物理系 20 —20 学年第 学期期末考试
《数学物理方法》试卷（A ）
考试时间：120分钟 考试方式：闭卷
班级 专业 姓名 学号
题 号 一 二 三 四 五 总 分 得 分
核分人
一、填空题（本大题共9题，每空2分，共24分） 1、写出复数1+3i 的三角式)3
sin
3
(cos
2π
π
i +，指数式e i
32π
。
2、z a z b -=-中z 代表复平面上位于ab 线段中垂线上点。
3、幂级数∑∞
=??
?
??1k k
k z 的收敛半径为 ∞。
4、复变函数),(),()(y x i y x z f υμ+=可导的充分必要条件y
v x v y u x u ????????,,,存在，并且满足柯西-黎曼方程 。
5、e z
在Z=0的邻域上的泰勒级数是（至少写出前三项）
e z
=......!
3!2!1132++++z z z 。
6、若周期函数f (x )是奇函数，则可展为傅立叶正弦级数f (x )= l
x
k b k k πsin
1
∑∞
=
展开系数为ξπξ
ξd l
k f l b l k ?=0sin
)(2 。 7、就奇点的类型而言，Z=∞是函数f(z)=Z
Z
cos 的 可去 奇点，Z=0是函数的 单极 点。
8、三维波动方程形式2()0tt xx yy zz a μμμμ-++=。 9、拉普拉斯方程0u ?=在球坐标系中的表达式为：
2222222
111sin 0.sin sin u u u
r r r r r r θθθθθφ?????????++= ? ??????????。
二、简答题（本大题共3题，每题8分，共24分）
1、 分别简述单通区域和复通区域下的柯西定理。 单通区域柯西定理：如果函数)(z f 在闭单通区域B 上解析，则沿B 上任一段光滑闭合曲线 ,有
?=
0)(dz z f ； (4分)
复通区域柯西定理：如果函数)(z f 是闭复通区域上的单值解析函数,则
?∑?==+
n
i i
dz z f dz z f 10)()(,式中 为区域外界境线,诸i
为区域内界境线,
积分均沿界境线正方向进行。 (4分)
2、长为l 的均匀弦，两端0=x 和l x = 固定，弦中张力为T 0，在h x =点，
以横向力F 0拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。 解： 由点斜式方程，弦的初始位移为
,(0),(),().t c
x x h h u c l x h x l l h =?≤≤??=?
?-≤≤?-? （2分）
其中 c 为弦在 x ＝ h 点的初始位移。
因为是小振动，所以
112212sin ,sin ,cos cos 1,.c c tg tg dS dx h l h αααααα≈=
≈=≈≈≈-（2分）
写出水平、竖直方向的力平衡方程式：
01122221121000
0sin sin 0,cos cos 0,,,F T T T T T T T c c F T T h l h
αααα--=-=≈=∴=+-（2分）
解得
00()
F h l h c T l -=
，将之代入初始位移（1），得
??????
?≤≤-≤≤-==)l x h (),x l (l
T h F )h x 0(,x l
T )
h l (F u
00000
t （2分） 3、写出l 阶勒让德多项式的具体表达式，具体写出前3个勒让德多项式。
答：l 阶勒让德多项式的具体表达式为：
[/2]
20(22)!()(1).
2!()!(2)!l k l k
l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑ （4分）
记号[l/2]表示不超过 l/2的最大整数。（这由x 的指数得知，k ＝0的项即为
系数为a0或a1的项。）
经由上式计算，前3个勒让德多项式是
0122()1()cos 11
()(31)(3cos 21)24P x P x x P x x θ
θ=→===-=+
（4分） 三、 计算题 （本大题共2题，每题10分，共20分） 1、计算回路积分?
++l
2
2)
1z )(1z (dz （l 的方程是0y 2x 2y x 2
2=+++）。 解： 的方程可化简为：222)2()1()1(=+++y x ，在复平面上它是以 （-1，-i ）为圆心，2为半径的圆， (1分)
被积函数2
2)
1)(1(1
)(++=
z z z f 有两个单极点i z ±=0，和一个二阶极点10-=z ，在这三个极点中，1,0--=i z 在积分回路内，它们的留数：
41
)1)((1)
1)()((1)()
()()(Re 2
2
0lim
lim lim -
=+-=+-+?
