列事件的概率： 问题1 在底边BC 上任取一点P ，使BP ＜AB ； 问题2 在∠BAC 的内部任作射线AP 交线段BC 于P ，使BP ＜AB ． A C P B 第7题
《古典概型》练习题（有祥细解答） 一、选择题 1．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则基本事件有() A．1个B．2个 C．3个D．4个 [答案] C [解析]基本事件有{数学，计算机}，{数学，航空模型}，{计算机，航空模型}，共3个，故选C. 2．下列试验中，是古典概型的为() A．种下一粒花生，观察它是否发芽 B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合C．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率 D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率 [答案] C [解析]对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选C. 3．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件的为() A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球} C．{正好2个白球} D．{至少1个红球} [答案] D [解析]至少1个红球包含，一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少1个红球}不是基本事件，其他项中的事件都是基本事件． 4．在200瓶饮料中，有4瓶已过保质期，从中任取一瓶，则取到的是已过保质期的概率是() A．0.2 B．0.02
C．0.1 D．0.01 [答案] B [解析]所求概率为4 200＝0.02. 5．下列对古典概型的说法中正确的是() ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个②每个事件出现的可能性相等③每个基本事件出现的可能性相等④基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本 事件，则P(A)＝k n A．②④B．①③④ C．①④D．③④ [答案] B [解析]②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确． 6．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种 不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3)，(2,4)2种结果，概率为1 3 ，故选B.答案：B 7．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2x y＝1的概率为( ) A.1 6 B. 5 36 C. 1 12 D. 1 2 解析：由log 2x y＝1得2x＝y.又x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以满足题意的有x＝ 1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为 3 36 ＝ 1 12 ，故选C.答案：C 8．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为( ) A.1 8 B. 3 16 C. 1 4 D. 1 2
必然事件 1、有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a、b为实数，那么a＋b＝b＋a．其中是必然事件的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、纸箱里装有2个篮球、8个白球，从中任意摸出3个球时，至少有一个是 3、一个不透明的口袋中有10个白球和12个黑球，“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，n等于（） Ａ、10 Ｂ、11 Ｃ、12 Ｄ、13 4、下列事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身 C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0 可能事件 1、下列事件：（1）明天是晴天；（2）小明的弟弟比他小：（3）巴西与土耳其进行足球比赛，巴西队会赢；（4）太阳绕着地球转。属于不确定事件的有： 2、下列事件中，属于随机事件的是（） A. 掷一枚普通正六面体骰子，所得点数不超过6 B.买一张彩票中奖 C. 太阳从西边落下 D.口袋中装有10个红球，从中摸出一个是白球 3、下列事件： ①打开电视机，它正在播广告； ②从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球； ③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13； ④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上 其中是可能事件的为（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4、下列事件中，属于不确定事件的有（） ①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5、在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球有3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，?请你写出这个实验中的一个可能事件： _________． 6、篮球投篮时，正好命中，这是事件。在正常情况下，水由底处自然流向高处，这是事件。
古典概型练习题(有详细答案)
古典概型练习题 1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品) A.3个都是正品 B.至少有一个是
两位数大于40的概率为 A. 1 5B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 ( ) 4.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2 个球,则至少摸出1个黑球的概率为 A. 3 7B. 7 10 C. 1 10 D. 3 10 ( ) 5.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取 2张,那么这 2 张纸片数字之积为偶数的概率为( ) A. 1 2 B. 7 18 C. 13 18 D. 11 18 6.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举
A. 7 15 B. 8 15 C. 3 5 D. 1 7.下列对古典概型的说法中正确的个数是( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基
本事件,则()k P A =； n ④每个基本事件出现的可能性相等； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球, 那么下列事件中互斥事件的个数是 ( ) ⑴至少有一个白球,都是白球；⑵至少有一 个白球,至少有一个红球； ⑶恰有一个白球,恰有2个白球；⑷至少有一 个白球,都是红球. A.0 B.1 C.2 D.3 9.下列各组事件中,不是互斥事件的是( ) A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分 C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒 D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70% 10．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○ ………… 学校: ___ ___ _ _ __ _姓名：___ _ __ ___ _ _班级：__ __ _ _ ___ _ _考号：_ _____ __ ___ ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … …○ … … … … 订… … … … ○ … ………线…………○………… 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a 和b 所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有 家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
