第三节 古典概型与几何概型
引例 一个纸桶中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1—10.把球搅匀, 蒙上眼睛从中任取一球. 因为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的, 所以我们没有理由认为这10个球中的某一个会比另一个更容易抽得, 也就是说,这10个球中的任一个被抽取的可能性均为10
1. 这样一类随机试验是一类最简单的概率模型, 它曾经是概率论发展初期主要的研究对象.
内容分布图示
★ 引例
★ 古典概型
★ 计算古典概率的方法 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 几何概型
★ 例7
★ 例8 ★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题1-3
内容要点:
一、古典概型
我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。
1. 随机试验只有有限个可能的结果;
2. 每一个结果发生的可能性大小相同.
因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为:
在古典概型的假设下,我们来推导事件概率的计算公式. 设事件A 包含其样本空间S 中k 个基本事件, 即
},{}{}{21k
i i i e e e A = 则事件A 发生的概率
.)()()(11中基本事件的总数
包含的基本事件数S A n k e P e P A P k
j i k j i j j ====∑== 称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题.
二、 计算古典概率的方法
基本计数原理：
1. 加法原理：设完成一件事有m 种方式,其中第一种方式有1n 种方法，第二种方式有
2n 种方法，……,第m 种方式有m n 种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这
件事的方法总数为m n n n +++ 21.
2. 乘法原理：设完成一件事有m 个步骤,其中第一个步骤有1n 种方法，第二个步骤有
2n 种方法，……，第m 个步骤有m n 种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完
成这件事的方法总数为 m n n n ??? 21.
3. 排列组合方法
(1) 排列公式：(2) 组合公式； (3) 二项式公式.
三、几何概型
古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型. 这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型—几何概型.
a) 设样本空间S 是平面上某个区域, 它的面积记为)(S μ;
b) 向区域S 上随机投掷一点,这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S 内任何部分区域A 的可能性只与区域A 的面积)(A μ成比例, 而与区域A 的位置和形状无关. 向区域S 上随机投掷一点, 该点落在区域A 的的事件仍记为A ，则A 概率为)()(A A P λμ=, 其中λ为常数，而)()(S S P λμ=，于是得)(1S μλ=，从而事件A 的概率为
)
()()(S A A P μμ= 几何概率 )(* 注: 若样本空间S 为一线段或一空间立体, 则向S “投点”的相应概率仍可用)(*式确定, 但)(?μ应理解为长度或体积.
例题选讲：
例1 (讲义例1) 一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求
(1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;
(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率. 解 (1) 10个球中任取一个, 共有10110=C 种.
从而根据古典概率计算, 事件A ：“取到的球为黑球”的概率为)(A P 11013
C C =.10
3= (2) 10球中任取两球的取法有210C 种, 其中刚好一个白球, 一个黑球的取法有17
13C C ?种取法, 两个球均是黑球的取法有23C 种, 记B 为事件“刚好取到一个白球一个黑球”, C 为事
件“两个球均为黑球”, 则
3．3 几何概型 3．3.1几何概型 [目标] 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.理解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率． [重点] 几何概型的特点及概念的理解． [难点] 应用几何概型的概率公式求概率． 知识点一几何概型的概念 [填一填] 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 几何概型的特点如下： (1)无限性，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的； (2)等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的． [答一答] 1．古典概型和几何概型有何异同点？ 提示：相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的． 不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．2．下面两个事件是几何概型吗？ (1)一个人骑车到路口，恰好红灯； (2)一个人种一颗花生，发芽． 提示：(1)满足无限性和等可能性，是几何概型；(2)种一颗花生所有可能出现的结果只有两种，发芽和不发芽，不满足无限性，发芽与不发芽的概率不相等，不满足等可能性，故不是几何概型．
知识点二几何概型的概率公式 [填一填] 在几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积) . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) [答一答] 3．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗？ 提示：几何概型的概率只与构成事件的区域的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关． 4．概率为0的事件是否一定是不可能事件？ 概率为1的事件是否一定会发生？ 提示：在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件． 类型一几何概型的判断 [例1]判断下列概率模型，为几何概型的是________． ①在区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率； ②在区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③在区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率． [解析]①中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]有无限多个点，且区间内每个数被取到的机会相等；②中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③中概率模型不是几何概型，因为在区间[－10,10]内的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征； ④中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相等，故满足无限性和等可能性．[答案]①②④
古典概型与几何概型 1.1基本事件的特点 ①任何两个基本事件都是互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 1.2古典概型 1.2.1古典概型的概念 我们把具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型. 1.2.2古典概型的概率公式: 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 n 1 ，如果某个事件A 包含的结果有m 个基本事件，那么事件A 的概率()n m A P = . 1.3几何概型 1.3.1几何概型的概率公式： 在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ()积） 的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A = A P 1．从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( ) A ． 2 1 B ． 10 3 C ． 5 1 D ． 5 2 2．甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为( ) A ． 12 B ．13 C ． 14 D ．16 3．袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( ) A ． 11 1 B ． 33 2 C ． 33 4 D ． 33 5 4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子 朝上的面的点数分别为X ，Y ，则1log 2=Y X 的概率为( ) A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 121 D ．2 1