+=?-=--→-→-→z i z z i z i z i z z f z z i sf i
z i
z i
z (3分)
21)1(2(])1(1[])1)(1(1)1[()]()[()1(Re 221
21
2
221
01
lim lim
lim lim =+-=+=++?+=?-=--→-→-→-→z z z dz d z z z dz d z f z z dz
d
sf z z z z (3分)
应用留数定理：
2
)2141(2)]1(Re )([Re 2)1)(1(1
)
1)(1(2222i i sf i sf i z z z z dz πππ=
+-=-+-=++=++? (3分) 2、计算实变函数积分I=?
+π
20
cos 2x
dx
。
解:这是属于类型一的积分，为此，做变换iz
e z =使原积分化为单位圆内的回路积分
1
422
221
11
++=++=??
=-=z z dz
i z z iz dz I z z
?
++-+=
=)
32)(32(21
z z dz
i z
?
==
dz z f i z )(21
f(z)有两个单极点320+-=z 在单位圆内，且
3
21]3
21[
lim )23(Re 2
3=
++=--→z sf z
所以3
2)23(Re 22ππ=-?
=sf i i I 四、求解定解问题（本大题共1题，共16分）
20000,
0,0;(),().
(0)
t t xx x x x x l t t t u a u u u u x u x x l ?ψ====?-=??
==??==<
解：利用分离变数法：)()(),(t T x X t x u =，代入范定方程（1），分离变量，得到：
2''()''()
.()
()X x T t X x a T t = 两边分别是时间t 和坐标x 的函数，除非两边等于一个常数，记作λ-， 可得到t 和x 所满足的常微分方程，如下：
)()(0)()(2
=+''=+''t T a t T x X x X λλ
（3分）
同时把)()(),(t T x X t x u =代入边界条件得： 0
)(,0)0(0)()(='='=+''l X X x X x X λ
因为是第二类边界条件，
当λ=0时，方程的解是x D C x X 00)(+=，代入边界条件得：
D 0=0， 所以0)(C x X =； （1分）
当λ＞0时，T 满足的常微分方程的通解是：
12()cos sin ,X x C x C x λλ=+ （2分）
代入边界条件，确定系数
2120,(sin cos )0.C C l C l λλλλ?=??
-+=?
? 由于2110,0sin 0,0C C l C λλ≠==所以＝，如果，则得无意义的0解，
所以只有：0sin =l λ，则πλn l 2=
于是，求出本征值：2
22πλl
n n = （n=1,2,3…… ）
现在把λλ和0=＞0情况的本征值和本征函数合在一起， 相应的本征函数是：
11()cos
,(0,1,2,)n n X x C x n C l π
== 为任意常数 （3分）
对于每一个本征值2
22πλl
n n =， 代入方程 02=+''T a T λ中可得到：
0=''T 和 0)(2
2
=+''T l a n T π
相应方程 的解为：
)0)(00
0='+'=n t B A t T ，（ ,.....)2,1(,sin cos
)(=+=n at l
n B at l n A t T n n n π
π （2分） 其中，An , B n 为任意常数。
则),(t x u 满足的方程的本征解为：
),0(,),(000=+=n t B A t x u
,.....)2,1(,cos )sin cos
(),(=+=n x l
n at l n B at l n A t x u n n n πππ 方程一般解是所有本征解的线性叠加，即：
001(,)(cos
sin )cos .n n n n n n u x t A B t A at B at x l l l
πππ
∞
==+++∑（3分）
代入初始条件
01
01c o s (),(0)c o s ().n
n n
n n A A x x l x l n a n B B x x l l πφππψ∞
=∞
=?
+=??<
上式的左端是傅立叶余弦级数，把右边的 )(x φ和 )(x ψ 展开为傅立叶余弦级数，然后比较两边的系数就可以确定系数，
00000012(),()cos ,12(),()cos .l l n l l n n A d A d l l l n B d B d l n a l πξφξξφξξπξψξξψξξπ?==???
?==?????? （2分）
五、应用题（本大题共1题，共16分）
如图所示，推导一维和三维扩散方程，已知扩
散系数为D 。
解：在扩散问题中研究的是浓度u 在空间中的分布和在时间中的变化(,,,)u x y z t ，选取长、
宽、高分别是dx ，dy ，dz 的六面体小微元作为研究对象，
已知扩散现象遵循扩散定律：q D u =-?