概率初步 李桂梅 烟台机械工程学校
课题：10.2 概率初步 新授课
并利用你们预习的几个概念判断下列事件属于 哪种事件呢？ 1、连续抛一枚质地均匀的硬币，恰有一次正面向上 2、抛一颗骰子向上点数小于6 3、袋装有红、黄、蓝3个大小形状完全相同的球，从中任取1个球，是白球容的学习做准备。 概念形成问题探究：你能求出这些随机试验的样本空间 中基本事件总数是多少吗？每个基本事件发生 的可能性相等吗？ 思考：这几个随机试验有哪些特点？ 古典概型概念：在随机试验中，出现的结果只 有有限个，且它们出现的可能性是相等的，这 样的试验称为古典概型。 是不是所有的随机试验都是古典概型 呢？ 火眼金睛巩固概念 判断下列随机试验是否是古典概型，不是的说 明理由。 1、从一副扑克牌中任意抽取一牌，观察抽到的 牌上的数。 2、种下一粒种子，观察它是否发芽？ 结合实例 动手操作 自主观察 总结规 律，得出 概念。 通过判断 加深对古 典概型的 两个条件 的理解 承上启下， 给出古典 概型概念。 通过自己 动手操作、 细心观察 总结古典 概型的两 个特点。 四个与生 活紧密相 关的例子 明确古典 概型特点。
概念巩固 公式探求3、向一个圆面随机地投射一个点，如果该点落 在圆任意一点都是等可能的，你认为这是古典 概率吗?为什么？ 4、随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果 只有有限个：命中10环、命中9环……命中5 环和不中环.你认为这是古典概率吗？为什 么？ 设悬激趣提出问题 情境：在篮球比赛前，有这样一位裁判员，想 以抽签方式决定两支球队的进攻方向，他准备 三大小花色相同的扑克牌，1红桃，2黑桃，让 其中一方队长从三牌中任意的抽一，抽到红桃 则有选择权，抽到黑桃，则选择权给对方。 想一想，议一议 此随机试验是否为古典概型？裁判员这 样做对抽牌的一方公平吗？ 学生分组 讨论，互 相抢答为 所在小组 加分 学生分组 讨论，各 组代表积 极发表结 论 插入视频 由为中国 获得首金 的易思玲 打靶为例 培养学生 爱国主义 思想，树立 为国争光 的信心。 创设情境 利用古典 概型概念 提出问题 为后面的 古典概率 公式的推 导做好。
第4n+1次家教材料，编辑了我觉得很好的又很基本的题目. 一、选择题（11分，每题一分） 1、从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( ) A 、 2 1 B 、 10 3 C 、 5 1 D 、 5 2 2、将8个参赛队伍通过抽签分成A 、B 两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为( ) A 、 74 B 、 21 C 、 72 D 、 53 3、袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( ) A 、 11 1 B 、 33 2 C 、 33 4 D 、 33 5 4、将4名队员随机分入3个队中，对于每个队来说，所分进的队员数k 满足0≤k≤4，假设各种方法是等可能的，则第一个队恰有3个队员分入的概率是( ) A 、 8116 B 、 8121 C 、 818 D 、 81 24 5、将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是( ) A 、 9 1 B 、 4 1 C 、 36 1 D 、9 6、下列事件中，随机事件的个数为( ) (1)物体在重力作用下会自由下落、 (2)方程x2+2x+3＝0有两个不相等的实根、 (3)某传呼台 每天的某一时段内收到的传呼要求次数不超过10次、 (4)下周日会下雨、 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、下列试验能构成事件的是( ) A 、掷一次硬币 B 、射击一次 C 、标准大气压下，水烧至100℃ D 、摸彩票中头奖 8、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的各个面分别是标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为,x y ，则2log 1x y 的概率为（ ） Ａ． 16 Ｂ． 536 Ｃ．112 Ｄ．12 9、4、从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品 全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. A 与C 互斥 B. B 与C 互斥 C. 任何两个均互斥 D. 任何两个均不互斥
3.2.1 古典概型（第一课时） [自我认知]: 1.在所有的两位数(10-99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是 ( ) A.1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 5 6 2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为 ( ) A. 60% B. 30% C. 10% D. 50% 3.根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为 ( ) A. 0.65 B. 0.55 C. 0.35 D. 0.75 4.某射手射击一次,命中的环数可能为0,1,2,…10共11种,设事件A：“命中环数大于8”,事件B：“命中环数大于5”,事件C：“命中环数小于4”,事件D：“命中环数小于6”,由事件A、B、C、D中,互斥事件有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D.4对 5.产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：①恰有一件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有一件次品；④至少有1件 次品和全是正品.4组中互斥事件的组数是 ( ) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 6.某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( ) A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 7.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=﹛两次都击中﹜,B=﹛两次都没击中﹜,C=﹛恰有一次击中﹜,D=﹛至少有一次击中﹜,其中彼此互斥的事_____________________,互为对立事件的是__________________。 8.从甲口袋中摸出1个白球的概率是1 2 ,从乙口袋中摸出一个白球的概率是 1 3 ,那么从两个 口袋中各摸1个球,2个球都不是白球的概率是___________。 9.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35,那么黑球共有______________个 [课后练习] 10．在下列试验中,哪些试验给出的随机事件是等可能的？ ①投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面”。 ②一个盘子中有三个大小完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一个球,“取 出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。 ③一个盒子中有四个大小完全相同的球,其中红球、黄球各一个,黑球两个,从中任取一球, “取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。 班次姓名