2019-2020学年高中数学 3.3几何概型学案 新人教A 版必修5 【学习目标】 1．了解几何概型与古典概型的区别，知道均匀分布的含义． 2．理解几何概型的特点和计算公式． 3．会求几何概型的概率． 【重点难点】 重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率 难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别. 【学习内容】 一．导入新课 1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事 件发生都是等可能的. 2、提出问题：不是所有的试验结果都有有限个，比如： 一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子, 石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要 学习的几何概型. 二．研探新知 （一）：几何概型的概念 提出问题：如下图所示,图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时, 甲获胜,否则乙获胜,在两种情况下分别求甲获胜的概率. 显然，以转盘（1）为游戏工具时，甲获胜的概率为 21；以转盘（2）为游戏工具时，甲获胜的概率为5 3。事实上，甲获胜的概率与字母B 所在扇形区域的圆弧的长度有关，而与字母B 所在区域的位置无关，只要字母B 所在扇形区域的圆弧的长度不变，不管这些区域 是相邻，还是不相邻，甲获胜的概率是不变的。 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样 的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）,简称几何概型. 注： 几何概型的基本特点： a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； b.每个基本事件出现的可能性相等. （二）几何概型的概率公式： P(A)=) ()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A 例1、有一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于 1m 的概率是多少？
知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21 121 例题分析 例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 6 50 70 （1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。 针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ）
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ） （1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率 一、随机事件概率： 事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈
第59讲 几何概型 1．几何概型 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，而与A 的形状和位置无关则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个特点 一是__无限性__，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是__ 等可能性__，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的__图形面积(体积、长度)__”与“试验的基本事件所占的__总面积(总体积、总长度)__”之比来表示． 3．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式 P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__. 4．几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关． (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．( × ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ )
1 古典概型和几何概型 一选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。） 1．同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是 Ａ．这100个铜板两面是一样的 Ｂ．这100个铜板两面是不同的 Ｃ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的 Ｄ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的 2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是 A ．0.42 B ．0.28 C ．0.3 D ．0.7 3．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．至少有一个红球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球 4．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是 A ．4030 B ．4012 C ．30 12 D ．以上都不对 5．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是 A ．81 B ． 83 C ． 85 D ． 8 7 6．设,A B 为两个事件，且()3.0=A P ，则当（ ）时一定有()7.0=B P A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 Ｃ．B A ? Ｄ． A 不包含B 7．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于 A.21 B. 32 C.53 D.5 2 8. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为 A.157 B.158 C.5 3 D.1 9. 从全体3位数的正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为 A.2251 B.3001 C.450 1 D.以上全不对 10. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是. A.21 B.31 C.4 1 D.不确定 11. 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是 A. 101 B.91 C.111 D.8 1 12. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是. A.251 1 B.2491 C.2501 D.2521
古典概型与几何概型专题训练 1.在集合{} 04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B. 14 C. 12 D. 34 答案及解析：1.C 2.考虑一元二次方程2 0x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A. 3619 B.187 C.94 D.36 17 答案及解析：2.A 3.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形， 直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为 A . 117 B .217 C .317 D .4 17 答案及解析：3.B . 因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以 小花朵落在小正方形内的概率为42 3417 P = =.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式 ()= A P A 构成事件的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 求解．所以本题求小花朵落在小正 方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积. 4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（ ）
2019-2020学年高中数学 3.3.1几何概型学案 新人教A 版必修3 一、自学要求： ①正确理解几何概型的定义，掌握几何概型的概率公式： ; ②会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型，会进行简单的几何概型的计算 二、自学过程： 1、 几何概型的定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ,则称这样的概率模型为 ,简称为 。 2、几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有 (2)每个基本事件出现的 3、几何概型求事件A 的概率公式：P(A)= 4、古典概型与几何概型的区别： 基本事件的个数 基本事件的可能性 概率公式 古典概型 几何概型 三．课堂展示 例1、下列概率问题中哪些属于几何概型？ ⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。⑵箭靶的直径为1m ，其中，靶心的直径只有12cm ，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？⑶随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率。（5）抛掷一颗骰子，求出现一个“4点”的概率；（6）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。 例2：某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车 站后候车时间大于10 分钟的概率？ 例3：.在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.求陨石落在陆地的概率和落在我国国土内的概率(地球的面积约为5.1亿平方千米) 例4：（取水问题）：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率. 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A A P )(