（3分）
该定律的分量形式：x u q D
x ?=-?，y u
q D y
?=-?，z u q D z ?=-? 如图所示的六面体里浓度的变化取决于穿过它的表面的扩散流。 由扩散定律，先考虑单位时间内x 方向上扩散流为：
因在左表面处，流入六面体的流量为x x q dydz ，在右表面流出去的流量为
x
x dx
q dydz +，dx 取得很小，
则单位时间内x 方向净流入流量为
()()x x
x
x x x dx
x dx
x x q dydz q dydz q q dydz
q u
dxdydz D dxdydz
x x x
++-=--???=-=??? （3分）
分别考虑y,z 方向上的扩散流，同理可得 单位时间内y 方向净流入流量为
()()y y
y
y y
y dy
y dy
y
y
q dxdz q dxdz q q dxdz
q u dxdydz D dxdydz
y y y ++-=--???=-=???
单位时间内z 方向净流入流量为
()()z z
z
z z z dz
z dz
z z q dxdy q dxdy q q dxdy
q u
dxdydz D dxdydz
z z z
++-=--???=-=??? （2分）
又因为六面体中单位时间内增加放入粒子数等于单位时间内净流入的粒子数，即
()()()[()()()]u u u u
dxdydz D dxdydz D dxdydz D dxdydz t x x y y z z
u u u
D D D dxdydz x x y y z z ???????=++?????????????=++?????? （2分）
则有：三维扩散方程为：
()()()[()()()]0
t u u u u D D D t x x y y z z
u u u
u D D D x x y y z z
???????=++?????????????-++=??????
若D 为常数，则方程为：()0t xx yy zz u D u u u -++= （3分） 相应一位扩散方程为：
()0t u
u D x x
??-
=?? （3分）
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -
数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时
嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2（8分） 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 二、计算题（共30分） 1、试用分离变数法求解定解问题（14分） ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u
2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分） ??? ? ? ???? ===-==?====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π 3、求方程 满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。(10分) 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》A 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 7、求函数2 )2)(1(1 --z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） t e y y y -=-'+''32
数学物理方法试卷 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ．0=?ΓdS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ ） A ．) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分）
1．求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y （ ). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ ）. 三、（20分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解：
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
第五章 习题答案 5.1-1一长为l 的均匀细杆，0=x 端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长d 而静止（假定拉长在弹性限度内）。突然放手使其振动，试写出振动方程与定解条件。 解：振动方程的形式与自由杆的振动方程一样。 ()l x u a u xx tt ≤≤=-00 2 ρ Y a = 2 初始条件：()()l x x l d x U ≤≤= 00, ()00,=x U t 边界条件：()0,0=t U ()0,0=t U x （右端自由振动） 5.1-2 长为l 的弦两端固定，密度为ρ，开始时在ε<-c x 处受到冲量I 的作用，写出初始条件。 解： ()00,=x U 在ε≥-c x 处 ()00,=x U t 在ε<-c x 处 由动量定理有： [] ερ ερ2)0,(0)0,(2I x U x U I t t = ?-?= 即：()??? ??<-≥-=ε ερ εc x I c x x U t 200, 5.1-3 长为l 的均匀细杆，在振动过程中，0=x 固定，另一端受拉力0F 的作用。试写出边界条件。（横截面积S ，杨氏模量Y ）。 解：()0,0=t U 2 20),(t U S S t l P F ????=?--ρεε 当0→ε时有YS F t l U x U Y S F x l x 0 0),(= ???? ?==
5.1-4线密度为ρ，长为l 的弦两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度受阻力 t u h F ??-=，试写出其运动方程。 解：如图，取微元x d ，它的两端与x 轴间的夹角分别为21αα、，两端受力分别为 ()()t x T t x x T ,,d 、+，受力分析如下： x 轴方向： ()()0cos ,cos ,d 21=-+ααt x T t x x T 21,αα很小，则()()t x T t x x T ,,d =+， 即弦上张力不变。 y 轴方向：()()2221d d d sin ,sin ,d t u x g x x F t x T t x x T ????=??=?+-+ρραα 略去重力x g d ρ 有： x t u h x x u T t u x d d d 2222???-????=??ρ 所以：02 222=???+???-??t u h x u T t u ρρ 设2 a T =ρ 有：02 =+-t xx tt u h u a u ρ 5.1-5一均匀细圆锥杆作纵振动，锥的顶点固定在0=x 处，试导出此杆的振动方程。 解：设体密度为ρ,取微元x d （s 与s '中间一段） 则质量()?? ? ????-'?+??=s x s x x m 31d 31d ρ 而2 22 d 2d x x x x x x x s s +≈??? ??+=' 故()x s s x x x x m d d 31d 2 3 ??≈??? ?? ??-+??=ρρ 纵向上由牛顿定律有：s t x P s t x x P t u m ?-'?+=???),(),d (d 22 ()s x t x u x x x x t x x u Y t u x s ???? ???????-??? ??+??+??=???),(d ,d d 222ρ 1α 2α x l ()t x x T ,d + ()t x T , ()t x u , x x x d + x s s '
《数学物理方法》试卷答案 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ B ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ D ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ??? ??=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ C ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ． 0=?Γ dS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ B ） A ．) cos , (2 x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2 x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2 x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u .