12． 古 典 概 型 1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 2．有5条线段，长度分别为1、3、5、7、9从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是( ) A. 110 B. 310 C.12 D.25 3．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( ) A.110 B.310 C.25 D. 710 4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110 B.310 C.35 D.910 5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为 顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.15 6.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是（ ） A. 18 B. 38 C. 58 D. 78 7.从装有2个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A.至少有1个是黑球与都是黑球； B.至少有1个是红球与都是黑球 C.至少有1个黑球与至少有1个红球 D.恰有1个黑球与恰有2个黑球 8.从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲选中的概率是（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 34 9.同时掷3枚均匀的硬币，下列互为对立事件的是（ ） A.至少有1枚正面和最多有1枚正面 B.最多1枚正面和恰有1枚正面 C.至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面 10.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ） A. 23 B. 910 C. 35 D. 25
1.3典型例题解析 【例1】一盒装有2个伍分，3个贰分，5个壹分的硬币，求取出硬币的总值超过壹角的概率。 〖解析〗设A={取出硬币总值超过壹角}。 此题可以看成组合问题，故其样本空间含样本点个数为C 105 。对于事 件A ，一是可以从2个伍分中任意取1个，另外4个可以先从3个贰分中任意取2个，再从5个壹分中任意取2个。或者从3个贰分中任 意取3个，再从5个壹分中任意取一个，所有的取法为C 21(C 32C 52+C 33C 51)。二是也可以将2个伍分的全部取出，再从8个贰分、壹分的硬币中任取3个。所有的取法为C 22C 83。所以 P(A)=C 21C 21(C 32C 52+C 33C 51)+C 22C 83 C 10 5=1 2 此题也可以用逆事件方法做。A 的逆事件就是取出硬币总值不超过壹角，即 P(A)=1-C 21C 54+C 32C 53+C 33C 52+C 55+C 21C 3 1C 53C 10 5=1 2 【例2】从0至9这10个数码中任意取4个数码，求索取的4个数码能排成四位偶数的概率。 〖解析〗设A={取到的4个号码排成四位偶数} 此题可以看成排列问题，故其样本空间所含样本点个数为A 104 ，对于 事件A ，先从0、2、4、6、8这5个数码中任取1个排在个位数上，然后从剩下的9个数码中任取3个排列在其他3个位置上，可能排列 法为A 51A 93。但应注意到0不能放在千位数上，应去掉此种情况的样
本点数A 11A 41A 82。所以符合事件A 的样本点为 A 51A 93?A 11A 41A 82 。因此 P(A)= A 51A 93?A 11A 41A 8 2A 10 4= 4190 或 P(A)= A 11A 93+C 41(A 93?A 82) A 10 4= 4190 【例3】从1到100的100个整数中任取1个数，问取出的数能被3或4整除的概率。 〖解析〗设A={取到的数能被3整除}，B={取出的数能被4整除}, C={取到的数能被3或者4整除} 在1,2,3······，100中，能被3整除的数的个数[1003 ]=33；1,2，·······， 100中能被4整除的数的个数[ 1004 ]=25。事件A ，B 是相容的，且AB 包含8个基本事件12,24,36,48,60,72,84,96。所以 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 33100 + 25100 ? 8100 =1 2 【例4】设m 个人排成一行，甲、乙是其中的2个人，求甲乙之间恰好有r 个人的概率。 〖解析〗设A={甲乙之间恰好有r 个人}。 此题是一个排列问题，故其样本空间所含样本点个数为m!。再分析事件A ：从m 个人中去掉甲乙2人后取r 个人放在甲乙中之间，取法为 C m?2r ，将夹在甲乙之间的r 个人进行全排列排法有r!种。将甲乙2个 人位置互换换法有2!种；将甲乙及中间的r 个人当做1个人与其他剩下的m-r-2个人进行全排列有(m ?r ?2+1)!种，则事件A 含样本点 个数为C m?2r ?r!(m ?r ?1)!2!。所以 P(A)= C m?2r ?r!(m?γ?1)!2! m! 【例5】盒中有a 个白球，b 个红球，从中随机地连续取球。每次取
概率论与数理统计练习题 第一次 随机事件与古典概型 一．填空 1. 设S 为样本空间，A,B,C 是任意的三个随机事件，根据概率的性质，则（1）P(A )=＿＿＿＿＿＿＿；(2)P(B-A)=P(B A )=＿＿＿＿＿＿＿；(3)P(A U B U C)= ＿＿＿＿＿； 2. 设A,B,C 是三个随机事件，试以A ，B ，C 的运算来表示下列事件：（1）仅有A 发生＿＿＿＿＿＿＿；（2）A ，B ，C 中至少有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（3）A ，B ，C 中恰有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（4）A ，B ，C 中最多有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（5）A ，B ，C 都不发生＿＿＿＿＿＿＿；（6）A 不发生，B ，C 中至少有一个发生＿＿＿＿＿＿＿； 3. A,B,C 是三个随机事件，且p(A)=p(B)=p(C)=1/4, P(AC)=1/8;P(AB)=P(BC)=0,则A ，B ，C 中至少有一个发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿；A ，B ，C 中都发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿；A ，B ，C 都不发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿； 4. 袋中有n 只球,记有号码 1,2,3,…………n . (n>5) 则事件(1)任意取出两球,号码为1,2的概率为＿＿＿＿＿＿＿；(2)任意取出三球,没有号码为1的概率为＿＿＿＿＿＿＿；(3) 任意取出五球,号码1,2,3中至少出现一个的概率为＿＿＿＿＿＿＿； 5. 从一批由此及彼5件正品,5件次品组成的产品中,任意取出三件产品,则其中恰有一件次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿； 二．某码头只能容纳一只船，现预知将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到的可能性都相同，如果他们需要的停靠时间分别为3小时与4小时，试求有一只船要在江中等待的概率？ 