2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型 基础巩固强化 一、选择题 1．已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ?α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析] ???? ?a ∥b a ⊥α?b ⊥α，故A 错； ? ??? ?a ∥b a ?α?b ∥α或b ?α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题． 2．(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.1 2 C.2 3 D.3 4 [答案] C [解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件． 其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件， ∴所求概率为P ＝46＝23 . (理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( ) A.112 B.1 18 C.136 D.7108 [答案] A [解析] 连续抛掷三次共有63＝216(种)情况，记三次点数分别为a 、b 、c ，则a ＋c ＝2b ，所以a ＋c 为偶数，则a 、c 的奇偶性相同，且a 、c 允许重复，一旦a 、c 确定，b 也唯一确定，故a ，c 共有2×32＝18(种)，所以所求概率为18216＝1 12 ，故选A. 3．(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
第6节 几何概型 1.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 2.1升水中有1只微生物,任取0.1升水化验,则有微生物的概率为( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3.在半径为1的半圆内,放置一个边长为 12的正方形ABCD,向半圆内任投一点,落在正方形内的概率为( ) A. 12 B. 14 C. 14π D. 12π 4.一个游戏盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4,则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( ) A. 613 B. 713 C. 413 D. 1013 5.某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( ) A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 6.函数f(x)=x 2-x-2,x ∈[-5,5],那么任取一点x 0,使f(x 0)>0的概率为( ) A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 7. (2009·辽宁)ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A. 4π B. 1-4π C. 8π D. 1-8 π 8. (2009·福建)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为___________. 9.如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA.求射线OA 落在∠xOT 内的概率.
古典概型与几何概型 基础训练： 1．甲乙两人从{0，1，2，3，4，5}中各取一个数a,b,则“恰有a+b 3”的概率等于______________ 2.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____ 3.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 4.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 5.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲排在乙前面值班的 概率为_________ 6.一只口袋装有形状大小都相同的6只球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则2只球都是红色的概率为_______，2只球同色的概率为________，恰有一只球是白球的概率为_________ 典型例题： 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123， ，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 9．当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45?的概率是 ． 检测与反馈： 1.已知集合{}21503x A x |x ,B x |x -??=-<<=>??-?? ，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈?”的概率是 ________ ． 2.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未被击毁的概率为_______ 3．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形内，如果通过 大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在 附近，那么点和点到直线的距离之比约为 ． 4．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的 空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此 板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性 都一样，则他击中阴影部分的概率是__ ___． 5.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 ABCD 49A C BD D
古典概型与几何概型 古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基 本事件数及事件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、 特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）， 骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形 的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 56 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去．求两人能会面的概率．
几何概型 【学习目标】 1.了解几何概型的概念及基本特点; 2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式; 3.会进行简单的几何概率计算; 4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想 【要点梳理】 要点一：几何概型 1.几何概型的概念: 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则 理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平 面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型 2.几何概型的基本特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率: 般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件"该点落在其内部一个区域 d内"为事件A，贝y事件A发生的概率P(A) = D的测度. 说明: (1)D的测度不为0 ； ⑵ 其中"测度"的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的"测度"分别是长度，面积和体积
(3)区域为＂开区域＂； (4)区域 D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在 任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关 要点诠释： 几种常见的几何概型 (1)设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段l上的点 数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为: P=的长度/L的长度 (2)设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区 域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关, 则点落在区域g上概率为: P=g的面积/G的面积 (3)设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在 区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无 关，则点落在区域v上的概率为: P=v的体积N的体积 要点二:均匀随机数的产生 1.随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用 2.随机数的产生方法 (1) 实例法. 包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.