二、填空题（每题4分，共20分） 1．求定解问题??? ? ? ????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是(x t cos sin 2). 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( 0))(,(),(2))(,(22=++dx y x c dxdy y x b dy y x a ). 3．二阶常微分方程0)()43 41()(1)(2'''=-++x y x x y x x y 的任一特解=y （ )21 (2 3 x J 或0). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1 ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2 )( ,sin 2)(2 12 1ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ )s i n )(1(2)cos sin 1(223 x x dx d x x x x x x ππ-=- ）. 三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 00, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???? ???==>? ????==≤≤?? 解：第一步：分离变量 (4分) 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程可得
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 # 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 > 4、什么是解析函数其特征有哪些（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 |
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 231i +的三角形式和指数形式（8分） ￥ 三角形式：()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
《数学物理方法》课程考试大纲 一、课程说明： 本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。 本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。 本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。 本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。 二、参考教材： 必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。 参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。 三、考试要点： 第一章复变函数 （一）考核知识点 1、复数及复数的运算 2、复变函数及其导数 3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件 （二）考核要求 1、掌握复数三种形式的转换。 2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的 方法。 u 。 3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv 第二章复变函数的积分 （一）考核知识点 1、复变函数积分的运算 2、柯西定理 （二）考核要求 1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。 3、掌握柯西公式计算积分。 第三章幂级数展开 （一）考核知识点 1、幂级数的收敛半径 2、解析函数的泰勒展开 3、解析函数的洛朗展开 （二）考核要求 1、理解幂级数收敛圆的性质。 2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。 3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。 4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。 第四章留数定理 （一）考核知识点 1、留数的计算 2、留数定理 3、利用留数定理计算实变函数定积分 （二）考核要求 1、掌握留数定理和留数计算方法。 2、掌握利用留数定理计算三类实变函数定积分。 第五章傅里叶变换 （一）考核知识点 1、傅里叶级数 2、傅里叶变换 3、δ函数 （二）考核要求 1、掌握周期函数的傅里叶级数形式和定义在有限区间) ,0(l上的函数的傅里叶展开。 2、掌握非周期函数的傅里叶变换。 3、掌握δ函数的性质及其傅里叶积分的形式。 第七章数学物理方程的定解问题
12届真题 1． 求下列各小题（2*5=10分）： （1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-< ； （2）给出序列(1/)sin 6 n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解； （4）给出二阶偏微分方程的基本类型； （5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。 2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）： （1）320Re i zdz +?，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线； （2 ）11,==?积分路径由z=1出发的。 3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）： （1）2 41x dx x +∞ -∞+?； （2）3||1z z e dz z =?。 4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。 5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y ??-=-??（15分）。 6．利用分离变量法求解：（20分） 2222000 (),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====???-=-?????==????==??? 7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）
220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0. x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞???-=>>?????=>??=>??? 有界，