三．已知A ，B 两个事件满足条件P(AB)=P(A B ),且P(A)=p; 求P(B). 第二次 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 一．填空 1． 条件概率的计算公式P(B|A)= ＿＿＿＿＿＿＿；乘法公式P(AB)= ＿＿＿＿＿； 2． 12,,,n A A A 为样本空间S 的一个事件组，若 12,,,n A A A 两两互斥，且 1 2 n A A A =S,则对S 中的事件B 有全概率公式＿＿＿＿＿＿＿； 3． 设B 为样本空间S 的一个事件, 123,,A A A 为样本空间 S 的一个事件组,且满足：（1） 123,,A A A 互不相容，且P(i A )>0 (I=1,2,3) ; (2) S=1 23A A A 则贝叶斯公式为＿＿＿； 4 两事件A,B 相互独立的充要条件为＿＿＿＿＿＿＿； 5 已知在10只晶体管中，有2只次品，在其中取两次，每次随机地取一只，做不放回抽样，则（1） 两只都是正品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（1）一只正品，一只为次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（3）两只都为次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（4）第二次取出的是次品的概率＿＿＿＿＿＿＿； 二．某工厂有甲，乙，丙3个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，3 个车间中产品的废品率分别为5%，4%，2%，求全厂产品的废品率。 已知男人中有5%的是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者。问此人是男人的概率。 三．一个机床有1/3的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ；加工A 时，停车的概率为0.3，加工B 时停
【经典例题】 【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 1 2 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π 4 ，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 — 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54 125＋2×36125＋3×8125＝6 5，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ????0≤x≤4， 0≤y≤4，满足条件的关系式为
经典高考概率类型题总结 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 一、超几何分布 1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个. （1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算： ①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？ ②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ （2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X ，求X 的概率分布和数学期望. 二、二项分布 1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的. （1）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率； （3）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红 灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ， 当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时的概率；
(2)求X 的数学期望． 解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红 灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23， 故X ＝2时的概率P ＝C 24? ????232? ????132＝827 . (2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知 P(X ＝k )＝C k 4? ????23k ? ?? ??134－k (k ＝0,1,2,3,4)． ∴X 的概率分布列为 ∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝83. 三、超几何分布与二项分布的对比 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的次数，则P （X ）＝ . 辨析： 1.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的件数，则P （X ）＝ 2. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝ 3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝ 四、古典概型算法
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 1 例题 该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率． 例题． 有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取1 张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为 ． （2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 练习1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣3、﹣1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． （1）从中任取一球，将球上的数字记为a ，则关于x 的元二次方程x 2﹣2x ﹣a +1＝0有实数根的概率 ； （2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x （不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y ，试用画树状图（或列表法）表示出点（x ，y ）所有可能出现的结果，并求点（x ，y ）落在第三象限内的概率． 2．如图是一副扑克牌中的四张牌，将它们正面向下冼均匀，从中任意抽取两张牌，用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌牌面上的数字之和都是偶数的概率．
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 例题． 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 练习： 某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？ 练习： 第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演（“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A，B，C，D表示），利用树状图或表格求出该班选择A和D两项的概率． 2