《几何概型》学案设计 郑州四中刘继勋 学习目标课标描述：初步体会几何概型的意义. 学习目标分解：1、学生通过试验、交流，结合对实例的分析，体会学习 几何概型的必要性； 2、学生通过讨论、类比，能说出古典概型和几何概型的 区别和联系； 3、学生通过体验，能总结几何概型的意义，并会利用几 何概型概率公式求简单问题的概率. 学习重点：几何概型的意义. 学习难点：几何概型中随机试验结果个数的无限性理解. 学习方法：试验、交流、归纳等方法的综合应用. 学习过程： Ⅰ、体验与思考 情境一、甲、乙二人玩转盘游戏.如图，规定当指针指向阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜. 分析：1、所有可能的试验结果与甲获胜包含的试验结果；2、 能否用古典概型公式求甲获胜的概率，为什么？情境二、长为3米的绳子，从中间随机剪开，则得到的每段绳长都不小于1米的概率是多少? 归纳：以上两个问题的共同特点是什么？如何求以上两个随机事件发生的概率？ Ⅱ总结 阅读课本P135～P136， 回答：什么是几何概型？其概率公式是什么？ 举例说明：举一个几何概型的实例. 比较并探究：古典概型与几何概型的区别与联系是什么？ Ⅲ应用 阅读课本P136例1. 思考：若等待时间不超过20分钟，则概率是多少？ 例2 如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm、4cm、6cm.某人站在3m外向此板投镖，设镖击中线上或没有击中都不算，可重投.问： (Ⅰ)投中大圆的概率是多少？ (Ⅱ)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (Ⅲ)投中大圆之外的概率是多少？ （图2）（图3） （图1） 1
时跟踪检测（五十九） 古典概型与几何概型 1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( ) A.25 B.35 C.13 D.23 解析：选B 从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率 为P ＝m n ＝610＝35 .故选B. 2．(2019·合肥质检)某小组有男生8人，女生3人，从中随机抽取男生1人，女生2人，则男生甲和女生乙都被抽到的概率为( ) A.16 B.18 C.112 D.124 解析：选C 某小组有男生8人，分别记为M 甲，M 2，M 3，M 4，M 5，M 6，M 7，M 8，女生3人，分别记为W 乙，W 2，W 3.从中随机抽取男生1人，女生2人的基本事件为(M 甲，W 乙，W 2)，(M 甲，W 乙，W 3)，(M 甲，W 2，W 3)，…，(M 8，W 乙，W 2)，(M 8，W 乙，W 3)，(M 8，W 2，W 3)，共24个，男生甲和女生乙都被抽到的基本事件为(M 甲，W 乙，W 2)，(M 甲，W 乙， W 3)，共2个，所以男生甲和女生乙都被抽到的概率为224＝112 .故选C. 3．(2019·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：选C 在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成的两位数有：32,34,52,54,23,25,43,45，共8个，其中能被5整除的两位数有：25,45，共2个，故所求概 率P ＝28＝14 ，选C. 4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.3π10 B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20 解析：选D 直角三角形的斜边长为82＋152＝17， 设内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3. ∴内切圆的面积为πr 2＝9π，
3.3 几何概型 学习目标 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.了解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率． 知识点一 几何概型的概念 思考 往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？ 梳理 (1)几何概型的定义： 设D 是一个可度量的区域(例如________、__________、____________等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会________；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的________________________．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(________、________、________等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． (2)几何概型的特点： ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有__________________． ②每个基本事件出现的可能性________． 知识点二 几何概型的概率公式 思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A 所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？ 梳理 几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝ d 的测度D 的测度. 知识点三 用模拟方法估计概率 1．随机数的产生 (1)计算器上产生(0,1)的随机数的函数是______函数． (2)Excel 软件产生[0,1]区间上的随机数的函数为“____________”． (3)[a ，b ]上随机数的产生 利用计算器或计算机产生[0,1]上的随机数x ＝RAND ，然后利用伸缩和平移交换，x ＝______________就可以得到[a ，b ]内的随机数，试验的结果是[a ，b ]上的任何一个实数，并
古典概型和几何概型的意义和主要区别 在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。 一、古典概型和几何概型的意义 （一）.几何概型的定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 1.几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个 ．．．．. (2)每个基本事件出现的可能性相等 ．．．．．. 2.几何概型求事件A的概率公式： P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) （二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍
1. 古典概型的特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ．．．. (2)每个基本事件出现的可能性相等 ．．．．．. 2. 古典概型求事件A的概率公式： P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别 几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。 三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模 题组一： 情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率 情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？ 情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？
3．3.1几何概型 1.了解几何概型与古典概型的区别. 2.理解几何概型的定义及其特点. 3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率． 知识点一几何概型的含义 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考几何概型与古典概型有何区别？ 答几何概型与古典概型的异同点 类型 异同 古典概型几何概型 不同点 一次试验的所有可能出现的 结果(基本事件)有有限个 一次试验的所有可能出现的 结果(基本事件)有无限多个相同点每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等 P(A)＝ 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . 思考计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？
答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量． 题型一 与长度有关的几何概型 例1 取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？ 解 如图，记“剪得两段的长都不小于1m ”为事件A . 把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝1 3 . 反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 B 解析 如图所示，画出时间轴： 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B. 题型二 与面积有关的几何概型 例2 射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解 如图，记“射中黄心”为事件B .