2005级 一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分） 1. 三维泊松方程是______________________________ 2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。 3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。 4. 定解问题20 02||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞???==??， ，的解__________________________。 5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________； 其解存在的必要条件为____________。 6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。 7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx ????=__________________。 8. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。则弦振动问题的边界条件为： 二、（10分）求解定解问题： 200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ?=<<>?==≥??=≤≤? ， ，，，，， ， ，0，
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题)
- 1 - 西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷 学期：2020年春季 课程名称【编号】：数学物理方法【0135】 A 卷 考试类别:大作业 满分：100 分 请对下列五个大题解答，要求写出必要的解题步骤. 一、求解下列各题（共4题，选做3题，每题10分，共30分） 1、计算 122685i i i i +-- - 2、计算 +1 (1) i i - 3、解方程 4 160z i += 4、解方程 1z e i =+ 二、求解下列各题（共2题，选做1题，共15分） 1、证明函数 y x i y x x z f )1(22)(2 2-+--= 在复平面上解析，并求()f z 的导数()f z '. 2、已知解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部为(,)sin y u x y e x =，求)(z f . 三、求下列积分（共4题，选做2题，每题10分，共20分） 1、4+111 z z z dz e =+?? 2、 1 20 cos z z dz ? 3、 6|1:|, 122=--?z c dz z i c . 4、111cos z z dz z =+-?? 四、求解下列各题（共3题，每题5分，共15分） 1、求幂级数2 11(+1) n n z n ∞ =∑ 的收敛半径. 2、将函数1 ()2f z z = -在11z -<内展成1z -的幂级数. 3、把函数21 ()712 f z z z =-+在34z <<内展成洛朗（Laurent ）级数． 五、求解下列各题（共2题，每题10分，共20分） 1、试用分离变量法求解以下定解问题 ,02 =-xx t u a u 0,0,x x x x l u u ==== ()00≤≤≥x l t , t u x == ． 答题要求：请用分离变量法求解，用其它方法求解不得分，并要求写出必要的解题步骤． 2、求解圆内的定解问题（10分）求解定解问题 其中A 为已知正常数． 答题要求：可用任何方法求解，要求写出必要的解题步骤． 答案在下方答题页
一 1D 2B 3D 4C 5A 6C 7A 8D 9A 10D 二（10分）已知一个解析函数)(z f 的实部是y x sin e u =,求该解析函数。 .解： y e y u y e x u x x cos sin ==????（2分） 由C -R 条件，有x u y v ????=，y u x v ????-=，（2分） ∴. )(cos sin x y e ydy e dy x u dy y v v x x ?????+-====??? （2分） 再由y e y u x y e x v x x cos )(cos -=-='+-=?????， 得,)(,0)(C x x =='??于是 ∴C y e v x +-=cos （2分） )()cos (sin )(C e i C y e i y e z f z x x +-=+-+=(2分) 三 求解一维无界弦的自由振动，设弦的初始位移为φ（x ），初始速度为-a φ’(x)。 解：定解问题为： 分） （分）分）2)sin()]sin())[sin((21)]sin()[sin(212()(21)]()([21),(6() cos() sin(0002at x at x at x a a at x at x d a at x at x t x u x a u x u u a u at x at x t t t xx tt -=--+-+-++=+-++=?????-===-?+-==ξξψ?? 四 定解问题为 u tt -a 2u xx =0 u │x=0=0, u x │x=l =0 u │t=0=0 u t │t=0=v o （8分）
南昌大学2011学年第二学期期末考试试卷
三、偏微分方程求解题 (共24 分) 1. 求解波动方程)(0+∞<<-∞=-x u u xx tt 满足 初始条件 x x u x u t t t cos ,20 0====的定解问题。 (本小题 10 分) 解： 由达朗贝尔公式可得 )2()sin()sin()cos()()cos()()]sin()()sin()[(2 1 ) 2(cos |cos )] sin()()sin()[(21 ) 2(sin |sin 2 1) 4(cos 21)]()[(21222222 分分分分t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x x d t x t x t x t x x d x d t x t x u t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x -++----+++---+++ =-+---+++=-+=+-++=? ??+-+-+-+=-=+-ξξξξξξξξξξξξξξ 2. (1) 已知矩形区域ππ≤≤≤≤y x 0,0上的拉普拉斯方程 ???==<<<<=+==;0| ,0|);0 ,0( ,00 πππx x yy xx u u y x u u 试导出其一般解为 nx e B e A y x u n ny n ny n sin )() ,(1 ∑∞ =-+= ， 其中n A 和n B 是只与n 有关的系数。 (9分) (2) 利用(1)的结果求解泊松方程 ??? ??==-==<<<<=+====. cos sin |,0|;sin | |);0 ,0( sin 0 0x x u u y u u y x y u u y y x x yy xx ππππ 提示：寻找泛定方程的一个特解,v 使得经变换w v u +=后所得w 的泛定方程和第一组边值都是齐次的。(5分) (1) 证明： 设有试探解)()(y Y x X u =，(1分) 代入泛定方程和齐次边界条件