专题六作业： 3．在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，是否更有利于从事相应的教学，举例说明； 在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，更有利于从事相应的数学教学。 一、古典概型 1、古典概型的意义 如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（2）E的每一个可能结果（基本事件），发生的可能性大小相等；则称E为有限等可能型随机试验或等可能概型。因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型. 2.古典概型的两个基本特点 （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，由试验产生随机数。（2）每个基本事件出现的可能性相等. 2、常见的三种古典概型基本模型 (1) 摸球模型；同类型的问题还有 1) 中彩问题； 2) 抽签问题； 3) 分组问题； 4) 产品检验问题； 5) 扑克牌花色问题； 6) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题. (2) 分房问题；同类型的问题还有： 1) 电话号码问题 2) 骰子问题 3) 英文单词、书、报等排列问题. (3) 随机取数问题.同类型的问题还有： 1) 球在杯中的分配问题(球→人，杯→房) 2) 生日问题；(日→房，N=365天) ( 或月→房，N=12月) 3) 旅客下站问题；( 站→房) 4) 印刷错误问题；(印刷错误→人，页→房) 5) 性别问题(性别→房，N=2) 在老教材中的古典概型是强调用排列组合的公式计算事件个数，而新教材中的古典概型是强调利用枚举法，画树形图来排出所有的事件个数。 二、几何概型 1 ．几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理
《几何概型》学案设计 学习目标课标描述：初步体会几何概型的意义. 学习目标分解：1、学生通过试验、交流，结合对实例的分析，体会学习几何概型的必要性； 2、学生通过讨论、类比，能说出古典概型和几何概型的区别和联系； 3、学生通过体验，能总结几何概型的意义，并会利用几何概型概率公式求 简单问题的概率. 学习重点：几何概型的意义. 学习难点：几何概型中随机试验结果个数的无限性理解. 学习方法：试验、交流、归纳等方法的综合应用. 学习过程： Ⅰ、体验与思考 情境一、甲、乙二人玩转盘游戏.如图，规定当指针指向阴影区域时，甲获胜，否 则乙获胜. 分析：1、所有可能的试验结果与甲获胜包含的试验结果；2、能否用古 典概型公式求甲获胜的概率，为什么？ 情境二、长为3米的绳子，从中间随机剪开，则得到的每段绳长都不小于1米的概率是多少? 归纳：以上两个问题的共同特点是什么？如何求以上两个随机事件发生的概率？ Ⅱ 总结 阅读课本P135～P136， 回答：什么是几何概型？其概率公式是什么？ 举例说明：举一个几何概型的实例. 比较并探究：古典概型与几何概型的区别与联系是什么？ Ⅲ 应用 阅读课本P136例1. 思考：若等待时间不超过20分钟，则概率是多少？ 例2 如图，在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm 、4cm 、6cm.某人站在3m 外向此板投镖，设镖击中线上或没有击中都 （图2） （图3） （图1）
不算，可重投.问： (Ⅰ)投中大圆的概率是多少？ (Ⅱ)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (Ⅲ)投中大圆之外的概率是多少？